Bài giảng Nền móng - Chương 3: Tinh toán móng nền - Nguyễn Hữu Thái

cao của móng.
- Dựa vào chỉ số độ mảnh có thể phân Dầm và Dải thành 3 loại:
3
010 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
≈
h
l
E
Et (3.1)
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
Khi t < 1 Dầm (Dải) cứng tuyệt đối.
Khi 1 ≤ t ≤ 10 Dầm (Dải) có chiều dài và độ cứng hữu hạn (Dầm, Dải ngắn).
Khi t > 10 Dầm (Dải) mềm (Dầm, Dải dài).
- Chỉ số (t) xét toàn diện mối tương quan của các yếu tố ảnh hưởng đến độ
mềm (hay độ cứng) của móng.
6
4II. Khái niệm về Mô Hình Nền và các loại MHN
1. KN về Mô hình nền
- Xét một móng dầm. Dưới tác dụng của tải trọng ngoài q(x) và phản lực nền p(x)
móng dầm bị uốn và độ võng của móng ω(x) được xác định bằng phương trình vi
phân trong môn SBVL:
)(4 xd ω
0
x
ω(x)
q(x)
- Phương trình (3.2) chứa 2 hàm số chưa biết là ω(x) và p(x). Với một phương trình,
bài toán sẽ không giải được.
- Để giải phương trình trên cần dựa vào điều kiện tương tác giữa móng và nền. Do
chúng luôn luôn tiếp xúc với nhau, ta có điều kiện tiếp xúc giữa đáy móng và mặt
nền sau khi lún là: ω(x) = S(x) (3.3)
)()(4 xpxqdx
EJ −= (3.2)
p(x)
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
- Đồng thời phải dùng một mô hình cơ học nào đó để mô tả tính biến dạng của nền
dưới tác dụng của lực, đó chính là quan hệ giữa độ lún của nền S(x) với áp lực đáy
móng (phản lực nền), nghĩa là:
S(x) = F1[p(x)] Hoặc p(x) = F2[S(x)] (3.4)
Các quan hệ (3.4) thể hiện cơ chế làm việc của nền dưới tác dụng của ngoại lực, và
được gọi là Mô Hình Nền.
7
2. Các loại MHN
a) MHN biến dạng cục bộ (mô hình Winkler)
- Cơ sở của mô hình: tại mỗi điểm tiếp xúc của dầm trên nền đàn hồi, áp suất trên
mặt nền (= phản lực nền p(x)) tỷ lệ bậc nhất với độ lún của nền S(x), nghĩa là:
p(x) = c . S(x) (3-3)
c: hệ số tỷ lệ, gọi là hệ số nền, trị số của nó bằng áp suất gây ra 1 đơn vị độ
lún nền có thứ nguyên là [p/1đ vị lún → kN/m3], . .
- Đối với dầm có chiều rộng b, biểu thức liên hệ là:
p(x) = b.c. S(x) (3-4)
hoặc b.c = k thì ta có:
p(x) = k . S(x) (3-5) 
p(x)
S(x)
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
- Nền đất tuân theo giả thiết Winkler gọi là nền Winkler, phương pháp tính toán dầm
trên nền (đàn hồi) Winkler, gọi là phương pháp hệ số nền.
Mô hình nền Winkler coi nền đất như một hệ các lò xo đặt thẳng đứng, dài
bằng nhau, có độ cứng c, làm việc độc lập với nhau. (Hình trên)
8
5- Nhược điểm chủ yếu của mô hình nền Winkler là ở chỗ nó không phản ánh được tính
phân phối của đất. Thực tế đất có tính dính và ma sát trong, nên khi chịu tải trọng cục bộ
nó có khả năng lôi kéo cả vùng đất xung quanh (ngoài phạm vi đặt tải) vào cùng làm việc
với phần đất ngay dưới tải trọng. Đặc tính ấy của đất được gọi là đặc tính phân phối
(xem Hình). Mô hình nền Winkler vì vậy còn gọi là mô hình nền biến dạng cục bộ.
