Bài giảng Toán C1 - Chương 4: Phương trình vi phân - Huỳnh Văn Kha

Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Huỳnh Văn Kha
Khoa Toán – Thống Kê
Toán C1 - MS: C01009
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
Nội dung
1 Định nghĩa phương trình vi phân
2 Một số loại phương trình vi phân cấp 1 thường gặp
PTVP cấp 1 dạng tách biến, tuyến tính, đẳng cấp
Một số bài tập
3 PTVP cấp 2
Khái niệm – Các PTVP cấp 2 giảm cấp được
4 PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Một số khái niệm – Cấu trúc nghiệm
PTVP tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng
Bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị biên
5 PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
Cấu trúc nghiệm – Tìm nghiệm riêng
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
Định nghĩa PTVP
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến
độc lập x với hàm cần tìm y và các đạo hàm của nó
y ′, y ′′, . . . y (n). Như vậy ptvp là phương trình có dạng
F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0.
Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm có trong
phương trình.
Nếu thay y bằng hàm số y(x) vào ptvp, ta được
đồng nhất thức, thì ta nói y = y(x) là nghiệm của
ptvp đó. Giải ptvp là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Đồ thị của một nghiệm y = y(x) gọi là đường cong
tích phân.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 2 / 32
PTVP cấp 1
PTVP cấp 1 là phương trình có dạng: F (x , y , y ′) = 0.
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y = y(x) của
ptvp thỏa điều kiện đầu y(x0) = y0.
Ví dụ 1. Giải ptvp y ′ = sin x và tìm nghiệm của bài
toán Cauchy y ′ = sin x , y(0) = 1.
Hàm số y = ϕ(x ,C ) gọi là nghiệm tổng quát của
ptvp trên miền D ⊂ R2 nếu với mọi (x0, y0) ∈ D tồn
tại duy nhất C0 sao cho y = ϕ(x ,C0) là nghiệm của
bài toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0.
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C
một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 3 / 32
Xét bài ptvp đã giải đối với đạo hàm y ′ = f (x , y).
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Nếu f (x , y) liên tục trên D ⊂ R2, thì với mọi
(x0, y0) ∈ D, bài toán y ′ = f (x , y), y(x0) = y0 luôn có
nghiệm y = y(x) xác định trong một lân cận của x0.
Ngoài ra nếu hàm số
∂f
∂y
liên tục trên D thì nghiệm đó là
duy nhất.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 4 / 32
PTVP dạng tách biến
PTVP tách biến là ptvp có dạng: y ′ = f (x)g(y).
Cách giải. Với điều kiện g(y) 6= 0, chia hai vế cho g(y),
ta được
dy
g(y)
= f (x)dx . Lấy tích phân 2 vế.
Ví dụ 2.
1. Giải ptvp
dy
dx
=
x2
y 2
, y(0) = 2.
2. Giải ptvp y ′ =
6x2
2y + cos y
.
3. Giải ptvp
xdy
1+ x2
=
(
y +
1
y
)
dx .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 5 / 32
Nghiệm của y ′ =
6x2
2y + cos y
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 6 / 32
Nghiệm của
dy
dx
=
x2
y 2
, y(0) = 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 7 / 32
PTVP tuyến tính cấp 1
PTVP tuyến tính cấp 1 là ptvp: y ′ + p(x)y = q(x).
Cách giải. Nhân 2 vế cho e
∫
p(x)dx , pt trở thành:(
ye
∫
p(x)dx
)′
= q(x)e
∫
p(x)dx . Lấy nguyên hàm.
Ví dụ 3. Giải ptvp
1.
dy
dx
+ 3x2y = 6x2
2. x2y ′ + xy = 1, x > 0, y(1) = 2
3. y ′ − 3x2y = ex3 sin x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 8 / 32
Nghiệm của
dy
dx
+ 3x2y = 6x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 9 / 32
Nghiệm của x2y ′ + xy = 1, x > 0, y(1) = 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 10 / 32
PTVP đẳng cấp
Phương trình vi phân đẳng cấp là ptvp dạng y ′ = h
(y
x
)
.
