Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Hàm nhiều biến

hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền
D. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 là
:x x
fz f
x

  

đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f
(lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số)
:y y
fz f
y
  

đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f
(lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số)
15
Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các
hàm số sau
3 2 4 4) ( , ) .  a f x y x y x y y
Giải
 xf
2 2 33 4 .x y x y
 yf 3 4 32 4 . x y x y
16
 yf
2 3 2 32 ( ) . .( )   x y x yy yxy y e y e
 xf
2 2 3(2 3 ) .   x yxy y x y e
2 2 32 .   x yy y e
2 2 3) ( , ) .  x yb f x y xy ye
Giải
2 3 2 32 3   x y x yxy e ye
17
Ví dụ 1.2: Cho
Tìm và
2 3( , ) 2 3 1.   f x y x y x y
(1;0)xf  (1;2).yf 
Giải
 xf (1;0) xf
 yf (1;2) yf
II. Đạo hàm riêng cấp hai:
18
Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp
một. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là
2
2 ( )xx x x
ff f
x

   

2
2 ( )yy y y
ff f
y
   

2
( )yx y x
ff f
x y

   
 
2
( )   
 xy x y
ff f
y x
10/25/2015
4
19
Ví dụ 2.1: Cho . Tính các đạo
hàm riêng cấp hai của số f.
 3 2 2( , )f x y x y y x
Giải
 xf  yf
 xxf  x xf

 yyf  y yf

 xyf ( ) x yf

 yxf ( ) y xf

20
Chú ý 2.1: Các đạo hàm được gọi là các
đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm hai
biến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứ
tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và do
đó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên,
chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đây
,xy yxf f 
Định lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm
(Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạo
hàm riêng cấp hai liên tục thì
xy yxf f 
III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến:
21
Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biến
z = f(x,y) là
.  x ydf f dx f dy
Ví dụ 3.1: Cho 2 2( , ) 3f x y x xy y   .Tính df, df(0,1).
Giải
 xf
 yf
df
(0,1) df
22
§4. Cực trị của hàm hai biến
I. Định nghĩa:
23
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền và
điểm . Khi đó:
 2D
0 0( , )x y D
f được gọi là đạt cực đại địa phương (cực đại) tại 
nếu tồn tại lân cận của sao cho 
0 0( , )x y
D  0 0( , )x y
0 0( , ) ( , ), ( , ) .f x y f x y x y  
f được gọi là đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại 
nếu tồn tại lân cận của sao cho 
0 0( , )x y
D 
0 0( , )x y
0 0( , ) ( , ), ( , ) .f x y f x y x y  
Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung
là cực trị địa phương.
24
Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa chắc là
cực đại toàn cục. Cực tiểu địa phương chưa
chắc là cực tiểu toàn cục.
10/25/2015
5
II. Điều kiện cần:
25
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền 
và f có các đạo hàm riêng cấp một. Nếu hàm 
số f đạt cực trị địa phương tại thì 
 2D
0 0( , )x y D
0 0
0 0
( , ) 0
(*).
( , ) 0
x
y
f x y
f x y
 
  
Những điểm thỏa (*) được gọi là điểm 
dừng.
0 0( , )x y
III. Điều kiện đủ:
26
Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai 
liên tục trên lân cận của điểm dừng . Đặt0 0( , )x y
 
      
 
( , ) . .xx xy xx yy yx xy
yx yy
f f
x y f f f f
f f
i) Nếu thì f đạt cực tiểu tại 


 
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0xx
x y
f x y

0 0( , ).x y
ii) Nếu thì f đạt cực đại tại 
 
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0xx
x y
f x y

0 0( , ).x y
27
iii) Nếu thì f không đạt cực trị tại0 0( , ) 0x y  0 0( , ).x y
iv) Nếu thì ta không có kết luận tổng
quát.
0 0( , ) 0x y 
IV. Cách tìm cực trị hàm hai biến: 
28
Bước 1 (Tìm điểm dừng):
Tính
Xét hệ . Giải hệ này ta được các điểm dừng 
 ,x yf f
 
