Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Lấy mẫu (Sampling) - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
Ch-5: Lấy mẫu (Sampling)
Lecture-9 
5.1. Lý thuyết lấy mẫu
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
5.3. Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.1. Lý thuyết lấy mẫu
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

 Có vô số tín hiệu có thể khôi phục từ các mẫu biết trước.
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian

 Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn thì có thể khôi phục lại duy nhất
từ các mẫu biết trước nếu được lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
b) Lấy mẫu bằng bộ giữ mẫu bậc không
c) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

 Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn là B Hz

 Tín hiệu f(t) được lấy mẫu bằng cách nhân với chuỗi xung đơn vị
f (t)=f(t)p(t)
s
n
f (t)=f(t) δ(t nT )
∞
=−∞
−∑ s s
n
f (t) f(nT )δ(t nT )
∞
=−∞
= −∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

 Phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu
f(t) F(ω)↔
s s s s s
ns
2pip(t) P(ω) δ(ω nω ); F =1/T , ω =2piF
T
∞
=−∞
↔ = −∑
s
ns
1 1f (t) F(ω)= [F(ω) P(ω)] F(ω nω )
2pi T
∞
− −
=−∞
↔ ∗ = −∑
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
sF 2B≥ s; F =2B Nyquist rate

 Khôi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon
Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khôi phục chính
xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với
tốc độ Fs≥2B mẫu/s. Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ
nhất là Fs=2B Hz 
sω 4piB≥
Low-pass Filter
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

 Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

 Bộ khôi phục tín hiệu cho bộ giữ mẫu bậc không
r s 1 2H (ω)=T H (ω)H (ω) Không thực hiện được!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

 Khôi phục gần đúng cho bộ giữ mẫu bậc 0
Low-pass Filter
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Ideal Filter
Practical Filter

 Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

 Băng tần tín hiệu vô hạn – hiện tượng alias
Giải pháp: Anti-aliasing Filter 
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

 Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn và phổ như hình vẽ

 Lấy mẫu F(ω) trên thang tần số với chu kỳ lấy mẫu là ω0
0T 0 0 0
n= n=
F (ω)=F(ω) δ(ω nω ) F(nω )δ(ω nω )
+∞ +∞
−∞ −∞
− = −∑ ∑
0
0
T 0 0 0
n=
Tf (t)= f(t) δ(t nT );T =2pi/ω
2pi
+∞
−∞
∗ −∑ 0
0
T 0
n=
Tf (t)= f(t nT )
2pi
+∞
−∞
−∑
T 0
/2
pi
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

 Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc khi lấy mẫu phổ của tín hiệu
0T τ≥ 0ω 2pi/τ≤

 Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu
T 0
/2
pi
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT
jωtF(ω)= f(t)e dt∞ −
−∞
∫
jωt1f(t)= F(ω)e dω
2pi
∞
−∞
∫
N0 mẫu
N0 mẫu

 Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian
với các mẫu trong miền tần số
0 0 s s 0N =T /T ω /ω=
T 0
/2
pi
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

 Biến đổi DFT thuận:
0N 1_
s s
k=0
f (t)= f(kT )δ(t kT )
−
−∑
0
s
N 1
_ jωkT
s
k=0
F(ω)= f(kT )e
−
−∑
 Mặt khác trong đoạn -ωs/2 đến ωs/2 (tương ứng với N0 mẫu):
_
s
F(ω)F(ω)
T
=
0
0 s
N 1
_ jrω kT
0 s 0 s s
k=0
F(rω )=T F(rω )=T f(kT )e
−
−∑
 Đặt Ω0=ω0Ts=2pi/N0; Fr=F(rω0): mẫu thứ r của F(ω); fk=Tsf(kTs):
mẫu thứ k của f(t); ta có:
 Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T0 (tương ứng với N0 mẫu):
0
0
N 1 jrΩ k
r k
k=0
F = f e
−
−∑ (Biến đổi DFT thuận)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

 Biến đổi DFT ngược:
0 0 0
0 0 0
N 1 N 1 N 1jm r jrΩ k jm r
r k
r=0 r=0 k=0
F e = f e e
− − −
Ω − Ω 
 
  
∑ ∑ ∑
nhân DFT thuận với sau đó lấy tổng: 0jmΩ re
0 0 0
0 0
N 1 N 1 N 1jm r j(m k)Ω r
r k
r=0 k=0 r=0
F e = f e
− − −
Ω − 
 
  
∑ ∑ ∑
0
0
N 1 jm r
r
0 k 0 mr=0
0; k m
F e =
N f N f ;k m
−
Ω ≠

= =
∑
0
0
N 1 jrΩ k
k r
0 r=0
1f = F e
N
−
∑ (Biến đổi DFT ngược)
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT
Giảm khối lượng tính toán: 20 0 0logN N N→
0
0
1
0
N
jr k
r k
k
F f e
−
− Ω
=
= ∑
0
0
1
0 0
1 N jr k
k r
r
f F e
N
−
Ω
=
= ∑ Nhân: N0
Cộng: N0-1
Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng
Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2

 Đặt: ( )0 0
0
2 /j N j
NW e e
pi−
− Ω
= =

 Các biểu thức DFT được viết lại: 
0
0
1
0
N
kr
r k N
k
F f W
−
=
= ∑
0
0
1
0 0
1 N kr
k r N
r
f F W
N
−
−
=
= ∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

 Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:
0 0
k k
0 4 6 2 1 3 5 1
 g h
, , ,..., , , ,...,N N
sequence sequence
f f f f f f f f
− −



0 0
2 2
0 0
1 1 (2 1)2
2 2 1
0 0
N N
k rkr
r k N k N
k k
F f W f W
− −
+
+
= =
= +∑ ∑
Biểu thức DFT được viết lại:
0 0
2 2
0 0
02 2
1 1
2 2 1
0 0
N N
N N
kr r kr
r k N k
k k
F f W W f W
− −
+
= =
⇒ = +∑ ∑
Ta có: 0
02
2
N NW W=
0
r
r N rG W H= +
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

 Do Gr và Hr là DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn:
0 0
2 2
 &N Nr rr rG G H H+ += =
Mặt khác: 0 02 2
00 0
N N
r r
NN NW W W
+
=
0 0
j r r
N Ne W W
pi−
= = −
0 0
2 2
0 0
02 2
1 1
2 2 1
0 0
N N
N N
kr r kr
r k N k
k k
F f W W f W
− −
+
= =
⇒ = +∑ ∑ 0
r
r r N rF G W H= +
0
2
0 0 0
2 2 20
N
N N N
r
r r rNF G W H
+
+ + +⇒ = + 0 02N
r
r N rrF G W H+ = −
⇒
⇒
0(0 1)r N≤ ≤ −
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT
 Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT: 
0
0
0
0
02
2
2
; 0 1
; 0 1N
Nr
r r N r
Nr
r N rr
F G W H r
F G W H r+
= + ≤ ≤ −
= − ≤ ≤ −
rG rF
rH 02NrF +
0
r
NW
0
r
NW−
⇔
 Số phép toán nhân: 0 2 0log2
N N
 Số phép toán cộng: 0 2 0logN N