Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Trần Anh Tuấn

c lượng phương sai
1.3. Tính chất của ước lượng điểm
1.3.1. Ước lượng không chệch
θ∗ được gọi là ước lượng không chệch của θ, nếu E(θ∗) = θ.
Ngược lại, nếu E(θ∗) 6= θ, thì ta nói θ∗ là ước lượng chệch của θ.
Ví dụ 5.2
1 X là ước lượng không chệch của µ vì E(X) = µ.
2 S′2 là ước lượng không chệch của σ2 vì E(S′2) = σ2.
3 f là ước lượng không chệch của p vì E(f) = p.
4 S2 là ước lượng chệch của σ2 vì E(S2) =
n− 1
n
σ2.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
1.3.2. Ước lượng vững
θ∗ được gọi là ước lượng vững của θ, nếu θ∗ hội tụ xác suất đến θ.
Tức là, với mọi ε > 0 thì lim
n→∞P (|θ
∗ − θ| < ε) = 1.
Kí hiệu : θ∗ P−→ θ.
Ví dụ 5.3
1 X là ước lượng vững của µ.
2 f là ước lượng vững của p.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
1.3.3. Ước lượng hiệu quả - Ước lượng không chệch tốt nhất
θ∗ được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu θ∗ là ước lượng không
chệch của θ và V ar(θ∗) là nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch
của θ.
Ví dụ 5.4
X là ước lượng hiệu quả của µ.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
1.4. Ước lượng khoảng
1.4.1. Khái niệm
Với độ tin cậy γ ∈ (0; 1) khá lớn.
Khoảng (θ∗1 ; θ
∗
2) được gọi là ước lượng khoảng (khoảng tin cậy) của θ
với độ tin cậy γ, nếu :
P (θ∗1 < θ < θ
∗
2) = γ
Và α = 1− γ được gọi là mức ý nghĩa của ước lượng.
Chú ý :
Nếu θ∗1 = −∞, thì (−∞; θ∗2) được gọi là khoảng tin cậy trái của θ
và θ∗2 gọi là ước lượng tối đa của θ.
Nếu θ∗2 = +∞, thì (θ∗1 ; +∞; ) được gọi là khoảng tin cậy phải của
θ và θ∗1 gọi là ước lượng tối thiểu của θ.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
1.4.2. Phương pháp xây dựng khoảng tin cậy
Từ đám đông, chọn mẫu W = (X1, X2, . . . , Xn).
Xây dựng thống kê G = f(X1, X2, . . . , Xn, θ) sao cho quy luật
phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định, không phụ thuộc
vào tham số θ.
Với mức ý nghĩa α = 1 − γ ∈ (0; 1) khá bé, xác định các phân vị
g1−α1 , gα2 , với α1, α2 ≥ 0, sao cho α1 + α2 = α, khi đó :
P (g1−α1 < G < gα2) = 1− α = γ.
Bằng biến đổi tương đương, ta được :
P (θ∗1 < θ < θ
∗
2) = 1− α = γ.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
§2. ƯỚC LƯỢNG KÌ VỌNG
TOÁN µ = E(X)
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
2.1. Trường hợp X ∼ N(µ;σ2), với σ2 đã biết
Do X ∼ N(µ;σ2)⇒ X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
⇒ U = X − µ
σ/
√
n
∼ N(0; 1).
2.1.1. Khoảng tin cậy đối xứng của µ
x
y
O
α
2
−uα
2
α
2
uα
2
1− α
Với α ∈ (0; 1), tìm được uα
2
thỏa
mãn :
P
(−uα
2
< U < uα
2
)
= 1− α.
Thay U , ta được
P
(
X − uα
2
σ√
n
< µ < X + uα
2
σ√
n
)
= 1− α.
Như vậy, khoảng tin cậy của µ là
(
X − ε;X + ε), với sai số ε = uα
2
σ√
n
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
Chú ý 1 :
Ta thường gặp các bài toán sau :
1 Biết n và γ = 1− α, tìm µ hoặc sai số ε = uα
2
σ√
n
.
