Bài giảng Nguyên lý di chuyển khả dĩ

5-3) 
Biểu thức (15-3) biểu diễn nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ và đ−ợc phát 
biểu nh− sau : 
Khi hệ chuyển động các lực thực sự tác dụng lên hệ (kể cả nội lực và 
ngoại lực) cùng với lực quán tính của hệ tạo thành một hệ lực cân bằng. 
Hệ lực biểu diễn bởi biểu thức (15-3) là hệ lực bất kỳ trong không gian và 
vậy điều kiện cân bằng của hệ có thể viết nh− sau : 
 -221-
( )∑
=
=++N
1ki
qtk
e
k
i
k 0FFF
rrr
 ; 
[ ]∑
=
=++N
1ki
qtk0
e
k0
i
k0 0)F(m)F(m)F(m
rrrrrr
 . 
Vì nên ph−ơng trình còn lại : 0F
N
1ki
i
k =∑
=
r
( )∑
=
=+N
1ki
qte
k 0RF
rr
 ; 
[∑
=
=+N
1ki
qt
0
e
k0 0M)F(m
rrr ] (15-4) 
Trong đó qtR
r
 và là véc tơ chính và mô men chính lực quán tính của 
hệ. 
qt
0M
r
Nếu viết d−ới dạng hình chiếu ta có 6 ph−ơng trình sau : 
∑ =+ 0XX qtek ; 
∑ =+ 0YY qtek ; 
∑ =+ 0ZZ qtek ; 
∑ =+ 0M)F(m qtxekx ; 
∑ =+ 0M)F(m qtyeky ; 
∑ =+ 0M)F(m qtzekz . 
Trong đó : Xk
e, Yk
e , Zk
e , Xqt , Yqt , Zqt là các thành phần hình chiếu lên 
các trục oxyz của ngoại lực 0kF
r
 và véc tơ chính của lực quán tính qtR
r
 còn 
 và M)F(m),F(m),F(m ekz
e
ky
e
kx
rrr
x
qt , My
qt , Mz
qt là mô men đối với ba trục oxyz 
của ngoại lực và mô men chính của lực quán tính đối với ba trục. 0kF
r
Cũng nh− đối với chất điểm nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ cho ta 
ph−ơng pháp giải các bài toán động lực học cho hệ theo ph−ơng pháp tĩnh học và 
đ−ợc gọi là ph−ơng pháp tĩnh động....Ph−ơng pháp tĩnh động đ−ợc áp dụng rộng 
rãi để giải các bài toán động lực học đặc biệt là những bài toán xác định các 
phản lực liên kết. Khi sử dụng ph−ơng pháp khó khăn chính là việc xác định véc 
 -222-
tơ chính qtR
r
 và mô men chính, Mc
qt. Sau đây sẽ trình bày kết quả thu gọn hệ lực 
quán tính trong một số tr−ờng hợp đặc biệt. 
15.2.2. Thu gọn hệ lực quán tính 
15.2.2.1. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động tịnh tiến 
 Các chất điểm trong vật có gia tốc nh− nhau và bằng gia tốc khối tâm : 
. ( )n....1kWW ck == rr
Khi thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta đ−ợc : 
∑ −=−= cckqtc WMWmR rrr ; 
( ) ∑∑ ==−=−= 0WxrMWxmrWmmM cccckkkkcqtc rrrrrr . 
Vì 0rcc =r do ta chọn C làm tâm thu gọn. 
Nh− vậy trong tr−ờng hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của các lực 
quán tính bằng véc tơ chính c
qt
c WMR
rr −= và đi qua khối tâm C. 
15.2.2.2. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động quay quanh một 
trục cố định đi qua khối tâm C 
Gọi vận tốc và gia tốc của vật là ω và ε ta có : 
0WMWmR ckk
qt
c =−=−=∑ rrr vì 0Wc =r . 
( ) ( ) ( )qtnN
1k
cz
qtN
1k
cz
qt
N
1k
cz
qt
k FmFmFmM
rrr ∑∑∑
=τ==
+== . 