Cách giải: Đặt u = y/x và đưa về dạng tách biến.
Ví dụ 4. Giải các phương trình vi phân.
1. y ′ =
y 2 + 2xy
x2
.
2.
{
xy ′ = y + 3
√
xy
y(1) = 9
.
3. xy ′ = (x + y) ln
x + y
x
+ y .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 11 / 32
Bài tập. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau đây.
1.
 y ′ = x
2 + 3y
x
y(2) = 8
2. y ′ − y
x − 1 = x
2(x2 − 1)
3.
 sin(2x)dx +
ydy
x(y + 1)
= 0
y
(
pi
2
)
= 0
4. xy ′ =
y 2
y − x , y(1) = e
5. (x2 + 1)y ′ + y(y − 1) = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 12 / 32
PTVP cấp 2
Phương trình vi phân cấp 2 là PTVP có dạng
F (x , y , y ′, y ′′) = 0 hoặc y ′′ = f (x , y , y ′).
Ví dụ 1. Các phương trình sau đây là các PTVP cấp 2
x3y ′′ + 2xy + exy + 3x = 0
y ′′ = 8exy ′ + y
Xét phương trình y ′′ = f (x , y , y ′). Nếu f liên tục trên
miền mở chứa điểm (x0, y0, y1) thì phương trình đã cho
tồn tại nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y
′(x0) = y1.
Hơn nữa, nếu
∂f
∂y
và
∂f
∂y ′
đều liên tục thì nghiệm nói trên
là duy nhất.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 13 / 32
Các PTVP cấp 2 giảm cấp được
PTVP cấp 2 y ′′ = f (x , y , y ′) nếu có các dạng sau thì có
thể giảm cấp.
Trường hợp 1. Nếu vế phải không chứa y , y ′, lấy tích
phân hai lần, ta được nghiệm.
Ví dụ 2. Giải PTVP y ′′ = sin x , y(0) = 0, y ′(0) = 1.
Trường hợp 2. Nếu vế phải không chứa y , đặt u = y ′
ta được PTVP cấp 1.
Ví dụ 3. Giải PTVP y ′′ = x − y
′
x
.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 14 / 32
Trường hợp 3. Nếu vế phải không chứa x , coi y ′ là
hàm theo y , nghĩa là đặt y ′ = p(y) thì y ′′ = pp′. Giải p
theo y .
Ví dụ 4. Giải PTVP 2yy ′′ + y ′2 = 0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 15 / 32
PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất
PTVP tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng
P(x)
d2y
dx2
+ Q(x)
dy
dx
+ R(x)y = G (x) (1)
với P(x) 6≡ 0.
Nếu G (x) ≡ 0 thì (1) được nói là thuần nhất.
Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất là
phương trình có dạng:
P(x)
d2y
dx2
+ Q(x)
dy
dx
+ R(x)y = 0 (2)
Nếu G (x) 6≡ 0 thì (1) được nói là không thuần nhất.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 16 / 32
Cấu trúc nghiệm PTVPTTC2TN
Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì với mọi hằng
số c1, c2, ta có y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) cũng là nghiệm
của (2).
Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính
nếu c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0 kéo theo c1 = c2 = 0.
Nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của
(2) thì nghiệm tổng quát của (2) được cho bởi
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
trong đó, c1, c2 là các hằng số tùy ý.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 17 / 32
PTVPTTC2TN hệ số hằng
Nếu P ,Q,R là các hằng số thì (2) gọi là PTVP tuyến
tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. Như vậy PTVP tuyến
tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng
ay ′′ + by ′ + cy = 0 (3)
với a 6= 0.
Ta sẽ tìm 2 nghiệm ĐLTT của (3) dưới dạng y(x) = erx .
Ta có y ′(x) = rerx , y ′′(x) = r 2erx . Thay vào (3)(
ar 2 + br + c
)
erx = 0
Nhưng erx 6= 0,∀x nên ar 2 + br + c = 0.
