Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán

’/R và V2 tâm I tỉ số -R’/R; 
- Trường hợp I không trùng I’ nhưng R = R’ thì có phép vị tự tâm O – trung điểm I, 
I’ và tỉ số -1; 
- Trường hợp I không trùng I’ và R ≠ R’ có hai phép vị tự: V1 tâm O1 tỉ số R’/R và 
V2 tâm O2 tỉ số -R’/R; trong đó O1, O2 lần lượt là giao điểm của II’ và MM’1, MM’2 
với M’1M’2 là một đường kính của (I’, R’) và IM là một bán kính của (I, R) sao cho 
hai vector 1I M′ ′
uuuur
 và IM
uuur
 cùng hướng. 
Bài 5. Thiết kế mô hình GSP sử dụng phép biến hình phù hợp để có thể lát trên nền 
phẳng những viên gạch hoa có hình dạng dưới đây bằng cách sắp chúng liền kề, không 
có kẻ hở và không chồng lên nhau. 
3. Thiết kế mô hình các đường conic 
Ví dụ 1. Tạo công cụ dựng elip 
Chúng ta sẽ tạo một công cụ dựng elip (E) 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 trong hệ trục tọa độ cho 
trước, với a, b là các tham số dương. 
- Mở trang mới; 
30 
- Dựng hệ trục tọa độ vào Graph | Define Coordinate System, giấu lưới và hai 
trục tọa độ bằng cách chọn chúng và áp dụng Hide | Objects, chỉ để lại gốc tọa độ O 
và điểm đơn vị A trên trục hoành; 
- Sử dụng máy tính trong Number | Calculate tạo các tham số a, b; 
- Dựng đường tròn tâm O đi qua A và điểm M di động trên (O), dựng cung AM 
bằng cách chọn O, A, M, áp dụng Construct | Arc On Circle và đo góc của cung, đổi 
tên góc là α; 
a
a
 = 0.00
b2
a2
 = undefined
b2
a2
 = undefined
a2
b2
 = –4.00
a2
b2
 = 4.00
b.sinα = 2.92
a.cosα = 1.12
b
 = 3.00
a
 = 5.00
F1 F2O
A
M
Hình 2.16 
- Dùng máy tính tính các giá trị a.cosα, b.sinα, chọn lần lượt các giá trị a.cosα, 
b.sinα, áp dụng Graph | Plot as (x,y) để dựng điểm N; 
- Chọn M, N vào Construct | Locus ta được elip; 
- Dùng máy tính, tính 22 ba − ; 22 ba −− ; 22 ab − ; 22 ab −− ; a – a; 
- Sử dụng Graph | Plot as 
(x,y) để dựng các điểm F1( 
22 ba − ; a – a), 
F2( 22 ba −− ; a – a), F1( a – 
a; 22 ab − ), F2( a – a; 
22 ab −− ). Khi đặt tên tiêu 
điểm cần đánh dấu kiểm vào 
ô Use Label in Custom 
Tools; 
Hình 2.17 
- Giấu các đối tượng không cần thiết, chỉ để lại tâm O, các tham số a, b, các tiêu 
điểm và elip; 
- Chọn lần lượt các đối tượng: 
tâm O, a, b, F1, F2 và elip rồi áp 
dụng Custom Tool | Create 
New Tool để tạo công cụ mới đặt 
tên là Elip(ab); 
- Khi sử dụng, chọn Custom 
Tool | Elip(ab), kích vào một 
điểm tùy ý trên trang hình, kích 
lần lượt vào các số a, b ta sẽ 
b
 = 6.00
a
 = 3.63
a thay đổi
F2
F1
O
31 
được elip cùng với hai tiêu điểm 
F1, F2; 
Hình 2.18 
- Thay đổi các tham số a, b để quan sát bằng cách chọn tham số và sử dụng phím +, 
- hoặc chọn a, áp dụng Edit | Action Buttons | Animation, khi hộp thoại xuất hiện 
chọn Animate | Change Value đổi miền giá trị Domain: 0 to 10 để tạo nút lệnh điều 
khiển sự thay đổi của tham số a chạy từ 0 → 10. 