P P
p(x) P
- Hệ số nền (c) là một thông số có tính quy ước, không có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Ngay
đối với một loại đất, hệ số nền (c) cũng không phải là một hằng số, nó biến đổi phụ thuộc
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
vào kích thước đáy móng.
Tuy vậy, mô hình Winkler vẫn được sử dụng nhiều trong thực tế do đơn giản trong
tính toán và nó thích hợp đối với một số trường hợp:
. Nền đất có tính ép co nhiều,
. Kích thước móng lớn so với chiều dầy vùng nền chịu nén,
Thí dụ: Móng băng giao nhau, tà vẹt đường sắt, cầu phao
9
b) MHN bán không gian biến dạng tổng thể
¾ Bài toán không gian:
- Nền đất được xem như một bán không gian biến dạng tuyến tính có giới hạn phía
trên là một mặt phẳng vô hạn với những đặc trưng là mô đun biến dạng Eo và hệ số
nở hông μo . Một tải trọng tập trung (P) tác dụng lên mặt nền, gây ra tại điểm (K)
trên mặt nền, cách điểm đặt lực một khoảng (r) một độ lún được xác định theo
công thức Butxinet:
r
P
E
S
0
2
01
π
μ−
= (3.6)
Đường lún 
Mặt nền
P
S
r
K
- Biểu thức (3.6) biểu diễn đường lún mặt nền có dạng đường cong hypecbol.
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
Eo và μo: mô đun biến dạng và hệ số nở hông của nền
P: tải trọng tác dụng tập trung
r: khoảng cách từ điểm xét đến điểm lực tác dụng.
S: độ lún của nền tại điểm xét
10
6¾ Bài toán phẳng:
- Nền đất được xem như một nửa lát phẳng biến dạng tuyến tính, lan ra vô cùng về 2
phía bên và phía dưới, chịu một tải trọng tập trung (P) tác dụng lên mặt nền.
- Để thuận tiện tính toán, thừa nhận rằng: bề dầy lát nền không nhỏ vô hạn mà bằng 1
đơn vị, khi đó lực tập trung (P) coi là phân bố đều thẳng đứng theo chiều dầy lát.
- Theo lời giải của Flamant, độ lún của điểm A so với điểm B là:
ể ể ễ ề ẳ
r
R
E
PS ln)1(2
0
2
0
π
μ−
= , (3.7) 1
P
Đường lún 
Mặt nền
P
S
r
A
B
R
∞ ∞
∞
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
- Bi u thức (3.7) bi u di n đường lún mặt n n (đ/với bài toán b/dạng ph ng) có dạng
đường cong logarit.
A: điểm tính lún; B: điểm gốc lún.
P: tải trọng tác dụng theo đường thẳng
r, R: khoảng cách từ điểm lực tác dụng đến điểm xét (A) và điểm gốc lún (B).
S: độ lún của nền (tại A).
11
¾ Nhận xét ưu, nhược điểm:
- Đã xét đến tính phân phối của đất (biến dạng của nền đất xảy ra cả ngoài điểm đặt
tải) vì vậy mô hình này còn gọi là mô hình nền biến dạng tổng thể.
- Nhược điểm chủ yếu của mô hình là đánh giá quá cao tính phân phối của đất vì
khi tính toán đã coi nền đất là môi trường đàn hồi, chiều sâu vùng chịu nén tới vô
hạn, cho nên dẫn đến biến dạng của mặt nền ra xa vô hạn.
§3.1 Khái niệm về móng mềm và mô hình nền (tiếp)
- Thực tế chiều sâu vùng chịu nén chỉ giới hạn ở một độ sâu nhất định (Ha) và độ
lún mặt nền sẽ tắt ở tại một điểm cách vị trí đặt tải chỉ một khoảng nhất định, tuỳ
theo loại đất, trạng thái của đất và trị số tải trọng. (Xem Hình).
p(x)
3
1
2
So sánh các đường lún mặt nền tương
ứng theo:
1- MHN Winkler; 2- MHN biến dạng tổng
thể; 3- Tài liệu thực đo
¾ Ứng dụng:
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
-Các trường hợp áp dụng:* Đất nền có tính nén ít và trung bình, * Lớp đất nền có
chiều dầy chịu nén lớn (Ha lớn), * Tính toán các loại móng bản, móng hộp, móng
băng.