Các lực quán tính pháp tuyến luôn luôn đi qua trục quay do đó : 
( )∑ =
k
qt
ncz 0Fm
r
 . Ta có : 
( )∑ ∑
= τ
ε−=ε−== N
1k
ozkkk
qt
cz
qt
cz JdmdFmM
r
. 
Mcz
qt = - Jozε. 
Với Joz là mô men quán tính của vật đối với trục quay. 
Kết quả thu gọn hệ lực quán tính của hệ chuyển động quay quanh một trục 
đi qua khối tâm là : 
0Rqtc =
r
 và Mcz
qt = - Jozε. 
 -223-
15.2.2.3. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động song phẳng 
Theo động học chuyển động song phẳng của vật có thể phân tích thành hai 
chuyển động cơ bản là tĩnh tiến theo khối tâm và chuyển động quay quanh trục z 
đi qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng cơ sở. Thu gọn hệ lực quán tính với 
từng chuyển động cơ bản đó đã đ−ợc trình bày trong hai tr−ờng hợp trên. Dễ 
dàng nhận thấy khi thu gọn các lực quán tính của hệ chuyển động song phẳng có 
kết quả sau : 
c
qt
C WMR
rr −= và Mczqt = - Jozε. 
trong đó M và Joz là khối l−ợng và mô men quán tính của hệ đối với trục 
quay cz. Wc và ε là gia tốc khối tâm và gia tốc góc của hệ. 
Sau đây giải một số bài toán có vận dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho hệ. 
Thí dụ 15-3: 
Hai vật A và B có trọng l−ợng P1 và P2 liên kết với nhau bằng một sợi dây 
không dãn trọng l−ợng không đáng kể. Hai vật chuyển động trên mặt phẳng nằm 
ngang có hệ số ma sát f nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo ph−ơng ngang ( hình 
15-5 ). Xác định gia tốc của hai vật và lực căng của sợi dây. 
Bài giải : 
Xét hệ gồm cả hai vật. Các lực ngoài tác dụng lên hệ gồm trọng l−ợng 
, phản lực pháp tuyến 21 P,P
rr
21 N,N
rr
, lực ma sát tr−ợt 21 F,F
rr
 và lực kéo Q. 
N1 
F1 
qt
N2 
P2 
F2 
qt
F1 
B A Q
P1 
F2 
P2 
N2 
F2 
qt
T
F2 
 b)a) 
Hình 15.5 
Gọi lực quán tính đặt lên vật A và B là qt2
qt
1 F,F
rr
 ta có : 
2
2qt
21
1qt
1 Wg
PF;W
g
PF
rrrr −=−= 
 -224-
với WWW 21
rrr == . 
Theo nguyên lý Đa Lăm Be ta có : 
( ) 0F,F,Q,F,F,N,N,P,P qt2qt1212121 =rrrrrrrrr 
Các lực này đ−ợc biểu diễn trên hình (15-5a). Ph−ơng trình cân bằng theo 
ph−ơng trục ox nằm ngang viết đ−ợc: 
0FFFFQ 11
qt
2
qt
1 =−−−−
rrrr
, 
hay ( ) 0fPPW
g
PPQ 1212 =+−+−=
r
. 
Suy ra gia tốc hai vật : 
g.f
PP
QW
12
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+= 
Từ kết quả tìm đ−ợc nhận thấy vật chuyển động khi : 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+< 12 PP
Qf . 
Để tính lực căng T của dây ta phải tách một trong hai vật ra để xét chẳng 
hạn xét vật B. Các lực thực sự tác dụng lên vật B là : ( )T,Q,F,N,P 222 rrrr . lực quán 
tính là . Các lực này đ−ợc biểu diển trên hình (15-5b). qt2F
r
áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be ta có : 
( , P
r
N
r
, 2F
r
, , T , qtQ
r r
F
r
2 )∼ 0. 
Viết ph−ơng trình của hệ cân bằng này lên ph−ơng ngang ta có: 
Q - T - F2 - F2
qt = 0 
Q - T - p2.f - p2
g
w = 0 
Thay giá trị tìm đ−ợc của w vào ph−ơng trình trên tính đ−ợc : 
T = 
21
1
PP
QP
+ . 
Kết quả cho thấy lực căng của dây không phụ thuộc lực ma sát. 