2 Biết n và ε, tìm γ = 1− α, với uα
2
=
ε
√
n
σ
.
3 Biết ε và γ = 1− α, tìm được n =
(
uα
2
.
σ
ε
)2
.
Chú ý 2 :
Trong trường hợp µ đã biết, cần ước lượng X, thì ta có :
P (µ− ε < X < µ+ ε) = 1− α.
Như vậy, khoảng tin cậy của X là (µ− ε;µ+ ε).
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
2.1.2. Khoảng tin cậy phải (ước lượng giá trị tối thiểu)
x
y
O
α
uα
1− α
Với α ∈ (0; 1), ta tìm được uα thỏa
mãn
P (U < uα) = 1− α
⇔P
(
µ > X − uα σ√
n
)
= 1− α.
Như vậy, khoảng tin cậy phải của µ là
(
X − uα σ√
n
; +∞
)
và giá trị
tối thiểu của µ là X − uα σ√
n
.
Chú ý :
Từ trên, ta cũng có P
(
X < µ+ uα
σ√
n
)
= 1− α.
Như vậy, nếu µ đã biết thì ước lượng giá trị tối đa của X là µ+uα
σ√
n
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
2.1.3. Khoảng tin cậy trái (ước lượng giá trị tối đa)
x
y
O
α
−uα
1− α
Với α ∈ (0; 1), ta tìm được uα thỏa
mãn
P (U > −uα) = 1− α
⇔P
(
µ < X + uα
σ√
n
)
= 1− α.
Như vậy, khoảng tin cậy trái của µ là
(
−∞;X + uα σ√
n
)
và giá trị tối
đa của µ là X + uα
σ√
n
.
Chú ý :
Từ trên, ta cũng có P
(
X > µ− uα σ√
n
)
= 1− α.
Như vậy, nếu µ đã biết thì ước lượng giá trị tối thiểu củaX là µ−uα σ√
n
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
2.2. Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X,
nhưng n > 30
Do n > 30, nên X ' N
(
µ;
σ2
n
)
⇒ U = X − µσ√
n
' N(0; 1).
Với các bài toán 1, 2, các khoảng tin cậy đối xứng, khoảng tin cậy trái,
khoảng tin cậy phải làm tương tự như mục 2.1.
Chú ý :
1 Nếu σ chưa biết, nhưng do n > 30 nên ta chọn σ ≈ s′.
2 Riêng với bài toán 3 xác định kích thước mẫu, ta phải giả sử X có
quy luật phân phối chuẩn, rồi làm tương tự mục 2.1.1.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
2.3. Trường hợp X ∼ N(µ;σ2), với σ2 chưa biết
Do X ∼ N(µ;σ2)⇒ X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
⇒ T = X − µ
S′/
√
n
∼ T (n−1).
2.1.1. Khoảng tin cậy đối xứng của µ
x
y
O
α
2
−t(n−1)α
2
α
2
t
(n−1)
α
2
1− α
Với α ∈ (0; 1), tìm được t(n−1)α
2
thỏa
mãn :
P
(
−t(n−1)α
2
< T < t
(n−1)
α
2
)
= 1− α.
Thay T , ta được
P
(
X − t(n−1)α
2
S′√
n
< µ < X + t
(n−1)
α
2
S′√
n
)
= 1− α.
Khoảng tin cậy của µ là
(
X − ε;X + ε), với sai số ε = t(n−1)α
2
S′√
n
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
Chú ý :
Với bài toán 3 (tìm n), chúng ta dùng phương pháp lặp kép như sau :
Bước 1 : Điều tra một mẫu sơ bộ kích thước k ≥ 2 làW1 = (X1, X2, . . . , Xk).
Từ mẫu này ta tìm được S′2 và X.