-Nhiều nhà khoa học Nga (M.I. Gorbunôv - Pôxađôv, I.A. Ximvulidi, B.M.
Giêmôskin...) đã vận dụng MH này và đề xuất những phương pháp riêng, giải quyết
cho nhiều trường hợp tải trọng tác dụng khác nhau.
12
7c) MHN lớp không gian biến dạng tổng thể
¾ Mô hình là bước phát triển của mô hình nền nửa không gian biến dạng tổng
thể, nhưng đã xét đến chiều dầy lớp đất nền chịu nén (Ha).
- Trường hợp H > Ha thì lấy Ha để tính toán,
- Trường hợp H < H thì lấy H để tính toána .
¾ - Ưu điểm: phản lực nền tính theo mô hình này sát với thực tế hơn.
- Nhược điểm chủ yếu: coi vùng chịu nén Ha là hằng số nhưng thực ra Ha thay
đổi tuỳ theo điểm tính lún và việc tính toán khá phức tạp trong nhiều trường
hợp còn chưa giải quyết được
p(x)
3
1
2
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
H
Ha
13
Đường lún mặt nền theo
MHN lớp không gian biến
dạng tổng thể.
§3.2 Tính toán móng dầm theo mô hình nền 
biến dạng cục bộ (Winkler)
I. Phương trình vi phân cơ bản
ƒ Dầm có chiều dài 2l, chiều rộng b, chịu tác dụng tải trọng ngoàI q(x) đã biết và phản lực 
nền p(x) chưa biết. Hệ phương trình cơ bản gồm 3 phương trình sau:
)()()(4
4
xpxq
dx
xdEJ −=ω (3.2)
- Điều kiện tiếp xúc: ω(x) = S(x) (3.3)
- Nền được xem là nền Winkler: p(x) = bc.S(x) (3.4)
ƒ Thay (3.3), (3.4) vào phương trình (3.2) sẽ nhận được: . 
- phương trình vi phân trục võng của 
dầm :
)()(.)(4
4
xqxSbc
dx
xSdEJ =+ (3.10)
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
p(x)
q(x)
2l b
q(x)
p(x)
14
8ƒ Phương trình vi phân cơ bản của dầm trên nền Winkler chịu tác dụng tải trọng phân bố
đều, q(x)≠0 :
)()(.4)( 44
4
xqxS
dx
xSd
=+ α (3.13)
Chia cả hai vế cho E J và đặt , ta có:4
4EJ
bc
=α
EJ
xqxq )()( =
ƒ Phương trình vi phân cơ bản của dầm trên nền Winkler khi không có tải trọng phân bố
đều, q(x)=0 :
0)(.4)( 44
4
=+ xS
dx
xSd
α (3.14)
ƒ Phương hướng giải phương trình vi phân cơ bản:
- Với tải trọng tác dụng lên móng dầm đã biết, dựa vào điều kiện biên của bài toán, từ
phương trình (3 13) khi q(x) ≠ 0 hoặc (3 14) khi q(x) = 0 ta xác định được độ lún móng dầm
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
. . ,
S(x). Từ S(x) →x/định phản lực nền theo công thức (3.4), p(x) = bc.S(x);
ω(x) = S(x) →x/định θ(x), M(x), Q(x) theo các công thức đã c/m trong môn SBVL:
)()( x
dx
xd θω =
EJ
xM
dx
xd )()(
=
θ )()( xQ
dx
xdM
= )()()( xpxq
dx
xdQ
−=
15
ƒ Thực tế không có dầm dài vô hạn, nhưng nếu như hai đầu mút dầm cách điểm
đặt lực khá xa thì ta sẽ xem như là dầm dài vô hạn:
- có thể quy ước : khi α.ltr và α.lp > 2 ÷ 3 thì coi đủ xa để xem như là dầm dài vô
hạn; (ltr, lp khoảng cách từ điểm đặt lực đến mút trái, mút phải của dầm).