 -225-
Thí dụ 15-4: 
Thanh đồng chất có chiều dài l, trọng l−ợng P
r
. Đầu A đ−ợc giữ bằng khớp 
bản lề và đầu B đ−ợc giữ bằng sợi dây (hình 15.6). Xác định lực căng của dây 
BD khi trục quay đều với vận tốc ω
T
r
o. 
Cho biết góc hợp bởi giữa thanh AB và trục quay AD là α. 
Bài giải: 
Xét chuyển động của thanh AB. Các lực ngoài tác dụng lên thanh là: 
Trọng lực P , phàn lực R
r r
A và lực căng T
r
 của dây. Gọi hợp lực của các lực quán 
tính là qtR
r
 . Theo nguyên lý Đa lam be ta có: 
 ( , ,P
r
T
r
R
r
A,R
 qtr )∼ 0. 
Ta có nhận xét: Lực quán tính F
r qt
k của các phần tử trên thanh có cùng 
ph−ơng chiều và tỷ lệ với toạ độ x của nó. k
y
A
yA 
xA 
P
→
x
ω2xdm 
Rn
E
EB
ωo 
D T
C 
α
Hình 15.8
h
Điều này cho phép vẽ biểu đồ phân bố 
các lực quán tính theo hình (15-6). Ta nhận 
thấy rằng hợp lực của hệ lực này R
r qt = M. 
W
r
c và đi qua trọng tâm của tam giác ABE, 
nghĩa là đi qua điểm F cách A một đoạn 
bằng 21/3. Dễ dàng tìm thấy ph−ơng trình 
cân bằng cho hệ lực: 
∑ =++−= 0RXTX qtA ; 
∑Y=YA - P = 0 ; 
2
1Pcos
3
2.Rcos.l.T)F(m qtiA −α−α=∑ 0sin =α
.Thay 2c
qt sin
2
l
g
PW.MR αω== và giải hệ ph−ơng trình trên ta đ−ợc : 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α+αω= tg
2
1sin
g3
lPT
2
0 ; 
PYA = và 20
2
0
A sin2
l
g
Ptg
2
1sin
g3
lPX αω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α+αω= . 
 -226-
Ch−ơng 16 
Ph−ơng trình tổng quát của động lực học - 
Ph−ơng trình lagrang loại 2 
16.1. Ph−ơng trình tổng quát của động lực học 
Nh− đã biết ở ch−ơng 12 và ch−ơng 13, nguyên lý Đa Lăm Be cho ta 
ph−ơng pháp tĩnh để giải quyết các bài toán động lực học, còn nguyên lý di 
chuyển khả dĩ cho ta ph−ơng pháp tổng quát giải các bài toán cân bằng của cơ hệ 
tự do. Kết hợp hai nguyên lý trên cho chúng ta thiết lập ph−ơng trình vi phân 
chuyển động của cơ hệ tự do gọi là ph−ơng trình tổng quát của động lực học. 
Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và lý t−ởng chuyển động d−ới tác dụng của 
các hoạt lực và phản lực liên kết. Gọi k
a
k N,F
rr
 là hoạt lực và phản lực liên kết tác 
dụng lên chất điểm Mk . Nguyên lý Đa Lăm Be cho chất điểm Mk có thể viết ; 
0WmNF kkkk =−+
rrr
. (a) 
Cho hệ di chuyển khả dĩ, gọi kr
r∂ là di chuyển của chất điểm Mk . Nhân hai 
vế của ph−ơng trình (a) với kr
r∂ ta đ−ợc 
0rWmrNrF kkkkkk
a
k =∂−∂+∂ r
rrrrr
. (b) 
Viết ph−ơng trình (b) cho tất cả các chất điểm trong hệ nghĩa là cho k = 1 
... N ta sẽ đ−ợc hệ N ph−ơng trình : 
0rWmrNrF 111111
a =∂−∂+∂ rrrrrr ; 
0rWmrNrF 222222
a =∂−∂+∂ rrrrrr ; 
.............................................. 
0rWmrNrF nnnnnn
a
n =∂−∂+∂ r
rrrrr
 . 