  
0
0
x
y
f
f
Bước 2 (Tìm ):
Tính
Tính 
   , , ,xx yy xy yxf f f f
( , ) . . ( , ).xx xy xx yy yx xy k k
yx yy
f f
x y f f f f x y
f f
 
        
 
 , .k kx y
29
Bước 3 (Kết luận):
 
 
, 0
, 0
k k
xx k k
x y
f x y
 


f đạt cực tiểu tại .  ,k kx y
 
 
, 0
, 0
k k
xx k k
x y
f x y
 


f đạt cực đại tại .  ,k kx y
 , 0k kx y   f không đạt cực trị tại .  ,k kx y
30
Ví dụ 3.1: Tìm cực trị của hàm số
Giải
Miền xác định: 2D
 xf
 yf
    3 2 2( , ) 3 3 15 2f x y x xy y x
0
0
x
y
f
f
  
 
 
Ta được 4 điểm dừng:

 

 
  
 
x x
y y
  
  
  
10/25/2015
6
31
 xxf
 yyf
 xyf
( , ) xx xy
yx yy
f f
x y
f f
  
Tại (-1;2):
6 12
( 1,2) 144 0
12 0

     
f không đạt cực trị tại (-1;2). 
32
Tại (-1;-2):
( 1, 2)    

Tại
6 5 0
( 5,0) 260,49 0
0 6 5 6
   

f đạt cực tiểu tại . 
( 5,0) :
( 5,0) 6 5 0xxf  
( 5,0)
33
Tại
( 5,0)   
( 5,0) :
( 5,0)xxf  

IV. Cực trị có điều kiện:
34
Xét bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x,y), với 
điều kiện ( , ) 0 (*).g x y 
Cách 1 (Phương pháp khử biến số):
Bước 1: Từ điều kiện (*), suy ra được y = h(x) 
hoặc x = h(y).
Bước 2: Thế biểu thức ở bước 1 vào z = f(x,y)
ta được hàm 1 biến. Sau đó, tìm cực trị của
hàm 1 biến.
35
Ví dụ 4.1: Tìm cực trị của hàm số với điều
kiện
Giải
Miền xác định: 2D
( , )f x y xy
1.x y 
1x y   1 ,y x 
Thế vào hàm f(x,y), ta được
( )F x 
( )F x 
2 .x x 
1 2 .x
(1 )x x
( ) 0F x  1 2 0x  
1
2
x 
36
BBT:
x
F’
F
 
1
2
0 
CĐ
F đạt cực đại tại  1
2
x   1 11 .
2 2
y   
 f đạt cực đại tại 1 1, .
2 2


 
10/25/2015
7
37
Cách 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange):
Bước 1: Lập hàm Lagrange
Bước 2 (Tìm điểm dừng):
  ( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y g x y
Tính
Xét hệ . Giải hệ này ta được các điểm dừng
ứng với 
,x yL L 
0
0
( , ) 0
x
y
L
L
g x y
 

 
 
 ,k kx y .k
38
Bước 3 (Tìm ):
( , , )
0
xx xy x
yx yy y
x y
L L g
x y L L g
g g

  
   
 
Bước 4 (Kết luận):
( , , ) 0k k kx y    f đạt cực tiểu thỏa điều kiện 
tại .  ,k kx y
( , , ) 0k k kx y    f đạt cực đại thỏa điều kiện 
tại .  ,k kx y
( , , ) 0 :k k kx y   không có kết luận tổng quát.
39
Ví dụ 4.2: Tìm cực trị của hàm số 
với điều kiện
Miền xác định: 2D
2 2 1.x y 
  ( , ) 6 4 3f x y x y
Giải
     2 2 2 21 1 0x y x y
Đặt
  2 2( , ) 1g x y x y
        2 26 4 3 ( 1)L f g x y x y
xL  4 2 x 
yL  3 2 y 
40
0
0
( , ) 0
x
y
L
L
g x y
 