Bước 2 : Giả sử mẫu cần tìm có kích thước n là W2 = (X1, X2, . . . , Xn).
Ta có :
T =
1
n
n∑
i=1
Xi − µ
S′/
√
n
∼ T (k−1).
Ta tìm được t(k−1)α/2 sao cho P
(
|T | < t(k−1)α/2
)
= 1− α, hay
P
(∣∣∣∣∣ 1n
n∑
i=1
Xi − µ
∣∣∣∣∣ < S′√nt(k−1)α/2
)
= 1− α.
Do đó, sai số ε =
S′√
n
t
(k−1)
α/2 ⇒ n =
(
S′
ε
t
(k−1)
α/2
)2
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
2.3.2. Khoảng tin cậy phải (ước lượng giá trị tối thiểu)
x
y
O
α
t
(n−1)
α
1− α
Với α ∈ (0; 1), ta tìm được t(n−1)α
thỏa mãn
P (T < t(n−1)α ) = 1− α
⇔P
(
µ > X − t(n−1)α
S′√
n
)
= 1− α.
Như vậy, khoảng tin cậy phải của µ là
(
X − t(n−1)α S
′
√
n
; +∞
)
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
2.3.3. Khoảng tin cậy trái (ước lượng giá trị tối đa)
x
y
O
α
−t(n−1)α
1− α
Với α ∈ (0; 1), ta tìm được t(n−1)α
thỏa mãn
P (T > −t(n−1)α ) = 1− α
⇔P
(
µ < X + t(n−1)α
S′√
n
)
= 1− α.
Như vậy, khoảng tin cậy trái của µ là
(
−∞;X + t(n−1)α S
′
√
n
)
.
Chú ý :
Nếu X ∼ N(µ;σ2), σ2 chưa biết và
[
n ≤ 30, sdụng tkê T ở mục 2.3.
n > 30, sdụng tkê U ở mục 2.1, với σ ≈ s′.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
§3. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
Xét một đám đông kích thước N , trong đó có M phần tử mang
dấu hiệu A. Kí hiệu tỉ lệ các phần tử mang dấu hiệu A trên đám
đông là p =
M
N
.
Để ước lượng p, từ đám đông ta lấy ra một mẫu kích thước n. Kí
hiệu nA là số phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu. Khi đó f =
nA
n
là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu.
Ta dùng f để đi ước lượng cho p.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
3.1. Khoảng tin cậy đối xứng
x
y
O
α
2
−uα
2
α
2
uα
2
1− α
Khi n khá lớn, thì f ' N
(
p;
pq
n
)
⇒
U =
f − p√
pq
n
' N(0; 1).
Với α ∈ (0; 1) cho trước, tìm được
uα
2
sao cho
P (−uα
2
< U < uα
2
) ≈ 1− α
⇔P (f − ε < p < f + ε) ≈ 1− α
với sai số ε =
√
pq
n
uα
2
.
Vậy, khoảng tin cậy của p là (f − ε; f + ε).
Do p chưa biết, n khá lớn, để tính ε, ta lấy p ≈ f, q ≈ 1− f .
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
Chú ý 1 :
Với bài toán 3, tìm kích thước mẫu n khi biết ε và γ = 1− α, ta phải
giả sử f có quy luật phân phối chuẩn.
Khi đó, ta cũng được n =
pqu2α
2
ε2
.
Có các khả năng sau có thể xảy ra :
1 Nếu biết p (hoặc f thì lấy p ≈ f), ta tìm được n.
2 Chưa biết p và f ta tính n qua công thức n =
u2α
2
4ε2
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
Chú ý 2 :
1 Nếu biết p, cần ước lượng f thì ta có :
P (p− ε < f < p+ ε) ≈ 1− α.
Từ đó, khoảng tin cậy của f là (p− ε; p+ ε).
