Bài giảng Nhập môn hiện đại xác suất và thống kê - Đỗ Đức Thái

.
Bài tập 1.22. Đặt Bn =
�∞
m=nAm, n = 1, 2, ... thì B∞ =
�∞
n=1Bn. Mặt khác B1 ⊇ B2 ⊇
B3 ⊇ ... nên P (B∞) = limn→∞ P (Bn).
i) Vì Σ∞n=1P (An) <∞ nên P (Bn) < Σ∞m=nP (Am)→ 0 khi n→∞. Vậy P (B∞) = 0.
ii) Nếu tồn tại một dãy vô hạn các An sao cho P (An) ≥ � thì P (Bn) ≥ � với mọi n.
Vậy P (B∞) ≥ �.
Bài tập 1.23.Gọi A là sự kiện ngăn kéo được rút ra là ngăn kéo chứa hai đồng tiền vàng, B
là sự kiện đồng tiền rút ra là đồng tiền vàng. Ta cần tính P (A|B) = P (A ∩ B)
P (B)
=
1/3
1/2
=
2
3
.
Bài tập 1.24. Cai ngục lý luận như vậy là sai. Bài toán này tương tự như bài toán chơi
mở cửa có quà ở đầu Chương 1. Trong hai người B và C luôn có ít nhất 1 người được
thả, và nếu nói tên 1 người được thả trong hai người B và C ra, thì xác suất được thả
của người còn lại trong hai người đó giảm xuống thành 1/3 trong khi xác suất để A được
thả vẫn giữ nguyên là 2/3.
Bài tập 1.25. Gọi A là biến cố một người trong đám đông là kẻ trộm, B là biến cố
một người trong đám đông bị máy nghi là có tội. Ta có P (A) =
2
60
=
1
30
, P (B|A) =
0.85, P (B|A¯) = 0.07. Ta cần tính P (A|B). Theo công thức Bayes, ta có
P (A|B) = P (B|A).P (A)
P (B|A).P (A) + P (B|A¯).P (A¯) =
0.85× 1/30
0.85× 1/30 + 0.07× 29/30 ≈ 0.295.
1.2. LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 2 177
Bài tập 1.26. Gọi X là biến cố một con bò bị mắc bệnh bò điên, Y là biến cố một con
bò phản ứng dương tính với xét nghiệm A. Ta có P (Y |X) = 0.7, P (Y |X¯) = 0.1, P (X) =
1.3× 10−5. Ta cần tính P (X|Y ) = P (Y |X).P (X)
P (Y |X).P (X) + P (Y |X¯).P (X¯) . Kết quả là:
P (X|Y ) = 0.7× 1.3× 10
−5
0.7× 1.3× 10−5 + 0.1× (1− 1.3.× 10−5) ≈ 0.000091.
Bài tập 1.27. Giả sử {Gx, x = 0, 1, 2, ..., 9} là một họ các sự kiện độc lập. Vì giá dầu
không thể tăng ít nhất 50% mỗi năm trong 10 năm liên tiếp (như thế giá dầu sẽ vượt quá
10×(1.5)10 > 300 USD một thùng) nên P (G0∩G1∩...∩G9) = P (G0).P (G1) . . . P (G9) =
0. Suy ra tồn tại x ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} để P (Gx) = 0. Như vậy nếu coi giá dầu biến động
một cách ngẫu nhiên và việc giá dầu tăng ít nhất 50% trong một năm là hoàn toàn có
thể xảy ra (xác suất lớn hơn 0) thì họ các sự kiện trên là không độc lập.
