Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Trần Quang Việt (Tiếp)

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace
Lecture-11 
6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến đổi Laplace
6.3. Sơ đồ khối và thực hiện hệ thống
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến đổi Laplace
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI
6.2.3. Tính ổn định của hệ thống LTI mô tả bởi PTVP
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

 Hàm truyền của hệ thống LTI: xét HT LTI có đáp ứng xung h(t):
Ta có: y(t)=f(t) h(t)∗ Y(s)=F(s)H(s)
Với H(s) là biến đổi Laplace của h(t) còn được gọi là hàm truyền
của hệ thống
H(s)=Y(s)/F(s)

 Hàm truyền của hệ thống LTI ghép nối tiếp:

 Biểu diễn hệ thống LTI bằng hàm truyền
1 2H(s)=H (s)H (s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

 Hàm truyền của hệ thống LTI ghép song song:
1 2H(s)=H (s)+H (s)

 Hàm truyền của hệ thống LTI ghép hồi tiếp:
1
1 2
H (s)H(s)=
1+H (s)H (s)
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

 Hàm truyền của HT LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Q(D)y(t)=P(D)f(t)
k kD y(t) s Y(s)↔
k kD f(t) s F(s)↔
Q(s)Y(s)=P(s)F(s)
Y(s) P(s)H(s)=
F(s) Q(s)=
Ví dụ: xác định hàm truyền của HT LTI mô tả bởi PTVP
2(D +2D+3)y(t)=Df(t)
2
P(s) sH(s)= Q(s) s 2s 3= + +
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

 Ví dụ về xác định hàm truyền của hệ thống
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
x: chiều cao mặt đường, y: chiều cao xe
2
2
d y(t) dy(t) dx(t)
m +b +ky(t)=b +kx(t)
dt dt dt
∴
( ) ( )2 b bk km m m mD + D+ y(t)= D+ x(t)
2
(b/m)s+(k/m)H(s)
s +(b/m)s+(k/m)=
 Ví dụ 1: Hệ thống cơ học
X(s) Y(s)
2
(b/m)s+(k/m)
s +(b/m)s+(k/m)
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Ví dụ 2: mạch điện
2
 (D +4D+3)y(t)=Df(t)∴
2
sH(s)=
s +4s+3
 Với hệ thống là mạch điện ta có thể đưa biến đổi Laplace vào mạch
và giải mạch trực tiếp như là mạch thuần trở. Dưới đây là mô tả cho
hệ thống là mạch điện thuộc hệ thống LTI nhân quả
R Rv (t)=Ri (t) R RV (s)=RI (s)
L
L
di (t)
v (t)=L
dt L L
V (s)=LsI (s)
c
C
dv (t)i (t)=C
dt C C
I (s)=CsV (s) C C
1V (s)= I (s)
Cs
• Trở R:
• Điện dung C:
• Điện cảm L:
+
-
( )f t
( )y t
4Ω
1H
1
3
F
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
• KCL:
n
j
j=1
i (t)=0∑
n
j
j=1
I (s)=0∑
• KVL:
n
j
j=1
v (t)=0∑
n
j
j=1
V (s)=0∑
 Ví dụ 3:
+
-
( )f t
( )y t
4Ω
1H
1
3
F ( )F s
( )Y s 4 s
3/ s
2
sH(s)=
s +4s+3
∴ 2
s
s +4s+3F(s) Y(s)
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Ví dụ 4: Bộ khuếch đại
( ) fRRH s k∴ = − =
kF(s) Y(s)( )F s +
−
+
−
+
−
R
( )Y s
 Ví dụ 5: Bộ tích phân
( )F s +
−
+
−
+
−
R
( )Y s
1/ Cs
1/1( ) RC kRCs s sH s −∴ = − = =
k
s
F(s) Y(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Ví dụ 6: Hệ thống bậc 1
ka
s a+
F(s) Y(s)
( )F s +
−
+
−
+
−
R
( )Y s
1/Cs
fR
1;f
f
R
R R Ck a= − =
( )F s +
−
+
−
+
−
R ( )Y s
1/ fC s
fR
1/ Cs ( )
( )
k s a
s b
+
+
F(s) Y(s)
1 1; ;
f f f
C
C R C R Ck a b= − = =
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI
Giả sử chọn m=1, k=2, b=3  2
3 s + 2H (s )=
s + 3 s + 2
Giả sử x(t)=u(t)  1X (s )=
s
( )2
3 s+ 2Y (s )= H (s )X (s )=
s s + 3 s+ 2

 Ví dụ: Xét hệ thống cơ học sau
X(s) Y(s)
2
(b/m)s+(k/m)
s +(b/m)s+(k/m)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI
1 1 2Y (s )= +
s s+ 1 s+ 2
−
( )t 2 ty(t)= 1 + e 2 e u (t)− −−
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI
Nếu chọn m=1, k=5, b=2  2
2 s+ 5H (s )=
s + 2 s+ 5
2
1 2 s+ 5Y (s )= X (s )H (s )=
s s + 2 s+ 5
   
   
   
t 1
2y(t)= 1 e (co s2 t s in 2 t) u (t)− − − 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

 Xác định giá trị đầu và giá trị cuối của đáp ứng
s
y (0 ) lim [sY (s )]+
→ ∞
=
t s 0
lim y(t) lim [sY (s )]
→ ∞ →
=
( )2
3 s+ 2Y (s )=
s s + 3 s+ 2
( )2
3 2( 0 ) lim 0
3 2s
sy s
s s s
+
→ ∞
+
= =
+ +
( )20
3 2lim ( ) lim 1
3 2t s
sy t s
s s s→ ∞ →
+
= =
+ +
Ví dụ:
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.2.3. Tính ổn định của hệ thống LTI mô tả bởi PTVP