1. Móng Dầm dài vô hạn chịu một tải trọng tập trung P
II. Tính toán móng dầm dài vô hạn trên nền Winkler
ƒ Do tính đối xứng của bài toán, có thể cắt dầm làm đôi tại vị trí đặt lực P, xét nửa
bên phải dầm: Mặt cắt tại vị trí đặt tải có lực cắt Qo, mô men Mo để đảm bảo điều
kiện cân bằng ban đầu của dầm móng.
QoMo-∞ +∞
+∞-∞
P
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
ƒ Trong phạm vi 0 < x < ∞ không có tải trọng tác dụng, nên phương trình vi phân
có dạng (3.14), và nghiệm tổng quát của nó là:
S(x) = (C1cosαx + C2sinαx)eαx + (C3cosαx + C4sinαx)e-αx (3-15)
C1, C2, C3, C4 – những hằng số tích phân, cần xác định dựa vào đ/kiện biên.
16
9§3.2 Tính toán móng dầm theo mô hình nền biến dạng cục bộ (tiếp)
ƒ Giải phương trình (3.15): Thực chất là xác định các hằng số tích phân Ci
S(x) = (C1cosαx + C2sinαx)eαx + (C3cosαx + C4sinαx)e-αx (3-15)
Khi x = ∞, thì S(x) = 0 , do đó C1 = C2 = 0 → biểu thức (3.15) trở thành:
S(x) = (C3cosαx + C4sinαx)e-αx (3-16)
Khi x = 0, do tính đối xứng của bài toán, nên góc xoay θ(x) = 0 , ta có:
θ(x)=dS(x)/dx=[(C4-C3)cosαx - (C4+C3)sinαx)]e-αx = 0 (3.17)
→ C4=C3=C0 → S(x) = (cosαx + sinαx) C0e-αx (3-18)
Cũng tại x = 0, điểm đặt lực P, có lực cắt Q0 = P/2, ta có:
QoMo-∞ +∞
3
3
0
)(
dx
xSdEJQ = = 4EJ.α3C0 = P/2 . Do đó:
bc
P
EJ
PC
28 30
α
α
==
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
Thay vào (3.18), thu được công thức cuối cùng của S(x):
)sin(cos
.2
)( xxe
bc
PxS x ααα α += − (3.19)
17
ƒ Từ (3.19), x/định p(x) = bc.S(x); x/định M(x), Q(x) theo các công thức SBVL.,ta có:
)sin(cos
.2
)( xxe
bc
PxS x ααα α += − (3.19)
§3.2 Tính toán móng dầm theo mô hình nền biến dạng cục bộ (tiếp)
)sin(cos
2
)( xxePxp x ααα α += − (3.20)
)sin(cos
4
)()( 2
2
xxeP
dx
xSdEJxM x αα
α
α
−==
− (3.21)
xeP
dx
xSdEJxQ x αα cos
2
)()( 3
3
−
−== (3.22)
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
ƒ Zimmerman đưa ra các hàm sau:
η1 = e-αx(cosαx + sinαx) η3 = e-αx (cosαx - sinαx) 
η2 = e-αx sinαx η4 = e-αx cosαx 
18
10
ƒ Như vậy để tính toán dầm dài vô hạn chịu lực tập trung P, ta có các biểu thức viết 
thông qua các hàm Zimmerman:
)( αPS
+∞-∞
P
§3.2 Tính toán móng dầm theo mô hình nền biến dạng cục bộ (tiếp)
1.2
η
bc
x =
12
)( ηαPxp =
34
)( η
α
PxM =
(3.23)
)( PQ
M(x)
Q(x)
p( )
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
42
ηx −=x
19
ƒ Nhận xét: - biểu đồ phân bố M(x), p(x) có dạng đối xứng
- biểu đồ phân bố Q(x) có dạng phản đối xứng
2. Móng Dầm dài vô hạn chịu 
nhiều tải trọng tập trung Pi
ƒ Xét một dầm dài vô hạn 
chịu lực tập trung P1 P2 P3
+ ∞- ∞
P2
P1 P3
K
x
§3.2 Tính toán móng dầm theo mô hình nền biến dạng cục bộ (tiếp)
 , , 
cần xác định độ lún (S), 
phản lực (p), mô men (M), 
lực cắt (Q) tại một điểm K 
tuỳ ý.