1.2 Lời giải bài tập Chương 2
Bài tập 2.2. Hàm mật độ của X:
ρX(x) =
�
0 nếu |x| > 1
1− |x| nếu |x| ≤ 1
Hàm phân phối xác suất của X:
P (X ≤ x) =

0 nếu x < −1
(1 + x)2/2 nếu − 1 ≤ x ≤ 0
1− (1− x)2/2 nếu 0 < x < 1
1 nếu x ≥ 1
Biến ngẫu nhiên Y = arcsinX có hàm phân phối:
P (Y ≤ x) = P (X ≤ sin x)

0 nếu x < −π/2
(1 + sin x)2/2 nếu − π/2 ≤ x ≤ 0
1− (1− sin x)2/2 nếu 0 < x < π/2
1 nếu x ≥ π/2
Hàm mật độ của Y là:
ρY (x) =

sin x cos x+ cos x nếu x ∈ [−π
2
, 0]
− sin x cos x+ cos x nếu x ∈ [0, π
2
]
0 nếu |x| > π/2
178 PHỤ LỤC A. LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài tập 2.3. Nếu phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X là đối xứng và liên tục thì ta
có
P (X ≤ x) = P (X −x) = 1− P (X ≤ −x),
do đó FX(x) + FX(−x) = 1.
Nếu F không liên tục, khi đó kết luận trên không còn đúng. Phản ví dụ: X có phân
bố xác suất tập trung tại x = 0, tức P (X = 0) = 1, khi đó: F (x) +F (−x) = 2 với x = 0.
Bài tập 2.5. Với mỗi y ∈ [0, 1], đặt g(y) = sup{x : FY (x) < y}. Ta chứng minh:
g(y) ≤ z ⇔ FY (z) ≥ y. Thật vậy :
• Giả sử FY (z) z sao cho FY (z) < FY (z�) < y
⇒ z < z� ≤ sup{x : FY (x) < y} = g(y).
• Giả sử FY (z) ≥ y. Khi đó z > x với mọi x thỏa mãn FY (x) < y
⇒ z ≥ sup{x : FY (x) < y} = g(y).
Ta có Fg(X)(z) = P (g(X) ≤ z) = P (FY (z) ≥ X) = P (X ≤ FY (z)) = FY (z)
(Vì X có phân phối đều U(0, 1), F (x) = x với mọi x ∈ [0, 1].) Hàm g định nghĩa như trên
chính là hàm cần tìm.
Bài tập 2.6. X ∼ N (µ, σ2)⇒ hàm mật độ của X: ρX(x) = 1
2πσ
e−
1
2
(x−µ
σ
)2
Xét y = f(x) =
x− µ
σ
⇒ f �(x) = 1
σ
. Ta có: ρY (y) =
ρX(x)
|f �(x)| =
1
2πσ
e−
1
2
(x−µ
σ
)2σ = 1
2π
e−
1
2
y2 .
Vậy Y có phân phối chuẩn N (0, 1).
Bài tập 2.7. X ∼ E(λ)⇒ hàm mật độ:
ρX(x) =
�
λe−λx nếu x > 0
0 nếu x ≤ 0
Y = cX, c > 0. Xét y = f(x) = cx.
ρY (y) =

λe−λx
c
nếu x > 0
0 nếu x ≤ 0
=

λ
c
e−
λ
c
·y nếu y > 0
0 nếu y ≤ 0
Vậy Y ∼ E(λ
c
).
Bài tập 2.8. Ta có:
P (X > s+ t|X > s) = P (X > s+ t,X > s)
P (X > s)
=
e−λ(s+t)
e−λs
= e−λt = P (X > t)
1.2. LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 2 179
Bài tập 2.9. i) Tương tự như bài tập 2.5.
ii) Nếu X ∼ U(0, 1), tức là có hàm mật độ ρX(x) = 1 trên đoạn thẳng [0, 1], và
Y = − lnX ∼ E(1) thì hàm mật độ của Y là:
ρY (y) =
ρX(x)
|d lnx
dx
| =

1
1/x
= x nếu x ∈ [0, 1]
0 nếu x /∈ [0, 1]
=
�
e−y ∀y > 0
0 ∀y ≤ 0
Điều đó có nghĩa là Y có phân bố xác suất mũ E(1).
