Bài giảng Phép biến đổi Laplace ngược - Lê Xuân Đại

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 1 / 1
Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa
Định nghĩa
Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F (s) thì
f (t) được gọi là biến đổi Laplace ngược của F (s)
và ta viết f (t) = L−1{F (s)}
Ví dụ
Ta có L{e−3t} = 1
s + 3
nên L−1{ 1
s + 3
} = e−3t.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 2 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tuyến tính
Định lý
Nếu f1(t) và f2(t) lần lượt là biến đổi Laplace
ngược của F1(s) và F2(s), còn c1, c2 là hằng số
bất kỳ thì
L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t)
Ví dụ
Tính L−2{ 4
s − 2 −
3s
s2 + 16
+
5
s2 + 4
}.
Đáp số. 4e2t − 3 cos 4t + 5
2
sin 2t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 3 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
L−1{F (s + a)} = e−atf (t)
Các công thức quan trọng
1 L−1{F (s)} = e−atL−1{F (s − a)}.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 4 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
Ví dụ
Tính
1 L−1{ 1
s2 − 2s + 5}. ĐS.
1
2
et sin 2t.
2 L−1{ 6s − 4
s2 − 4s + 20}. ĐS. e
2t(6 cos 4t +2 sin 4t)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 5 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo t)
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
L−1{e−asF (s)} = f (t − a)u(t − a).
Ví dụ
1 Tìm L−1{e
−pis/3
s2 + 1
}. ĐS. sin(t − pi3)u(t −
pi
3
).
2 Tìm L−1{ 2(e
−s − e−2s
(s + 1)(s + 2)
}. ĐS.
2[e−(t−1) − e−2(t−1)]u(t − 1)− 2[e−(t−2) −
e−2(t−2)]u(t − 2).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 6 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất đổi thang đo
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì L−1{F (as)} = 1
a
f
(t
a
)
,
(a > 0)
Ví dụ
Tìm L−1
{
2s
4s2 + 16
}
Đáp số.
1
2
cos 2t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 7 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
L−1{F (n)(s)} = (−1)ntnL−1{F (s)} hay
L−1{F (s)} = L
−1{F (n)(s)}
(−1)ntn
Ví dụ
1 L−1{ln s + 1
s − 1. ĐS.
2 sinh t
t
2 L−1{ln(1 + 1
s2
}. ĐS. 2[u(t)− cos t]
t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 8 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace ngược của tích phân
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì L−1
{∞∫
s
F (x)dx
}
=
f (t)
t
hay L−1{F (s)} = tL−1
{∞∫
s
F (x)dx
}
.
Ví dụ
Tìm L−1
{
s
(s2 − 1)2
}
. ĐS. 1
2
t sinh t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 9 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Nhân cho sn
Định lý
Nếu F (0) = 0 và L{f (t)} = F (s) thì
L−1{sF (s)} = f ′(t) = d
dt
L−1{F (s)} hay
L−1{G (s)} = d
dt
L−1
{
G (s)
s
}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 10 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Nhân cho sn
Định lý
Nếu f (0) = f ′(0) = . . . = f (n−1)(0) thì
L−1{snF (s)} = f (n)(t) = d
n
dtn
L−1{F (s)} hay
L−1{G (s)} = d
n
dtn
L−1
{
G (s)
sn
}
Ví dụ
Tìm L−1{ s
s2 + 4
}. ĐS. cos 2t.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 11 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Chia cho sn
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì L−1
{
F (s)
s
}
=
t∫
0
f (x)dx
hay L−1 {G (s)} =
t∫
0
L−1{sG (s)}dx .
Ví dụ
1 Tìm L−1{ 1
s(s2 + 4)
}. ĐS. 1− cos 2t
4
.
2 Tìm L−1{ 1
s3(s2 + 1)
}. ĐS. t
2
2
+ cos t − 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 12 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tích chập
Định lý
Nếu L−1{F (s)} = f (t) và L−1{G (s)} = g(t) thì
L−1{F (s)G (s)} =
∫ t
0
f (x)g(t − x)dx
Ví dụ
Tìm L−1{ 1
(s − 1)(s − 2)}. ĐS. e
2t − et.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 13 / 1
Bài tập
Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau
1
3s − 12
s2 + 8
2
2s − 5
s2 − 9
3
1
s5
4
s
(s + 1)5
5
3s + 2
4s2 + 12s + 9
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 14 / 1
Bài tập
Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau
1
e−2s
s2
2 ln
s + 2
s + 1
3
1
s(s + 1)3
4
1
(s − 1)5(s + 2)
5
1
(s + 1)(s2 + 1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 15 / 1
Bài tập
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 16 / 1