Bài giảng Toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc - Chương 1: Tổ hợp căn bản

c T1, T2, ..., Tk−1 ta có nk
cách thực hiện Tk. Vậy ta có cách để thực hiện thủ tục này là:
n1× n2× ...× nk
Ví dụ.
Hỏi có nhiêu cách đi từ A đến C?
Đáp án. 3× 2 = 6 cách.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 5/40
Các nguyên lý đếm cơ bản Nguyên lý nhân
Nguyên lý nhân
Nhận xét. Quy tắc nhân có thể phát biểu dưới dạng của ngôn ngữ
tập hợp: Nếu A1, A2, . . . , Ak là các tập hữu hạn, khi đó
|A1×A2× . . .×Ak| = |A1| × |A2| × . . .× |Ak|.
Ví dụ. Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8?
Giải. Mỗi bit có thể chọn 1 trong 2 cách: 0 hoặc 1. Theo nguyên lý
nhân ta có số lượng chuỗi là 28 = 256.
Ví dụ. Cho tập A gồm 6 phần tử và tập B gồm 10 phần tử. Hỏi
a) Có bao nhiêu ánh xạ từ A vào B?
b) Có bao nhiêu đơn ánh từ A vào B?
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 6/40
Các nguyên lý đếm cơ bản Nguyên lý nhân
Nguyên lý nhân
Giải. a) Với mỗi phần tử x của A ta có 10 cách chọn ảnh của x (vì B
có 10 phần tử). Theo nguyên lý nhân, ta có 106 ánh xạ.
b) Giải sử A = {x1, x2, . . . , x6}. Ta chia bài toán thành 6 bước:
Bước 1. Chọn ảnh của x1 có 10 cách.
Bước 2. Chọn ảnh của x2 có 10− 1 = 9 cách.
................
Bước 6. Chọn ảnh của x6 có 10− 5 = 5 cách.
Vậy số đơn ánh là: 10× 9× 8× 7× 6× 5 = 151200.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 7/40
Các nguyên lý đếm cơ bản Nguyên lý Derichlet
Nguyên lý Derichlet (chuồng bồ câu)
Ví dụ.
Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh cùng ngày.
Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ có ít nhất 1
chuồng có 3 con bồ câu trở lên.
Định nghĩa. Giá trị trần của x, ký hiệu là dxe, là số nguyên nhỏ
nhất mà lớn hơn hay bằng x.
Ví dụ. d2.1e = 3; d1.9e = 2; d4e = 4;
d−1.1e = −1. d−2.9e = −2; d−4e = −4.
Nguyên lý Derichlet
Nếu có n đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa
ít nhất
⌈n
k
⌉
đồ vật.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 8/40
Các nguyên lý đếm cơ bản Nguyên lý Derichlet
Chứng minh. Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn
⌈n
k
⌉
vật. Khi đó tổng
số đồ vật nhỏ hơn hoặc bằng
k
(⌈n
k
⌉
− 1
)
< k
(n
k
)
= n.
Điều này mâu thuẩn với giả thiết là có n đồ vật cần xếp.
Ví dụ. Trong 100 người thì có ít nhất
⌈
100
12
⌉
= 9 cùng tháng sinh.
Ví dụ. Trong một lớp học phải có ít nhất bao nhiêu học sinh để cho có
ít nhất 6 học sinh có cùng thứ bậc học tập, biết rằng có 5 loại thứ bậc
A,B,C,D và E?
Giải. Gọi số học sinh của lớp là N . Theo nguyên lý Derichlet ta có
dN5 e = 6. Khi đó
25 < N ≤ 30.
Do đó ta có thể chọn N = 26. Vậy lớp phải có ít nhất 26 học sinh.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 9/40
Các nguyên lý đếm cơ bản Nguyên lý Derichlet
Ví dụ. Chứng minh rằng trong 10 số tự nhiên bất kỳ có thể chọn hai
số có hiệu chia hết cho 9.
Giải. Khi chia 10 số bất kỳ cho 9 ta sẽ có mỗi số có một số dư trong 9
số dư: 0, 1, 2, . . . , 7, 8. Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít
nhất hai số có cùng số dư. Hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 9.
