Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang - Trần Minh Tú

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 1Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng
Email: tpnt2002@yahoo.comTháng 01/2015
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 2Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
NỘI DUNG
CHƯƠNG 5 – ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT 
CẮT NGANG
5.1. Khái niệm chung
5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
5.3. Mômen quán tính đối với một trục
5.4. Mômen quán tính độc cực
5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung
tâm
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
5.7. Công thức chuyển trục song song
5.8. Công thức xoay trục
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 3Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.1. Khái niệm chung
 Thanh chịu kéo-nén đúng tâm: khả năng chịu lực của thanh chỉ phụ thuộc
vào một đặc trưng hình học là diện tích A của mặt cắt ngang.
 Tuy nhiên, với nhiều kết cấu khác (chịu uốn, xoắn), khả năng chịu lực của
kết cấu còn phụ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang (đặc, rỗng) cũng
như phương tác dụng của ngoại lực đối với mặt cắt (dầm đặt đứng hay đặt
ngang như trên hình vẽ ví dụ).
 Những đại lượng hình học ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của kết cấu
được gọi là các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 4Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
Cho hình phẳng diện tích A trong
hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Xét một phân tố diện tích dA có
toạ độ (x; y).
Mômen tĩnh của diện tích A đối
với trục Ox và Oy lần lượt là:
Đơn vị: [chiều dài3] (ví dụ: m3; cm3)
Giá trị của mô-men tĩnh có thể âm, dương hoặc bằng 0.
Khi mômen tĩnh của diện tích A đối với một trục xo nào đó
bằng 0 thì trục đó được gọi là trục trung tâm:
Các trục trung tâm đồng quy tại trọng tâm của mặt cắt.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 5Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Giả sử C (xC; yC) là trọng tâm mặt cắt
ngang
Ox1y1 – hệ trục ban đầu
x0, y0 – hệ trục đi qua trọng tâm C
dA (x1; y1) trong hệ tọa độ Ox1y1
dA (x0; y0) trong hệ tọa độ Cxy
Ta có:
Bài toán xác định trọng tâm
5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
Tương tự, ta có:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 6Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Vậy, giả sử C (xC; yC) là trọng tâm của mặt cắt ngang có diện
tích A, ta có công thức tìm toạ độ của C:
Nếu mặt cắt A được ghép bởi nhiều hình đơn giản:
5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 7Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Chú ý
 Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối
xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa
độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều
hình đơn giản càng tốt.
 Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm.
5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 8Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.3. Mômen quán tính đối với một trục
Mômen quán tính của diện tích A
đối với trục Ox và Oy lần lượt là:
Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4)
Giá trị của mô-men quán tính luôn dương.
Nếu diện tích A được ghép từ nhiều hình đơn giản:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 9Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.3. Mômen quán tính đối với một trục
Bán kính quán tính của diện tích
A đối với trục Ox và Oy lần lượt là:
Đơn vị: [chiều dài] (ví dụ: m; cm)
Giá trị của bán kính quán tính luôn dương.
Bán kính quán tính của diện tích A đối với một trục đặc trưng
cho phân bố của vật liệu đối với trục đó (với cùng một diện tích
A, bán kính quán tính càng lớn thì càng có nhiều vật liệu ở xa
trục và ngược lại).
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 10Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.4. Mômen quán tính độc cực
Mômen quán tính độc cực của
diện tích A đối với điểm O là:
Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4)
Giá trị của mô-men quán tính độc cực
luôn dương.
Dựa vào định lý Pythagore, ta có quan hệ giữa các mô-men
quán tính:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 11Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm
Mômen quán tính ly tâm của
diện tích A đối với hệ trục Ox và
Oy là:
Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4)
Giá trị của mô-men quán tính ly tâm có thể
dương, âm hoặc bằng 0.
• Khi mômen quán tính ly tâm của mặt cắt đối với một hệ trục nào đó
bằng 0 thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính:
• Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt, ta cũng có thể xác
định được 1 hệ trục quán tính chính.
• Hệ trục quán tính chính có gốc tại trọng tâm C của mặt cắt được gọi
là hệ trục quán tính chính trung tâm.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 12Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm
Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục xo nào
vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó 1 hệ trục
quán tính chính Oxoy.