Phương trình ar 2 + br + c = 0 (4) gọi là phương trình
đặc trưng của (3).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 18 / 32
Nếu pt đặc trưng (4) có 2 nghiệm thực phân biệt
r1, r2 thì nghiệm tổng quát của (3) là
y(x) = c1e
r1x + c2e
r2x
Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm thực duy nhất r0
thì nghiệm tổng quát của (3) là
y(x) = c1e
r0x + c2xe
r0x
Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm ảo r = α± iβ thì
nghiệm tổng quát của (3) là
y(x) = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 19 / 32
Ví dụ 5. Giải các PTVP sau
1. y ′′ + y ′ − 6y = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 20 / 32
2. 3y ′′ + y ′ − y = 0
3. 4y ′′ + 12y ′ + 9y = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 21 / 32
4. y ′′ − 6y ′ + 13y = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 22 / 32
Bài toán giá trị đầu
Bài toán giá trị đầu cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm
nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y
′(x0) = y1.
Ví dụ 6. Giải PTVP
1. y ′′ + y ′ − 6y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 23 / 32
2. y ′′ + y = 0, y(0) = 2, y ′(0) = 3
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 24 / 32
Bài toán giá trị biên
Bài toán giá trị biên cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm
nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y(x1) = y1.
Ví dụ 7. Giải PTVP
y ′′ + 2y ′ + y = 0, y(0) = 1, y(1) = 3
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 25 / 32
PTVP TTC2 KTN hệ số hằng
PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng là
PTVP có dạng
ay ′′ + by ′ + cy = G (x) (5)
với G (x) 6≡ 0.
Gọi y = y0(x) là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất tương ứng ay ′′ + by ′ + cy = 0, thì nghiệm
tổng quát của (5) có dạng:
y(x) = y0(x) + yr(x)
trong đó yr(x) là một nghiệm riêng của (5).
Như vậy nếu tìm được nghiệm riêng thì sẽ tìm được
nghiệm tổng quát của (5).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 26 / 32
Tìm nghiệm riêng
1. Nếu G (x) = eαxPn(x), trong đó Pn(x) là đa thức bậc
n thì một nghiệm riêng của (5) có dạng
yr(x) = x
seαxQn(x)
Trong đó, Qn(x) là đa thức bậc n, có n + 1 hệ số cần
xác định, và
s =

0 nếu α không là nghiệm của pt đặc trưng
1 nếu α là nghiệm đơn của pt đặc trưng
2 nếu α là nghiệm kép của pt đặc trưng
Ví dụ 8. Giải PTVP
1. y ′′ + 4y = e3x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 27 / 32
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 28 / 32
2. y ′′ − 3y ′ + 2y = 2ex − 2xex
3. y ′′ + y ′ − 2y = x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 29 / 32
2. Nếu G (x) = eαx [Pn(x) cos βx + Qm(x) sin βx ], trong
đó Pn(x) là đa thức bậc n, Qm(x) là đa thức bậc m thì
một nghiệm riêng của (5) có dạng
yr(x) = x
seαx [Rk(x) cos βx + Tk(x) sin βx ]
Trong đó k = max{n,m}, Rk(x), Tk(x) là các đa thức
bậc k cần xác định và
s =
{
0 nếu α + iβ không là nghiệm của pt đặc trưng
1 nếu α + iβ là nghiệm của pt đặc trưng
Ví dụ 9. Giải PTVP
1. y ′′ + y = 3 sin x , y(0) = y ′(pi) = 1
2. y ′′ − 5y ′ + 6y = 3 sin 2x − 2 cos 2x
3. y ′′ + y ′ − 2y = e2x (5 cos x + 3 sin x)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 30 / 32
3. Nếu G (x) = G1(x) + G2(x) với G1(x), G2(x) có 1
trong 2 dạng trên, thì một nghiệm riêng của (5) dạng
yr(x) = yr1(x) + yr2(x)
với yr1, yr2 là các nghiệm riêng của các phương trình
ay ′′ + by ′ + cy = G1(x), ay ′′ + by ′ + cy = G2(x)
Ví dụ 10. Giải PTVP
y ′′ − 4y = xex + cos 2x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 31 / 32
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 32 / 32