ƒ Để giải, có thể áp dụng 
phương pháp đường ảnh 
của móng dầm dài vô hạn.
ƒ Khi vẽ các đường ảnh 
hưởng cần dựa vào các
P=1K
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
biểu thức (3-23) với P = 1 
đặt tại K . Chọn K làm gốc 
tọa độ. (xem Hình)
20
11
ƒ Thí dụ: Tính độ lún (S) tại điểm K do các lực tập trung P1, P2, P3 gây ra.
- Trước hết cần vẽ đường ảnh hưởng lún (đường lún của mặt nền do lực P = 1
đặt tại K gây ra như) (xem Hình).
Sau đó tính độ lún tại điểm K do các lực P1, P2, P3 gây ra theo công thức sau (dựa
theo nguyên lý cộng tác dụng):
SK = S1 P1 + S2 P2 + S3 P3 (3-24)
§3.2 Tính toán móng dầm theo mô hình nền biến dạng cục bộ (tiếp)
S1, S2, S3 : tung độ đường ảnh hưởng lún lấy tại các giá trị tương ứng x1, x2, x3
(khoảng cách từ các điểm đặt lực P1, P2, P3 đến điểm K. (xem Hình).
ƒ Việc tính toán (p, M, Q) cũng làm tương tự như tính độ lún (S) ở trên.
+ ∞
- ∞
P2
P1 P3
K
xx1
x2
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
x3
x
S1 S2
S3
P=1
21
§3.3 Tính toán dải móng theo mô hình 
bán không gian biến dạng tổng thể
I. Hệ phương trình cơ bản (đ/với bài toán biến dạng phẳng)
ƒ Một Dải có chiều dài 2l, chiều rộng b=1m, E, μ, chịu tác dụng tải trọng ngoàI q(x) đã biết
và phản lực nền p(x) chưa biết. Dải đặt trên nền đồng nhất, đẳng hướng với Eo và μo.
Cần x/định p(x), S(x); sau đó x/định nội lực trong dải móng M(x), Q(x).
ƒ Hệ phương trình cơ bản gồm 3 phương trình sau:
2l b=1
- Điều kiện tiếp xúc: ω(x) = S(x) (3.26)
- Phương trình vi phân trục võng của 
dầm :
)()()(
1 4
4
2 xpxqdx
xdEJ
−=
−
ω
μ (3.25)
- Mô Hình Nền theo lời giải Flamant: S(x) ~ p(x) (3.27)
2l
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
p(x)
q(x) q(x)
p(x)
p(x)
x
22
12
ƒ Trường hợp lực tập trung P tác dụng 
lên mặt nền, MHN là công thức (3.7)
r
R
E
PrS ln)1(2)(
0
2
0
π
μ−
= (3.7)
ƒ Trường hợp áp suất đáy móng là lực 
phân bố p(x):
r
Rdrxp
E
xdS ln.).()1(2)( 0
0
2
0
π
μ−
=
ƒ MHN là công thức (3.27):
2l
p(x) dr
r – Khoảng cách từ điểm tính lún K(x) tới phân 
tố lực dP=p(xo).dr, và xo = x+r
R – Khoảng cách từ điểm gốc lún đến điểm 
đặt lực dP. Coi điểm gốc lún ở rất xa 
móng, Š khi tích phân, R = const.
P r
R
(3.27)dr
r
Rxp
E
xS
xl
xl
∫
+
−
−
= ln)()1(2)( 0
0
2
0
π
μ
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
x
l
l+x l-x
l
K
rx
0
dP
Đường lún 
Mặt nền
S
A
B
∞ ∞
∞
23
§3.3 Tính toán dải móng theo mô hình bán không gian biến dạng tổng thể (tiếp)
ƒ Hệ phương trình cơ bản đầy đủ:
2l
p(x)
K
dr
0
dP
)()()(
1 4
4
2 xpxqdx
xdEJ
−=
−
ω
μ (3.25)
x
l
l+x l-x
l
rx
dr
r
Rxp
E
xS
xl
xl
∫
+
−
−
= ln)()1(2)( 0
0
2
0
π
μ (3.27)
ω(x) = S(x) (3.26)
ƒ Các phương pháp giải Hệ phương trình cơ bản: - Hiện nay có nhiều phương
pháp giải hệ phương trình trên, trong đó phổ biến nhất là:
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
- Biểu diễn phản lực nền p(x) dưới dạng một đa thức bậc 3 (Ximvulidi), hoặc
bậc n (Gorbunôp Pôxađôv)
- Phương pháp kết cấu: thay liên kết thực giữa dầm và nền bằng các gối tựa
tính toán (của Jemoskin). Khi đó bài toán tính dầm được thực hiện bằng việc
giải một hệ siêu tĩnh.