Ví dụ 2. Tính chất quang học của parabol 
Với parabol, tia sáng phát ra từ tiêu điểm (tia tới) chiếu đến một điểm của parabol 
sẽ bị hắt lại (tia phản xạ) theo một tia song song hoặc trùng với trục của parabol. Người 
ta đã lợi dụng tính chất quang học này của parabol để chế tạo đèn pha giúp ô tô có thể 
chiếu sáng trong đêm tối. Mô hình sau đây được thiết kế để minh họa cho hoạt động của 
đèn pha. 
- Dựng đoạn thẳng MN và điểm C không nằm trên đường thẳng MN; 
- Chọn Custom Tool | 
Parabol (đường chuẩn, 
điểm) kích vào đoạn thẳng và 
điểm C ta được parabol có 
đường chuẩn là đường thẳng 
MN, tiêu điểm C, điểm D di 
động trên parabol phụ thuộc 
vào điểm B trên đoạn MN và 
tiếp tuyến của parabol tại D; 
Thay đổi vị trí điểm C để có 
được một parabol cân đối; 
D
M
N
B
C
Hình 2.19 
- Dùng công cụ điểm Point Tool lấy điểm F ở bên trong phần lõm của parabol, 
dựng đoạn FD; 
- Dựng đường thẳng k qua D vuông góc với tiếp tuyến tại D bằng cách chọn điểm 
D, tiếp tuyến tại D vào Construct | Perpendicular Line, kích đúp đường thẳng k để 
chọn k làm trục đối xứng; 
- Chọn F, áp dụng Transform | Reflect ta được điểm F’ đối xứng với F qua k, 
dựng tia DF’; 
- Giấu đường thẳng k, tiếp tuyến tại D và điểm F’; 
- Chọn đoạn DF, điểm B, Construct | Locus , sau đó vào Edit | Properties | Plot 
sửa lại ở ô Number of Samples: 10 ta được chùm tia tới; Thực hiện tương tự cho tia 
DF’để có chùm tia phản xạ; 
- Tạo nút lệnh song song bằng cách chọn F, C, Edit | Action Buttons | Movement; 
Giấu các điểm C, B, D và đoạn MN; 
- Chọn các tia tới, tia phản xạ vào Display | Color đổi thành màu vàng; 
- Chọn F áp dụng Display | Point Style | Large đổi tên điểm là đèn; 
- Vào Edit | Preferences | Color | Background đổi màu nền thành màu đen; 
32 
- Thay đổi vị trí của đèn và quan sát các tia phản xạ, kích vào nút song song để có 
vị trí đặt đèn đúng. 
song song
đèn
Hình 2.20 
BÀI TẬP 
Bài 1. Cho đường tròn tâm O bán kính R, F là một điểm cố định. Thiết kế mô hình 
bằng phần mềm GSP hỗ trợ việc dự đoán quỹ tích tâm M của đường tròn đi qua F và tiếp 
xúc với đường tròn (O) đã cho. Tạo nút lệnh để thấy được quỹ tích trong trường hợp 
thay đường tròn (O) bởi đường thẳng d. 
Bài 2. Cho bài toán “Trên đường thẳng d cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C. 
Đường tròn (O) thay đổi luôn tiếp xúc với D tại A. Hai tiếp tuyến của đường tròn xuất 
phát từ B và C cắt nhau tại M. Tìm tập hợp điểm M.” 
Thiết kế mô hình bằng phần mềm GSP hỗ trợ học sinh giải bài toán trên. 
Bài 3. Sử dụng phần mềm GSP tạo các công cụ sau: 
- Dựng elip đi qua một điểm và nhận hai điểm cho trước làm hai tiêu điểm; 
- Dựng hyperbol khi cho hai tiêu điểm và tâm sai; 
- Dựng parabol (P): y2 = 2px trên hệ trục cho trước khi có p và một điểm thuộc (P). 
Bài 4. Sử dụng phần mềm GSP thiết kế các mô hình minh họa cho các tính chất 
sau: 
a) Elip (E) với hai tiêu điểm F1, F2, M là một điểm nằm trên (E) nhưng không 
nằm trên đường thẳng F1F2 và M là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác MF1F2. 
