Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm - Trần Minh Tú

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 1Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng
Email: tpnt2002@yahoo.comTháng 01/2015
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 2Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
NỘI DUNG
CHƯƠNG 4 – TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT
ĐIỂM
4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
4.5. Trạng thái ứng suất khối
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp –
Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 3Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
a. Trạng thái ứng suất tại một điểm
 Xét điểm K(x,y,z) trong vật thể chịu lực
 Mặt cắt a-a đi qua điểm K có các thành
phần ứng suất:
 Ứng suất pháp σ
 Ứng suất tiếp τ
 Qua điểm K có vô số mặt cắt
 Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập
hợp tất cả những thành phần ứng suất trên
tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 4Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại
một điểm:
→ Tách ra một phân tố lập phương vô
cùng bé chứa điểm đó
→ Gắn hệ trục toạ độ xyz
→ Trên mỗi mặt vuông góc với trục có 3
thành phần ứng suất: 1 thành phần
ứng suất pháp và 2 thành phần ứng
suất tiếp
 Trạng thái ứng suất tại một điểm có thể
được biểu diễn hoàn toàn bằng ten-xơ
ứng suất tại điểm đó
4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 5Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
b. Mặt chính – ứng suất chính –
phương chính
 Mặt chính: Là mặt không có tác dụng
của ứng suất tiếp.
 Phương chính: là phương pháp tuyến
của mặt chính.
 Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác
dụng trên mặt chính.
 Tại mỗi điểm bất kỳ trong vật thể, luôn
tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc
với nhau.
 Phân tố chính: ứng suất tiếp trên các
mặt bằng 0.
4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 6Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
 Tại 1 điểm luôn tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc với nhau; 3
ứng suất chính tương ứng được ký hiệu là σ1, σ2, σ3 và được đặt
tên theo thứ tự σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
 Phân loại trạng thái ứng suất:
Trạng thái ứng suất khối Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất đơn
3 ứng suất chính khác 0 Có 1 ứng suất chính bằng 0 Có 2 ứng suất chính bằng 0
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 7Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
Xét phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
 Mặt vuông góc với trục z (mặt xy) là mặt
chính có ứng suất chính bằng 0
→ Chỉ tồn tại các thành phần ứng suất
trong mặt phẳng Oxy
 Một trạng thái ứng suất phẳng được
đặc trưng bởi 4 giá trị: σx; σy; τxy; τyx
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 8Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
Quy ước dấu:
 Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra
khỏi phân tố
 Ứng suất tiếp dương khi đi vòng quanh
phân tố theo chiều kim đồng hồ
a. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp:
Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vuông
góc với nhau có trị số bằng nhau, có chiều
cùng đi vào cạnh chung hoặc cùng đi ra
khỏi cạnh chung
Vậy, trạng thái ứng suất phẳng được xác
định bởi 3 giá trị độc lập (σx; σy; τxy)
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 9Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
b. Ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ // Oz
 Xét mặt nghiêng có pháp tuyến u hợp với
chiều dương của trục x một góc α (α>0: từ
x quay đến u theo chiều ngược chiều kim
đồng hồ)
 Xét cân bằng của phân tố hình lăng trụ:
α >0 – ngược chiều kim đồng hồ
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 10Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
c. Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị)
Phương chính được xác định từ điều kiện:
Mặt khác, phương của mặt có ứng suất pháp cực trị được xác định từ điều
kiện:
(1);(2) → α1 ≡ α0 → Các phương này trùng nhau
Vậy, các ứng suất chính cũng chính là các ứng suất pháp cực trị của trạng thái
ứng suất phẳng. Từ các pt trên, ta có 2 nghiệm α01 và α02 hơn kém nhau 90o,
xác định 2 phương chính tương ứng (1 phương chính đã biết – là phương z):
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 11Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
c. Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị) (tiếp theo)
 Công thức tính ứng suất chính, ứng suất pháp cực trị:
Ghi chú: Trạng thái ứng suất phẳng có một ứng suất chính bằng 0, công thức này
xác định cho ta 2 ứng suất chính còn lại.