Bài tập 2.10. X có phân phối Pareto với tham số α, ρX(x) =

α
xα+1
nếu x ≥ 1
0 nếu x < 1
Y = Xs, s > 0. Xét y = f(x) = xs, ta có:
ρY (y) =
ρX(x)
|f �(x)| =

α
xα+1
s · xs−1 =
α
s
· 1
xα+s
nếu x ≥ 1
0 nếu x < 1
=

α
s
· 1
y
α
s
+1
nếu y ≥ 1
0 nếu y < 1
(Do x = y
1
s > 1⇔ y > 1). Vậy Y có phân phối Pareto với tham số α
s
.
Bài tập 2.11. X ∼ U(0, 1), Y = 1
1−X . Xét y = f(x) =
1
1− x ⇒ f
�(x) =
1
(1− x)2
Ta có
ρY (y) =
ρX(x)
|f �(x)| =
�
(1− x)2 = 1
y2
nếu y ≥ 1
0 nếu y < 1
⇒ Y có phân phối Pareto với tham số α = 1.
Bài tập 2.12. Kì vọng lợi nhuận:
E = 0.7× (0− 100000) + 0.3× (1000000− 100000) = 200000.
Bài tập 2.13. Điểm cần chú ý khi lấy ví dụ là, cần cho phân bố xác suất chung của X
và Y chứ không cho phân bố xác suất của riêng X và riêng Y rồi coi hai biến đó độc lập
với nhau. (Nếu chúng độc lập thì E(X)E(Y ) = E(XY )). Chẳng hạn có thể chọn X và Y
là những biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị 0 và 1, với phân bố xác suất chung như sau:
180 PHỤ LỤC A. LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TẬP
P (X = 0, Y = 0) = 0.2, P (X = 0, Y = 1) = 0.4, P (X = 1, Y = 0) = 0.3, P (X = 1, Y =
1) = 0.1 Khi đó E(X) = 0.4,E(Y ) = 0.5,E(XY ) = 0.1 �= E(X)E(Y ) = 0.2.
Bài tập 2.14. Có 99 quả được đánh số từ 1 đến 99, lấy ngẫu nhiên 5 quả, ta có lực lượng
của không gian mẫu là |Ω| = C599. Gọi hai biến ngẫu nhiên: X là "số nhỏ nhất trên 5 quả
bốc được", Y là "số lớn nhất trên 5 quả bốc được".
i) Phân bố xác suất của X và Y :
X 1 2 · · · 95
p
C498
C599
C497
C599
· · · C
4
4
C599
Y 5 6 · · · 99
p
C44
C599
C45
C599
· · · C
4
98
C599
Ví dụ, nếu X = 2 thì có nghĩa là có 1 quả trong 5 quả bóng bốc ra là số 2, còn 4 quả
còn lại nằm trong các số từ 3 đến 99. Có C497 cách chọn 4 số khác nhau trong 97 số từ 3
đến 99, có nghĩa là tập hợp các khả năng với X = 2 có C497 phần tử trong không gian xác
suất có C597 phần tử với phân bố xác suất đều, do đó ta có P (X = 2) = C
4
97/C
5
99.
ii) Công thức
�n
k=mC
m
k = C
m+1
n+1 sinh ra từ công thức C
m+1
k+1 = C
m+1
k + C
m
k .
iii) Sử dụng công thức trên, ta có:
E(X) =
C498 + 2C
4
97 + · · ·+ 95C44
C599
=
98�
k=4
C4k +
97�
k=4
C4k + · · ·C44
C599
=
C599 + C
5
98 + · · ·+ C55
C599
=
C6100
C599
=
100!
6! · 94! ·
94! · 5!
99!
=
100
6
.