Tiến hành cộng vế với vế của hệ N ph−ơng trình trên ta đ−ợc : 
0rWmrNrF
N
1k
kkk
N
1k
kk
N
1k
k
a
k =∂−∂+∂ ∑∑∑
===
rrrrrr
 . (c) 
Vì liên kết đặt lên hệ là liên kết lý t−ởng nên số hàng thứ hai trong ph−ơng 
trình (c) triệt tiêu : . 0rN
N
1k
kk =∂∑
=
rr
 -227-
Cuối cùng ta có : 
0rWmrF
N
1k
kkk
N
1k
k
a
k =∂−∂ ∑∑
==
rrrr
Hay : 0r)WmF( kkk
N
1k
a
k =∂−∑
=
rrr
 (16-1) 
Ph−ơng trình (16-1) là ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ đ−ợc gọi 
là ph−ơng trình tổng quát của động lực học d−ới dạng véc tơ. 
Cũng có thể viết ph−ơng trình này d−ới dạng toạ độ Đề các sau đây. 
∑ ∑∑
= ==
=∂−+∂−+∂− N
1k
N
1k
kkk
a
kkkk
a
k
N
1k
kkk
a
k 0z)zmZ.(y)ymY.(x)xmX.(
rrr
 (16-2) 
Từ các ph−ơng trình tổng quát của động lực học ta thấy khi cơ hệ chịu liên 
kết dừng và lý t−ởng tổng vi phân công của các hoạt lực và các lực quán tính 
luôn luôn bằng không. Ta có : 
0A.A.
N
1k
qa
k
N
1k
a
k =∂+∂ ∑∑
==
 (16-3). 
Thí dụ 16-1 
Trục của bộ điều chỉnh ly tâm đặt 
thẳng đứng và quay với vận tốc góc ω 
(hình 16-1). Trọng l−ợng của mỗi quả 
văng là P1 = P2 = P. Trọng l−ợng của con 
tr−ợt CC1là Q. Xác địng góc α của thanh 
A1O1 và A2O2 hợp với trục quay là hàm 
theo vận tốc góc ω. Cho A1O1 = A2O2 = 
1; O1B1 = O2B2 = B1C1 = B2C2 = a 
Bài giải : 
Xem bộ điều chỉnh bao gồm quả 
văng A1A2 và con tr−ợt là một cơ hệ. Nếu 
bỏ qua lực ma sát ở các ổ trục và các 
khớp nối ta có thể xem cơ hệ này chịu liên kết dừng và lý t−ởng. Các hoạt lực tác 
dụng lên hệ bao gồm trọng l−ợng của các quả văng và con tr−ợt là 21 P,P
rr
 và Q. 
Khi hệ quay ổn định với vận tốc góc ω thì lực quán tính của hệ chỉ bao gồm các 
α
ω y
O1 O2 
Q3 
x
P1 
F1
n
A2 A1 
B2 B1 
C1 C2 
P2 
F2
n
Hình 16.1 
 -228-
lực quán tính ly tâm của hai quả văng. Do đối xứng các lực quán tính này 
có trị số bằng nhau và bằng : 
qt
2
qt
1 F,F
rr
αω== sinl
g
PFF 2qt2
qt
1
rr
 . 
Ph−ơng trình tổng quát của động lực học viết d−ới dạng toạ độ Đề các đã 
chọn nh− hình vẽ là : 
P1∂x1 + P2∂x2 - F1qt∂y1 + F2qt∂y2 + Q∂x0 = 0. 
Để xác định các biến phân của toạ độ từ hình vẽ ta có : 
x1 = x2 = lcosα ; 
y1 = -y2 = -lsinα ; 
xc = 2acosα. 
Suy ra: ∂x1 =∂x2 = -lsinα.∂α; 
 ∂y1 =-∂y2 = -lcosα.∂α; 
 ∂xc = -2a.sinα.∂α; 
Thay các kết quả vừa tìm đ−ợc vào ph−ơng trình thiết lập ở trên : 
0sin.Q2cosl.sinl
g
P2sina2.P2 2 =α∂α−α∂ααω+α∂α− . 
Suy ra : 
g
Pl
QaPlcos 22ω
+=α , 
Hay : g
Pl
QaPlarccos 22ω
+=α . 
