Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace
Lecture-10 
6.1. Biến đổi Laplace
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1. Biến đổi Laplace
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận

 Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
thành phần tần số  phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn
trong miền tần số.
| ( ) | & | ( ) |f t dt h t dt∞ ∞
−∞ −∞
< ∞ < ∞∫ ∫

 Biến đổi Fourier là công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong
nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, )

 Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT 
với đáp ứng xung h(t) phải ổn định.

 Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,) và hệ
thống không ổn định  dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát
của biến đổi Fourier)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận

 Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian  tạo hàm mới φ(t) từ
f(t) sao cho tồn tại biến đổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R

 Biến đổi Fourier của φ(t) như sau:
( ) [ ( )] ( ) t j tt f t e e dtσ ωω φ ∞ − −
−∞
Φ = = ∫F ( )( ) j tf t e dtσ ω
∞
− +
−∞
= ∫
Đặt s=σ+jω: ( ) ( ) stf t e dtω ∞ −
−∞
Φ = ∫ F(s)=Φ(ω)
Hay: stF(s)= f(t)e dt∞ −
−∞
∫ (Biến đổi Laplace thuận) 
( ) ( ) tt f t e σφ −=
t
( )f t
t
( ) ( )]F s f t= L[Ký hiệu:
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận

 Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace: tập hợp các biến s trong
mặt phẳng phức có σ=Re{s} làm cho φ(t) tồn tại biến đổi Fourier
Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:
( ) ( ) ( ); 0ata f t e u t a−= > ( ) ( ) ( ); 0atb f t e u t a−= − > ( ) ( ) ( )c f t u t=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
(a) f(t)=δ(t)
-at(b) f(t)=e u(t); a>0
-at(c) f(t)=-e u(-t); a>0
( ) 1; ROC: s-planeF s⇒ =
1( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
⇒ = > −
+
1( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
⇒ = < −
+
(d) f(t)=u(t) 1( ) ; : Re{ } 0F s ROC s
s
⇒ = >
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

 Tính chất tuyến tính:
1 1( ) ( )f t F s↔
⇒ 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F s a F s+ ↔ +
2 2( ) ( )f t F s↔

 Dịch chuyển trong miền thời gian:
( ) ( )f t F s↔ ⇒ 00( ) ( ) stf t t F s e−− ↔
2 2 1: 2 ( ) ( ) ; : Re{ } 1
1 2
t tEx e u t e u t ROC s
s s
− −+ ↔ + > −
+ +
( )3 54 1: ( 3) ( 5)2 s s
tEx rect u t u t e e
s
− −
− 
= − − − ↔ − 
 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

 Dịch chuyển trong miền tần số:
( ) ( )f t F s↔ ⇒ 0 0( ) ( )s tf t e F s s↔ −
( ) 2 2: cos ( ) sEx bt u t s b↔ + ( ) 2 2cos ( ) ( )
at s ae bt u t
s a b
−
+
⇒ ↔
+ +

 Đạo hàm trong miền thời gian:
( ) ( )f t F s↔
⇒ 1 2 (1) ( 1)
( ) ( ) (0 ) (0 ) ... (0 )
n
n n n n
n
d f t
s F s s f s f f
dt
− − − − − −↔ − − − −
(1) ( )t sδ⇒ ↔( ) 1tδ ↔ ( ) ( )n nt sδ⇒ ↔
4( )
2
tf t rect − =  
 
2
2
( ) ?d f t
dt
⇒ ↔
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

 Tích phân miền thời gian:
( ) ( )f t F s↔ ⇒
0
( )( )t F sf d
s
τ τ
−
↔∫
0 ( ) ( )( )t
f d F sf d
s s
τ τ
τ τ
−
−∞
−∞
↔ +
∫
∫

 Tỷ lệ thời gian:
( ) ( )f t F s↔ ⇒ 1( ) ; 0sf at F a
a a
 ↔ > 
 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

 Tích chập miền thời gian:
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F s f t F s↔ ↔ ⇒ 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s∗ ↔

 Tích chập miền tần số:
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F s f t F s↔ ↔ ⇒ [ ]121 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )jf t f t F s F spi↔ ∗

 Đạo hàm trong miền tần số:
( ) ( )f t F s↔ ⇒ ( )( ) dF stf t
ds
↔−
1( )
1
te u t
s
− ↔
+ ( )2
1( )
1
tte u t
s
−⇒ ↔
+
2 ( ) ?t u t ↔
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

 Tín hiệu f(t) được tổng hợp như sau: ( ) ( ). tf t t eσφ=
1 1
2( ) [ ( )]. ( ) .t j t tf t e F s e d eσ ω σpiω ω
∞
−
−∞
 
= Φ =   ∫F
1
2( ) ( )
j
st
j j
f t F s e dsσpi σ
+ ∞
− ∞
= ∫ (Biến đổi Laplace ngược) 
 Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!