Bài tập 2.15. Phân bố xác suất của X:
P (X = k) = Ck6 (
2
3
)k(
1
3
)6−k,
(k = 0, 1, 2, . . . , 6). Vì Z = X − Y và X + Y = 6 nên Z = 2X − 6, và ta có thể viết phân
bố xác suất của Z:
P (Z = 2k − 6) = Ck6 (
2
3
)k(
1
3
)6−k, k = 0, . . . , 6
Từ đó tính được ra kỳ vọng của Z: E(Z) =
�6
k=0C
k
6 (
2
3
)k(1
3
)6−k(2k − 6) = 2.
Một cách tính đơn giản hơn là: kỳ vọng để bóng vào rổ mỗi lần ném là 2/3. Bởi vậy
nếu ném 6 lần, thì kỳ vọng số lần bóng vào rổ là 6× 2/3 = 4, tức là ta có E(X) = 4, từ
đó suy ra E(Z) = 2E(X)− 4 = 2.
1.2. LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 2 181
Bài tập 2.16. i) Chiến thuật:
Lần thứ nhất: B hỏi: "số đó có lớn hơn 2n−1 không"?
• Nếu câu trả lời là "có": số đó sẽ nằm trong đoạn [2n−1 + 1; 2n]
• Nếu câu trả lời là "không": số đó sẽ nằm trong đoạn [1; 2n−1]
Lần thứ i: Ta sẽ xác định được số đó nằm trong đoạn có độ dài 2n−i. Vậy, sau n lần, ta
sẽ xác định được số A đã chọn.
ii) Ta sẽ chứng minh một khẳng định tổng quát hơn: giả sử X là một tập hữu hạn có
m phần tử, A chọn một phần tử của X, và B hỏi các câu hỏi kiểu “phần tử đó có nằm
trong tập con Y của X không”, và A sẽ trả lời là có hoặc không. Khi đó mọi chiến thuật
hỏi của B sẽ cần trung bình ít nhất là log2m câu hỏi để xác định phần tử mà A chọn.
(Trường hợp bài toán nêu ra là trường hợp m = 2n).
Ta có thể chứng minh khẳng định này bằng cách qui nạp theo m. Với các số m nhỏ (ví
dụ m = 2 hay m = 3), dễ dàng kiểm tra trực tiếp khẳng định), và với m = 1 thì khẳng
định là hiển nhiên. Giả sử ta đã chứng minh được khẳng định cho các tập có không quá
m− 1 phần tử (m ≥ 2), ta sẽ chứng minh rằng khẳng định đúng cho tập X với m phần
tử.
Dù là chiến thuật nào, thì câu đầu tiên của B cũng phải có dạng “phần tử đó có
nằm trong Y không”, trong đó Y là một tập con của X mà B chọn ra. Nếu câu trả lời
là có, thì trong các bước tiếp theo B phải chọn các tập con của Y , và như vậy, theo
qui nạp, sẽ cần thêm trung bình ít nhất là log2 |Y | lần hỏi. Ở đây ta có thể coi rằng
1 ≤ |Y | = k < |X| = m. Nếu câu trả lời là không, thì có nghĩa là phần từ A chọn nằm
trong X \ Y, và sẽ cần thêm trung bình ít nhất log2 |X \ Y | = log2(m − k) lần hỏi. Xác
suất để phần tử mà A chọn rơi vào Y , tức là để A trả lời Yes cho câu hỏi đầu tiên là
|Y |/|X| = k/m, và xác suất để A trả lời No cho câu hỏi đầu tiên là (m− k)/m. Như vậy,
nếu trong chiến thuật hỏi dùng tập con Y cho câu hỏi đầu tiên, thì sẽ cần trung bình ít
nhất là
1 +
k
m
log2 k +
m− k
m
log2(m− k)
câu hỏi để xác định được phần tử A chọn. Chú ý rằng hàm x log2 x là hàm lồi, do đó khi
m cố định và 0 < k < m thì giá trị của k
m
log2 k +
m−k
m
log2(m − k) đạt cực tiểu khi mà
k = m− k = m/2, bởi vậy ta có
1 +
k
m
log2 k +
m− k
m
log2(m− k) ≥ 1 + 2.(1/2). log2(m/2) = log2m,
182 PHỤ LỤC A. LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TẬP
từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 2.17.