Ví dụ. Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Lấy A là tập hợp con của
X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ chứa hai phần tử có tổng bằng 10.
Giải. Ta lập các hộp như sau: {1, 9}, {2, 8}, {3, 7}, {4, 6}, {5}. Do A
có 6 phần tử nên khi sắp xếp 6 phần tử đó sẽ có hộp có 2 phần tử. Rõ
ràng tổng 2 phần tử này bằng 10.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 10/40
Tổ hợp Nội dung
Tổ hợp
1 Hoán vị
2 Chỉnh hợp
3 Tổ hợp
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 11/40
Tổ hợp Hoán vị
Hoán vị
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt có thứ
tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3}. Khi đó A có các hoán vị sau:
123, 132, 213, 231, 312, 321
Mệnh đề. Số các hoán vị của n phần tử, ký hiệu là Pn
Pn = n! = n× (n− 1)× (n− 2)× . . .× 1
Quy ước 0! = 1.
Ví dụ. Cho X = {1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ
số khác nhau được tạo từ tập X?
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 12/40
Tổ hợp Hoán vị
Ví dụ. Cần sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E thành một dãy hàng dọc
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luôn
đứng ở hai đầu hàng ?
Giải. a) Để xếp 5 học sinh theo một dãy hàng dọc ta chỉ cần xếp 5 học
sinh theo thứ tự. Vậy có P5 = 5! = 120 cách.
b) Do 2 bạn A,B đứng đầu hàng nên có 2! = 2 cách xếp 2 bạn đứng
đầu. Ba vị trí còn lại ta chọn 3 học sinh còn lại và xếp theo thứ tự nên
có 3! = 6 cách. Vậy theo nguyên lý nhân ta có: 2!× 3! = 2× 6 = 12
cách.
Ví dụ. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? bao nhiêu số
không chia hết cho 5?
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 13/40
Tổ hợp Hoán vị
Giải. Để có số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau ta chọn sắp xếp 6 chữ
số đã cho theo thứ tự. Nên có P6 = 6! = 720 số.
Gọi x = abcdef là số có 6 chữ số khác nhau.
Nếu x là số lẻ thì f ∈ {1, 3, 5} nên f có 3 cách chọn. Năm số còn
lại a b c d e là hoán vị của 5 chữ số còn lại (vì đã loại đi số f). Nên
có 5! cách chọn. Vậy theo qui tắc nhân ta có 3× 5! = 360 số lẻ
Tương tự như lý luận trên, ta có 5! số chia hết cho 5. Như vậy số
không chia hết cho 5 là 6!− 5! = 600.
Ví dụ. Cần sắp xếp 3 sinh viên nữ và 5 sinh viên nam thành một hàng
dọc.
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 3 sinh viên nữ luôn đứng liền
nhau ?
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu sinh viên đứng đầu hàng là sinh
viên nữ và sinh viên cuối hàng là sinh viên nam ?
Đáp án. a) 5!× 6× 3! = 4320 cách b) 3× 5× 6! = 10800 cách
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 14/40
Tổ hợp Chỉnh hợp
Chỉnh hợp
Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k phần tử
(1 ≤ k ≤ n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
Ví dụ. Cho X = {a, b, c}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là:
ab, ba, ac, ca, bc, cb
Mệnh đề. Số các chỉnh hợp chập k của n, ký hiệu là Akn, và
Akn = n× (n− 1)× · · · × (n− k + 1) =
n!
(n− k)!
Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau ngồm 3 chữ số được tạo
thành từ 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Đáp án. A36 số.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 15/40
Tổ hợp Chỉnh hợp
Ví dụ. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 nữ. Trong buổi tập trung lớp
đầu năm, giáo viên chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp: 1 lớp trưởng, 1
lớp phó và 1 thủ quỹ.
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng là nam.
c) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 3 bạn được chọn phải có ít
nhất 1 nữ.
Đáp án. a)A335
b) 15×A234
c)A335 −A315
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 16/40
Tổ hợp Tổ hợp
Tổ hợp
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần
tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Ví dụ. Cho X = {1, 2, 3, 4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của X là
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
Định nghĩa. Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là
(
n
k
)
hay Ckn,
Ckn =
Akn
k!
=
n!
k!(n− k)!