Vì cosα ≤ 1 nên cũng từ kết quả này suy ra : 
g
Pl
QaPl
22
2
ω
+≥ω . 
Để có góc tách α cho tr−ớc vận tốc góc của trục bao giờ cũng lớn hơn 
hoặc bằng g
Pl
QaPl
22ω
+
. 
 -229-
Thí dụ 16-2 
Cơ cấu nâng hạ có kết cấu biểu 
diễn trên hình (16-2). Bánh xe 1 có 
trọng P1, bán kính quán tính ρ1. Bánh xe 
2 có trọng P2, bán kính quán tính ρ2. Xác 
định gia tốc của vật nặng A có trọng 
l−ợng Q khi ta tác động lên bánh xe một 
mô men quay M. 
Bài giải : 
Xét hệ gồm bánh xe 1, bánh xe 2 
và vật nặng A. Coi ma sát trong trục 
bánh xe là không đáng kể thì liên kết đặt lên hệ là liên kết dừng và lý t−ởng. 
Ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ đ−ợc viết d−ới dạng ph−ơng trình tổng 
quát của động lực học. 
2
M2
qt
M
1
Mt
qt
δϕ1 δϕ2 
ε2 
ε1 
A
δs1 ω1 
Q
FA
qt
Hình 16.2 
0rWm.rF.
N
1k
kkk
n
1k
k
a
k =∂−∂ ∑∑
==
rrr
Hoạt lực tác dụng lên hệ bao gồm mô men M và các trọng lực . Q,P,P 21
rr
Khi hệ chuyển động, các lực quán tính tác dụng lên hệ bao gồm . qt2
qt
1
qt
A M,M,F
r
Lực quán tính của vật A có thể xác định : A
qt
A Wg
QF
rr −= 
Các mô men lực quán tính của bánh xe 2
2
2
2qt
21
2
1
1qt
1 g
PM;
g
PM ερ=ερ= . 
ở đây là gia tốc của vật A ; εAW
r
1 và ε2 là gia tốc của góc của bánh xe 1 
và 2. Theo kết cấu của hệ ta có: A
2
1
2
A
1 Wrr
r;
r
W =ε=ε . 
Cho hệ một di chuyển khả dĩ với di chuyển ∂sA của vật A làm cơ sở. Theo 
kết cấu ta cũng suy ra di chuyển của các bánh xe là : 
r
s
r
r
r
r;
r
s A
2
1
2
1
2
A
1
∂=ϕ∂=ϕ∂∂=ϕ∂ 
Ph−ơng trình tổng quát của hệ động lực học viết cụ thể sẽ là : 
 -230-
- 0
r
s
r
r
Ms
rr
r
g
P
r
s
g
P
sW
g
QsQ A
2
1
A
2
1
2
2
2
2A
1
2
1
1
AAA =
∂+∂ερ−∂ερ−∂−∂ . 
Hay : 0
rr
rMW
rr
r
g
P
r
W
g
P)
g
W1(Q
2
1
A2
2
2
2
12
2
2
2
A2
1
1A =+ρ−ρ−−− . 
Suy ra : 
12
2
2
1
2
2
2
1
2
1
A
P
r
r
r
P
r
rQ
rQM
r
r
W ρ+ρ+
−
= . 
16.2. Ph−ơng trình Lagrang loại II 
Ph−ơng trình trình tổng quát của động lực học viết d−ới dạng toạ độ suy 
rộng d−ợc gọi là ph−ơng trình Lagrang loại 2. 
Xét hệ chịu liên kết dừng và lý t−ởng. Ph−ơng trình tổng quát của hệ là : 
,0r)WmF.(
N
1k
kkk
a
k =∂=∑
=
rrr
 hay : .0rWm.rF.
N
1k
kkk
N
1k
k
a
k =∂−∂ ∑∑
==
rrrr
Nh− đã biết ở ch−ơng 14 ta có thể thay : ∑∑
==
∂=∂ m
1j
jj
N
1k
k
a
k qQ.rF.
rr
ở đây Qj là lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj . 