 
2 2
2
3
2
4 9 1
4
x
y


 




 


 

2 2
4 2 0
3 2 0
1
x
y
x y


  

   
  
2
2
3
2
25
4
x
y







 

 
5 5
2 2
4 4
5 5
3 3
5 5
x x
y y
 
  
  
 
 
    
 
 
   
41
2 0 2
0 2 2
2 2 00
xx xy x
yx yy y
x y
L L g x
L L g y
x yg g


  
    
 
Tại thì5 4 3, ,
2 5 5
x y   
5 0 8 / 5
0 5 6 / 5 20 0
8 / 5 6 / 5 0
    
 f đạt cực tiểu thỏa điều kiện tại 4 3, .
5 5


 
42
Tại thì5 4 3, ,
2 5 5
x y     
 
     
 
5 0 8 / 5
0 5 6 / 5 20 0
8 / 5 6 / 5 0
 f đạt cực đại thỏa điều kiện tại 4 3, .
5 5
  

 
10/25/2015
8
43
§5. Tích phân bội 
trên hình chữ nhật
I. Tích phân bội hai:
44
( , )f x y dxdy


 :miền lấy tích phân, bị chặn trong 2
Tính chất: 
 1) f g dxdy f dxdy g dxdy
  
    
2) f dxdy f dxdy 
 
 
II. Tích phân lặp:
45
( , ) ( , )
( , ) ( , )
b d b d
a c a c
d b d b
c a c a
f x y dydx f x y dy dx
f x y dxdy f x y dx dy

  
 

  
 
   
   
Chú ý:
 Trong tính trước.


 ( , )f x y dy : tích phân theo y, xem x là hằng.
 ( , )f x y dx: tích phân theo x, xem y là hằng.
46
Ví dụ 2.1. Tính 
3 5
2 1
( 2 ) .x y dxdy 
Giải
3 5
2 1
( 2 )x y dxdy  
53 2
2 1
2
2
x
x
x
xy dy



 
 

3
2
25 110 2
2 2
y y dy    
 

32.
III. Tích phân bội trên hình chữ nhật:
47
 ( , ) : ,x y a x b c y d     
( , )f x y dxdy

Tính tích phân trên miền hình 
chữ nhật:
Cách tính:
( , ) ( , ) ( , )
b d d b
a c c a
f x y dxdy f x y dy dx f x y dx dy

   
    
   
    
48
Ví dụ 3.1. Tính với là hình chữ nhật 

 (2 )x y dxdy
[ 2,3] [0,2]. 

Giải
 ( , ) : 2 3, 0 2x y x y      
Cách 1 (y trong, x ngoài):
(2 )x y dxdy

 
3 2
2 0
(2 )x y dy dx


  
 
 
23 2
2 0
2
2
y
y
yxy dx

 

  
 

3
2
(4 2) 20.x dx

  
10/25/2015
9
49
Cách 2 (x trong, y ngoài):
(2 )x y dxdy

 
50
Chú ý 3.1:
( ). ( ) ( ) . ( )
b d
a c
h x g y dxdy h x dx g y dy

  
      
  
  
Ví dụ 3.2. Tính , với là hình
chữ nhật giới hạn bởi
Giải
 

2
2 1
xy dxdy
x

0, 1, 3, 3.x x y y    
51
1 3
2
2
0 3
.
1
x dx y dx
x 
  
       
 
2
2 1
xyI dxdy
x
 

 ( , ) : 0 1, 3 3x y x y      
1 2.I I
3
2
2
3
I y dx

  
33
3 3
3
1 (3 ( 3) ) 18.
3 3
y

    
1
1 2
0 1
xI dx
x
 

1 ln2
2
 (Đổi biến)
Vậy: 9ln2I 
52
§6. Ứng dụng trong kinh tế
I. Cực trị toàn cục của hàm hai biến:
53
Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai 
liên tục trên lân cận của điểm dừng . Đặt0 0( , )x y
i) Nếu 
thì f đạt cực tiểu toàn cục (GTNN) tại 
0 0
0 0
( , ) 0
, ( , )
( , ) 0xx
x y
x y D
f x y

