Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 1: Hàm giải tích

Toán kỹ thuật 
I. Giải tích Fourier 
II. Phép biến đổi Laplace 
III.Hàm phức và ứng dụng 
Hàm phức và ứng dụng 
1. Hàm giải tích 
2. Tích phân phức 
3. Chuỗi hàm phức 
4. Lý thuyết thặng dư 
5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 
6. Phép biến đổi bảo giác 
1. Hàm giải tích 
a. Hàm biến phức 
b. Giới hạn và liên tục 
c. Đạo hàm 
d. Điều kiện Cauchy – Riémann 
e. Các tính chất của hàm giải tích 
f. Cám hàm phức sơ cấp 
1. Hàm giải tích 
a. Hàm biến phức 
Định nghĩa: 
Ví dụ: 
w = f(z) 
với z = x + jy 
w = u(x,y) + jv(x, y) 
2 2 2 2
2 2 2 2
1
( ) ( , ) ( , )
1
( )
( , ) ; ( , )
w f z u x y jv x y
z
x y
f z j
x jy x y x y
x y
u x y v x y
x y x y
   
  
  
   
 
1. Hàm giải tích 
b. Giới hạn và liên tục 
Định nghĩa: 
Giới hạn: 
Liên tục: Hàm f(z) gọi là liên tục tại z0 nếu: 
 
0
0
0 0
lim ( )
0, ( ) : ( ) , 0 ( )
z z
f z w
f z w z z z     


         
0
0lim ( ) ( )
z z
f z f z


1. Hàm giải tích 
c. Đạo hàm 
Định nghĩa: 
Với điều kiện nào thì hàm biến phức f(z) có đạo hàm? 
0
( ) ( )
' '( ) lim
z
dw f z z f z
w f z
dz z 
  
  

1. Hàm giải tích 
d. Điều kiện Cauchy – Riémann 
w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y) 
Điều kiện Cauchy – Riémann: 
- f(z) có đạo hàm tại z = z0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy – 
Riémann tại z0. 
- f(z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận 
của z0: f(z) giải tích tại z0. 
 z0 là một điểm thường của f(z). 
- f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D. 
u v
x y
u v
y x
 
 

   
  
1. Hàm giải tích 
d. Điều kiện Cauchy – Riémann 
Đạo hàm của hàm giải tích: 
Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm 
số sau: 
Giải: 
a, c: xem sách. 
 
2
. ( ) . ( ) .Re
. ( ) . ( ) z
a f z z b f z z z
c f z z d f z e
 
 
'( )
u v v u
f z j j
x x y y
   
   
   
1. Hàm giải tích 
d. Điều kiện Cauchy – Riémann 
 f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0. 
 ( )
cos
. ( ) cos sin
sin
cos ; cos ;
sin ; sin
'( ) (cos sin )
x
x jy x
x
x x
x x
x z
u e y
d f z e e y j y
v e y
u v
e y e y
x y
u v
e y e y
y x
u v
f z j e y j y e
x x

 

 
 
 

 

   
   
   

 
    

 
 
 
 
  
 
 
    
 
2 2. ( ) ( ) ( , ) ; ( , )
2 ; ; 0;
b f z x jy x x jxy u x y x v x y xy
u v u v
x x y
x y y x
      
   
   
   
1. Hàm giải tích 
d. Điều kiện Cauchy – Riémann 
Ví dụ: cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho 
 f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích. 
Giải: 
Điều kiện Cauchy – Riemann: 
Có thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0: 
f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 
2 2 2 2 ( )
2 2 ( )
v u
x v xy y F x
y x
u v dF
y y F x C
y x dx
 
      
 
 
        
 
1. Hàm giải tích 
e. Các tính chất của hàm giải tích: 
Khái niệm Hàm điều hòa: 
 Φ(x,y) được gọi là hàm điều hòa nếu thỏa phương 
trình Laplace: 
Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là hai 
hàm điều hòa. Trong trường hợp này u, v được gọi là hai 
hàm điều hòa liên hợp. 
Ví dụ: xét hàm: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 
2 2
2 2
0
x y
   
 
 
1. Hàm giải tích 
e. Các tính chất của hàm giải tích: 
Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền D 
thì các đường cong u(x,y) = c1 là những quỹ đạo trực giao 
với các đường cong v(x,y) = c2. 
Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích, thay 
ta sẽ thu được hàm theo biến z. 
;
2 2
z z z z
x y
i
 