Để có ph−ơng trình Lagrang loại 2 ta còn phải biến đổi trực tiếp số hạng 
 sang toạ độ suy rộng. ta có : ∑
=
∂N
1k
kkk rWm.
rr
.q)
q
rWm.()q
q
r.(Wm.rWm. j
m
1j j
k
N
1k
kk
N
1k
m
1j
j
j
k
kk
N
1k
kkk ∂∂
∂=∂∂
∂=∂ ∑ ∑∑ ∑∑
= == ==
rrrrrr
ở trên đã thay : )
t
rq
q
r.......q
q
rq
q
r(r kj
m
k
j
2
k
j
1
k
k ∂
∂+∂∂
∂+∂∂
∂+∂∂
∂=∂
rrr
Đặt 
j
k
N
1k
kk q
r
Wm ∂
∂∑
=
rr
 = Zj ta sẽ đ−a ph−ơng trình về dạng:
∑∑
==
∂=∂ m
1j
jj
N
1k
kkk qZ.rWm.
rr
Sau đây tìm biểu thức của Zj : 
 -231-
∑∑∑
=== ∂
∂−∂
∂=∂
∂= N
1k 1
k
kk
1
k
N
1k
kk
N
1k 1
k
kkj )q
r(
dt
dvm.
q
rvm.(
dt
d
q
rWm.Z
rrrrrr
 . 
Thay ;
t
r
q
q
r
......q
q
r
q
q
r
dt
rd
v km
1
k
2
1
k
1
1
kk
k ∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂==
r
&
r
&
r
&
rrr
.
t
r
q
q
r
v
m
1j
k
j
j
k
k ∑= ∂
∂+∂
∂=
r
&
rr
Từ kết quả này suy ra hai biểu thức sau : 
j
k
j
k
q
v
q
r
&
rr
∂
∂=∂
∂
 (e) 
Thay : 
1
k
2
m
mj
k
2
2
2j
k
2
1
1j
k
2
j
k
qt
r
q
qq
r
........q
qq
r
q
qq
r
)
q
r
(
dt
d
∂∂
∂+∂∂
∂++∂∂
∂+∂∂
∂=∂
∂ r&
r
&
r
&
rr
∑∑
== ∂
∂=∂
∂+∂
∂
∂
∂=∂∂
∂+∂∂
∂= m
1j j
kk
j
j
k
j
m
1j j
k
2
j
jj
k
2
q
v
)
t
r
q
q
r
.(
qqt
r
q
qq
r
.
rr
&
rr
&
r
Suy ra : .
q
v)
q
r(
dt
d
j
k
j
k
∂
∂=∂
∂ rr
 (g) 
Thay kết quả tìm đ−ợc từ biểu thức (e) và (g) vào biểu thức của Zj ta đ−ợc : 
∑ ∑
= = ∂
∂−∂
∂= N
1k j
k
N
1k
kk
j
k
kkj ;q
v
vm.)
q
v
vm.(
dt
dZ
rr
&
rr
∑ ∑
= ∂
∂
∂
∂= N
1k
2
k
k
j
2
k
kk
j
.)
2
v
m.(
q
.
2
v
vm.(
q
.
dt
d r
& 
Hay : 
jj
j q
T)
q
T(
dt
dZ ∂
∂−∂
∂= & 
Thay kết quả tìm đ−ợc vào ph−ơng trình (d) ta có : 
.0q.Z.qQ.rWm.rF.
m
1j
jj
m
1j
jj
N
1k
kkk
N
1k
2
a
k =∂−∂=∂−∂ ∑∑∑∑
====
rrrr
Hay : )m....1j(Q
q
T)
q
T(
dt
d
j
jj
==∂
∂−∂
∂
& (16-4). 
 -232-
Hệ ph−ơng trình dạng (16-4) đ−ợc gọi là ph−ơng trình Lagrang loại 2. 
Trong đó T là động năng của hệ. Qj là lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj . 