 
 

0 0( , ).x y
ii) Nếu 
thì f đạt cực đại toàn cục (GTLN) tại 
0 0
0 0
( , ) 0
, ( , )
( , ) 0xx
x y
x y D
f x y

 
 

0 0( , ).x y
II. Tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận:
54
Một doanh nghiệp tiến hành sản xuất 2 loại sản phẩm
trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (là điều kiện nhà
sản xuất phải bán sản phẩm với giá do thị trường quyết
định). Cho biết giá bán của 2 loại sản phẩm đó trên thị
trường là và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị
thời gian là . Hãy tìm mức sản lượng của
mỗi loại sản phẩm trong một đơn vị thời gian để doanh
nghiêp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa).
1 2,P P
 1 2,C C Q Q
10/25/2015
10
55
Cách giải:
Doanh thu của doanh nghiệp là: 1 1 2 2R PQ P Q . 
Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
1 1 2 2 1 2R C PQ P Q C(Q ,Q ).     
Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất. 
Ví dụ 2.1: Giả sử doanh nghiệp sản xuất hai loại sản
phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai
loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là
Được biết tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm
này phụ thuộc vào mức sản lượng Q1, Q2 của mỗi loại
sản phẩm và được cho bởi biểu thức
1 260, 75.P P 
    2 21 2 1 1 2 2,C C Q Q Q Q Q Q
Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm để doanh
nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất
III. Phân phối sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận:
56
Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm
và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với
giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn
vị thời gian là , trong đó , hàm cầu
theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất
và thị trường thứ hai là và . Hãy
tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh
nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa).
( )C C Q 1 2Q Q Q 
 1 1 1Q D P  2 2 2Q D P
57
Cách giải:
Xét hệ 
 
 
1 1 1
2 2 2
Q D P
Q D P



Biến đổi đưa về 
 
 
1 1 1
2 2 2
P P Q
P P Q



Doanh thu của doanh nghiệp là: 1 1 2 2R PQ P Q . 
Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
1 1 2 2 1 2R C PQ P Q C(Q ,Q ).     
Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất. 
58
Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một
loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị
trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng
chi phí trong một đơn vị thời gian là
hàm cầu theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị
trường thứ nhất và thị trường thứ hai lần lượt là
Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để
doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất.
220 15C Q Q  
1 2
1 2
325 425, .
4 5
 