ρY (x) =
�
c sin x nếu x ∈ (0, π)
0 nếu x /∈ (0, π)
i) Ta có:
1 =
∞�
−∞
ρY (x)dx =
π�
0
c sin xdx = −c cos x
���π
0
= 2c,
do đó c = 1/2.
ii) E(Y ) =
� π
0
1
2
x sin xdx =
π
2
. Một các giải thích khác là, hàm mật độ ρY (x) đối
xứng quanh điểm x = π/2, và do đó giá trị kỳ vọng của Y bằng π/2.
iii)
Bài tập 2.18. X có phân phối Pareto với tham số α > 1, hàm mật độ:
ρX(x) =

α
xα+1
nếu x ≥ 1
0 nếu x < 1
Kỳ vọng của X là:
E(X) =
� ∞
1
x
α
xα+1
dx =
α
−α + 1x
−α+1
���∞
1
=
α
α− 1 .
Bài tập 2.19. Gọi (ai, bi), i = 1, . . . , n, là các cặp giá trị của (F,G), ai, bi > 0. Từ giả
thiết ta có P (F = ai, Gi = bi) =
1
n
, và
G(F ) = n
���� n�
i=1
ai,G(G) = n
���� n�
i=1
bi,G((F +G)/2) = n
���� n�
i=1
ai + bi
2
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (trung bình nhân nhỏ hơn trung bình cộng), ta có
G(F ) +G(G)
2G((F +G)/2)
= n
���� n�
i=1
ai
ai + bi
+ n
���� n�
i=1
bi
ai + bi
≤ 1
n
�
n�
i=1
ai
ai + bi
�
+
1
n
�
n�
i=1
bi
ai + bi
�
= 1.
1.2. LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 2 183
Bài tập 2.20. i) X có phân phối hình học P (k) = p(1− p)(k−1).
E(X) =
�
k≥1
k · p(1− p)k−1 = p
�
k≥1
k · (1− p)k−1
= p
1
(1− (1− p))2 =
1
p
,
E(X2) =
�
k≥1
k2 · p(1− p)k−1
= p(1− p)
�
k≥2
k(k − 1) · (1− p)k−2 + p
�
k≥1
k · p(1− p)k−1
= p(1− p) 2
(1− (1− p))3 +
1
p
=
2− p
p2
,
var(X) = E(X2)− (E(X))2 = 1− p
p2
.
Do đó, độ lệch chuẩn σ =
�
var(X) =
√
1− p
p
.
ii) X có phân phối Poisson P (k) = e−λ
λk
k!
.
E(X) = e−λ
�
k≥1
k · λ
k
k!
= λe−λ
�
k≥1
λk−1
(k − 1)!
= λe−λeλ = λ,
E(X2) = e−λ
�
k≥1
k2 · λ
k
k!
= λe−λ
�
k≥1
k · λ
k−1
(k − 1)!
= λe−λ
��
k≥1
(k − 1) · λ
k−1
(k − 1)! +
�
k≥1
λk−1
(k − 1)!
�
= λe−λ(λeλ + eλ) = λ2 + λ
⇒ σ =
�
E(X2)− (E(X))2 =
√
λ2 + λ− λ2 =
√
λ.
Bài tập 2.21. E(X) = 2/3 , ρX(x) =
�
ax2 + b nếu 0 < x < 1
0 nếu không
Ta có
2/3 = E(X) =
1�
0
x(ax2 + b)dx =
a
4
+
b
2
và
1 =
∞�
−∞
ρX(x)dx =
1�
0
(ax2 + b)dx =
a
3
+ b.
184 PHỤ LỤC A. LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TẬP
Giải hệ phương trình tuyến tính trên theo a và b, ta được a = 2, b = 1/3, từ đó suy ra
E(X2) =
1�
0
x2(2x2 + 1/3)dx = 2/5 + 1/9 = 23/45
và var(X) = E(X2)− E(X)2 = 23/45− 4/9 = 1/15.
