Bài giảng môn Xác suất thống kê

.c b`˘ang ca´ch d¯ ’ua va`o ca´c trung b`ınh nho´m con lieˆn ti ´ˆep X i. Bi ’ˆeu d¯ `ˆo
cho bi ´ˆet qua´ tr`ınh d¯i ra ngoa`i s ’u. ki ’ˆem soa´t ’’o l `ˆan d¯ `ˆau tieˆn Xi khoˆng r ’oi va`o gi ’˜ua LCL
va` UCL.
• Vı´ du. 1 Moˆ. t nha` ma´y s ’an xu ´ˆat moˆ. t chi ti ´ˆet ma´y b`˘ang the´p co´ d¯ ’u ’`ong k´ınh la` d¯a. i l ’u ’o. ng
ng ˜ˆau nhieˆn co´ phaˆn ph ´ˆoi chu ’ˆan vo´i trung b`ınh 3mm va` d¯oˆ. leˆ. ch tieˆu chu ’ˆan 0, 1mm. Ca´c
m ˜ˆau lieˆn ti ´ˆep c’ua 4 chi ti ´ˆet co´ trung b`ınh m ˜ˆau t´ınh b`˘ang milimet nh ’u sau:
1. Bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t cho gia´ tri. trung binh 115
M ˜ˆau X M ˜ˆau X
1 3,01 6 3,02
2 2,97 7 3,10
3 3,12 8 3,14
4 2,99 9 3,09
5 3,03 10 3,20
Ha˜y k ´ˆet luaˆ. n v `ˆe s ’u. ki ’ˆem soa´t c ’ua qua´ tr`ınh.
Gi ’ai
Khi trong s ’u. ki ’ˆem soa´t ca´c d¯ ’u ’`ong k´ınh c’ua ca´c chi ti ´ˆet lieˆn ti ´ˆep co´ trung b`ınh µ = 3
va` d¯oˆ. leˆ.ch tieˆu chu ’ˆan σ = 0, 1. V ’´oi n = 4 th`ı ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t la`
LCL = 3− 3.1
4
= 2, 85, UCL = 3 +
3.1
4
= 3, 15
T ’`u m ˜ˆau s ´ˆo 6 d¯ ´ˆen m ˜ˆau s ´ˆo 10 cho th ´ˆay d¯ ’u ’`ong k´ınh c’ua chi ti ´ˆet ma´y co´ xu h ’u ’´ong ta˘ng
va` ’’o m ˜ˆau s ´ˆo 10 th`ı d¯ ’u ’`ong k´ınh ’’o ph´ıa treˆn gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t treˆn. D¯i `ˆeu na`y cho ta
nhaˆ.n th ´ˆay b´˘at d¯ `ˆau t ’`u m ˜ˆau s ´ˆo 10 qua´ tr`ınh ra ngoa`i s ’u. ki ’ˆem soa´t va` d¯ ’u ’`ong k´ınh trung
b`ınh c’ua chi ti ´ˆet ma´y b´˘at d¯ `ˆau kha´c 3mm.
 Chu´ y´ Gi ’a s ’’u qua´ tr`ınh v ’`ua ra ngoa`i s ’u. ki ’ˆem soa´t b ’’oi s ’u. thay d¯ ’ˆoi gia´ tri. trung b`ınh
c’ua s ’an ph ’ˆam t ’`u µ t ’´oi µ+ a v ’´oi a > 0. Ph ’ai m ´ˆat bao laˆu t ’´oi khi bi ’ˆeu d¯ `ˆo nhaˆ.n th ´ˆay qua´
tr`ınh d¯i ra ngoa`i ki ’ˆem soa´t?
Ta th ´ˆay trung b`ınh c’ua nho´m con ’’o trong gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t n ´ˆeu
−3 < √nX − µ
σ
< 3
⇐⇒ −3− a
√
n
σ
<
√
n
X − µ
σ
− a
√
n
σ
< 3− a
√
n
σ
hay
−3− a
√
n
σ
<
√
n
X − µ− a
σ
< 3− a
√
n
σ
Vı` Xco´ phaˆn ph ´ˆoi chu ’ˆan v ’´oi trung b`ınh µ+ a va` ph ’u ’ong sai
σ2
n
neˆn
√
n
X − µ− a
σ
co´ phaˆn ph ´ˆoi chu ’ˆan ho´a. Xa´c su ´ˆat d¯ ’ˆe no´ r ’oi va` gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t la`
P
(
−3− a
√
n
σ
< Z < 3− a
√
n
σ
)
= φ
(
3− a
√
n
σ
)
− φ
(
−3− a
√
n
σ
)
≈ φ
(
3− a
√
n
σ
)
Do d¯o´ xa´c su ´ˆat d¯ ’ˆe no´ r ’oi ra ngoa`i x ´ˆap x ’i 1− φ(3− a
√
n
σ
).