 
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
i. Hàm mũ ez: 
 Các tính chất: 
cos sinz x xe e y je y 
0
2
1
0;
1/
;
1 2 ;
/
z w z w
z
z z
jt jt
z
z n j z
z z
e
e e e
e z
e e
e e t
e z n j n
e e
de dz e






 
 
  
 
  
    
 
 
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
i. Hàm mũ ez: 
Ví dụ: Giải phương trình ez = 1 + 2j 
Giải: 
2
cos sin 1 2
cos 1 5
sin 2 tan 2
1
ln 5 1
ln 5 arctan(2)2
2
arctan(2)
z x x
x x
x
e e y je y j
e y e
e y y
x
z j
y
   
  
  
  


   
 
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
ii. Hàm lượng giác cosz, sinz: 
cos ; sin
2 2
  
 
jz jz jz jze e e e
z z
j
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
cos sin 1
cos cosh ; sin sinh
cos cos( ) cos cosh sin sinh
sin sin( ) sin cosh cos sinh
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
(cos ) / sin ; (sin
  
  
    
    
  
   
  
z z
jy y jy j y
z x jy x y j x y
z x jy x y j x y
z z z z z z
z z z z z z
d z dz z d ) / cos
sin 0 ; cos 0 (2 1) / 2;
sin( 2 ) sin ; cos( 2 ) cos ;
 
 

        
     
z dz z
z z n z z n n
z n z z n z n
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
iii. Hàm hyperbol: 
Các tính chất: 
cosh ; sinh
2 2
sinh cosh
tanh ; coth
cosh sinh
  
 
 
z z z ze e e e
z z
z z
z z
z z
cosh cos ; sinh sin
cosh cosh cos sinh sin
sinh sinh cos cosh sin
  
  
  
jy y jy j y
z x y j x y
z x y j x y
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
iv. Hàm logarithm lnz : 
Nhánh chính: Lnz = lnr + iθ (n = 0) 
Các tính chất: 
ln ln ln ( 2 )
ln ln | | arg( )
 
  
     
 
      
w
j
w z e z z r j n
z z j zz re
1 2 1 2
1
1 2
2
ln( ) ln ln
ln ln ln
ln lnm
z z z z
z
z z
z
z m z
  
  
 
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
iv. Hàm logarithm lnz : 
Ví dụ: 
  
2
4
2 1
ln(1 ) ln 2 ln 2 2
4
ln( 3) ln 3 ln 3 (2 1)
j n
j n
j e j n
e j n






 
 
 

   
            
     
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
v. Hàm lũy thừa zs: 
Nhánh chính: 
Ví dụ: 2
22 ln 1
2 . 2
2 2 ln (4 1)2
(1 ) ln 2 2 ln 2 2ln 2 2
41 (1 )ln(1 ) 44
2
4
(1 )
2 cos ln 2 2 sin ln 2 2
4 4
j n
j e
j j n
j j j n
j j n j nn
j j j
n
j e e e e
j e e e e
e n j n





  

  
 
 
 
 
 
   
         
                      

    
    
  
      
  
2
42 cos ln 2 sin ln 2
4 4
n
e j

  
 
  
 
    
       
    
ln ;
1
s s z
s
s
z e s
z
z

 

Ln ; | | 0; args s zz e z z     
1. Hàm giải tích 
f. Các hàm phức sơ cấp 
vi. Hàm lượng giác ngược và hypebolic ngược: 
  
 
 
 
2
2
2
2
arcsin ln 1
arccos ln 1
1
arctan ln
2
arcsinh ln 1
arccosh ln 1
1 1
arctanh ln
2 1
z j z z
z j z z
j z
z j
j z
z z z
z z z
z
z
z
   
   



  
  



1. Hàm giải tích 
g. Các ví dụ 
1. Kiểm tra xem các hàm sau có phải là hàm giải tích? 
2. Tìm a, b để hàm sau là hàm giải tích, tính dw/dz 
 Viết lại hàm w và dw/dz theo biến z? 
3. Cho u = 2x(1 – y), tìm hàm v(x,y) để f(z) = u + jv là hàm 
giải tích? 
.
.sin 4
.cos 2
za ze
b z
c z
2 2 2 22 ( 2 )     w x ay xy j bx y xy