Bài tập 2.22. i) Xét một mẫu máu hỗn hợp gồm k mẫu máu. Ta gọi các biến cố: A =
"mẫu máu hỗn hợp chứa kháng thể X"; Ai = "mẫu máu i chứa X". Khi đó
P (A¯) =
k�
i=1
P (A¯i) = (1− p)k.
Để cho gọn, đặt (1− p)k = q, ta có P (A) = 1− (1− p)k = 1− q.
ii) Gọi S là biến ngẫu nhiên tổng số lần phải xét nghiệm. Ta có phân phối của S:
S m m+ k · · · m+mk
p qm C1mq
m−1(1− q) · · · (1− q)m
⇒ E(S) =
m�
i=0
C imq
m−i(1− q)i(m+ ik)
= m
m�
i=0
C imq
m−i(1− q) + k
m�
i=0
iC imq
m−i(1− q)i
= m+ k(1− q)m
m�
i=1
C i−1m−1q
m−i(1− q)i−1
= m+mk(1− q),
E(S2) =
m�
i=0
C imq
m−i(1− q)i(m+ ik)2
= m2 + 2mk
m�
i=0
iC imq
m−i(1− q)i + k2
m�
i=0
i2C imq
m−i(1− q)i
= m2 + 2mk ·m(1− q) + k2 �m(1−m)(1− q)2 +m(1− q)�
= m2 + 2m2k(1− q) +mk2(1− q) [(m− 1)(q − 1) + 1]
⇒ var(S) = E(S2)− E(S)2 = mk2(1− q)q.
iii) Ta có E(S) 1⇔ k(1− p)k > 1.
Bài tập 2.23.Không mất tính tổng quát, ta coiX, Y nhận hữu hạn các giá trị a1, a2, . . . , an,
(ai �= aj ∀ i �= j), với các xác suất p(X = ai) = pi ≥ 0 và p(Y = ai) = qi ≥ 0. Ở đó
1.2. LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 2 185
n�
i=1
pi =
n�
i=1
qi = 1. Theo giả thuyết, ta có E(X
k) =
�
i a
k
i pi = E(Y
k) =
�
i a
k
i qi, hay có
nghĩa là
�n
i=1 a
k
i xi = 0 với xi = pi − qi và với mọi số tự nhiên k. Cho k chạy từ 1 đến n,
ta được một hệ phương trình tuyến tính với n ẩn xi và n phương trình.
Nếu ai �= 0 với mọi i, thì định thức của hệ phương trình này là định thức của ma trận����������
a1 a2 · · · an
a21 a
2
2 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
an1 a
n
2 · · · ann
����������
(gọi là định thức Vandermonde) có giá trị khác 0 vì các số ai khác nhau, và do đó hệ
phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường xi = 0 với mọi i, có
nghĩa là ta có pi = qi với mọi i, hay nói cách khác, X và Y có cùng phân bố xác suất.
Nếu giả sử chẳng hạn a1 = 0, thì ta chỉ xét n− 1 phương trình đầu tiên, với n− 1 ẩn
số x2, . . . , xn. Tương tự như trường hợp phía trên, ta phải có pi = qi với mọi i ≥ 2, từ đó
suy ra p1 = 1−
�
i≥2 pi = 1−
�
i≥2 qi = q1, và X và Y cũng có cùng phân bố xác suất.
Bài tập 2.24. Giả sử X có phân bố mũ với tham số λ > 0, hàm mật độ của X là
ρX(x) =
�
λe−λx nếu x > 0
0 nếu x ≤ 0
Khi đó E(X) = 1/λ, và moment bậc n của X bằng E(X) = λnn! với mọi n ∈ N.