116 Ch ’u ’ong 7. Ki ’ˆem tra ch ´ˆat l ’u ’ong s ’an ph ’ˆam
1.2 Tr ’u ’`ong h ’o.p ch ’ua bi ´ˆet µ va` σ
Ta se˜ ’u ’´oc l ’u ’o.ng µ va` σ b`˘ang ca´ch cho.n k nho´m con v ’´oi k ≥ 20 va` nk ≥ 100.
N ´ˆeu X i, i = 1, 2, . . . , k la` trung b`ınh c’ua nho´m con th ’´u i th`ı ta ’u ’´oc l ’u ’o.ng µ b ’’oi
X =
X1 + . . .+Xk
k
D¯ ’ˆe ’u ’´oc l ’u ’o.ng σ ta go. i Si la` d¯oˆ. leˆ.ch tieˆu chu ’ˆan m ˜ˆau c’ua nho´m th ’´u i (i = 1, 2, . . . , k),
t ’´uc la`
S1 =
√√√√ n∑
i=1
(Xi −X1)2
n− 1
S2 =
√√√√ n∑
i=1
(Xn+i −X2)2
n− 1
...
Sk =
√√√√ n∑
i=1
(X(k−1)n+i −Xk)2
n− 1
D¯a˘. t
S =
S1 + . . .+ Sk
k
Th ´ˆong keˆ S khoˆng la` ’u ’´oc l ’u ’o.ng khoˆng cheˆ.ch c ’ua σ v`ı E(S) 6= σ. D¯ ’ˆe chuy ’ˆen no´
tha`nh ’u ’´oc l ’u ’o.ng khoˆng cheˆ.ch c `ˆan ph ’ai t´ınh E(S). Ta co´
E(S) =
E(S1) + . . .+ E(Sk)
k
= E(S1) (7.1)
(do S1, . . . , Sk d¯oˆ. c laˆ.p va` co´ phaˆn ph ´ˆoi d¯ `ˆong nh ´ˆat neˆn co´ cu`ng gia´ tri. trung b`ınh).
D¯ ’ˆe t´ınh E(S1) ta du`ng ca´c k ´ˆet qu ’a sau:
* K ´ˆet qu ’a 1:
(n− 1)S21
σ2
=
n∑
i=1
(Xi −X)2
σ2
∈ χ2n−1 (7.2)
* K ´ˆet qu ’a 2: V ’´oi Y ∈ χ2n−1 th`ı
E(Y ) =
√
2
Γ(n2 )
Γn−12
(7.3)
Ta co´
E(Y ) =
+∞∫
0
√
yfχ2n−1(y)dy =
+∞∫
0
e−
y
2 .y
n−1
2 −1
2
n−1
2 Γ(n−12 )
dy =
+∞∫
0
e−
y
2 .y
n
2−1
2
n−1
2 .Γ(n−12 )
dy
1. Bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t cho gia´ tri. trung binh 117
D¯a˘. t x =
y
2
th`ı E(Y ) =
√
2 Γ(
n
2 )
Γn−12
.
Vı`
√(n− 1)S21
σ2
 = √n− 1E(S1)
σ
neˆn t ’`u (7.2) va` (7.3) ta co´
E(S1) =
√
2Γ(n2 )σ√
n− 1Γ(n−12 )
D¯a˘. t
c(n) =
√
2Γ(n2 )√
n− 1Γ(n−12 )
B’ang gia´ tri. c’ua c(n)
c(2)=0,7978849
c(3)=0,8862266
c(4)=0,9213181
c(5)=0,9399851
c(6)=0,9515332
c(7)=0,9593684
c(8)=0,9650309
c(9)=0,9693103
c(10)=0,9726596
th`ı theo (7.1) ta th ´ˆay
S
c(n)
la` ’u ’´oc l ’u ’o.ng khoˆng cheˆ.ch c’ua σ.
’U ’´oc l ’u ’o.ng cho µ va` σ ’’o treˆn ch ’i h ’o.p ly´ n ´ˆeu qua´ tr`ınh trong s ’u. ki ’ˆem soa´t.
Ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t trong tr ’u ’`ong h ’o.p na`y la`
LCL = X − 3S√
nc(n)
UCL = X +
3S√
nc(n)
Ta se˜ th ’u. c hieˆ.n vieˆ.c ki ’ˆem tra trung b`ınh c’ua ca´c nho´m con. N ´ˆeu nho´m con na`o ma`
gia´ tri. trung b`ınh khoˆng r ’oi va`o gi ’˜ua ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t th`ı ta loa. i ra va` th ’u. c hieˆ.n
’u ’´oc l ’u ’o.ng la. i. Ti ´ˆep tu. c ki ’ˆem tra l `ˆan n ’˜ua sao cho gia´ tri. trung b`ınh c’ua ca´c nho´m con
r ’oi va`o gi ’˜ua ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t. N ´ˆeu co´ qua´ nhi `ˆeu gia´ tri. trung b`ınh c’ua ca´c nho´m
con r ’oi ra ngoa`i ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t th`ı ro˜ ra`ng s ’u. ki ’ˆem soa´t khoˆng d¯ ’u ’o.c thi ´ˆet laˆ.p.
