Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4, Bài 3: Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể - Lê Trường Giang

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING 
KHOA CƠ BẢN 
BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ 
BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ 
Chƣơng 4 
 ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 
Bài 3 
ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ 
Giảng viên 
Ths Lê Trƣờng Giang 
Bài 3. 
Ước lượng khoảng tham số trung bình tổng thể 
Bài toán: Giả sử trung bình tổng thể  chưa biết, hãy tìm 
khoảng (1;2) chứa  sao cho với là độ tin 
cậy cho trước. 
 1 2P      
Cho tổng thể X có tham số trung bình . 
Một mẫu lấy ra từ tổng thể có trung bình mẫu là .  1 2, ,X X Xn
  E X
X
 Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể 
Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể đã biết và kích thƣớc mẫu 
(hoặc kích thƣớc mẫu và X có phân phối chuẩn) 
2 30n
30n
 Xây dựng khoảng ƣớc lƣợng 
 



 0,1
X
Z N
n
 Theo định lý giới hạn trung tâm, ta có 
 Ta đi tìm z thỏa    1P z Z z    
 HƢỚNG DẪN XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG 
Ta có 
Đặt . 
Khi đó ta suy ra thỏa 
 Vậy từ (1) ta có 
 
   





   
      
                 

2
2
0 0 0 0
0
0 0 1
.
1 1 2 2
z x
P z Z z
z z
z z e dx
 





  
2
2
0
0
1
2
z x
z e dx
  


 



 
 
     
 
 
    





 
22 22
P X z X z
n
z
n
X
P z
n
2
z z 0
2
.
2
z
 
  
 
 Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể 
Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể đã biết và kích thƣớc mẫu 
(hoặc kích thƣớc mẫu và X có phân phối chuẩn) 
2 30n
f(x)=
1
2π
e
- 
x2
2
o z
γ
2
-Z γ
2
Z γ
2
 
2
; ., 

    z
n
X X
30n
 Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy 
Carl Friedrich Gauss 
(1777 - 1855) 
 3.2. Khoảng ước lượng một phía 
1
2
.x z
n



 
 Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy 
1
2
.x z
n



 

 Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy 
Giả sử chiều cao của các bạn nữ sinh viên Trường Đại học 
Tài Chính –Marketing tuân theo luật phân phối chuẩn với 
độ lệch chuẩn là 5 cm. Chọn ngẫu nhiên 64 bạn sinh viên 
nữ, người ta tính được chiều cao trung bình là 160 cm. Với 
độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều cao trung bình của các 
bạn sinh viên nữ UFM. 
Ví dụ 1 
 160 c 
Hướng dẫn tra bảng 2 
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2,1 
0.0000 
0389 
0793 
1179 
1554 
1915 
2257 
2580 
2881 
3159 
3413 
3643 
3849 
4032 
1492 
4332 
4452 
4554 
4641 
4713 
4772 
4821 
0.0040 
0438 
0832 
1217 
1591 
1950 
2291 
2611 
2910 
3186 
3438 
3665 
3869 
4049 
4207 
4345 
4463 
4564 
4649 
4719 
4778 
4826 
0.0080 
0478 
0871 
1255 
1628 
1985 
2324 
2642 
2939 
3212 
3461 
3686 
3888 
4066 
4222 
4357 
4474 
4573 
4656 
4726 
4783 
4830 
0.0120 
0517 
0910 
1293 
1664 
2019 
2357 
2673 
2967 
3238 
3485 
3708 
3907 
4082 
4236 
4370 
4484 
4582 
4664 
4732 
4788 
4834 
0.0160 
0557 
0948 
1331 
1700 
2054 
2389 
2703 
2995 
3264 
3508 
3729 
3925 
4099 
4251 
4382 
4495 
4591 
4671 
4738 
4793 
4838 
0.0199 
0396 
0987 
1368 
1736 
2088 
2422 
2734 
3023 
3289 
3531 
3749 
3944 
4115 
4265 
4394 
4505 
4599 
4678 
4744 
4793 
4838 
0.0239 
0636 
1026 
1406 
1772 
2123 
2454 
2764 
3051 
3315 
3554 
3770 
3962 
4131 
4279 
4406 
4515 
4608 
4686 
4750 
4803 
4846 
0.0279 
0675 
1064 
1443 
1808 
2157 
2486 
2794 
3078 
3340 
3577 
3790 
3980 
4147 
4292 
4418 
4525 
4616 
4693 
4756 
4808 
4850 
0.0319 
0714 
1103 
1480 
1844 
2190 
2517 
2823 
3106 
3365 
3599 
3810 
3997 
4162 
4306 
4429 
4535 
4625 
4699 
4761 
4812 
4854 
0.0359 
0753 
1141 
1517 
1879 
2224 
2549 
2852 
3133 
3389 
3621 
3830 
4015 
4177 
4319 
4441 
4545 
4633 
4706 
4767 
4817 
4857 
Bảng 2 : Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss) 
 