24
13
ƒ phản lực nền p(x) được giả thiết có dạng đa thức bậc n: 
p(ξ) = ao + a1ξ + a2ξ2 + . . . + anξn (3-28)
với:
ξ - biến số không thứ nguyên,
l - nửa chiều dài của dải, l
x
=ξ
II. Phương pháp M.I. Gorbunôp Poxadov
ai – các hệ số cần phải xác định.
ƒ Biểu diễn hệ phương trình cơ bản qua biến số và các đại lượng không thứ nguyên:
ω(ξ) = S(ξ) (3 26)
)]()([)(
1
4
4
4
2 ξξξ
ξω
μ
pql
d
dEJ
−=
−
(3.25)
;
l
x
=ξ ρρξξδρ dldr
l
x
l
R
l
r o
o .;;; =+====
ƒ Điều kiện cân bằng tĩnh: 
∫ ∫∑ =⇒≡ 1
1
1
1
)()(0 ξξξξ dqdpZ (3.29)
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
ρ
ρ
δξ
π
μξ
ξ
ξ
dp
E
lS ∫
+
−
−
=
1
1
0
0
2
0 ln)()1(2)( (3.27)
 .
− −
∫ ∫∑
− −
=⇒≡
1
1
1
1
.).(.).(0 ξξξξξξ dqdpM
(3.30)
25
ƒ Phương hướng giải hệ phương trình: 
- Thay (3.28), p(ξ) = ao + a1ξ + a2ξ2 + . . . + anξn , 
vào phương trình (3.25) và (3.27) và giải ra ta được:
ω(ξ) = Ao + A1ξ + A2ξ2 + . . . + Anξn (3.31)
S(ξ) = Bo + B1ξ + B2ξ2 + . . . + Bnξn (3.32)
trong đó Ai, Bi – các hàm chứa các hệ số ai.
Dựa vào điều kiện tiếp xúc (3 26) ω(ξ) = S(ξ) suy ra
Ao = Bo
A1 = B1
 =.
An = Bn
(3.33)
- . , , 
hệ các phương trình chứa ai, (3.33).
δμ ξl ∫
+12 )1(2
ω(ξ) = S(ξ) (3.26)
)]()([)(
1
4
4
4
2 ξξξ
ξω
μ
pql
d
dEJ
−=
−
(3.25)
- Sau đó thay (3.28) vào đ/kiện cân bằng 
tĩnh (3.29), (3.30) để được 2 phương trình 
nữa biểu diễn ai.
- p(ξ) là đa thức bậc n, có (n+1) hệ số ai, 
do đó cần (n+1) phương trình chứa ai.
- Như vậy hệ phương trình gồm:
ằ
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
ρ
ρ
ξ
π
ξ
ξ
dp
E
S
−
−
=
1
0
0
0 ln)()( (3.27) . 2 phương trình cân b ng tĩnh
. (n-1) phương trình lấy từ điều kiện tiếp 
xúc
ƒ Sau khi giải hệ p/trình vừa lập, tìm được các hệ số ai. Từ đó tính được:
p(ξ), S(ξ) và các nội lực M(ξ), Q(ξ)
26
14
ƒ Phương hướng dùng bảng của Gorbunop-Poxadov để giải bài toán tính Dải (hoặc Dầm):
Gorbunop-Poxadov đã lập sẵn các bảng biểu và thiết lập những biểu thức đơn giản để tính
nội lực :
Trị số 
nội lực
Dạng tải trọng
q(kN/m) P(kN) M(kN m)
Bảng 
các .