Khi đó M chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng M như thế được gọi là tiếp 
tuyến của (E) tại M) 
b) Hyperbol (H) với hai tiêu điểm F1, F2, M là một điểm nằm trên (H) nhưng 
không nằm trên đường thẳng F1F2 và M là phân giác trong tại đỉnh M của tam giác 
MF1F2. Khi đó M chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất (đường thẳng M như thế được gọi 
là tiếp tuyến của (H) tại M) 
c) Parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn d, với điểm M trên (P) ta kẻ 
 ( )MH d H d⊥ ∈ và gọi M là phân giác của góc FMH. Khi đó M chỉ cắt (P) tại điểm 
M duy nhất (đường thẳng M như thế được gọi là tiếp tuyến của (P) tại M). 
33 
Bài 5. Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = 1. Đường tròn (C) cắt Ox tại 
hai điểm A(-1;0) và B(1;0). Đường thẳng (D) có phương trình x = m (-1 < m < 1, M khác 
0) cắt (C) tại M và N. Đường thẳng AM cắt đường thẳng BN tại K. Tìm tập hợp các điểm 
K khi m thay đổi. 
III. Thiết kế một số mô hình đại số và giải tích 
1. Thiết kế mô hình đồ thị 
Để vẽ đồ thị của parabol 21( )
10
f x x x= − + ta có thể thực hiện theo các cách sau tùy 
thuộc vào ý đồ của người sử dụng. 
Cách 1. Sử dụng chức năng dựng đồ thị của phần mềm 
- Mở trang mới; 
- Dựng hệ trục tọa độ Oxy bằng cách chọn Graph | Define Coordinate System; 
- Sau đó vào lại Graph và chọn Plot New Function, nhập hàm số f(x) vào hộp 
thoại New Function, nhấn nút OK thì ta sẽ có đồ thị hàm số trên màn hình; 
Hình 2.21 
Cách 2. Xây dựng đồ thị theo quan điểm quỹ tích 
- Mở trang mới; 
- Dựng hệ trục tọa độ; 
- Lấy một điểm M tùy ý di động trên trục Ox với công cụ điểm, xác định hoành độ 
của M bằng cách áp dụng Measure | Abscissa(x); 
- Vào Number | Calculate tính giá trị 21( )
10M M M
f x x x= − + với giá trị xM được nhập 
vào bằng cách kích chuột lên giá trị xM trên màn hình; 
- Chọn xM và f(xM) theo thứ tự và vào Graph | Plot as (x,y) để dựng điểm M’(xM, 
f(xM)); 
- Dựng quỹ tích của điểm M’ bằng cách chọn điểm M và M’ vào Construct | Locus 
ta được quỹ tích chính là đồ thị của parabol. 
34 
Hình 2.22 
Cách 3. Xây dựng mô hình đồ thị động, đồ thị hiện dần ra khi biến x tiến từ trái 
sang phải trên trục hoành. 
- Mở trang mới; 
- Vẽ đồ thị hàm số 21( )
10M M M
f x x x= − + như cách 1; 
- Lấy hai điểm I(-5;0) và J(15;0) trên trục hoành bằng chức năng Graph | Plot 
Points; sử dụng công cụ đoạn thẳng Segment Straightedge Tool để nối hai điểm 
trên; 
- Dùng công cụ điểm Point Tool lấy một điểm M tùy ý trên đoạn thẳng IJ vừa 
dựng; Dựng đoạn thẳng IM và tiếp tục lấy điểm N di động trên IM; 
- Đo hoành độ của điểm N (chọn N, vào Measure | Abscissa(x)); 
- Tính 21( )
10N N N
f x x x= − + bằng cách áp dụng Number | Calculate và kích chuột 
lần lượt vào hàm số f(x) và giá trị xN trên màn hình; 
- Chọn lần lượt xN và f(xN), sử dụng Graph | Plot As (x,y) để dựng điểm 
N’(xN,f(xN)); 
- Chọn N, N’ vào Construct | Locus ta được quỹ tích là một phần đồ thị của 
parabol trong khoảng từ I đến M; 
2
2
4
6
5 5 10 15
f xN( ) = 2.11
xN = 3.02
f x( ) = 110( )·x2 + x N'
JI
MN
Hình 2.23 
- Để làm cho đồ thị di động: chọn M, J theo thứ tự, áp dụng Edit | Action Buttons 
Movement vào Label đặt tên nút lệnh chuyển động và nhấn OK; 
- Để chuyển động lại từ đầu, chọn M, I theo thứ tự, áp dụng Edit | Action Buttons 
Movement vào Label đặt tên nút lệnh lặp lại, tiếp tục vào Move | Speed | Instant 
35 
(ngay lập tức) và nhấn OK; 
- Sử dụng chức năng Display | Hide Objects để giấu những đối tượng không cần 
thiết của mô hình. 