2 Từ p =
M
N
, f =
nA
n
, với M,nA số phần tử mang dấu hiệu A trên
đám đông và mẫu tương ứng. Khi đó, ta cũng có các ước lượng
cho N,M,nA.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
3.2. Khoảng tin cậy phải (UL cho giá trị tối thiểu)
x
y
O
α
uα
1− α
Với α ∈ (0; 1), tìm được uα sao cho :
P (U < uα) ≈ 1− α
⇔P
(
p > f −
√
pq
n
.uα
)
≈ 1− α.
Vì p chưa biết, n khá lớn, nên p ≈ f, q ≈ 1− f . Ta có, khoảng tin cậy
phải của p là (
f −
√
f(1− f)
n
.uα; +∞
)
.
Ước lượng tối thiểu của p là f −
√
f(1− f)
n
.uα.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
3.3. Khoảng tin cậy trái (UL cho giá trị tối đa)
x
y
O
α
−uα
1− α
Với α ∈ (0; 1), tìm được uα sao cho :
P (U > −uα) ≈ 1− α
⇔P
(
p < f +
√
pq
n
.uα
)
≈ 1− α.
Vì p chưa biết, n khá lớn, nên p ≈ f, q ≈ 1− f . Ta có, khoảng tin cậy
trái của p là (
−∞; f +
√
f(1− f)
n
.uα
)
.
Ước lượng tối đa của p là f +
√
f(1− f)
n
.uα.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
Chú ý:
1 UL p−max⇔M −max⇔ N −min⇔ f −min⇔ nA −min.
2 UL p−min⇔M −min⇔ N −max⇔ f −max⇔ nA −max.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
§4. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI
CỦA ĐLNN PHÂN PHỐI CHUẨN
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
Giả sử ta cần nghiên cứu trên đám đông dấu hiệu X có phân phối
chuẩn, với σ2 - chưa biết.
Để ước lượng σ2, từ đám đông ta lấy ra một mẫuW = (X1, X2, . . . , Xn)
và từ mẫu tìm được S′2.
Dựa vào S′2 ta đi ước lượng cho σ2.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
4.1. Khoảng tin cậy hai phía
x
y
O
α
2
α
2
χ
2(n−1)
1−α2 χ
2(n−1)
α
2
1− α
Vì X ∼ N(µ;σ2) nên
χ2 =
(n− 1)S′2
σ2
∼ χ2(n−1).
Với α ∈ (0; 1), tìm được χ2(n−1)α
2
và
χ
2(n−1)
1−α2 sao cho :
P
(
χ
2(n−1)
1−α2 < χ
2 < χ
2(n−1)
α
2
)
= 1− α.
Thay biểu thức χ2 =
(n− 1)S′2
σ2
, ta được :
P
 (n− 1)S′2
χ
2(n−1)
α
2
< σ2 <
(n− 1)S′2
χ
2(n−1)
1−α2
 = 1− α.
Vậy, khoảng tin cậy của σ2 là
 (n− 1)S′2
χ
2(n−1)
α
2
;
(n− 1)S′2
χ
2(n−1)
1−α2
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
4.2. Khoảng tin cậy phải
x
y
O
α
χ
2(n−1)
α
1− α
Với α ∈ (0; 1), tìm được χ2(n−1)α sao
cho :
P
(
χ2 < χ2(n−1)α
)
= 1− α.
Biến đổi, ta được
P
(
σ2 >
(n− 1)S′2
χ
2(n−1)
α
)
= 1− α.
Vậy, khoảng tin cậy phải của σ2 là
(
(n− 1)S′2
χ
2(n−1)
α
; +∞
)
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm về ước lượng Ước lượng kì vọng toán Ước lượng tỉ lệ Ước lượng phương sai
4.3. Khoảng tin cậy trái
x
y
O
α
χ
2(n−1)
1−α
1− α
Với α ∈ (0; 1), tìm được χ2(n−1)1−α sao
cho :
P
(
χ2 > χ
2(n−1)
1−α
)
= 1− α.
