Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ứng dụng phân tích

30/10/2017
1
LOG
O
Chương 5:
Ứng dụng của tích phân
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Tính diện tích hình phẳng
§3. Tính độ dài của cung
§2. Tính thể tích vật thể
§4. Tính diện tích mặt tròn xoay
2
§1. Tính diện tích hình phẳng
I. Hình thang cong trong tọa độ Descartes:
3
Bài toán: Tính diện tích hình thang cong abBA
giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và
hai đường thẳng x = a, x = b.
4
Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con nS S S1 2, ,...,
Xấp xỉ mỗi miền con bằng các hình chữ nhật
Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 phần, 4 phần,
8 phần và 12 phần
5 6
Trên mỗi miền lấy một điểm tùy ý 
n
S S S
1 2
, ,...,
Ta có
n
S S S S   
1 2
...
30/10/2017
2
7
Định lý 1.1: Tích phân của một hàm không âm f liên tục
trên [a,b] cũng có thể coi như là diện tích S của hình
thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm
y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa là
b
a
S f x dx f x x a b    ( ) , ( ) 0, [ , ].
8
Ví dụ 1.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường cong , trục hoành, hai đường
thẳng x = 0 và x = 1.
y x 2
Giải
Cách 1 (Dùng định lý 1.1): Vì
nên
y x x   2 0, [0,1]
S x dx  
1
2
0
1
0,3333.
3
9
Cách 2 (Dùng tổng):
-Nếu chia S thành 4 miền
10
-Nếu chia S thành 30 miền
11
-Nếu chia S thành 50 miền
12
Hệ quả 1.2: Nếu f liên tục trên [a,b] thì
b
a
S f x dx  ( )
Ví dụ 1.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi y = sinx, trục Ox, x = 0 và x = 2
Hệ quả 1.3: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng
x = a và x = b thì
b
a
S f x g x dx  ( ) ( )
30/10/2017
3
13
Ví dụ 1.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi và trên [-1;1].y x 3 y x
Hệ quả 1.4: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng
y = c và y = d thì
d
c
S f y g y dy  ( ) ( )
Ví dụ 1.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi parabol và đường thẳngy x 2 2 6 y x 1.
14
II. Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số:
Hệ quả 1.5: Hình thang cong cho bởi
có diện tích là
( )
, [ , ]
( )
 



x x t
t
y y t
S y t x t dt


  ( ). ( )
Ví dụ 1.5: Tính diện tích của hình elip giới hạn
bởi đường elip x y
a b
 
2 2
2 2
1.
III. Hệ tọa độ cực:
15
O: cực
Ox: trục cực
r: bán kính cực
( , )r : tọa độ cực
 : góc cực
Ta quy ước góc nếu Ox quay theo hướng ngược
chiều kim đồng hồ.
  0
16
Chú ý rằng, có nhiều hơn một cặp giá trị cùng
xác định vị trí của một điểm P. Ví dụ, các cặp số
đều xác định vị trí của một điểm P trong hệ tọa độ
cực.
( , )r


 
 
 
3, 2 ,
6
n n
Do đó, nếu quy ước thì mỗi điểm
P trong mặt phẳng sẽ ứng với một cặp số duy
nhất. Đặc biệt, khi r = 0 thì P trùng O.
r  0 ,   0 2
( , )r
17
Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc sao cho
gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực thì giữa
hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực có công thức liên
hệ sau
x r
y r


 


cos ,
sin .
IV. Đường cong trong hệ tọa độ cực:
18
Xét hàm số . Khi góc cực biến thiên từ
đến thì điểm P với tọa độ cực vạch nên
một đường cong C trong mặt phẳng. Ta nói đường
cong C trong hệ tọa độ cực có phương trình
 ( )r r  
   ( ),r
 ( )r r
Ví dụ 1.6: Phương trình tọa độ cực của đường tròn tâm
I(a;0), bán kính r = a (a > 0) là r a  2 cos .
Giả sử cho a = 1, ta được phương trình đường tròn
tâm I(1,0), bán kính r = 1 là và ta có thể
vẽ đường tròn đó trong hệ tọa độ cực như sau
r  2cos
30/10/2017
4
19 20
Ví dụ 1.7: Một số hình vẽ đường cong trong hệ tọa độ
cực
V. Hình thang cong trong tọa độ cực:
21
Hệ quả 1.6: Trong hệ tọa độ cực , cho hình
quạt cong giới hạn bởi . Khi đó,
diện tích của quạt cong là
( , )r
r r     ( ), [ , ]
S r d


  
21 ( )
2
Ví dụ 1.7: Tìm diện tích của hình quạt cong
r
 
 

  cos2 , .
4 4
22
§2. Tính thể tích vật thể
I. Vật thể V bất kỳ:
23
Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín với
thiết diện phụ thuộc biến là S(x). Thể
tích của vật thể V sẽ là
x a b[ , ]
b
a
V S x dx  ( )
Ví dụ 2.1: Tính thể tích khối cầu bán kính R.
II. Vật thể tròn xoay:
24
Loại 1: Có thể quay hình thang cong
quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn
xoay có diện tích thiết diện
Vì vậy, thể tích là
y f x x a b   ( ) 0, [ , ]
S x f x 2( ) ( ).
b
a
V f x dx 
2( )
Ví dụ 2.2: Tính thể tích vật tròn xoay sinh ra
khi quay đường tròn quanh trục Oxx y R 2 2 2
30/10/2017
5
25
Loại 2: Cho miền D giới hạn bởi cung
và Ox nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
quay quanh Oy thì
y f x x a b ( ), [ , ]
b
a
V xf x dx 2 ( )
Ví dụ 2.3: Cho miền D giới hạn bởi
và Ox quay quanh Oy. Tính thể tích hình
đó.
y x 35 , x 1,
x  3
26
§3. Tính độ dài của cung
I. Cung cho bởi đường cong y = f(x):
27
Đường cong xác định một cung
với độ dài là
y f x x a b ( ), [ , ], AB
b
a
l f x dx    
2
1 ( )
Ví dụ 3.1: Tính độ dài của cung parabol
với
y x ,
x 1 4.
II. Cung cho bởi hàm phụ thuộc tham số:
28
Đường cong cho bởi
Khi đó có độ dài
( )
, [ , ]
( )
 



x x t
t
y y t
AB
l x t y t dt


        
2 2
( ) ( )
Ví dụ 3.2: Tính độ dài cung x t 2 , y t t  
3, 0 4.
29
§4. Tính diện tích mặt tròn xoay
30
ABCung xác định bởi hàm quay
quanh trục Ox sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích
y f x x a b ( ), [ , ],
b
AB
a
S f x f x dx     
2
2 ( ) 1 ( )
Trường hợp cung cho bởi phương trình tham số
thì mặt tròn xoay có diện tích
AB
( )
, [ , ]
( )
 



x x t
t
y y t
AB
S y t x t y t dt


         
2 2
2 ( ) ( ) ( )
Ví dụ 4.1: Quay miền D giới hạn bởi
và quay quanh Ox ta được mặt tròn xoay. Tính
diện tích mặt đó.
y x2 12 , x 0 3