2
2
4
6
5 5 10
lặp lại
chuyển động
M
Hình 2.24 
Cách 4. Dùng file công cụ.gsp để dựng đồ thị hàm số dạng 2( )f x ax x= + 
- Mở file congcu.gsp; 
- Mở trang mới; 
- Chọn Custom Tool | congcu | 1HetrucOxy(gon) dựng hệ trục Oxy thu gọn; 
- Dựng thanh trượt tham số a bằng cách vào Custom Tool | congcu | Slider (gon) 
và kích chuột vào gốc tọa độ O; 
- Áp dụng Number | New Function để nhập hàm số 2( )f x ax x= + từ bàn phím 
trong đó giá trị a nhập vào bằng cách nhấp chuột lên giá trị thanh trượt; 
- Vào Custom Tool | congcu | y = f(x) (gon) rồi lần lượt kích chuột lên điểm trên 
trái, điểm dưới phải, gốc tọa độ O của hệ trục thu gọn và hàm số f(x) ta sẽ được đồ thị 
của parabol 2( )f x ax x= + với a là một hệ số tùy ý có thể thay đổi bằng cách kéo rê 
thanh trượt. 
x
y
f x( )
 = a·x2 + x
–0.37
O
a
Hình 2.25 
2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
a. Tạo công cụ dựng nửa mặt phẳng chia bởi một đường thẳng 
- Mở trang mới; 
36 
- Dựng đường thẳng AB bằng công cụ Line Straightedge Tool và lấy một điểm M 
di động trên đường thẳng đó; 
- Tịnh tiến điểm M một đoạn 1cm và góc 90o bằng cách chọn M, vào Transform | 
Translate | Translate; 
Hình 2.26 
- Dựng đường tròn tâm M và đi qua điểm ảnh của M với công cụ Compass Tool; 
- Chọn M, đường thẳng AB, áp dụng Construct | Perpendicular Line để dựng 
đường thẳng qua M vuông góc với AB, xác định giao điểm N của đường thẳng với 
đường tròn tâm M; 
- Dùng Ray Straightedge Tool dựng tia MN; 
- Chọn M và tia MN vào Construct | Locus; 
- Giấu đường thẳng vuông góc, tia, đường tròn, điểm bán kính, điểm M, N; 
- Vào Edit | Select All để chọn tất cả, rồi dùng công cụ Custom Tool | Creat New 
Tool đặt tên cho công cụ mới là bptbn. Dịch chuyển A, B để thấy miền gạch sọc thay 
đổi theo đường thẳng. 
N
A
B
M
Hình 2.27 
b. Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y – 2 > 0. 
- Mở trang mới; 
- Dựng hệ trục tọa độ; 
- Sử dụng Graph | Plot New Function để vẽ đồ thị hàm số 1
2
xy = − + 
37 
- Vào Custom Tool chọn công cụ bptbn, kích lần lượt lên hai điểm bất kì nằm trên 
đường thẳng d: 1
2
xy = − + ; 
- Lấy điểm E tự do trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, phần không gạch chéo; 
- Xác định hoành độ và tung độ điểm E với chức năng Measure | Abscissa (x), 
Measure | Ordinate (y); 
- Vào Number | Calculate tính giá trị biểu thức xM + 2yM – 2, quan sát giá trị này 
khi kéo rê điểm E ở nửa mặt phẳng không gạch chéo. 
4
2
2
4
5 10
xE + 2·yE 2 = 6.36
yE = 3.17
xE = 2.01
f x( )
 = 
x
2( ) + 1
E
Hình 2.28 
- Ta có được miền nghiệm của bất đẳng thức đã cho là nửa mặt phẳng không gạch 
chéo. 
c. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
Bài toán: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi 
cho thuê xe chỉ có 10 xe loại A và 9 xe loại B. Một chiếc xe loại A có thể chở 20 người 
và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe loại B có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một 
xe loại A là 4 triệu đồng, một xe loại B là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi 
loại để chi phí là thấp nhất. 