• Vı´ du. 2 Xe´t la. i v´ı du. (1) d ’u ’´oi gi ’a thi ´ˆet m ’´oi r`˘ang qua´ tr`ınh m ’´oi b ´˘at d¯ `ˆau v ’´oi µ va` σ
ch ’ua bi ´ˆet. Gi ’a s ’’u d¯oˆ. leˆ. ch tieˆu chu ’ˆan d¯ ’u ’o. c cho:
X S X S
1 3,01 0,12 6 3,02 0,08
2 2,97 0,14 7 3,10 0,15
3 3,12 0,08 8 3,14 0,16
4 2,99 0,11 9 3,09 0,13
5 3,03 0,09 10 3,20 0,16
Vı` X = 3, 067, S = 0, 122, c(4) = 0, 9213 neˆn ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t la`
LCL = 3, 067− 3× 0, 122
2× 0, 9213 = 2, 868
UCL = 3, 067 +
3× 0, 122
2× 0, 9213 = 3, 266
118 Ch ’u ’ong 7. Ki ’ˆem tra ch ´ˆat l ’u ’ong s ’an ph ’ˆam
Ta th ´ˆay t ´ˆat c ’a X i d¯ `ˆeu r ’oi va`o gi ’˜ua ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t neˆn co´ th ’ˆe xem qua´ tr`ınh
trong s ’u. ki ’ˆem soa´t v ’´oi µ = 3, 067 va` σ =
S
c(4) = 0, 1324.
Baˆy gi ’`o gi ’a s ’’u qua´ tr`ınh v ˜ˆan duy tr`ı trong s ’u. ki ’ˆem soa´t va` ca´c ’u ’´oc l ’u ’o.ng c’ua µ va`
σ la` d¯u´ng. V ´ˆan d¯ `ˆe d¯a˘. t ra la` xa´c d¯i.nh t ’y leˆ. s ’an ph ’ˆam r ’oi va`o 3± 0, 1.
Khi µ = 3, 067 va` σ = 0, 1324 ta co´
P (2, 9 ≤ X ≤ 3, 1) = P (2, 9− 3, 067
0, 1324
≤ X − 3, 067
0, 1324
≤ 3, 1− 3, 067
0, 1324
)
= Φ(0, 2492)− Φ(−1, 2613)
= 0,5984 -(1-0,8964)
= 0,4948
Vaˆ.y 49% ca´c s ’an ph ’ˆam r ’oi va`o 3± 0, 1.
2. BI ’ˆEU D¯ `ˆO KI ’ˆEM SOA´T S
Trong ph `ˆan na`y ta xaˆy d ’u. ng bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t s ’u. thay d¯ ’ˆoi ph ’u ’ong sai c ’ua t ’ˆong th ’ˆe.
Gi ’a s ’’u khi trong s ’u. ki ’ˆem soa´t, ca´c s ’an ph ’ˆam d¯ ’u ’o.c ta.o ra co´ d¯a˘. c tr ’ung d¯o d¯ ’u ’o.c la`
d¯a. i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhieˆn co´ phaˆn ph ´ˆoi chu ’ˆan v ’´oi trung b`ınh µ va` ph ’u ’ong sai σ2. N ´ˆeu Si la`
d¯oˆ. leˆ.ch tieˆu chu ’ˆan m ˜ˆau c’ua nho´m con th ’´u i th`ı
Si =
√√√√ n∑
j=1
(X(i−1)n+j −X i)2
n− 1
th`ı theo mu. c 1. ta co´
E(Si) = c(n)σ (7.4)
va`
V ar(Si) = E(S2i )− [E(Si)]2 (7.5)
= σ2 − c2(n)σ2 (7.6)
= σ2[1− c2(n)] (7.7)
(7.7) co´ t ’`u (7.2) va` d ’u. a va`o t´ınh ch ´ˆat ky` vo.ng c’ua d¯a. i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhieˆn co´ phaˆn ph ´ˆoi
”khi−b`ınh ph ’u ’ong” th`ı b`˘ang v ’´oi baˆ.c t ’u. do c’ua no´.
Khi trong s ’u. d¯i `ˆeu khi ’ˆen Si co´ phaˆn ph ´ˆoi c ’ua moˆ.t h`˘ang (b`˘ang
σ√
n−1) nhaˆn v ’´oi ca˘n
baˆ.c hai c ’ua d¯a. i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhieˆn co´ phaˆn ph ´ˆoi ”khi−b`ınh ph ’u ’ong” v ’´oi n− 1 baˆ.c t ’u. do.