 Các poles của hàm truyền H(s) chính là nghiệm của PTĐT (xem
lại chương 2) nên tính ổn định của hệ thống tùy thuộc vào vị trí của
các poles trong mặt phẳng phức

 Hệ thống ổn định tiệm cận nếu: tất cả các poles nằm ở LHP

 Hệ thống ổn định biên nếu: không có pole nào ở RHP và có poles
đơn trên trục ảo

 Hệ thống không ổn định nếu có
một trong 2 ĐK: có pole ở RHP hoặc
có pole lặp trên trục ảo.
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.3. Sơ đồ khối và thực hiện hệ thống
6.3.1. Thực hiện hệ thống ở mức sơ đồ khối
6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch điện Op-amp
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.3.1. Thực hiện hệ thống ởmức sơ đồ khối

 Xét hệ thống với hàm truyền:
m m-1
m m-1 1 0
n n-1
n-1 1 0
b s +b s +...+b s+bH(s)=
s +a s +...+a s+a

 Ta có thể thực hiện hệ thống theo 3 cách khác nhau:
a) Dạng trực tiếp
b) Dạng nối tiếp
c) Dạng song song
 Dựa trên cơ sở bộ tích phân hoặc vi phân + khuếch đại & bộ cộng
 Thực tế không dùng bộ vi phân  không ổn định!!!

 Nếu m>n  H(s) là bộ vi phân bậc m-n  không xét trên thực tế!!!

 Bài toán tổng quát trên thực tế m≤n – tổng quát m=n:
n n-1
n n-1 1 0
n n-1
n-1 1 0
b s +b s +...+b s+bH(s)=
s +a s +...+a s+a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
a) Dạng trực tiếp

 Xét hàm truyền bậc 3:
3 2
3 2 1 0
3 2
2 1 0
b s +b s +b s+bH(s)=
s +a s +a s+a
1H (s)=X(s)/F(s)
3 2
3 2 1 0
3 2
2 1 0
b s +b s +b s+b
s +a s +a s+a
F(s) Y(s)
3 2
2 1 0
1
s +a s +a s+a
3 2
3 2 1 0b s +b s +b s+bF(s)
2H (s)=Y(s)/X(s)
Y(s)X(s)
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
a) Dạng trực tiếp
1 3 2
2 1 0
1 X(s)H (s)=
s +a s +a s+a F(s)=
1
s
1
s
1
s
3 ( )s X s
2 ( )s X s
( )sX s
( )X s
 +( )F s
2a
1a
0a
-
-
-
3 2
2 3 2 1 0
Y(s)H (s)=b s +b s +b s+b
X(s)=
3b + ( )Y s
2b
1b
0b
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
a) Dạng trực tiếp
n n-1
n n-1 1 0
n n-1
n-1 1 0
b s +b s +...+b s+bH(s)=
s +a s +...+a s+a

 Tổng quát cho hàm truyền bậc n:
1
s
1
s
1
s
( )ns X s
1 ( )ns X s−
( )sX s
( )X s
 +( )F s
1na −
n ka −
1a
-
-
-
n
b
 + ( )Y s
1nb −
n kb −
1b
1
s
( )n ks X s−
0a
-
0b
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
a) Dạng trực tiếp

 Ví dụ: Vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ thống sau
5
a) 
s+2
s+5
; b) 
s+7
s
; c) 
s+7 2
4s+28
; d) 
s +6s+5
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
b) Dạng nối tiếp

 Ví dụ 1: xét hệ thống sau: 2
4s+28H(s)=
s +6s+5
4s+28 1H(s)=
s+1 s+5
   
   
   
4s+28
s+1
1
s+5
F(s) Y(s)

 Ví dụ 2: xét hệ thống sau:
2
2
7s +37s+51H(s)= (s+2)(s+3)
Thực hiện như thế nào?
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
c) Dạng song song

 Ví dụ 1: xét hệ thống sau: 2
4s+28H(s)=
s +6s+5
6/(s+1)
2/(s+5)
F(s) Y(s)

 Ví dụ 2: xét hệ thống sau:
2
2
7s +37s+51H(s)= (s+2)(s+3)
Thực hiện như thế nào?
6 2H(s)=
s+1 s+5
−
+
-
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
d) Kết hợp nối tiếp và song song
Ví dụ: xét hệ thống sau:
2
2
7s +37s+51H(s)= (s+2)(s+3)

 Thực hiện H(s) có nghiệm lặp lại:
2
5 2 3H(s)= +
s+2 s+3 (s+3)−
5/(s+2)
1/(s+3)
F(s) Y(s)+
1/(s+3)
2
3
-
13
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
d) Kết hợp nối tiếp và song song
Ví dụ: xét hệ thống sau: 2
10s+50H(s)= (s+3)(s +4s+13)

 Thực hiện H(s) có các cực liên hiệp phức:
2 1+j2 1-j2H(s)= - -
s+3 s+2-j3 s+2+j3
2
2 2s-8H(s)= -
s+3 s +4s+13
Không
thực
hiện
được
Thực hiện theo dạng trực tiếp
Thực hiện nhờ hệ thống bậc 2
2/(s+3)
2
2s-8
s +4s+13
F(s) Y(s)+
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch điện Op-amp
2
2s+5H(s)=
s +4s+10
Ví dụ: thực hiện hệ thống có hàm truyền bằng
mạch điện Op-amp