Trong tr−ờng hợp lực hoạt động là lực có thế 
j
j q
Q ∂
π∂−= thì ph−ơng trình 
(16-4) trở thành : 
.)m....1j(
qq
T)
q
T(
dt
d
jjj
=∂
π∂−=∂
∂−∂
∂
& (16-5) 
Cần chú ý rằng ,0
q j
=∂
π∂
 do đó : 
)
qq
T()
qq
T(
dt
d
jjjj ∂
π∂−∂
∂−∂
π∂−∂
∂
& = 0 
Nếu đặt T - π = L ( qj , ,t) thì ph−ơng trình Lagrang loại 2 có dạng : jq&
.)m...1j(0
q
L)
q
L(
dt
d
jj
==∂
∂−∂
∂
& (16-6) 
Thí dụ 16-1 
Một trụ tròn đồng chất có khối l−ợng M chuyển động lăn không tr−ợt trên 
mặt phẳng nghiêng của lăng trụ hình tam giác có khối l−ợng m và có góc 
nghiêng với mặt ngang là α. Lăng trụ có thể tr−ợt trên mặt ngang nhẵn 
(hình 16-3). Lập ph−ơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. 
Xét hệ lăng trụ và trụ tròn. 
Cơ hệ chịu liên kết dừng, giữ, hô 
nô nôm và lý t−ởng. Hoạt lực tác 
dụng lên hệ gồm có : Trọng lực 
P
r
 và của trụ tròn và lăng trụ 
tam giác. Các lực này là lực có 
thế. Nếu chọn hệ toạ độ suy rộng 
đủ của hệ là q
Q
r
1 = x và q2 = s (hình 
16-3) ta thấy hệ có hai bậc tự do và ph−ơng trình Lagrang loại 2 có thể viết d−ới 
dạng : 
α B
A
Q
P
O
x
y
O1 
x
Hình 16.3
 -233-
jjj xx
T)
x
T(
dt
d
∂
π∂−=∂
∂−∂
∂
& (a) 
jjj ss
T)
s
T(
dt
d
∂
π∂−=∂
∂−∂
∂
& (b) 
Thế năng của hệ ứng với lực P
r
 tính nh− sau : 
π(P) = -Mg.sinα.s + C1 với C1 là hằng số. 
Thế năng của hệ ứng với lực Q là một hằng số 
π(Q) = const = C2
Thế năng của cả hệ π = - Mg.S.sinα + C ; C là hằng số 
Suy ra : 0
x
=∂
π∂
 và α−=∂
π∂ sinMg
s
Động năng của hệ bao gồm động năng của trụ tròn và động năng của lăng 
trụ. 
Lăng trụ chuyển động tịnh tiến nên động năng của nó có thể viết : 
2
xm
2
mVT
22
1
&== . 
 Trụ tròn chuyển động song phẳng nên động năng tính đ−ợc : 
2
J
2
MVT
2
0
2
tr
ω== 
V0 là vận tốc tuyệt đối của trục trụ tròn. 
rc0 VVV
rrv += 
Suy ra : 
α+=+= cosSxVVV rxcxx0 && 
α+=+= sinSyVVV rycyy0 && 
222
oy
2
ox
2
0 )sinSy()cosSx(VVV α++α+=+= &&&& 
 α++= cosSx2Sx 2222 &&&& 
R
S
R
V
R
V ror
&
===ω và 
2
2
2
R
s&=ω còn 
4
MRJ
2
0 = 
Thay các kết quả trên vào biểu thức của động năng hệ ta đ−ợc : 
 -234-
Thệ = [ ] 22222 Rs4MR)sinSy()cosSx(2Mwxm &&&&&& +α++α++ 
α+++= cosSxM
2
s
2
M3
2
x)mM(
22
&&&& . 
Suy ra : α++=∂
∂=∂
∂=∂
∂ cosSMx)mM(
x
T;0
s
T;0
x
T &&& 
 α++=∂
∂ cosSMx)mM()
x
T(
dt
d &&&&& 
α+=∂
∂α+=∂
∂ cosxMS
2
M3)
s
T(
dt
d;cosxMS
2
M3
s
T &&&&&&
&
& 
Ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ ph−ơng trình Lagrang loại 2 
nhận đ−ợc : 
;0cosSMx)mM( =α++ &&&& 
.sinMgcosxMS
2
M3 α=α+ &&&& 
Từ hệ ph−ơng trình trên ta tìm đ−ợc : 
0
cosM2)mM(3
2sinMgx
2
<α−+
α=&& 
0
cosM2)mM(3
sing)mM(2S
2
>α−+
α+=&& 
Nếu ban đầu hệ đứng yên thì sau đó trụ tròn lăn xuống còn lăng trụ tr−ợt 
qua phải. Các chuyển động đều là chuyển động biến đổi đều. 