Co´ th ’ˆe th ´ˆay Si ’’o trong d¯oˆ. leˆ.ch tieˆu chu ’ˆan 3 c’ua ky` vo.ng c’ua no´ v ’´oi xa´c su ´ˆat g `ˆan b`˘ang
1.
P
(
E(Si)− 3
√
V ar(Si) < Si < E(Si) + 3
√
V ar(Si)
)
≈ 0, 99
2. Bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t S 119
Du`ng coˆng th ’´uc (7.4) va` (7.5) cho E(Si) va` V ar(Si) th`ı ta co´ gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t
d ’u ’´oi va` gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t treˆn c ’ua bi ’ˆeu d¯ `ˆo S la`
LCL = σ[c(n)− 3
√
1− c2(n)]
UCL = σ[c(n) + 3
√
1− c2(n)]
Ca´c g´ıa tri. lieˆn ti ´ˆep c ’ua Si d¯ ’u ’o.c d¯ ’ua va`o d¯ ’am b ’ao chu´ng r ’oi va`o gi ’˜ua gi ’´oi ha.n ki ’ˆem
soa´t d ’u ’´oi va` gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t treˆn. Khi moˆ.t gia´ tri. r ’oi ra ngoa`i, qua´ tr`ınh ph ’ai d ’`ung
va` d¯ ’u ’o.c khai ba´o ra ngoa`i s ’u. ki ’ˆem soa´t.
 Chu´ y´ Khi σ ch ’ua bi ´ˆet, ta co´ th ’ˆe ’u ’´oc l ’u ’o.ng σ t ’`u Sc(n) . T ’u ’ong t ’u. nh ’u treˆn, ta co´ th ’ˆe
’u ’´oc l ’u ’o.ng ca´c gi ’´oi ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t
LCL = S
[
1− 3
√
1
c2(n)
− 1
]
UCL = S
[
1 + 3
√
1
c2(n)
− 1
]
Khi laˆ.p bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t X, ph ’ai ki ’ˆem tra r`˘ang k d¯oˆ. leˆ.ch tieˆu chu ’ˆan S1, S2, . . . , Sk
c ’ua ca´c nho´m con ph ’ai r ’oi va`o trong ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t. N ´ˆeu gia´ tri. na`o trong chu´ng
r ’oi ra ngoa`i th`ı loa. i b ’o nho´m con d¯o´ va` t´ınh la. i S.
• Vı´ du. 3 Ca´c gia´ tri. c ’ua X va` S c’ua 20 nho´m con k´ıch th ’u ’´oc 5 c’ua qua´ tr`ınh m ’´oi
b ´˘at d¯ `ˆau cho b ’’oi
Nho´m con X S Nho´m con X S Nho´m con X S
1 35,1 4,2 8 38,4 5,1 15 43,2 3,5
2 33,2 4,4 9 35,7 3,8 16 41,3 8,2
3 31,7 2,5 10 27,2 6,2 17 35,7 8,1
4 35,4 3,2 11 38,1 4,2 18 36,3 4,2
5 34,5 2,6 12 37,6 3,9 19 35,4 4,1
6 36,4 4,5 13 38,8 3,2 20 34,6 3,7
7 35,9 3,4 14 34,3 4,0
Vı` X = 35, 94, S = 4, 35, c(5) = 0, 9400 neˆn gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t d ’u ’´oi va` gi ’´oi ha.n
ki ’ˆem soa´t treˆn c ’ua X va` S la`
LCL(X) = 29, 731; UCL(X) = 42, 149
LCL(S) = −0, 386; UCL(S) = 9, 087
120 Ch ’u ’ong 7. Ki ’ˆem tra ch ´ˆat l ’u ’ong s ’an ph ’ˆam
Bi ’ˆeu d¯ `ˆo S
Bi ’ˆeu d¯ `ˆo X
Ta th ´ˆay X10 va` X15 r ’oi ra ngoa`i gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t c ’ua X neˆn ca´c nho´m con na`y
3. Bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t cho t ’y l .ˆe khi ´ˆem khuy ´ˆet 121
ph ’ai d¯ ’u ’o.c loa. i ra va` ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t ph ’ai d¯ ’u ’o.c t´ınh la. i. Vieˆ.c t´ınh la. i xem nh ’u
ba`i taˆ.p, ca´c ba.n t ’u. gi ’ai.