Biến đổi, ta được
P
(
σ2 <
(n− 1)S′2
χ
2(n−1)
1−α
)
= 1− α.
Vậy, khoảng tin cậy phải của σ2 là
(
−∞; (n− 1)S
′2
χ
2(n−1)
1−α
)
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
Chương 6. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
1 Các khái niệm cơ bản
Giả thuyết thống kê
Tiêu chuẩn kiểm định
Miền bác bỏ
Các bước kiểm định
Các loại sai lầm
2 Kiểm định kì vọng toán
Trường hợp X ∼ N(µ;σ2), với σ2 đã biết
Trường hợp chưa biết quy luật phân phối của X, nhưng n > 30
Trường hợp X ∼ N(µ;σ2), σ2 chưa biết
3 Kiểm định tỉ lệ
4 Kiểm định phương sai
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
1.1. Giả thuyết thống kê
1 Giả thuyết về quy luật phân phối xác suất, về các tham số đặc
trưng, về tính độc lập của ĐLNN được gọi là giả thuyết thống kê,
kí hiệu là H0.
2 Một giả thuyết trái với H0 được gọi là đối thuyết, kí hiệu là H1.
Ví dụ :
Giả sử ĐLNN X có tham số θ. Từ một cơ sở nào đó ta tìm được θ = θ0
và coi đó là giả thuyết H0 : θ = θ0. Nghi ngờ tính đúng đắn của H0, ta
có thể xây dựng đối thuyết H1 như sau :
Bài toán 1. H1 : θ 6= θ0.
Bài toán 2. H1 : θ > θ0.
Bài toán 3. H1 : θ < θ0.
Các giả thuyết H0, H1 có thể đúng, có thể sai nên ta cần kiểm định
tính đúng sai của chúng. Việc kiểm định này được gọi là điểm định
giả thuyết thống kê.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
1.2. Tiêu chuẩn kiểm định
Từ mẫu W = (X1, X2, . . . , Xn), ta xây dựng thống kê
G = f(X1, X2, . . . , Xn, θ0)
thống kê G chứa θ0 và khi H0 đúng, thống kê G có quy luật phân phối
xác suất hoàn toàn xác định.
Khi đó, G được gọi là tiêu chuẩn kiểm định.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
1.3. Miền bác bỏ
Với mức ý nghĩa α ∈ (0; 1) khá bé, ta tìm được miền Wα, gọi là miền
bác bỏ, sao cho :
P
[
(G∈Wα)/H0
]
= α.
Nếu trong một lần lấy mẫu, G nhận giá trị cụ thể gtn sao cho :
gtn ∈Wα, bác bỏ H0 và chấp nhận H1.
gtn 6∈Wα, chưa đủ cơ sở bác bỏ H0.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
1.4. Các bước kiểm định
Để kiểm định một cặp giả thuyết thống kê ta tiến hành như sau :
1 Xác định bài toán kiểm định H0, H1.
2 Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định G.
3 Tìm miền bác bỏ Wα.
4 Tính giá trị gtn, và nếu kết luận.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
1.5. Các loại sai lầm
Có hai loại sai lầm như sau :
Sai lầm loại 1 : là sai lầm bác bỏ H0 khi H0 đúng.
Xác suất mắc sai lầm loại 1 bằng α.
Sai lầm loại 2 : là sai lầm chấp nhận H0 trong khi H0 sai.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
§2. KIỂM ĐỊNH KÌ VỌNG TOÁN
µ = E(X)
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
Bài toán : Từ một cơ sở nào đó, ta thu được giả thuyết H0 : µ = µ0.
Nghi ngờ tính đúng đắn của H0, ta đưa ra đối thuyết H1 và kiểm định
chúng.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
2.1. Trường hợp X ∼ N(µ;σ2), với σ2 đã biết
Do X ∼ N(µ;σ2)⇒ X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
.
Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định :
U =
X − µ0
σ/
√
n
.