Thí dụ 16-2 
zCon lắc eliptic gồm con tr−ợt A và quả cầu B 
nối với A bằng một thanh treo AB. Cho biết khối 
l−ợng của con tr−ợt m1, khối l−ợng của quả cầu là 
m2, khối l−ợng thanh treo không đáng kể. Con tr−ợt 
A có thể tr−ợt theo ph−ơng AY trên mặt phẳng 
ngang nhẵn. Con lắc AB có thể quay tròn quanh trục 
A trong mặt phẳng thẳng đứng oxy (hình 16-4). 
Thiết lập ph−ơng trình vi phân của hệ. 
ϕ
B
l
A
y
y
Hình 16.4
 -235-
Bài giải 
Xét hệ gồm con tr−ợt A và con lắc AB. 
Có thể chọn hai toạ độ suy rộng đủ của hệ là : 
q1 = y và q2 = ϕ. 
Ph−ơng trình vi phân của hệ có thể viết d−ới dạng : 
;Q
y
T)
y
T(
dt
d
y=∂
∂−∂
∂
& 
.QT)T(
dt
d
ϕ=ϕ∂
∂−ϕ∂
∂
& 
Với T là động năng của hệ, Qy và Qϕ là các lực suy rộng ứng với toạ độ 
suy rộng là y và ϕ. 
Các hoạt lực tác dụng lên hệ gồm 1P
r
 và 2P
r
đều là các lực có thế nên có thể 
viết : 
.Q;
y
Qy ϕ∂
π∂−=∂
π∂−= ϕ 
Thế năng của hệ có thể tính nh− sau : 
π = -m2g.x + const = -m2glcosϕ + const. 
Suy ra : 0Q
y y
==∂
π∂− và ϕ==ϕ∂
π∂− ϕ singlmQ 2 
Động năng của hệ T = TA + TB. 
Động năng của con tr−ợt : .
2
ym
2
VmT
2
1
2
A1
A
&== 
Động năng của quả cầu : .)yx(
2
m
2
VmT 2B
2
B
1
2
B1
B && +== 
Với xB = lcosϕ và ϕϕ−= sinlxB& ; yB = y + lsinϕ và ϕϕ+= coslyyB &&& 
Ta có : 
[ ]222B )cosly()sinl(2mT ϕϕ++ϕϕ−= && .)cosyl2yl(2m 2222 ϕϕ++ϕ= &&&& 
Biểu thức động năng của hệ thu đ−ợc : 
 -236-
).cosyl2yl(
2
m
2
ym
TTT 2222
2
1
BA ϕϕ++ϕ+=+= &&&&
&
Từ đó suy ra : ;cosylmlmT 2
2
2 ϕ+ϕ=ϕ∂
∂ && 
;sinylmcosylmlm)T(
dt
d
22
2
2 ϕϕ−ϕ+ϕ=ϕ∂
∂ &&&&&&& 
;coslmy)mm(
y
T
212 ϕϕ++=∂
∂ &&& 
;)sincos(lmy)mm()T(
dt
d 2
221 ϕϕ−ϕϕ++=ϕ∂
∂ &&&&&& 
;0T =ϕ∂
∂
.sinylmT o2 ϕϕ−=ϕ∂
∂ && 
Thay các giá trị tìm đ−ợc vào ph−ơng trình vi phân của hệ ta đ−ợc : 
;singlmsinylmsinylmcosylmlm 2222
2
2 ϕ−=ϕϕ+ϕϕ−ϕ+ϕ &&&&&&&& 
.0sinlmcoslmy)mm( 22221 =ϕϕ−ϕϕ++ &&&&& 
Sau khi rút gọn đ−ợc ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ : 
;0singycosl =ϕ+ϕ+ϕ &&&& 
ϕϕ−ϕϕ++ sinlmcoslmy)mm( 22221 &&&&&