3. BI ’ˆEU D¯ `ˆO KI ’ˆEM SOA´T CHO T ’Y LEˆ. KHI ´ˆEM KHUY ´ˆET
Bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t X va` S d¯ ’u ’o.c du`ng khi d ’˜u lieˆ.u la` ca´c d¯a. i l ’u ’o.ng d¯o d¯ ’u ’o.c. Co´ tr ’u ’`ong
h ’o.p s ’an ph ’ˆam d¯ ’u ’o.c s ’an xu ´ˆat co´ d¯a˘. c tr ’ung v `ˆe ch ´ˆat (t´ınh ch ´ˆat na`o d¯o´) d¯ ’u ’o.c phaˆn loa. i
khoˆng x ’ay ra (ta go. i la` khuy ´ˆet) hoa˘.c x ’ay ra. Bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t cu˜ng d¯ ’u ’o.c du`ng cho
tr ’u ’`ong h ’o.p na`y.
Gi ’a s ’’u khi qua´ tr`ınh trong trong s ’u. ki ’ˆem soa´t m ˜ˆoi s ’an ph ’ˆam d¯ ’u ’o.c ta.o ra khuy ´ˆet moˆ.t
ca´ch d¯oˆ.c laˆ.p v ’´oi xa´c su ´ˆat p.
N ´ˆeu go. i X la` s ´ˆo s ’an ph ’ˆam khuy ´ˆet trong moˆ.t nho´m con k´ıch th ’u ’´oc n th`ı X la` d¯a. i
l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhieˆn co´ phaˆn ph ´ˆoi nhi. th ’´uc v ’´oi tham s ´ˆo n va` p.
N ´ˆeu F =
X
n
la` t ’y s ´ˆo c ’ua nho´m con bi. khuy ´ˆet th`ı trung b`ınh va` d¯oˆ. leˆ.ch tieˆu chu ’ˆan
c’ua no´ d¯ ’u ’o.c cho b ’’oi
E(F ) =
E(X)
n
=
np
n
= p
√
V ar(F ) =
√
V ar(X)
n2
=
√
np(1− p)
n2
=
√
p(1− p)
n
Do d¯o´ khi qua´ tr`ınh trong s ’u. ki ’ˆem soa´t t ’y leˆ. khuy ´ˆet trong moˆ.t nho´m con c’ua n s ’an
ph ’ˆam co´ xa´c su ´ˆat n`˘am gi ’˜ua ca´c gi ’´oi ha.n
LCL = p− 3
√
p(1− p)
n
; UCL = p+
√
p(1− p)
n
 Chu´ y´ Kı´ch th ’u ’´oc n c ’ua nho´m nho´m con th ’u ’`ong l ’´on h ’on nhi `ˆeu so v ’´oi ca´c gia´ tri.
tieˆu bi ’ˆeu t ’`u 4 d¯ ´ˆen 10 d¯ ’u ’o.c du`ng trong bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t X va` S. Ly´ do ch´ınh c’ua d¯i `ˆeu
na`y la` n ´ˆeu p nh ’o va` n la` k´ıch th ’u ’´oc khoˆng h ’o.p ly´ th`ı h `ˆau h ´ˆet ca´c nho´m con se˜ co´ khuy ´ˆet
zero thaˆ.m ch´ı khi qua´ tr`ınh ra ngoa`i s ’u. ki ’ˆem soa´t. Vı` vaˆ.y n ph ’ai d¯ ’u ’o.c cho.n l ’´on h ’on sao
cho np khoˆng g `ˆan 0 d¯ ’ˆe co´ th ’ˆe nhaˆ.n ra s ’u. thay d¯ ’ˆoi ch ´ˆat l ’u ’o.ng c’ua s ’an ph ’ˆam.
D¯ ’ˆe b ´˘at d¯ `ˆau bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t nh ’u vaˆ. t tr ’u ’´oc h ´ˆet ph ’ai ’u ’´oc l ’u ’o.ng p. Ta cho.n k nho´m
con v ’´oi k ≥ 20 va` go. i Fi la` t ’y s ´ˆo c ’ua nho´m th ’´u i bi. khuy ´ˆet. ’U ’´oc l ’u ’o.ng c’ua p cho b ’’oi
F =
F1 + . . .+ Fk
k
Vı` nFi b`˘ang s ´ˆo c ’ua ca´c khuy ´ˆet trong nho´m i neˆn co´ th ’ˆe xem
F =
nF1 + . . .+ nFk
k
=
t ’ˆong s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet trong t ´ˆat c ’a ca´c nho´m con
s ´ˆo s ’an ph ’ˆam trong ca´c nho´m con
122 Ch ’u ’ong 7. Ki ’ˆem tra ch ´ˆat l ’u ’ong s ’an ph ’ˆam
Gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t d ’u ’´oi va` gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t treˆn cho b ’’oi
LCL = F − 3
√
F (1− F )
n
; UCL = F + 3
√
F (1− F )
n
Baˆy gi ’`o ta ki ’ˆem tra xem t ’y s ´ˆo nho´m con F1, F2, . . . , Fk co´ r ’oi va`o gi ’˜ua ca´c gi ’´oi ha.n
ki ’ˆem soa´t khoˆng? N ´ˆeu gia´ tri. na`o r ’oi ra ngoa`i th`ı nho´m con t ’u ’ong ’´ung v ’´oi no´ se˜ bi. loa. i
b ’o va` F d¯ ’u ’o.c t´ınh la. i.