 Công thức xác định phương pháp tuyến của các mặt có ứng suất pháp cực
đại và cực tiểu tương ứng là:
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 12Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
d. Ứng suất tiếp cực trị
Vậy: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 45o.
e. Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất phẳng
Tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại
một điểm có giá trị không đổi
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 13Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất
Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:
Christian Otto Mohr
(1835 -1918)
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 14Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất
Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:
Christian Otto Mohr
(1835 -1918)
→ Phương trình đường tròn tâm ;
bán kính
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 15Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
Vòng tròn Mohr ứng suất:
 Vòng tròn Mohr được vẽ
theo 3 giá trị (σx; σy; τxy).
 Tâm
 Bán kính
 Cực của vòng tròn Mohr
là điểm P (σy; τxy).
Phân tố chính
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 16Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
 Trạng thái ứng suất đơn (thanh chịu kéo-nén đúng tâm)
 Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý (xoắn thuần tuý thanh tròn)
4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 17Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
 Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt (dầm chịu uốn ngang phẳng)
4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 18Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.5. Trạng thái ứng suất khối
 Dựa trên 3 giá trị (σ1; σ2; σ3), vẽ được 3 vòng tròn Mohr C1, C2, C3.
Ứng suất p trên mặt cắt nghiêng bất kỳ sẽ được biểu diễn bằng toạ độ của 1
điểm nằm trong miền giới hạn giữa 3 vòng tròn Mohr.
 Bán kính của các vòng tròn Mohr là giá trị của các ứng suất tiếp cực trị.
 Trạng thái ứng suất khối: cả 3 ứng suất
chính (σ1; σ2; σ3) đều khác 0.
 Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng
suất:
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 19Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ
Ví dụ 4.1:
Cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng như
hình vẽ.
1. Tìm các ứng suất trên mặt cắt nghiêng như
trên hình vẽ của phân tố.
2. Xác định các phương chính và tính các ứng
suất chính.
3. Xác định các phương có ứng suất tiếp cực trị
và tính ứng suất tiếp cực trị đó.
GIẢI:
Gắn hệ trục xy như hình vẽ.
1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng:
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 20Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ
2. Ứng suất chính, phương chính:
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 21Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ
3. Phương có ứng suất tiếp cực trị và giá trị ứng
suất tiếp cực trị:
Mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính
góc 45o
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 22Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
 Định luật Hooke cho biến dạng dài
Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối, theo
nguyên lý cộng tác dụng:
Robert Hooke
(1635 -1703)
Tương tự:
Trong hệ trục toạ độ bất kỳ xyz, giả thiết ứng suất tiếp không gây ra biến dạng
dài nên ta có thể viết:
E – mô-đun đàn hồi kéo-nén m – Hệ số Poisson
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 23Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
 Định luật Hooke cho biến dạng góc
Giả thiết ứng suất pháp không ảnh hưởng đến biến
dạng góc; và ứng suất tiếp trong mặt phẳng nào chỉ
phát sinh biến dạng góc trong mặt phẳng đó
→ Chỉ cần xét phân tố ở trạng thái ứng suất trượt
thuần tuý như hình vẽ
Định luật Hooke cho quan hệ tuyến tính giữa biến dạng
trượt và ứng suất tiếp:
Charles Augustine de 
Coulomb
(1736 -1806)
γxy; γyz; γzx – biến dạng trượt trong các mặt phẳng xy, yz, zx
G – mô-đun đàn hồi trượt (mô-đun Coulomb) của vật liệu, được
xác định bằng thực nghiệm hoặc xác định bằng công thức:
Đối với thép, E = 2.1x103kN/cm2; m ≈ 0.3 → G = 8x103kN/cm3
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 24Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
 Định luật Hooke cho biến dạng thể tích
Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối như hình vẽ
Gọi θ là biến dạng thể tích tỷ đối:
Robert Hooke
(1635 -1703)
Thay ε1, ε2, ε3 bằng biểu thức của định luật Hooke
cho biến dạng dài, ta có:
Vo – Thể tích trước biến dạng
V – Thể tích sau biến dạng
Khai triển và bỏ qua vô cùng bé bậc cao:
Đây là biểu thức của định luật Hooke cho biến dạng thể tích
Đặt Σ = σ1 + σ2 + σ3
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 25Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Định luật Hooke cho trạng thái ứng suất phẳng
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 26Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Xét phân tố chính: τ = 0
Thế năng biến dạng đàn hồi
Phân tố biến dạng → Thay đổi
Hình dạng
Thể tích
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 27Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
=
Thế năng biến dạng đàn hồi
Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u
Thế năng biến đổi thể tích utt
Thế năng biến đổi hình dạng uhd
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 28Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Thế năng biến dạng đàn hồi
Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u
Thế năng biến đổi thể tích utt
Thế năng biến đổi hình dạng uhd
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 29Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
Ví dụ 4.2:
Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng
trên bề mặt vật thể chịu lực, bằng các cảm biến
điện trở, người ta đo được biến dạng dài tỷ đối
theo 3 phương lần lượt là:
εm=2,81×10–4; εn=–2,81×10 –4; εu=1,625×10 –4
Xác định phương chính và các ứng suất chính
tại điểm đó.