 
P PQ Q
IV. Lựa chọn đầu vào để tối đa hóa lợi nhuận:
59
Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm
với hàm sản xuất là Q = Q(K,L), trong đó
K: lượng vốn, L: lượng lao động được sử dụng để sản
xuất.
Cho biết giá của sản phẩm trên thị trường là P, giá vay
một đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL
và các chi phí cố định khác là C0. Trong một đơn vị thời
gian, hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh
nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa).
60
Cách giải:
Tổng chi phí là: C = wK.K + wL.L + C0.
Doanh thu của doanh nghiệp là: R = P. Q(K,L).
Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
K L 0R C P.Q(K,L) (w .K w .L C ).      
Tìm K và L để đạt giá trị lớn nhất. 
Ví dụ 4.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản
xuất là Q = K1/3.Q1/3 (K>0, L>0). Doanh nghiệp đó phải
vay vốn K để sản xuất với lãi suất wK = 0,02, và tiền
thuê nhân công wL = 1. Giả sử giá thị trường của sản
phẩm là P = 3. Hỏi doanh nghiệp đó cần lượng vốn vay
K và lượng nhân công cần thuê L là bao nhiêu để lợi
nhuận lớn nhất?
10/25/2015
11
V. Tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng: 
61
Một người tiêu dùng định sử dụng hết số tiền M để mua
sắm hai loại hàng hóa X và Y. Cho biết giá của hai loại
hàng đó là và hàm lợi ích của hai loại hàng đó đối
với người tiêu dùng là U = U(x,y), với x là biến số chỉ
lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ lượng hàng hóa Y.
Hãy xác định khối lượng mỗi loại hàng hóa mà người
tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất
(tối đa).
1 2,P P
Cách giải: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi ích
với điều kiện
( , ), 0, 0U U x y x y  
1 2 .P x P y M 
62
Ví dụ 5.1: Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường
với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X, Y lần lượt là 5USD
và 20USD. Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x+3)y
với x là biến số chỉ lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ
lượng hàng hóa Y. Hãy xác định khối lượng mỗi loại
hàng hóa mà người tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị
sử dụng là lớn nhất trong điều kiện ngân sách dành cho
tiêu dùng là 185USD.
VI. Cực tiểu hóa chi phí khi sản lượng cố định:
63
Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm
với hàm sản xuất là Q = Q(K,L). Cho biết giá vay một
đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL và
các chi phí cố định khác là C0. Giả sử, doanh nghiệp lập
kế hoạch sản xuất một lượng sản phẩm cố định là Q0.
Hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp
sản xuất ra Q0 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất (tối
thiểu).
Cách giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm tổng chi phí
với điều kiện
Q(K,L)= Q0
0 , 0, 0K LC w K w L C K L    
64
Ví dụ 6.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có
hàm sản xuất là Q = K(L+5). Biết rằng giá vay một đơn
vị vốn là wK = 5USD, giá thuê một công nhân là wL =
10USD. Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng
sản xuất Q=5000 sản phẩm. Hãy xác định lượng vốn và
lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 5000 sản
phẩm đó với tổng chi phí bé nhất.
Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) 
12 
GV. Phan Trung Hiếu 
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 
Bài 1: Tính các đạo hàm riêng cấp một và vi phân toàn phần cấp một của các hàm số sau 
 ĐS: 
a) 2 2( , ) 3 5 4 6f x y x y xy x y      (2 3 5) (2 3 4)df x y dx y x dy      
b) 2( , )f x y x y x y  2(2 )
2
x
df xy y dx x dy
y

    
 
 
c) 
2 2x yz e  2 2 2 2(2 ) (2 )x y x ydz xe dx ye dy   
d) 2 ln( 2 )z x x y  
2 222 ln( 2 )
2 2
x xdz x x y dx dy
x y x y

   
  
e) sin( ) cos( )z x y x y    (cos( ) sin( )) (cos( ) sin( ))dz x y x y dx x y x y dy        
Bài 2: 
a) Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm số ( , ) arctan xf x y
y
 tại điểm (1;2). 
ĐS: 2/5; -1/5. 
b) Cho 
2 2
xz
x y


. Tính (1; 2)dz  . ĐS: 3 4
25 25
dx dx . 
Bài 3: 
a) Cho hàm số 2 26 u x y . Tính 2 (2,1) (2,1)  x yA u u . ĐS: 5. 
b) Cho hàm số 2 2ln(1 )  z y x y . Tính 
2 2
2 = (2,1) (2,1)
 

  
z zB
x x y
. ĐS: 1/3. 
Bài 4: 
a) Cho hàm số ln .z xy y x  Chứng minh rằng (1 ln ).x yxz yz y x    
b) Chứng tỏ rằng hàm 
2 1 1
2 2
x xz
y x y
    thỏa mãn hệ thức 
3
2 2 .z z xx y
x y y
 
 
 
c) Cho hàm số  
y
xz xy xe . Chứng minh rằng . .   x yx z y z xy z . 
d) Cho hàm số 
x
yu ye . Chứng minh rằng 2 .    xx xy yy
xy u u u u
y 
e) Hàm hai biến 2 2ln( 2 ) z x y có thỏa mãn hệ thức 
2 2
2 2 0
z z
x y
 