p(ξ) 
(kN/m) 
Q(ξ)
(kN)
M(ξ) 
(kN.m)
qp
l
Pp 2l
Mp±
qlQ
qlM 2
PQ± l
MQ
lPM MM±
là các trị số không thứ nguyên phụ thuộc vào các thông số như sau:QMS
K
0
l l
a x
x
biểu 
thức 
tính 
dải 
móng 
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
 , 
* Khi có lực phân bố đều q tác dụng: = f(t, ξ )
* Khi có lực tập trung P hoặc mô men M tác dụng: = f(t, ξ, α)
Trong đó, t- chỉ số mảnh xác định theo công thức (3-1). 
ξ - tọa độ tương đối của điểm tính toán
α - tọa độ tương đối của điểm đặt lực (P, M), 
QMpS ,,,
QMpS ,,,
p ,,,
l
a
=α
l
x
=ξ
27
ƒ Cách tra bảng để giải bài toán tính Dải : 
- Bảng 3-3: Dùng tính toán dải ngắn, trong trường hợp có tải trọng phân bố đều q.
- Bảng 3-4: Dùng tính toán dải ngắn, trong trường hợp có lực tập trung P.
- Bảng 3-5: Dùng tính toán dải ngắn, trong trường hợp có mômen M.
ố ấ
§3.3 Tính toán dải móng theo mô hình bán không gian biến dạng tổng thể (tiếp)
1) Đ i với các công thức (trong bảng) có d u (±) :- Khi tải trọng P, M đặt bên phải dải 
móng thì lấy ứng với dấu (+) ; ngược lại, thì lấy với dấu(-).
2) Dấu của tải trọng M : Khi M quay thuận chiều kim đồng hồ thì lấy dấu (+); ngược lại, 
lấy dấu (-).
3) Trong cả 3 trường hợp tác dụng của q, P, M, thì tại 2 đầu mút dải (ξ = ±1), 
4)- Khi nửa bên phải dải chịu tải trọng tập trung P, thì trị số trong bảng tại vị trí đặt 
tải (ξ=α) là trị số tính cho bên trái mặt cắt, , còn ở bên phải mặt cắt được tính theo 
công thức:
- Khi nửa bên trái dải chịu tải trọng tập trung P, thì ngược lại là trị số cho trong
∞=p
trQ
1−= trph QQ
Q
phQ
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG
bảng, còn bên trái mặt cắt theo công thức: 
- Khi nửa bên phải dải chịu mômen M tác dụng, thì tương tự P tác dụng, 
- Khi nửa bên trái dải chịu mômen M tác dụng, thì tương tự P tác dụng,
1−= phtr QQ
1+= trph MM
1+= phtr MM
28
15
ƒ Quy đinh dấu của biểu đồ p(ξ), M(ξ), Q(ξ): -Phía trên trục là (-); phía dưới trục là (+).
ƒ Khi dải bị uốn căng trên, biểu đồ M có dấu (-); khi dải căng dưới , biểu đồ M có dấu (+)
ƒ Khi tải trọng P quay thuận chiều kim đồng hồ, thì +Q; ngược lại, -Q
ƒ - Khi lực tác dụng là đối xứng (thường chọn gốc tọa độ là điểm ở giữa móng làm tâm 
§3.3 Tính toán dải móng theo mô hình bán không gian biến dạng tổng thể (tiếp)
đối xứng) thì các biểu đồ phản lực p, M, S là đối xứng, còn biểu đồ lực cắt Q là phản 
đối xứng. 
- Ngược lại, khi lực tác dụng là phản đối xứng, các biểu đồ p, M, S là phản đối xứng 
còn biểu đồ Q là đối xứng. 
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG 29
ƒ Bảng 3-3: 
Trường 
hợp tải 
trọng phân 
bố đều q
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG 30
16
ƒ Bảng 3-4: Trường hợp lực tập trung P tác dụng
1
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG 31
ƒ Bảng 3-5: Trường hợp mô men M tác dụng
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG 32
17
Kết thúc chương 3
NGUYỄN HỮU THÁI – NGÀNH ĐỊA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH NỀN MÓNG 33