Ví dụ. Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn?
Đáp án. C1030 cách.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 17/40
Tổ hợp Tổ hợp
Ví dụ. Một lớp có 40 sinh viên gồm 25 nam và 15 nữ. Ta cần chọn ra
6 sinh viên tham gia hội nghị của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
nếu:
a) Không phân biệt nam nữ ?
b) Có 4 nam và 2 nữ ?
c) Có ít nhất là 4 sinh viên nam ?
Đáp án. a) C640 b) C
4
25 × C215
c) C425 × C215 + C525 × C115 + C625 × C015
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 18/40
Tổ hợp Tổ hợp
Ví dụ. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bác sĩ, 4 kỹ sư, 3 luật sư vào một
bàn dài có 12 chỗ ngồi (được đánh số từ 1 đến 12) trong mỗi trường
hợp sau:
a) không có điều kiện gì thêm?
b) các đồng nghiệp ngồi cạnh nhau?
c) các bác sĩ ngồi cạnh nhau ở một đầu bàn, còn các kỹ sư, luật sư
ngồi xen kẻ ở đầu bàn còn lại?
Đáp án. a) 12! b) 3!× 5!× 4!× 3! c)2× 5!× 4!× 3!
Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên N = abcdefgh gồm 8 chữ số hệ thập
phân a, b, c, d, e, f, g, h thỏa các điều kiện a lẻ, b = 4, g > 6, h chia hết
cho 3 và c, d, e, f tùy ý ?
Đáp án. 5× 1× 104 × 3× 4.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 19/40
Tổ hợp Tổ hợp
Ví dụ. Từ 9 sinh viên nam và 8 sinh viên nữ, ta muốn chọn ra một đội
gồm 10 người sao cho trong đội đó có ít nhất 4 nam và 4 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
Đáp án. C49 × C68 + C59 × C58 + C69 × C48
Ví dụ. Có bao nhiêu cách sắp 7 nam và 6 nữ thành 1 hàng dọc mà
nam và nữ đứng xen kẽ ?
Có bao nhiêu cách sắp 6 nam và 6 nữ thành 1 hàng dọc mà nam và nữ
đứng xen kẽ ?
Có bao nhiêu cách sắp 6 nam và 6 nữ thành 1 hàng dọc mà 6 nam
đứng gần nhau ?
Có bao nhiêu cách sắp 7 nam và 6 nữ thành 1 hàng dọc mà 7 nam
đứng gần nhau và 6 nữ đứng gần nhau ?
Đáp án. 7!× 6! 6!× 6! + 6!× 6! 6!× 7× 6! 2!× 7!× 6!
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 20/40
Tổ hợp Tổ hợp
Ví dụ. Cho S = {1, 2, . . . , 9, 10}.
a) Có bao nhiêu tập hợp con ?
b) Có bao nhiêu tập hợp con mà mỗi tập có đúng 5 phần tử ?
c) Có bao nhiêu tập hợp con mà mỗi tập có không quá 4 phần tử ?
Đáp án. a) 210 b) C510 c) C
0
10 + C
1
10 + C
2
10 + C
3
10 + C
4
10
Ví dụ. Từ 9 nam và 11 nữ, ta muốn chọn ra một đội văn nghệ gồm 10
người sao cho số nam và số nữ trong đội chênh lệch nhau không quá 2.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn đội?
Đáp án. C49 × C611 + C59 × C511 + C69 × C411
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 21/40
Tổ hợp Tổ hợp
Ví dụ. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và 8, ta có thể tạo ra
- Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
- Bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 5?
Đáp án. A48 A
3
8 −A37
Ví dụ. Có 3 luật sư, 4 bác sĩ và 5 kỹ sư xếp thành một hàng dọc sao
cho các đồng nghiệp phải đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu
cách xếp? Nếu yêu cầu thêm các luật sư không đứng ở đầu hàng thì có
tất cả bao nhiêu cách xếp ?
Đáp án. 3!× 3!× 4!× 5! 2× 2!× 3!× 4!× 5!
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 22/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Nội dung
Tổ hợp lặp
1 Hoán vị lặp
2 Chỉnh hợp lặp
3 Tổ hợp lặp
4 Khai triển lũy thừa của đa thức
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 23/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Hoán vị lặp
Hoán vị lặp
Ví dụ. Có bao nhiêu chuỗi kí tự khác nhau bằng cách sắp xếp các chữ
cái của từ AAABB?
