Bài giảng Toán cao cấp (A1) - Vũ Gia Lê
Tóm tắt Bài giảng Toán cao cấp (A1) - Vũ Gia Lê: ...trên X và 2 ' '' g fggf g f −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Bằng một phép qui nạp đơn giản, nhận được: Nếu và khả vi trên *Nn∈ nfff ,...,, 21 X thì khả vi trên ∑ = n i if 1 X và ∑∑ == =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n i i n i i ff 1 ' 1 ' khả vi trên ∏ = n i if 1 X và ∑∏ = +− = =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛...1 0 )( n i ii xf Δξσ f [ ]baRf ,∈ sẽ có dãy vô hạn tổng Riemann σ Kí hiệu là )( nσ . 4. Nếu 0→λ mà In →σ hữu hạn ( không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các điểm iξ ứng với cách chia đó ) thì I gọi là tích phân xác định của trên f [ ]ba, , Kí hiệu là , khi đó nói rằng k...cực điểm Nhận xét 2 sin 2 sin2 2 sin 2 sin2coscos ϕθθϕθϕθϕθϕ −+=−+−=− θϕθθϕ ϕθ ϕθθϕ θϕ sin 1 2 sin 2 sin 21: coscos 1 ⎯⎯ →⎯−+ − =−− → Vậy tích phân hội tụ. d. 0 )( 1 0 3 =−∫ − xeex dx xx , là cực điểm. 3 2 332 .2~)()(2 xeexxoxee xxxx −− −⇒+=− khi 0→x Theo...
Nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp (A1) - Vũ Gia Lê, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
( a ,...2,1sin)(2sin)( 01 === ∫∑∞ = kdx a xkxf a b a xkbxf a k k k , , ππ (5.56) Lập hàm số tuần hoàn với chu kỡ )(xFc aT 2= 218 Chương 5: Lý thuyết chuỗi và ⎩⎨ ⎧ << <<−−= axxf xaxf xFc 0)( 0)( )( , , Xem hỡnh 5.6 Hàm số là hàm số chẵn và thoả món định lớ Dirichlet, khai triển được thành chuỗi Fourier. Vậy tại cỏc điểm liờn tục của trờn sẽ cú: )(xFc )(xf ),0( a ,...2,1,0cos)(2cos 2 )( 01 0 ==+= ∫∑∞ = kdx a xkxf a a a xkaaxf a k k k , , ππ (5.57) Như vậy, nhờ vào thỏc triển lẻ hoặc chẵn hàm số sẽ nhận được khai triển theo hệ cỏc hàm sin hoặc cụsin của hàm số đó cho. )(xf y a x a3− a− a3 H.5.6 Vớ dụ 1: Cho )1,0()( ∈= xxxf , a. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier. b. Khai triển hàm số theo cỏc hàm sin. c. Khai triển hàm số theo cỏc hàm cụsin. Giải: a. Bằng cỏch thỏc triển tuần hoàn hàm số với chu kỡ 1=T (Xem 5.54) nhận được: xkbxkaax k k k ππ 2sin2cos2 1 0 ++= ∑∞ = 12 1 0 0 == ∫ xdxa 219 Chương 5: Lý thuyết chuỗi ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −== ∫∫ 1 0 1 0 1 0 2sin 2 12sin 2 22cos2 xdxk k xk k xxdxkxak πππππ ,...2,102cos )(2 1 1 02 === kxkk , ππ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−== ∫∫ 1 0 1 0 1 0 2cos 2 12cos 2 22sin2 xdxk k k k xxdxkxbk πππππ ,...2,11 =−= k k , π )1,0(2sin1 2 1 1 ∈−= ∑∞ = x k xkx k , π π b. Bằng cỏch thỏc triển lẻ hàm số (Xem 5.55 ) sẽ cú: )1,0(sin 1 ∈= ∑∞ = xxkbx k k , π ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−== ∫∫ 1 0 1 0 1 0 cos1cos2sin2 xdxk kk xkxxdxkxbk πππ ππ ,...2,1)1(2sin )( 2cos2 11 02 =−=−−= − kkxkkk k k , ππππ π ∑∞ = −−= 1 1 sin)1(2 k k k xkx ππ Cụng thức này đỳng trờn [ )1,0 c. Bằng cỏch thỏc triển chẵn hàm số (Xem 5.52 ) )1,0(cos 2 1 0 ∈∀+= ∑∞ = xxkaax k k , π 12 1 0 0 == ∫ xdxa ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −== ∫∫ 1 0 1 0 1 0 sin1sin2cos2 xdxk kk xkxxdxkxak πππ ππ ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+− = =−−== 12 )12( 4 20 1)1( )( 2cos )( 2 22 2 1 02 nk n nk k xk k k , , ππ ππ ∑∞ = + +−= 0 22 )12( )12cos(4 2 1 n n xnx ππ 220 Chương 5: Lý thuyết chuỗi Cụng thức này đỳng trờn [ ] 1,0 Thay hoặc vào cụng thức trờn sẽ nhận được tổng của một chuỗi 0=x 1=x số đặc biệt ... 5 1 3 11 )12( 1 8 220 2 2 +++=+= ∑ ∞ =n n π Vớ dụ 2: Cho hàm số ),0(sin)( π∈= xxxf , . Hóy khai triển thành chuỗi Fourier chỉ chứa cỏc hàm cụsin Giải: Thỏc triển chẵn hàm số đó cho sẽ cú. ∑∞ = += 1 0 cos 2 sin k k kxa ax , trong đú ππ π 4sin2 0 0 == ∫ xdxa [ ]∫∫ −++== ππ ππ 00 )1sin()1sin( 1cossin2 dxxkxkkxdxxak Suy ra 02cos 2 1 01 =−= ππ xa ππ 0)1cos(1 1)1cos( 1 11 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−++−= xkkxkkak ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−− += =−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−−= + nk n nk kk k 2 14 1.4 120 1)1( 1 1 1 11 2 1 , , ππ Vậy [ ]πππ ,014 2cos42sin 1 2 ∈−−= ∑ ∞ = x n nxx n , Thay vào cụng thức sẽ cú 0=x ∑∞ = −= 1 2 14 1 2 1 n n Vớ dụ 3: Chứng minh rằng 221 Chương 5: Lý thuyết chuỗi ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤<− = << = <≤ ==+−+− , , - , , 34 , πππ ππ ππ ππ ππ x x x x x xSxxxx 3 2 32 3 2 34 3 2 3 0 3 3 0 32 )(... 11 11cos 7 7cos 5 5coscos Giải: Nhận thấy tổng của chuỗi là hàm số xỏc định trờn )(xS [ ]π,0 và cỏc số hạng của chuỗi là cỏc hàm cụsin, vậy chuỗi đú chớnh là thỏc triển chẵn của hàm nào đú cho trờn )(xf ),0( π . Từ tổng , chỳng ta hóy xột hàm )(xS )(xf ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <<− << << = ππ ππ π x x x xf 3 2 2 1 3 2 3 0 3 0 2 1 )( , , , Và khai triển hàm theo cỏc hàm cụsin )(xf 3 2, 3 ),0(cos 2 )( 1 0 πππ ≠∈+= ∑∞ = xxkxaaxf k k , , 0 2 1 2 12 3 2 3 0 0 =⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∫∫ π π π π dxdxa ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∫∫ π π π π 3 2 3 0 coscos1 kxdxkxdxak 6 cos 2 sin2 3 2sin 3 sin1 πππ ππ π kk k kk k =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=++ − = = 12 6 )12(cos )12( )1(2 20 mkm m mk m , , π π 222 Chương 5: Lý thuyết chuỗi Tiếp tục ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∈−=+− ∈=+ ∈+= =+ * 12 13 )16( 3 3 )16( 3 130 Nkkm k Nkkm k Nkkm a m , , , , , , π π Vậy ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −−++= ∑∑ ∞ = ∞ = 10 16 )16cos()16cos( 16 13)( kk k xkxk k xf π Theo định lớ Dirichlet ta nhận được chớnh là tổng của chuỗi. )(xS Vớ dụ 4: Cho hàm số tuần hoàn với chu kỡ )(xf π2 cú cỏc hệ số Fourier là . Hóy tớnh cỏc hệ số Fourier của hàm ,...2,10 =kbaa kk , , , )( hxf + , . )( consth = Giải: Giả sử cỏc hệ số Fourier của )( hxf + là ,...2,10 =kBAA kk , , , . Khi đú. 00 )( 1)(1 adxxfdxhxfA h h ==+= ∫∫ + +−− π π π π ππ ∫∫ + +−− −=+= h h k dxhxkxfkxdxhxfA π π π π ππ )(cos)(1cos)(1 ∫∫ + +− + +− += h h h h kxdxxfkhkxdxxfkh π π π π ππ sin)(1.sincos)(1.cos ,...2,1sincos =+= kkhbkha kk , Tương tự ,...2,1sincos =−= kkhakhbB kkk , 223 Tài liệu tham khảo 1. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. G. M. FICHTENGễN, Giỏo trỡnh phộp tớnh vi tớch phõn, Tập 1,2,3. Nauka, Moskva,1969. (tiếng Nga) 2. G. M. FICHTENGễN, Cơ sở giải tớch toỏn học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và Trung học chuyờn nghiệp, Hà nội, 1977. 3. K. MAURIN, Analiza, PWN, Warszawa, 1976. .1,,cCzes 4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991. 5. NGUYỄN ĐèNH TRÍ (chủ biờn), Toỏn học cao cấp ,Tập 1,2,3. NXB Đại học và Giỏo dục chuyờn nghiệp, Hà nội, 1990. 6. JEAN-MARIE MONIER, Giỏo trỡnh toỏn, Tập 1,2,3,4. NXB Giỏo dục, Hà nội, 1999 (dịch từ tiếng Phỏp, DUNOD, Paris,1999) 224 Mục lục Mục lục Ch−ơng I: Giới hạn của d∙y số .................................................................................... 3 1.1. Số thực .................................................................................................................................... 3 1.1.1. Các tính chất cơ bản của tập số thực..................................................................................... 3 1.1.2. Tập số thực mở rộng ............................................................................................................. 6 1.1.3. Các khoảng số thực............................................................................................................... 7 1.1.4. Giá trị tuyệt đối của số thực.................................................................................................. 7 1.1.5. Khoảng cách thông th−ờng trong R...................................................................................... 8 1.2. Số phức ................................................................................................................................... 9 1.2.1. Định nghĩa và các dạng số phức ........................................................................................... 9 1.2.2. Các phép toán trên tập C.......................................................................................................10 1.2.3. áp dụng số phức vào l−ợng giác ..........................................................................................17 1.3. Dãy số thực .............................................................................................................................19 1.3.1. Các khái niệm cơ bản của dãy số thực..................................................................................19 1.3.2. Tính chất của dãy hội tụ .......................................................................................................20 1.3.3. Tính đơn điệu của dãy số......................................................................................................26 1.3.4. Dãy con.................................................................................................................................31 Ch−ơng II: Hμm số một biến số....................................................................................34 2.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số ..........................................................................................34 2.1.1. Các định nghĩa cơ bản ..........................................................................................................34 2.1.2. Các hàm số thông dụng ........................................................................................................37 2.1.3. Hàm số sơ cấp.......................................................................................................................47 2.2. Giới hạn của hàm số ..............................................................................................................47 2.2.1. Khái niệm về giới hạn...........................................................................................................47 2.2.2. Tính chất của hàm có giới hạn..............................................................................................49 2.2.3. Các giới hạn đáng nhớ ..........................................................................................................56 2.3. Đại l−ợng vô cùng bé (VCB) và đại l−ợng vô cùng lớn (VCL)...........................................58 2.3.1. Đại l−ợng VCB .....................................................................................................................58 2.3.2. Đại l−ợng VCL .....................................................................................................................60 225 Mục lục 2.4. Sự liên tục của hàm số ...........................................................................................................62 2.4.1. Các khái niệm cơ bản ...........................................................................................................62 2.4.2. Các phép toán đại số của hàm liên tục..................................................................................63 2.4.3. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn........................................................................65 2.4.4. Tính liên tục đều...................................................................................................................66 Ch−ơng III: Phép tính vi phân hμm số một biến số..........................................68 3.1. Đạo hàm .................................................................................................................................68 3.1.1. Đạo hàm tại một điểm ..........................................................................................................68 3.1.2. Các phép tính đại số của các hàm khả vi tại một điểm.........................................................71 3.1.3. Đạo hàm trên một khoảng (ánh xạ đạo hàm) .......................................................................74 3.1.4. Đạo hàm của các hàm số thông th−ờng................................................................................75 3.2. Vi phân của hàm số ...............................................................................................................81 3.2.1. Định nghĩa vi phân tại một điểm ..........................................................................................81 3.2.2. Vi phân trên một khoảng ......................................................................................................82 3.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao .................................................................................................84 3.3.1. Đạo hàm cấp cao ..................................................................................................................84 3.3.2. Vi phân cấp cao ....................................................................................................................85 3.3.3. Lớp của một hàm..................................................................................................................86 3.4. Các định lí về giá trị trung bình ...........................................................................................91 3.4.1. Định lí Phéc ma (Fermat) .....................................................................................................91 3.4.2. Định lí Rôn (Rolle)...............................................................................................................92 3.4.3. Định lí số gia hạn. (định lí Lagơrăng (Lagrange))................................................................93 3.4.4. Định lí số gia hữu hạn suy rộng (Định lí Côsi (Cauchy)).....................................................95 3.5. ứng dụng các định lí về giá trị trung bình ..........................................................................98 3.5.1. Công thức Taylo (Taylor), công thức Maclôranh (McLaurin)..............................................98 3.5.2. Qui tắc Lôpitan (L' Hospital)............................................................................................. 102 3.6. Sự biến thiên của hàm số ................................................................................................... 105 3.6.1. Tính đơn điệu của hàm khả vi ........................................................................................... 105 3.6.2. Điều kiện hàm số đạt cực trị .............................................................................................. 107 3.7. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất .................................................................... 109 3.7.1. Hàm liên tục trên đoạn kín [a,b]........................................................................................ 109 3.7.2. Hàm liên tục trên khoảng mở, khoảng vô hạn................................................................... 110 226 Mục lục 3.8. Hàm lồi ................................................................................................................................ 110 3.8.1. Khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và điểm uốn.................................................................... 110 3.8.2. Điều kiện hàm lồi .............................................................................................................. 113 3.9. Tiệm cận của đ−ờng cong .................................................................................................. 115 3.9.1. Khái niệm chung về tiệm cận ............................................................................................ 115 3.9.2. Phân loại và cách tìm tiệm cận .......................................................................................... 116 3.10. Bài toán khảo sát hàm số .................................................................................................... 