• Vı´ du. 4 Ca´c m ˜ˆau lieˆn ti ´ˆep c’ua 50 d¯inh ´ˆoc d¯ ’u ’o. c l ´ˆay ra t ’`u moˆ. t ma´y s ’an xu ´ˆat d¯inh ´ˆoc
t ’u. d¯oˆ. ng. M ˜ˆoi d¯inh ´ˆoc co´ t´ınh ch ´ˆat na`o d¯o´ma` ta quan taˆm no´ x ’ay ra hoa˘. c khoˆng x ’ay ra
khuy ´ˆet. Quan sa´t t´ınh ch ´ˆat treˆn 20 s ’an ph ’ˆam ta co´ k ´ˆet qu ’a sau:
Nho´m con Khuy ´ˆet F Nho´m con Khuy ´ˆet F
1 6 0.12 11 1 0.02
2 5 0.10 12 3 0.06
3 3 0.06 13 2 0.04
4 0 0.00 14 0 0.00
5 1 0.02 15 1 0.02
6 2 0.04 16 1 0.02
7 1 0.02 17 0 0.00
8 0 0.00 18 2 0.04
9 2 0.04 19 1 0.02
10 1 0.02 20 2 0.04
Ta co´
F =
T ’ˆong ca´c khuy ´ˆet
T ’ˆong ca´c s ’an ph ’ˆam
=
34
1000
= 0, 034
Do d¯o´
LCL = 0, 034− 3
√
0, 034.0.966
50
= −0, 0429
UCL = 0, 034 + 3
√
0, 034.0, 966
50
= 0, 1109
Vı` t ’y s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet trong nho´m d¯ `ˆau tieˆn r ’oi ra ngoa`i gi ’´oi ha.n treˆn neˆn ta loa. i nho´m
con na`y ra va` t´ınh la. i F nh ’usau:
F =
34− 6
950
= 0, 0295
Ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t m ’´oi la`
LCL = 0, 0295−
√
0, 0295(1− 0, 0295)
50
= −0, 0423
UCL = 0, 0295 + 3
√
0, 0295(1− 0, 0295)
50
= 0, 1013
Ta th ´ˆay ca´c nho´m con co`n la. i co´ t ’y s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet r ’oi va`o trong ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem
soa´t. Ta th ’`ua nhaˆ.n r`˘ang khi trong s ’u. ki ’ˆem soa´t t ’y s ´ˆo ca´c s ’an ph ’ˆam bi. khuy ´ˆet trong moˆ.t
nho´m con ph ’ai d ’u ’´oi 0,1013.
4. Bi
’
eˆu d¯ `ˆo s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet 123
4. BI ’ˆEU D¯ `ˆO S ´ˆO CA´C KHUY ´ˆET
Trong ph `ˆan na`y ta xe´t tr ’u ’`ong h ’o.p d ’˜u lieˆ.u bao g `ˆom s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet trong moˆ.t d¯ ’on vi. ch ’´ua
moˆ.t s ’an ph ’ˆam hoa˘.c moˆ.t nho´m ca´c s ’an ph ’ˆam. Vı´ du. s ´ˆo ca´c d¯inh ´ˆoc bi. khuy ´ˆet trong moˆ.t
ca´nh ma´y bay hoa˘.c s ´ˆo ca´c chip ma´y t´ınh bi. khuy ´ˆet d¯ ’u ’o.c s ’an xu ´ˆat c ’ua moˆ.t nha` ma´y.
Tr ’u ’`ong h ’o.p thoˆng th ’u ’`ong co´ moˆ.t s ´ˆo l ’´on ca´c s ’an ph ’ˆam bi. khuy ´ˆet, trong d¯o´ m ˜ˆoi s ’an ph ’ˆam
bi. khuy ´ˆet v ’´oi xa´c su ´ˆat nh ’o. Do do´ ta co´ th ’ˆe xem khi qua´ tr`ınh trong s ’u. ki ’ˆem soa´t th`ı
s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet co´ phaˆn ph ´ˆoi Poisson v ’´oi trung b`ınh λ.