Nếu H0 đúng thì U ∼ N(0; 1).
Bài toán 1 : {
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0.
Với α ∈ (0; 1), tìm được uα
2
sao cho P (|U | > uα
2
) = α.
Ta có, miền bác bỏ Wα =
{
utn : |utn| > uα2
}
.
Trong đó utn =
x− µ0
σ√
n
.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
Bài toán 2 : {
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0.
Với α ∈ (0; 1), tìm được uα sao cho P (U > uα) = α.
Ta có, miền bác bỏ Wα = {utn : utn > uα}.
Bài toán 3 : {
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0.
Với α ∈ (0; 1), tìm được uα sao cho P (U < −uα) = α.
Ta có, miền bác bỏ Wα = {utn : utn < −uα}.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
2.2. Trường hợp chưa biết quy luật phân phối của X,
nhưng n > 30
Do n > 30, nên X ' N
(
µ;
σ2
n
)
.
Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định :
U =
X − µ0
σ/
√
n
.
Nếu H0 đúng thì U ' N(0; 1).
Các bài toán 1, 2, 3 tiến hành như mục 2.1.
Nếu σ2 chưa biết, do n > 30 nên σ ≈ s′.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
2.3. Trường hợp X ∼ N(µ;σ2), σ2 chưa biết
TCKĐ Đối thuyết Xác suất Miền bác bỏ Wα
T =
X − µ0
S′√
n
,
nếu H0 đúng
thì T ∼ T (n−1)
H1 : µ 6= µ0 P
(
|T | > t(n−1)α
2
)
= α
{
ttn : |ttn| > t(n−1)α
2
}
H1 : µ > µ0 P
(
T > t
(n−1)
α
)
= α
{
ttn : ttn > t
(n−1)
α
}
H1 : µ < µ0 P
(
T < −t(n−1)α
)
= α
{
ttn : ttn < −t(n−1)α
}
Chú ý :
Nếu X ∼ N(µ;σ2), σ2 chưa biết và
[
n ≤ 30, sdụng tkê T ở mục 2.3.
n > 30, sdụng tkê U ở mục 2.1, với σ ≈ s′.
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
§3. KIỂM ĐỊNH TỈ LỆ
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
TCKĐ Đối thuyết Xác suất Miền bác bỏ Wα
U =
f − p0√
p0q0
n
,
nếu H0 đúng
thì U ' N(0; 1)
H1 : p 6= p0 P
(|U | > uα
2
) ≈ α {utn : |utn| > uα2 }
H1 : p > p0 P (U > uα) ≈ α {utn : utn > uα}
H1 : p < p0 P (U < −uα) ≈ α {utn : utn < −uα}
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
§4. KIỂM ĐỊNH PHƯƠNG SAI CỦA
ĐLNN PHÂN PHỐI CHUẨN
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán
Các khái niệm cơ bản Kiểm định kì vọng toán Kiểm định tỉ lệ Kiểm định phương sai
TCKĐ Đối thuyết Xác suất Miền bác bỏ Wα
χ2 =
(n− 1)S′2
σ20
,
nếu H0 đúng
thì χ2 ∼ χ2(n−1)
H1 : σ
2 6= σ20
P
[
(χ2 < χ
2(n−1)
1−α2 )
+(χ2 > χ
2(n−1)
α
2
)
]
= α
{
χ2tn : χ
2
tn < χ
2(n−1)
1−α2
or χ2tn > χ
2(n−1)
α
2
}
H1 : σ
2 > σ20 P
(
χ2 > χ
2(n−1)
α
)
= α
{
χ2tn : χ
2
tn > χ
2(n−1)
α
}
H1 : σ
2 < σ20 P
(
χ2 < χ
2(n−1)
1−α
)
= α
{
χ2tn : χ
2
tn < χ
2(n−1)
1−α
}
Trần Anh Tuấn Lí thuyết xác suất và thống kê Toán