Bài tập 2.25. Hàm đặc trưng của X là φX(s) = E(cos sX)+ iE(sin sX), (s ∈ R), và của
−X là φ−X(s) = E(cos s(−X)) + iE(sin s(−X)) = φX(s). X đối xứng khi và chỉ khi X
và −X có cùng phân bố xác suất, tức là khi và chỉ khi X và −X có cùng hàm đặc trưng,
có nghĩa là φX = φX , hay nói cách khác φX là hàm thực.
Bài tập 2.26. X có phân phối hình học P (X = k) = p(1− p)k−1 ∀ k ≥ 1. Hàm sinh xác
suất của X:
G(z) =
∞�
k=1
P (k)zk =
∞�
k=1
p(p− 1)k−1zk = pz
∞�
k=0
(z − pz)k = pz
1− z + pz .
Từ đó ta có:
G�(z) =
p
(1− z + pz)2 , G”(z) =
2p(1− p)
(1− z + pz)3 ,
và phương sai của X là:
var(X) = G”(1) +G�(1)− (G�(1))2 = 2(1− p)
p2
+
1
p
− 1
p2
=
1− p
p2
.
Tài liệu tham khảo
[1] F. M. Dekking, C. Kraaikamp, H. P. Lopuhaa¨, L. E. Meester, A modern introduction
to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005.
[2] L. Gonick, W. Smith, The cartoon guide to statistics, HarperCollins Publishers, 1993.
[3] Ch. M.Grinstead, J. L. Snell, Introduction to probability, AMS, 1997.
[4] Darrel Huff, How to lie with statistics, 1954.
[5] L. B. Koralov, Ya. G. Sinai, Theory of probability and random processes, Universi-
text, 2nd edition, 2007.
[6] R. Meester, A natural introduction to probability theory, 2008.
[7] G. Shay, Introduction to probability with statistical applications, Birkha¨user, 2007.
[8] A. N. Shiryaev, Probability (Graduate texts in mathematics, Vol. 95), Springer, 1995.
[9] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất và thống kê – Lý thuyết và thực hành tính toán, NXB
ĐHQGHN, 2004.
199
Chỉ mục
χ2, 121
ánh xạ bảo toàn xác suất, 13
đối thuyết H1, 150
đồ thị phân tán, 91
độ lệch chuẩn, 59
độ tin cậy, 144
độc lập, 78
định lý Pearson, 122
định lý Prokhorov, 117
định lý de Moivre – Laplace, 105
định lý giới hạn trung tâm, 108
định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, 54
định lý liên tục, 118
định lý liên tục Lévy, 120
đẳng cấu xác suất, 14
đa dạng hóa tài sản, 58
điểm hạt, 39
đo được, 7
ước lượng, 136
ước lượng hiệu quả, 142
ước lượng không chệch, 136
ước lượng không chệch tiệm cận, 137
ước lượng nhất quán, 136
bất đẳng thức Chebyschev, 64
bất đẳng thức Cramér–Rao, 143
bất đẳng thức Jensen, 57
bất đẳng thức Markov, 64
biến đổi Fourier, 67
biến đổi Laplace, 70
biến đổi ngược Fourier, 67
biến điều khiển, 165
biến ngẫu nhiên, 35
biến phụ thuộc, 165
biến tự do, 165
biểu đồ tần số, 46
công thức Bayes, 23
công thức Sterling, 105
công thức xác suất toàn phần, 22
cỡ của mẫu, 134
chặt, 117
chuẩn Lk, 121
chuỗi Fourier, 67
giá trị P, 152
giá trị thực nghiệm, 134
giả thuyết H0, 150
gretl, 91
hầu khắp mọi nơi, 35
hồi qui, 164
hồi qui phi tuyến, 168
hồi qui tuyến tính, 93
hồi qui tuyến tính đơn, 165
hồi qui tuyến tính bội, 167
hàm đặc trưng, 66, 77