Biết E=2×10–4 kN/cm2; μ=0,3.
GIẢI:
Định luật Hooke cho biến dạng dài theo phương
m và n:
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 30Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
Định luật Hooke cho biến dạng dài theo phương
u và bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất:
Mặt khác, ta có:
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 31Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
Với 3 giá trị cơ bản (σm; σn; τmn), trạng thái ứng
suất phẳng được xác định. Ta có:
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 32Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
 Trạng thái ứng suất đơn (kéo-nén
đúng tâm):
→ Điều kiện bền
 Trạng thái ứng suất trượt thuần
tuý (xoắn thuần tuý thanh tròn):
→ Điều kiện bền
 Giá trị các ứng suất cho phép
được xác định theo ứng suất
nguy hiểm → từ thực nghiệm.
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 33Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Tương tự, đối với trạng thái ứng suất phức tạp, cần phải tiến hành
thí nghiệm để xác định ứng suất nguy hiểm cho trạng thái ứng suất
tương ứng → không thực hiện được, vì:
 Số lượng thí nghiệm là vô số (tương ứng với vô số tỷ lệ giữa các ứng
suất chính có thể xảy ra trong thực tế)
 Nhiều thí nghiệm không tiến hành được do điều kiện kỹ thuật hạn chế
 Không tiến hành thí nghiệm được → Không biết được nguyên nhân
phá hoại của vật liệu → Cần đưa ra các giả thuyết
 Thuyết bền là các giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật
liệu
 Các nguyên nhân có thể: ứng suất, biến dạng, thế năng biến dạng
đàn hồi
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 34Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (Thuyết bền 1)
Galileo Galilei
(1564-1642)
Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất pháp lớn nhất của
phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới ứng suất nguy hiểm của
phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu giòn.
Điều kiện bền:
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 35Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất (Thuyết bền 2)
Edme Mariotte
(1620-1684)
Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến dạng dài tương đối lớn
nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới biến dạng dài
tương đối nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu giòn.
Điều kiện bền:
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 36Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền 3)
Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất tiếp lớn nhất của phân
tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới ứng suất pháp nguy hiểm của
phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu dẻo (có độ bền kéo, nén như nhau).
Henri Tresca
(1814 -1885)
Adhémar Jean Claude 
Barré de Saint-Venant
(1797 -1886)
Điều kiện bền:
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 37Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất (Thuyết bền 4)
Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dạng lớn
nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới thế năng biến
đổi hình dạng nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu dẻo (có độ bền kéo, nén như nhau).
Richard Edler von Mises
(1883 -1953)
Điều kiện bền:
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 38Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Thuyết bền Mohr (Thuyết bền 5)
Dựa vào kết quả thí nghiệm → Vẽ vòng tròn Mohr ứng suất giới hạn →
Vẽ đường bao → Xác định miền an toàn của vật liệu
Nếu vòng tròn Mohr ứng suất khối nằm trong đường bao giới hạn bền
thì trạng thái ứng suất đó là bền.
(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu giòn.
Christian Otto Mohr
(1835 -1918)
Điều kiện bền:
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 39Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ 4.3:
Kiểm tra bền cho phân tố ở trạng thái ứng suất
phẳng như hình vẽ.
• Áp dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất.
• Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.
• Áp dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình
dạng lớn nhất.
GIẢI:
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 40Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
• Áp dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất:
→ Phân tố thoả mãn điều kiện bền ứng suất
pháp cực đại
• Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
→ Phân tố thoả mãn điều kiện bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất
→ Phân tố không thoả mãn điều kiện bền ứng suất tiếp lớn nhất
(vượt quá 1% so với ứng suất cho phép)
• Áp dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất:
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 41Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
SỨC BỀN VẬT LIỆU 1
Thank you for your attention
Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng
E-mail: tpnt2002@yahoo.com