Đáp án. 10
Ví dụ. Có thể nhận được bao nhiêu chuỗi kí tự khác khác nhau bằng
cách sắp xếp lại các chữ cái của từ SUCCESS?
Giải. Chuổi SUCCESS này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và 1 chữ
E. Để xác định số chuỗi khác nhau có thể tạo ra được ta nhận thấy có
- C37 cách chọn 3 chổ cho 3 chữ S, còn lại 4 chổ trống.
- Có C24 cách chọn 2 chổ cho 2 chữ C, còn lại 2 chổ trống.
- Có thể đặt chữ U bằng C12 cách và C
1
1 cách đặt chữ E vào chuỗi.
Theo nguyên lý nhân, số các chuỗi khác nhau có thể tạo được là:
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 24/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Hoán vị lặp
C37 × C24 × C12 × C11 =
7!
4!× 3! ×
4!
2!× 2! ×
2!
1!× 1! ×
1!
1!× 0!
=
7!
3!× 2!× 1!× 1! = 420.
Định nghĩa. Cho n đối tượng trong đó có ni đối tượng loại i
(1 < i ≤ k) giống hệt nhau, nghĩa là
n1 + n2 + · · ·+ nk = n.
Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đã cho gọi là một hoán vị
lặp của n.
Định lý. Số hoán vị lăp của n trong trường hợp trên là
n!
n1!× n2!× · · · × nk!
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 25/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Hoán vị lặp
Chứng minh. Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ta nhận thấy
Có Cn1n cách giữ n1 chỗ cho n1 phần tử loại 1, còn lại n− n1 chỗ
trống.
Sau đó có Cn2n−n1 cách đặt n2 phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại
n−n1 − n2 chỗ trống.
Tiếp tục đặt các phần tử loại 3, loại 4,. . . , loại k − 1 vào chỗ trống
trong hoán vị.
Cuối cùng có Cnkn−n1−···−nk−1 cách đặt nk phần tử loại k vào hoán
vị.
Theo nguyên lý nhân tất cả các hoán vị có thể là:
Cn1n × Cn2n−n1 × · · · × Cnkn−n1−···−nk−1 =
n!
n1!× n2!× . . .× nk! .
Ví dụ. Có bao nhiêu chuỗi kí tự khác nhau bằng cách sắp xếp các chữ
cái của từ ATAHATAT?
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 26/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Hoán vị lặp
Giải. Trong từ ATAHATAT có 4 chữ A, 3 chữ T và 1 chữ H. Do đó số
chuỗi có được là
8!
4!× 3!× 1! = 280
Ví dụ.(tự làm) Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có
đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3.
Hướng dẫn. Số tự nhiên đó có 10 chữ số, trong đó có đúng 5 chữ số 1,
2 chữ số 2 và 3 chữ số 3. Do đó ta sẽ lập được
10!
5!× 2!× 3! = 2520 số
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 27/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Chỉnh hợp lặp
Chỉnh hợp lặp
Ví dụ. Từ bảng chữ cái tiếng Anh, có thể lặp được bao nhiêu chuỗi có
độ dài 5?
Đáp án. 526
Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Chỉnh hợp lặp chập
k của n phần tử là một bộ sắp thứ tự k phần tử của A, các phần tử có
thể lấy lặp lại.
Định lý. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là kn.
Chứng minh. Giả sử A = {a1, a2, . . . , an}. Mỗi chỉnh hợp lặp chặp k
của n là bộ thứ tự gồm k phần tử x1x2 . . . xk. Ta có, mỗi xi có n cách
chọn. Áp dụng nguyên lý nhân, ta có số chỉnh hợp lặp chặp k của n là
kn.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 28/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp
Tổ hợp lặp
Ví dụ. Có 3 loại nón A, B, C. An mua 2 cái nón. Hỏi An có bao nhiêu
cách chọn?
Đáp án. An có 6 cách chọn là AA, AB, AC, BB, BC, CC.