117 Ch−ơng IV: Phép tính tích phân.............................................................................. 122 4.1. Khái niệm về tích phân xác định....................................................................................... 122 4.1.1. Định nghĩa tích phân xác định........................................................................................... 122 4.1.2. Điều kiện tồn tại ................................................................................................................ 123 4.1.3. Lớp các hàm khả tích......................................................................................................... 125 4.1.4. Các tính chất của tích phân xác định ................................................................................. 126 4.1.5. Công thức Niutơn-Lépnít (Newbnitz)................................................................................ 129 4.2. Hai ph−ơng pháp cơ bản tính tích phân xác định ........................................................... 135 4.2.1. Phép đổi biến ..................................................................................................................... 135 4.2.2. Phép tích phân từng phần................................................................................................... 135 4.3. Ph−ơng pháp tính tích phân bất định .............................................................................. 141 4.3.1. Bảng các nguyên hàm thông dụng..................................................................................... 141 4.3.2. Hai ph−ơng pháp cơ bản tính tích phân bất định ............................................................... 142 4.3.3. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ .......................................................... 145 4.3.4. Tính nguyên hàm các phân thức hữu tỉ đối với một số hàm thông dụng........................... 147 4.4. Một số ứng dụng của tích phân xác định.......................................................................... 152 4.4.1. Tính điện tích hình phẳng.................................................................................................. 153 4.4.2. Tính độ dài đ−ờng cong phẳng .......................................................................................... 155 4.4.3. Tính thể tích vật thể ........................................................................................................... 157 4.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay ............................................................................................. 159 4.5. Tích phân suy rộng............................................................................................................. 161 4.5.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn .................................................................................... 161 4.5.2. Tích phân suy rộng với hàm d−ới dấu tích phân có cực điểm ........................................... 167 227 Mục lục Ch−ơng V: Lý thuyết chuỗi....................................................................................... 173 5.1. Chuỗi số ............................................................................................................................... 173 5.1.1. Các khái niệm chung ......................................................................................................... 173 5.1.2. Chuỗi số d−ơng.................................................................................................................. 176 5.1.3. Chuỗi đan dấu.................................................................................................................... 183 5.1.4. Chuỗi có số hạng mang dấu bất kì..................................................................................... 185 5.2. Chuỗi hàm ........................................................................................................................... 187 5.2.1. Các khái niệm chung về chuỗi hàm................................................................................... 187 5.2.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm.............................................................................................. 188 5.3. Chuỗi luỹ thừa .................................................................................................................... 194 5.3.1. Các khái niệm chung về chuỗi luỹ thừa............................................................................. 194 5.3.2. Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa ..................................................................... 201 5.4. Chuỗi Phuriê (Fourier) ...................................................................................................... 209 5.4.1. Các khái niệm chung ......................................................................................................... 209 5.4.2. Điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier .................................................... 213 5.4.3. Khai triển thành chuỗi Fourier của một hàm số bất kỳ ..................................................... 217 Tμi liệu tham khảo ........................................................................................................ 224 228
File đính kèm:
bai_giang_toan_cao_cap_a1_vu_gia_le.pdf