 
  
không? 
Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau ĐS: 
a) 2 2( , ) 2 4 6f x y x y x y      CĐ tại (1,2) 
b) 2 4 3 2( , ) 3 4 12f x y x y y y    không đạt cực trị tại (0,0), CT tại (0,1); (0,-2) 
c) 4 4 2 21( , ) ( ) ( ) 1
4
f x y x y x y xy      CĐ tại (0,0),(1,-1),(-1,1), CT tại ( 3, 3)  
d) 2 2( , )f x y x y  với điều kiện 3 4 25x y  CT tại (3,4) 
e) 2 2( , ) 1f x y x y   với điều kiện 1x y  CĐ tại (1/2,1/2) 
f) ( , ) 8 15 28f x y x y   với điều kiện 2 22 3 107x y  CĐ tại (4,5), CT tại (-4,-5) 
Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) 
13 
GV. Phan Trung Hiếu 
Bài 6: Tính các tích phân sau ĐS: 
a) 2x ydxdy

 ,  là hình chữ nhật giới hạn bởi 2, 4, 1, 5.x x y y    224 
b) 2 3 4(6 5 )x y y dxdy

 ,  2( , ) | 0 3, 0 1x y x y       . 21/2 
c) 2
1
( )
dxdy
x y 
 , [3,4] [1,2]   . ln(25 / 24) 
d) 
2x yxye dxdy

 , [0,1] [0,2]  . 2
1 ( 3)
2
e  
e) sin cosx ye ydxdy

 ,  là hình chữ nhật 0 , 0 2x y

    . ( 1)( 1)e e  
f) 
1
x dxdy
xy 
 , [0,1] [0,1]  . 2ln2 1 
Bài 7: Một doanh nghiệp sản xuất hai lọai sản phẩm với hàm tổng chi phí trong một đơn vị 
thời gian là   2 21 2 1 1 2 2, 2 2C C Q Q Q Q Q Q    , trong đó 1Q và 2Q là sản lượng của sản 
phẩm thứ nhất và thứ hai. Cho biết giá bán hai sản phẩm đó là 1 26, 4P P  . Hãy tìm mức 
sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận lớn nhất trong sản xuất. 
ĐS: 1 1Q , 2 1Q , max 5  . 
Bài 8: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong 
một đơn vị thời gian là 2 21 1 2 22C Q Q Q Q   . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại sản 
phẩm là 1 1 240 2Q P P   đối với sản phẩm thứ nhất và 2 1 220Q P P   đối với sản phẩm 
thứ hai. Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn 
nhất. ĐS: 1 5Q , 2 10Q , max 550  . 
Bài 9: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó 
trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn 
vị thời gian là 2 30 20C Q Q   , trong đó 1 2Q Q Q  với 1Q là lượng hàng cung cấp cho 
thị trường thứ nhất và 2Q là lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ hai. Giả sử hàm cầu 
của mỗi loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất là 1 1310Q P  và thị trường thứ hai 
là 2 2235 0,5Q P  . Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp 
đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: 1 40Q , 2 60Q . 
Bài 10: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là ( 10) Q K L . Biết 
rằng giá vay một đơn vị vốn là 10USDKw , giá thuê một đơn vị nhân công là 
40USDLw . Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng sản xuất Q=10000 sản phẩm. 
Hãy xác định lượng vốn và lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 10000 sản 
phẩm 
đó với tổng chi phí bé nhất. ĐS: 200K  , 40L  . 
Bài 11: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong 
một đơn vị thời gian là 1 2320 480 300  C Q Q . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại 
sản phẩm là 1 1 2800 2  Q P P đối với sản phẩm thứ nhất và 2 1 2960  Q P P đối với sản 
phẩm thứ hai. 
a) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. 
ĐS: 1 320Q  , 2 400Q  . 
b) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa với 
điều kiện tổng chi phí trong một đơn vị thời gian của doanh nghiệp là 166700.