Go. i Xi la` s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet trong d¯ ’on vi. th ’´u i. Vı` ph ’u ’ong sai c ’ua d¯a. i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhieˆn
co´ phaˆn ph ´ˆoi Poisson b`˘ang v ’´oi trung b`ınh c’ua no´ neˆn
E(Xi) = λ, V ar(Xi) = λ
Do d¯o´ khi trong s ’u. ki ’ˆem soa´t m ˜ˆoi Xi co´ xa´c su ´ˆat cao trong λ ± 3
√
λ. Vı` vaˆ.y gi ’´oi
ha.n ki ’ˆem soa´t d ’u ’´oi va` gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t treˆn cho b ’’oi
LCL = λ− 3
√
λ ; UCL = λ+ 3
√
λ
 Chu´ y´ Gi ´ˆong nh ’u ph `ˆan tr ’u ’´oc, khi bi ’ˆeu d¯ `ˆo ki ’ˆem soa´t b ´˘at d¯ `ˆau ma` λ ch ’ua bi ´ˆet ta cho.n
moˆ.t m ˜ˆau c’ua k d¯ ’on vi. va` ’u ’´oc l ’u ’o.ng λ b ’’oi
X =
X1 + . . .+Xk
k
Ta d¯ ’u ’o.c ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t d ’u ’´oi va` treˆn
X − 3
√
X; X + 3
√
X
N ´ˆeu t ´ˆat c ’a Xi, i = 1, . . . , k r ’oi va`o ph´ıa trong ca´c gi ’´oi ha.n na`y ta gi ’a thi ´ˆet qua´ tr`ınh
trong s ’u. ki ’ˆem soa´t v ’´oi λ = X. N ´ˆeu moˆ.t va`i gia´ tri. r ’oi ra ngoa`i th`ı ca´c gia´ tri. na`y bi. loa. i
b ’o va` ta t´ınh la. i X.
Trong tr ’u ’`ong h ’o.p s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet trung b`ınh treˆn s ’an ph ’ˆam nh ’o, ta k ´ˆet h ’o.p ca´c s ’an
ph ’ˆam la. i va` du`ng nh ’u d ’˜u lieˆ.u s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet n d¯a˜ cho. Vı` t ’ˆong c’ua ca´c d¯a. i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau
nhieˆn co´ phaˆn ph ´ˆoi Poisson cu˜ng la` d¯a. i l ’u ’o.ng ng ˜ˆau nhieˆn co´ phaˆn ph ´ˆoi Poisson v ’´oi cu`ng
trung b`ınh λ S ’u. k ´ˆet h ’o.p ca´c s ’an ph ’ˆam nh ’u vaˆ.y co´ ta´c du. ng khi s ´ˆo ca´c khuy ´ˆet treˆn s ’an
ph ’ˆam ı´t h ’on 25.
• Vı´ du. 5 S ´ˆo ca´c khuy ´ˆet sau d¯ ’u ’o. c pha´t hieˆ. n ta. i moˆ. t nha` ma´y treˆn ca´c d¯ ’on vi. c ’ua m ˜ˆoi
10 oˆ toˆ:
Oˆ toˆ Ca´c khuy ´ˆet Oˆ toˆ Ca´c khuy ´ˆet Oˆtoˆ Ca´c khuy ´ˆet
1 141 8 95 15 94
2 162 9 76 16 68
3 150 10 68 17 95
4 111 11 63 18 81
5 92 12 74 19 102
6 74 13 103 20 73
7 85 14 81
124 Ch ’u ’ong 7. Ki ’ˆem tra ch ´ˆat l ’u ’ong s ’an ph ’ˆam
Xe´t xem qua´ tr`ınh s ’an xu ´ˆat co´ trong s ’u. ki ’ˆem soa´t khoˆng?
Gi ’ai
Ta co´ X = 94, 4 neˆn ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t th ’’u la`
LCL = 94, 4− 3
√
94, 4 = 65, 25
UCL = 94, 4 + 3
√
94, 4 = 123, 55
Vı` ba gia´ tri. d ’˜u lieˆ.u d¯ `ˆau tieˆn l ’´on h ’on UCL neˆn chu´ng bi. loa. i d¯i va` trung b`ınh m ˜ˆau
d¯ ’u ’o.c t´ınh la. i. Ta d¯ ’u ’o.c
X =
94, 4.20− (141 + 162 + 150)
17
= 84, 41
va` ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t th ’’u m ’´oi la`
LCL = 84, 41− 3
√
84, 41 = 56, 85
UCL = 84, 41 + 3
√
84, 41 = 111, 97
Ta th ´ˆay 17 gia´ tri. d ’˜u lieˆ.u co`n la. i r ’oi va`o trong ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t. Do d¯o´ co´ th ’ˆe
no´i r`˘ang baˆy gi ’`o qua´ tr`ınh trong s ’u. ki ’ˆem soa´t v ’´oi gia´ tri. trung b`ınh 84, 41. Tuy nhieˆn
d ’u ’`ong nh ’u ca´c gia´ tri. trung b`ınh c’ua ca´c khuy ´ˆet cao t ’`u ban d¯ `ˆau tr ’u ’´oc khi ’ˆon d¯i.nh d¯ ’ˆe
d¯i va`o s ’u. ki ’ˆem soa´t, d ’u ’`ong nh ’u co´ v ’e tin t ’u ’’ong r`˘ang gia´ tri. d ’˜u lieˆ.u X4 cu˜ng cao tr ’u ’´oc
khi d¯i va`o s ’u. ki ’ˆem soa´t. Trong tr ’u ’`ong h ’o.p na`y,d¯ ’e thaˆ.n tro.ng ta loa. i b ’o X4 va` t´ınh la. i.