Định nghĩa. Mỗi cách chọn ra k vật từ n loại vật khác nhau (trong đó
mỗi loại vật có thể được chọn lại nhiều lần) được gọi là tổ hợp lặp
chập k của n. Số các tổ hợp lặp chập k của n được ký hiệu là Kkn
Định lý. Số các tổ hợp lặp chập k của n là Kkn = C
k
n+k−1.
Chứng minh. Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể biểu
diễn bằng một dãy n− 1 thanh đứng “|” và k ngôi sao “ ∗ ”. Ta dùng
n− 1 thanh đứng để phân cách các ngăn.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 29/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp
Ngăn thứ i chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử thứ i của tập
xuất hiện trong tổ hợp. Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử
được biểu thị bởi:
∗ ∗ | ∗ | | ∗ ∗ ∗
mô tả tổ hợp chứa đúng 2 phần tử thứ nhất, 1 phần tử thứ hai, không
có phần tử thứ 3 và 3 phần tử thứ tư của tập hợp. Mỗi dãy n− 1
thanh và k ngôi sao ứng với chuỗi có độ dài n+ k− 1. Do đó số các dãy
n− 1 thanh đứng và k ngôi sao chính là số tổ hợp chập k từ tập
n+ k − 1 phần tử. Đó là điều cần chứng minh.
Hệ quả. Số nghiệm nguyên không âm (x1, x2, . . . , xn) (xi ∈ Z, xi ≥ 0)
của phương trình
x1 + x2 + . . .+ xn = k
là Kkn = C
k
n+k−1.
Ví dụ. Tìm số nhiệm nguyên không âm của phương trình
x1 + x2 + x3 = 10.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 30/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp
Giải. Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là: K103 = C
10
12 .
Ví dụ. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình
x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (∗)
thỏa điều kiện x1 ≥ 4;x2 > 2;x3 > 5;x4 ≥ −2
Giải. Ta viết điều kiện đã cho thành
x1 ≥ 4;x2 ≥ 3;x3 ≥ 6;x4 ≥ −2.
Đặt
y1 = x1 − 4; y2 = x2 − 3; y3 = x3 − 6; y4 = x4 + 2.
Khi đó yi ≥ 0 (1 ≤ i ≤ 4). Phương trình (∗) trở thành
y1 + y2 + y3 + y4 = 9 (∗∗)
Ta có số nghiệm của phương trình (∗) bằng số nghiệm của phương
trình (∗∗). Do đó số nghiệm của phương trình (∗) là K94 = C912.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 31/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp
Ví dụ. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình
x1 + x2 + x3 + x4 = 20
thỏa điều kiện x1 ≤ 3;x2 ≥ 2;x3 > 4. (∗)
Giải. Ta viết điều kiện đã cho thành
0 ≤ x1 ≤ 3;x2 ≥ 2;x3 ≥ 5;x4 ≥ 0.
Xét các điều kiện sau:
x1 ≥ 0; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ 0 (∗∗)
x1 > 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ 0 (∗ ∗ ∗)
Gọi p, q, r lần lượt là các số nghiệm nguyên không âm của phương trình
thỏa các điều kiện (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗). Ta có p = q− r.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 32/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp
Trước hết ta tìm q. Đặt
y1 = x1; y2 = x2 − 2; y3 = x3 − 5; y4 = x4
Phương trình (1) trở thành
y1 + y2 + y3 + y4 = 13 (2)
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (**)
bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình (2)
Số nghiệm đó là K134 = C
13
4+13−1 = C1316 . Vậy q = C1316 .
Lý luận tương tự ta có r = K94 = C
9
4+9−1 = C912. Như vậy
p = q − r = C1316 − C912 = 560− 220 = 340.
Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều kiện
(∗) là 340.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 33/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp
Hệ quả. Số cách chia k vật đồng chất nhau vào n hộp phân biệt cũng
chính bằng số tổ hợp lặp chập k của n.
Ví dụ. Tìm số cách chia 15 viên bi giống nhau cho 4 đứa trẻ.
Đáp án. K154 = C
15
18 .
Ví dụ. Tìm số nghiêm nguyên không âm của bất phương trình sau:
x1 + x2 + x3 ≤ 11.