2
0
0
1
exp
22
x
t
x dt

 
   
 

750 
0.95 
0,475
2
1,96  z z
0
2
0,475
2

 
   
 
z
1.
.06 
160 ; 5x cm cm 
Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có 
Bước 3: Độ chính xác của ước lượng 
0,95
2
5
. 1,96. 1, 225
64
z cm
n

   
Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình 
   ; 158,775 ;161, 225x x cm cm   
Ví dụ 1 
Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 1 ( và biết ) 30n 2
Hƣớng dẫn 
Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể 
Trƣờng hợp 2: Kích thƣớc mẫu phƣơng sai tổng thể chƣa biết 230,n
 
2
; .,    
s
z
n
X X
 Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy 
 3.2. Khoảng ước lượng một phía 
1
2
.
s
x z
n


 
 Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy 
1
2
.
s
x z
n


 

 Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy 
Trong một đợt khảo sát về chiều cao (đơn vị m) của các 
bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính – Marketing 
(UFM). Người ta chọn ngẫu nhiên 100 bạn sinh viên và 
nhận được kết quả cho trong bảng sau: 
Ví dụ 2A 
Chiều cao (1,4; 1,5] (1,5;1,6] (1,6;1,7] (1,7;1,8] (1,8;1,9] 
Số SV 10 25 40 15 10 
Hãy ƣớc lƣợng chiều cao trung bình của các bạn sinh 
viên UFM với độ tin cậy 95%? 
1,64 ; 0,1096x m s m 
Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có 
Bước 3: Độ chính xác của ước lượng 
0,95
2
0,1096
. 1,96. 0,0215
100
s
z m
n
   
Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình 
   ; 1,6185 ;1,6615   x x m m
Ví dụ 2A 
Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 2 ( và chưa biết ) 30n 2
Hƣớng dẫn 
Theo dõi doanh thu của một đại lý bán xăng dầu 
qua một số ngày thu được kết quả: 
Ví dụ 2B 
Doanh thu(triệu đồng) 11 12 13 14 15 
Số ngày 3 7 10 7 4 
Ƣớc lƣợng doanh thu trung bình tối thiểu của đại lý trên 
với độ tin cậy 95%? 
 Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể 
o
t
γ
1-γ
2
1-γ
2
-t 1-γ
2
(n-1) t 1-γ
2
(n-1)
  1
2
( 1; ).,     
s
t n
n
X X
 Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy 
Trƣờng hợp 3: tổng thể X có phân phối chuẩn với chƣa biết 230,n
 3.2. Khoảng ước lượng một phía 
 1 1 .
s
x t n
n
   
 Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy 
 1 1 .
s
x t n
n
   

 Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy 
 Một hãng sản xuất bóng đèn đã đưa vào thử 
nghiệm để xác định tuổi thọ trung bình. Chọn 
một mẫu 20 bóng đèn cùng loại để thực 
nghiệm. Tuổi thọ của 20 bóng đèn được cho 
trong bảng sau (đơn vị nghìn giờ): 
Giả sử tuổi thọ bóng đèn tuân theo luật phân phối 
chuẩn, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn 
với độ tin cậy 95%? 
Tuổi thọ (5 ;5,5] (5,5 ; 6] (6 ; 6,5] (6,5 ; 7] 
Số bóng đèn 3 6 7 4 
Ví dụ 3 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
n-1 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 
3.078 
1.886 
1.638 
1.533 
1.476 
1.440 
1.415 
1.397 
1.383 
1.372 
1.363 
1.356 
1.350 
1.345 
1.341 
1.337 
1.333 
1.330 
1.328 
1.325 
1.323 
1.321 
1.319 
1.318 
1.316 
1.315 
1.314 
1.313 
1.311 
1.310 
6.314 
2.920 
2.353 
2.132 
2.015 
1.943 
1.895 
1.860 
1.833 
1.812 
1.796 
1.782 
1.771 
1.761 
1.753 
1.746 
1.740 
1.734 
1.719 
1.725 
1.721 
1.717 
1.714 
1.711 
1.708 
1.706 
1.703 
1.701 
1.699 
1.697 
12.706 
4.303 
3.182 
2.776 
2.571 
2.447 
2.365 
2.306 
2.262 
2.228 
2.201 
2.179 
2.160 
2.145 
2.131 
2.120 
2.110 
2.101 
2.093 
2.086 
2.080 
2.074 
2.069 
2.064 
2.060 
2.056 
2.052 
2.048 
2.045 
2.042 
31.821 
6.965 
4.541 
3.747 
3.365 
3.143 
2.998 
2.896 
2.821 
2.764 
2.718 
2.861 
2.650 
2.624 
2.602 
2.583 
2.567 
2.552 
2.539 
2.528 
2.518 
2.508 
2.500 
2.492 
2.485 
2.479 
2.473 
2.467 
2.462 
2.457 
63.675 
9.925 
5.841 
4.604 
4.032 
3.707 
3.499 
3.355 
3.250 
3.169 
3.106 
3.055 
3.012 
2.977 
2.947 
2.921 
2.898 
2.878 
2.861 
2.845 
2.831 
2.819 
2.807 
2.797 
2.787 
2.779 
2.771 
2.763 
2.756 
2.750 
66.619 
22.326 
10.213 
7.173 
5.893 
5.208 
4.785 
4.501 
4.297 
4.144 
4.025 
3.930 
3.852 
3.787 
3.733 
3.686 
3.646 
3.610 
3.579 
3.552 
3.527 
3.505 
3.485 
3.467 
3.450 
3.435 
3.421 
3.408 
3.396 
3.385 
 ( 1)   P T t n
Hướng dẫn tra bảng 4 
 Bảng 4 
Bảng phân vị Student 
n bậc tự do 
95%; 1 19   n
1 0,025
2
(19) (19) t t
0,025(19) 2,093.t
 0,025(19) 0,025 P T t 1 
0,025 
2, 3 
Ví dụ 3 
Bƣớc 1. 
Bƣớc 2. 
Thuộc trường hợp 3 ( , chưa biết và có pp chuẩn) 30n  2 X
Từ mẫu tính các giá trị 
6,05; 0,497. x s
1
2
0,497
( 1). 2,093. 0,233
20
    
s
t n
n
Bƣớc 3. Độ chính xác 
Bƣớc 4. Khoảng ước lượng cho trung bình với độ tin cậy 95% 
   ; 5,817;6,283 .x x    Nghìn giờ 
Hƣớng dẫn 
Các bƣớc tìm khoảng ƣớc lƣợng cho trung bình tổng thể 
Bước 1: Nhận dạng bài toán. 
x s
Bước 2: Tính toán dựa trên mẫu 
, tính nếu chưa biết phương sai. 
Bước 3: Tính độ chính xác 
. 
Bước 4: Kết luận khoảng tin cậy cho trung bình 
 ,x x  
 Bƣớc 1 
Trƣờng hợp 1 
Biết và 
Hoặc 
Biết , 
 và X pp chuẩn 
Trƣờng hợp 2 
Chƣa biết 2 
và n  30 
Trƣờng hợp 3 
Chƣa biết 2, 
 n < 30 
và X pp chuẩn 
Bƣớc 2 
Bƣớc 3 
Bƣớc 4 
 Bảng tóm tắt kiến thức 
z
n


 
2
x
2
s
z
n
 
,x s
1
2
( 1)
s
t n
n
  
   ;x x
,x s
30n 
2 30n 
2
T.H Điều kiện Bài toán ước 
lượng 
Khoảng ước lượng Giá trị  
Biết 
 
 30n 
Hai phía 
Tối thiểu (pp) 
Tối đa (pt) 
 
 
 
 


 
 
 
;
,
;
x x
x
x
2
1
2
1
2
z
n
z
n
z
n














   
 



2
30
;
n
X N
Chưa 
biết 
 
 30n 
Hai phía 
Tối thiểu 
Tối đa 
 
 
 
 


 
 
 
;
,
;
x x
x
x
2
1
2
1
2
s
z
n
s
z
n
s
z
n











  
 



2
30
;
n
X N
Hai phía 
Tối thiểu 
Tối đa 
 
 
 
 


 
 
 
;
,
;
x x
x
x
 
 
 
1
2
1
1
1
1
1
s
t n
n
s
t n
n
s
t n
n









 
 
 
Đề bài: Điều tra năng suất lúa (tấn/ha) trên diện tích 90 
hecta trồng lúa của một vùng, người ta thu được bảng số 
liệu sau: 
Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình ở vùng đó với độ 
tin cậy 97%? 
Năng suất 5,5 5,7 5,8 6,0 6,2 6,4 6,5 
Số hecta 8 17 25 12 13 10 5 
 XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!