D ’u. a va`o vieˆ.c t´ınh la. i 16 d ’˜u lieˆ.u na`y ta nhaˆ.n d¯ ’u ’o.c
X = 82, 56
LCL = 82, 56− 3
√
82, 56 = 55, 30
UCL = 82, 56 + 3
√
82, 56 = 109, 82
va` qua´ tr`ınh trong s ’u. ki ’ˆem soa´t v ’´oi gia´ tri. trung b`ınh 82,56.
5. BA`I TAˆ. P
1. Xe´t ca´c d ’˜u lieˆ.u v `ˆe gia´ c ’ua 10 m ˜ˆau cho d ’u ’´oi d¯aˆy
5. Ba`i t .ˆap 125
M ˜ˆau Gia´
1 10,6 10,1 11,3 9,1
2 10,2 11,6 10,5 10,5
3 10,1 9,8 8,8 9,3
4 10,1 9,5 10,3 10,6
5 8,7 11,6 9,7 9,3
6 10,1 9,8 10,8 8,9
7 11,2 11,5 10,9 11,6
8 10,6 9,6 10,3 9,9
9 9,8 7,7 9,4 9,9
10 10,0 8,4 10,6 8,8
Ha˜y t`ım gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t treˆn va` gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t d ’u ’´oi cho X.
2. Gi ’a s ’’u ca´c s ’an ph ’ˆam d¯ ’u ’o.c s ’an xu ´ˆat co´ phaˆn ph ´ˆoi chu ’ˆan v ’´oi trung b`ınh 35 va` d¯oˆ.
leˆ.ch tieˆu chu ’ˆan 3. D¯ ’ˆe gia´m sa´t qua´ tr`ınh ta cho.n m ˜ˆau ca´c nho´m con k´ıch th ’u ’´oc 5.
Trung b`ınh c’ua 20 nho´m con d¯ `ˆau tieˆn cho b ’’oi b ’ang sau:
S ´ˆo nho´m con X S ´ˆo nho´m con X
1 34,0 11 35,8
2 31,6 12 35,8
3 30,8 13 34,0
4 33,0 14 35,0
5 35,0 15 33,8
6 32,2 16 31,6
7 33,0 17 33,0
8 32,6 18 33,2
9 33,8 19 31,8
10 35,8 20 35,6
H ’oi qua´ tr`ınh co´ trong s ’u. ki ’ˆem soa´t hay khoˆng?
3. Ca´c gia´ tri. c ’ua X va` S d¯ ´ˆoi v ’´oi 20 nho´m con k´ıch th ’u ’´oc 5 cho b ’’oi b ’ang sau
Nho´m con X S Nho´m con X S
1 33,8 5,1 11 29,7 5,1
2 37,2 5,4 12 31,6 5,3
3 40,4 6,1 13 38,4 5,8
4 39,3 5,5 14 40,2 6,4
5 41,1 5,2 15 35,6 4,8
6 40,4 4,8 16 36,4 4,6
7 35,0 5,0 17 37,2 6,1
8 36,1 4,1 18 31,3 5,7
9 38,2 7,3 19 33,6 5,5
10 32,4 6,6 20 36,7 4,2
a) Xa´c d¯i.nh ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t cho X.
b) Xa´c d¯i.nh ca´c gi ’´oi ha.n ki ’ˆem soa´t cho S.
126 Ch ’u ’ong 7. Ki ’ˆem tra ch ´ˆat l ’u ’ong s ’an ph ’ˆam
4. D ’˜u lieˆ.u sau gi ’´oi thieˆ.u s ´ˆo khi ´ˆem khuy ´ˆet c ’ua ”con chip” d¯ieˆ.n t ’’u d¯ ’u ’o.c s ’an xu ´ˆat trong
15 nga`y g `ˆan d¯aˆy: 121, 133, 98, 85, 101, 78, 66, 82, 90, 78, 85, 81, 100, 75, 89. Ha˜y
k ´ˆet luaˆ.n xem qua´ tr`ınh co´ trong s ’u. ki ’ˆem soa´t hay khoˆng? Ha˜y ch ’i ra ca´c gi ’´oi ha.n
ki ’ˆem soa´t cho ca´c s ’an ph ’ˆam trong t ’u ’ong lai?
•2 TR ’A L ’`OI BA`I TAˆ. P
1. 8,8292 ; 11,2458.
2. Khoˆng.
4. LCL = 57,5 ; UCL= 112,9.