 Mô tả F(s) về các hàm đơn giản mà đã có kết quả trong bảng các cặp
biến đổi Laplace. Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!
 Zero của F(s): các giá trị của s để F(s)=0 
 Pole của F(s): các giá trị của s để F(s)→∞
 Nếu F(s)=P(s)/Q(s)  Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole
Ký hiệu: [ ]-1f(t) ( )F s= L
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Dùng bảng
Dùng ?

 Ví dụ:
2
3 2
2 1 1 1
3 2 1 2
s
s s s s s s
−
= − + +
+ + + +
( )2-1 -1 23 2 2 1 1 1 1 ( )3 2 1 2 t t
s
e e u t
s s s s s s
− −
 −  ⇒ = − + + = − + +   + + + +  
L L
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
start
m<n
m≥n
Polynomical
dividing;
in case m=n
F(s)/s
Expend
the proper.
The result 
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,) 
Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths

 Xét hàm hữu tỷ sau:
1
1 1 0
1
1 1 0
... ( )( )
... ( )
m m
m m
n n
n
b s b s b s b P sF s
s a s a s a Q s
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
( ) ( ) / ( )F s P s Q s=
 Xác định zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau

 Khai triển các hàm proper:
 Giả sử các pole là: s=λ1,λ2,λ3,
 Khai triển F(s) dùng quy luật sau:
• Các pole không lặp lại:
31 2
1 2 3
( ) ...( ) ( ) ( )
kk kF s
s s sλ λ λ= + + +− − −
• Các pole lặp lại, giả sử λ2 lặp lại r lần
1
2 31
01 2 3
( ) ...( ) ( ) ( )
r
j
r j
j
k kkF s
s s sλ λ λ
−
−
=
= + + +
− − −
∑
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

 Phương pháp hàm tường minh xác định các hệ số:
• Nhân 2 vế với Q(s); sau đó cân bằng thu được hệ phương trình
theo các hệ số cần tìm
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!
• Giải hệ phương trình tìm các hệ số
2
31 2
3 2
2
3 2 1 2
kk ks
s s s s s s
−
= + +
+ + + +
2
1 2 32 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)s k s s k s s k s s⇒ − = + + + + + +
• ví dụ:
1 2 3
1 2 3
1
1
3 2 0
2 2
k k k
k k k
k
+ + =
+ + =
= −
⇒
1
2
3
1
1
1
k
k
k
= −
=
=
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

 Phương Heaviside xác định các hệ số:
• Các pole không lặp lại: ( ) ( )
i
i i s
k s F s λλ == −
• Các pole lặp lại:
0 ( ) ( )
1 ( ) ( ) ; 0
!
i
i
r
i i s
j
r
ij ij s
k s F s
dk s F s jj ds
λ
λ
λ
λ
=
=
= −
 = − ≠ 
3
8 10( ) ( 1)( 2)
sF s
s s
+
=
+ +
• Ví dụ: 201 21 223 2( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
kk k k
s s s s
= + + +
+ + + +
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

 Phương hổn hợp: phương pháp nhanh nhất!!!
3
8 10( ) ( 1)( 2)
sF s
s s
+
=
+ +
• Ví dụ: 201 21 223 2( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
kk k k
s s s s
= + + +
+ + + +
1 22 220 2k k k+ = ⇒ = −( ); :sF s s → ∞
0 :s = 20 21 221
5
8 4 2 4
k k kk + + + =
( )1 3 1
8 10 2
2
s
sk
s
=−
+
= =
+ ( )20 2
8 10 6
1
s
sk
s
=−
+
= =
+
1 20 22
21
10 8 4
2
k k kk − − −⇒ =
21
10 16 6 8 2
2
k − − +⇒ = = −
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

 Ví dụ: tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau:
2
7 - 6( ) F(s)=
6
s
a
s s− −
2
2
2 5( ) F(s)=
3 2
sb
s s
+
+ +
2
6( 34)( ) F(s)= ( 10 34)
s
c
s s s
+
+ +