Trục x đi qua trọng tâm C và vuông góc với trục đối xứng
tạo thành hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 13Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Hình chữ nhật:
Đối với hệ trục Cxy đi qua trọng tâm
C của hình chữ nhật:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 14Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Hình tam giác:
Đối với hệ trục Oxy có trục Ox trùng với 1 đáy của tam giác:
Nếu trục x đi qua trọng tâm C của hình tam giác:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 15Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Hình tròn:
Đối với điểm O là tâm (đồng thời là trọng tâm) của hình tròn:
Do Ix = Iy và Ip = Ix + Iy ta có:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 16Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Hình vành khuyên:
Các công thức trên còn có thể được
viết dưới dạng:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 17Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Thép định hình chữ I, chữ C; thép góc (đều cạnh, không đều cạnh); thép
hộp, thép ống:
Các đặc trưng hình học đã được tính sẵn và lập thành bảng, có thể được tra
cứu dựa vào số hiệu của mặt cắt.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 18Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Ví dụ bảng tra
thép hình:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 19Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Ví dụ bảng tra
thép hình:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 20Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.7. Công thức chuyển trục song song
Cho mặt cắt ngang có diện tích A
trong hệ trục toạ độ oxy. Các đặc
trưng hình học của mặt cắt ngang đó
trong hệ trục toạ độ oxy lần lượt là Sx;
Sy; Ix; Iy.
Ta sẽ xác định các đặc trưng hình
học này trong hệ trục toạ độ mới
OXY song song với hệ trục toạ độ cũ.
Ta có:
(*) (a; b) là toạ độ của gốc tọa độ cũ trong hệ trục toạ độ mới.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 21Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.7. Công thức chuyển trục song song
Biến đổi tương tự ta có:
→ Công thức chuyển trục song song
của mômen quán tính.
Nếu hệ trục ban đầu là hệ trục trung
tâm của mặt cắt ngang thì ta có các
công thức đơn giản:
Chú ý: dấu của khoảng cách a, b giữa các trục.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 22Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng hình học
mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một góc nào đó so với
hệ trục ban đầu
5.8. Công thức xoay trục
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 23Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.8. Công thức xoay trục
Cho mặt cắt ngang có diện tích
A trong hệ trục toạ độ Oxy. Các
đặc trưng hình học của mặt cắt
ngang đó trong hệ trục toạ độ
Oxy lần lượt là Sx; Sy; Ix; Iy.
Ta sẽ xác định các đặc trưng
hình học này trong hệ trục toạ độ
mới Ouv là hệ trục Oxy quay đi
một góc α. Ta có:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 24Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.8. Công thức xoay trục
Khai triển và sử dụng các biến
đổi lượng giác:
Đây là các công thức xoay
trục của mômen quán tính.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 25Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
5.8. Công thức xoay trục
Nhận xét:
Các công thức xoay trục của mô-men quán tính hoàn toàn tương tự các công
thức của trạng thái ứng suất phẳng. Vì vậy, ta có thể áp dụng toàn bộ kết quả
của trạng thái ứng suất phẳng cho trạng thái mô-men quán tính của một mặt
cắt ngang.
 Hệ trục quán tính chính được xác
định bởi góc αo:
 Các mô-men quán tính chính cũng là
các cực trị của mô-men quán tính của
mặt cắt A:
 Bất biến của trạng thái mô-men quán tính:
Vòng tròn Mohr quán tính
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 26Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Cho mặt cắt ngang có hình dạng và kích
thước như hình vẽ. Xác định các mômen
quán tính chính trung tâm của mặt cắt
ngang.
GIẢI:
Chọn hệ trục toạ độ ban đầu Ox1y
như hình vẽ. Chia mặt cắt ngang làm
hai hình đơn giản (1) và (2).
1. Xác định tọa độ trọng tâm:
 Oy là trục đối xứng → xC = 0
 Xác định yC:
Ví dụ 5.1
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 27Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Dựng hệ trục quán tính chính
trung tâm Cxy.
2. Các mômen quán tính chính
trung tâm:
Ví dụ 5.1
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 28Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ 5.2
Xác định hệ trục quán tính chính
trung tâm và tính các mômen quán
tính chính trung tâm của mặt cắt
ngang như trên hình vẽ.
GIẢI:
•Xác định trọng tâm:
Chọn hệ trục toạ độ ban đầu Oxy.
Chia mặt cắt thành 2 hình (1) và (2).
Ta có:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 29Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ 5.2
•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:
Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán
tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY
quay đi một góc αo. Góc αo được xác định
bằng công thức:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 30Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ 5.2
•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:
Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán
tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY
quay đi một góc αo. Góc αo được xác định
bằng công thức:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 31Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ 5.2
•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:
Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán
tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY
quay đi một góc αo. Góc αo được xác định
bằng công thức:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 32Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ 5.2
•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:
Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán
tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY
quay đi một góc αo. Góc αo được xác định
bằng công thức:
Cuv là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 33Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Ví dụ 5.2
Cuv là hệ trục quán tính chính trung tâm của
mặt cắt.
•Các mô-men quán tính chính trung tâm:
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 34Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
SỨC BỀN VẬT LIỆU 1
Thank you for your attention
Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng
E-mail: tpnt2002@yahoo.com