hàm độ hợp lý, 139
hàm đo được, 35
200
CHỈ MỤC 201
hàm ước lượng, 136
hàm chỉ báo, 35
hàm mật độ, 38, 75
hàm mật độ đồng thời, 75
hàm mật độ biên, 76
hàm phân phối, 37
hàm phân phối thực nghiệm, 134
hàm phân phối xác suất đồng thời, 73
hàm phân phối xác suất biên, 75
hàm phân phối xác suất có điều kiện, 96
hàm sinh moment, 65
hàm sinh xác suất, 69
hàm thống kê, 136
hệ số bất đối xứng, 61
hệ số tương quan, 89
hội tụ hầu khắp mọi nơi, 121
hội tụ hầu như chắc chắn, 121
hội tụ theo phân phối xác suất, 113
hội tụ theo xác suất, 121
hội tụ yếu, 112
hiệp phương sai, 87
kỳ vọng, 49
kỳ vọng có điều kiện, 96
kỳ vọng hình học, 57
kỳ vọng mẫu, 135
kỳ vọng thực nghiệm, 135
không gian mẫu, 7
không gian metric, 115
không gian xác suất, 6
không gian xác suất thực nghiệm, 91, 93
khả tích, 53
khoảng cách, 115
khoảng tin cậy, 144
khoảng tin cậy một phía, 145
ki bình phương, 121
kiểm định χ2, 122, 159
kiểm định F, 158
kiểm định T, 153
kiểm định T hai mẫu, 156
kiểm định Z, 153
kiểm định Z hai mẫu, 155
kurtosis, 62
lượng thông tin Fisher, 143
liên tục, 38
liên tục tuyệt đối, 38
luật số lớn, 27, 82
mẫu thực nghiệm, 134
ma trận hiệp phương sai, 100
metric, 114
metric L1, 114
metric Kolmogorov–Smirnov, 114
metric Lévy-Prokhorov, 114
moment, 60
moment chuẩn hoá, 62
moment hỗn hợp, 77
moment thực nghiệm, 135
moment trung tâm, 60
phân bố đều, 44
phân bố đồng thời thực nghiệm, 93
phân bố Bernoulli, 9
phân bố Cauchy, 103
phân bố chuẩn, 45
phân bố F, 158
phân bố gamma, 79
phân bố hình học, 41
phân bố hỗn hợp, 40
phân bố luỹ thừa, 47
202 CHỈ MỤC
phân bố nhị thức, 16
phân bố nhị thức âm, 42
phân bố normal, 45
phân bố normal chuẩn tắc, 45
phân bố normal nhiều chiều, 99
phân bố normal nhiều chiều chuẩn tắc, 99
phân bố Pareto, 48
phân bố Poisson, 42
phân bố rời rạc, 40
phân bố Student, 147
phân bố T, 147
phân bố thực nghiệm, 93
phân bố xác suất, 7
phân bố xác suất đều, 11
phân bố xác suất đồng thời, 73
phân bố xác suất biên, 75
phân bố xác suất có điều kiện, 96
phân bố xác suất cảm sinh, 14
phân bố xác suất thực nghiệm, 134
phân hoạch, 22
phân phối xác suất, 36
phần liên tục, 40
phần rời rạc, 40
phương pháp hợp lý cực đại, 139
phương sai, 59
phương sai mẫu, 135
phương sai mẫu hiệu chỉnh, 138
phương sai thực nghiệm, 135
push-forward, 14
số bậc tự do, 122
sự kiện độc lập, 20
sự kiện thành phần, 7
sai lầm loại 1, 150
sai lầm loại 2, 150
sai số chuẩn, 165
sai số trung bình bình phương, 142
sigma-đại số, 7
sigma-đại số Borel, 36, 74
song tuyến tính, 88
tích phân Lebesgue, 52
tích trực tiếp, 84
tích vô hướng, 90
tần số, 46
tần suất, 46
tập con có thể bỏ qua, 85
tổng chuẩn hoá, 108
thống kê, 136
trung vị, 135
vector kỳ vọng, 100
vector ngẫu nhiên, 73
xác suất, 2
xác suất có điều kiện, 18