Giải. Đặt x4 = 11− (x1 + x2 + x3). Khi đó x4 ≥ 0 và bất phương trình
đã cho tương đương với phương trình
x1 + x2 + x3 + x4 = 11
với x1, x2, x3, x4 là các số nguyên không âm. Do đó số nghiệm của bất
phương trình là: K114 = C
11
14 = 364.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 34/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp
Ví dụ. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
x+ y + z ≤ 20,
biết x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3.
Ví dụ. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình x+ y + z ≤ 15
thỏa điều kiện 2 ≤ x ≤ 6, y ≥ 2, z ≥ 3.
Ví dụ. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x+ y + z + t = 16
thỏa điều kiện 2 ≤ x ≤ 5, y ≥ 1, z ≥ 2, t ≥ 3.
Ví dụ. Có bao nhiêu cách chia 18 viên bi giống nhau cho 4 đứa trẻ sao
cho mỗi đứa trẻ đều có bi và đứa lớn nhất được ít nhất 6 viên bi.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 35/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa của đa thức
Khai triển lũy thừa của đa thức
Định lý. Cho x, y là biến và n là số tự nhiên. Khi đó
(x+ y)n =
n∑
k=0
Cknx
n−kyk
= C0nx
n + C1nx
n−1y + · · ·+ Cn−1n xyn−1 + Cnnyn.
Chứng minh. Ta có
(x+ y)n = (x+ y)(x+ y) . . . (x+ y).
Các số hạng trong khai triển của (x+ y)n sẽ có dạng xn−kyk với
k = 0, 1, . . . , n. Để nhận được số hạng xn−kyk ta chọn x từ n− k tổng
(x+ y) và có Cn−kn cách chọn như vậy, khi đó y được chọn từ k tổng
còn lại (chỉ có một cách duy nhất). Đó đó hệ số của xn−kyk là Cn−kn
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 36/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa của đa thức
Hệ quả. Lần lượt cho x = y = 1 và x = 1, y = −1 vào khai triển trên
ta có
(i)
n∑
k=0
Ckn =C
0
n + C
1
n + C
2
n + . . .+ C
n
n = 2
n
(ii)
n∑
k=0
(−1)kCkn =C0n − C1n + C2n + . . .+ (−1)nCnn = 0
Ví dụ. Khai triển (x+ y)4
Giải. (x+ y)4 =
4∑
k=0
Ck4x
4−kyk
= C04x
4 + C14x
3y + C24x
2y2 + C34xy
3 + C44y
4.
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4.
Ví dụ. Khai triển (2x− 3y)5
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 37/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa của đa thức
Ví dụ. Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển (2x− 3y)25?
Giải. Dựa vào Định lý, ta có
[
2x+ (−3y)
]25
=
25∑
k=0
Ck25(2x)
25−k(−3y)k.
Do đó hệ số của x12y13 có được khi k = 13. Suy ra hệ số cần tìm là:
C1325 2
12(−3)13 = −33959763545702400.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 38/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa của đa thức
Định lý. Cho x1, x2, . . . , xm là các biến và n là số nguyên dương. Khi
đó
(x1 + x2 + · · ·+ xm)n =
∑
k1+k2+···+km=n
n!
k1! k2! . . . km!
xk11 x
k2
2 . . . x
km
m
Ví dụ. Tìm hệ số của x3y5z trong khai triển (x+ 2y − 3z + t)9
Giải. Áp dụng Định lý trên, ta có số hạng chứa x3y5z là
9!
3! 5! 1! 0!
x3(2y)5(−3z)1t0 = −48384x3y5z.
Vây hệ số của x3y5z là −48384.
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 39/40
Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa của đa thức
Ví dụ. Cho khai triển của (−x+ y − 2z + t)10
a) Tìm hệ số của x5y4t.
b) Có bao nhiêu số hạng khác nhau trong phép khai triển trên?
Hướng dẫn. b) Mỗi số hạng có dạng Mxaybzctd. Suy ra các số hạng
khác nhau của khai triển là số nghiệm của phương trình
a+ b+ c+ d = 10,
với a, b, c, d là các số nguyên không âm.
Đáp án. K104 = C
10
13 .
Bài giảng Toán học tổ hợp và Cấu trúc rời rạc 2016 40/40