Nếu gọi x, y lần lượt là số xe A và số xe B mà công ty cần thuê thì bài toán trở 
thành bài toán đại số: tìm các số nguyên x, y thỏa hệ phương trình 
0 10
0 9
2 14
2 5 30
x
y
x y
x y
≤ ≤
 ≤ ≤

+ ≥
 + ≥
sao cho 
T(x;y) = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất. 
- Dựng 4 đường thẳng x = 10, y = 9, 2x + y – 14 = 0, 2x + 5y -30 = 0 và xác định miền 
nghiệm 4 bất trình của hệ; 
- Xác định các đỉnh của miền nghiệm, chọn các đỉnh theo thứ tự vào Construct | 
Quadrilateral Interior để dựng đa giác chứa miền nghiệm của hệ, có thể đổi màu 
của đa giác bằng Display | Color. 
- Tiếp tục chọn miền trong của đa giác, áp dụng Construct | Point on Perimeter 
để dựng điểm K trên biên của đa giác; 
38 
10
8
6
4
2
5 10 15
4·xK + 3·yK = 45.91
yK = 9.00
xK = 4.73
g x( ) = 25( )·x + 6
f x( ) = 2·x + 14
O
K
Hình 2.29 
- Chọn K, Measure | Abscissa (x), Measure | Ordinate (y), rồi tính giá trị của biểu 
thức 4xK + 3yK. Kéo điểm K trên biên để quan sát giá trị đó thay đổi như thế nào, từ đó 
có kết luận gì? 
d. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T(x;y) = 4x + 3y trên miền nghiệm của hệ bất 
phương trình 
- Lấy điểm M trên trục tung và đo tung độ yM của điểm M; 
- Vẽ đường thẳng d qua M có hệ số góc -4/3 bằng cách chọn Graph | Plot New 
Function nhập vào 4
3 M
x y− + ; Lấy một điểm Q di động trên d, so sánh hai giá trị 
4xQ+3yQ và 3yM khi Q chuyển động trên d, rút ra nhận xét; 
- Qua các đỉnh của đa giác nghiệm, dựng các đường thẳng song song với d, kéo 
điểm M để đường thẳng d lần lượt đến trùng các đường thẳng trên, quan sát giá trị 
4xQ+3yQ và đưa ra nhận xét. 
12
10
8
6
4
2
5 10 15
yM·3 = 20.00
4·xQ + 3·yQ = 20.00
Animate Point
A
B
C
D
O
M
Q
Hình 2.30 
BÀI TẬP 
Bài 1. Sử dụng phần mềm GSP, vẽ đồ thị hàm số ( ) sin( )f x a bx c d= + + với a, b, c, 
d là các hệ số thực. 
Bài 2. Thiết kế mô hình GSP giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa đồ thị của 
hai hàm số 2( )f x ax= và 2( ) ( )g x a x p q= − + . 
Bài 3. Thiết kế mô hình GSP giúp minh họa hai phương trình sau tương đương: 
3 2 1 1x x x− + = + và 3 2 22 1 1 1 1x x x x x− + + + = + + + 
39 
Bài 4. Thiết kế mô hình GSP để hướng dẫn học sinh giải bài toán sau: 
“Một xưởng sản xuất hai loại hàng. Mỗi sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 
giờ, đem lại mức lời là 400000 đồng. Mỗi sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15 
giờ, đem lại mức lời 300000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. 
Hỏi phải sản xuất mỗi loại hàng hóa bao nhiêu để có mức lời cao nhất.” 
3. Giới hạn 
a. Thiết kế mô hình minh họa giới hạn của dãy số (un) với ( 1)
n
nu
n
−
= 
- Mở trang mới; 
- Dựng hệ trục tọa độ Graph | Define Coordinate System; 
- Kéo điểm đơn vị 1 sao cho đoạn [-1;1] đủ lớn để dễ quan sát; Dựng đoạn thẳng [-
1;1]; 
- Giấu hệ trục tọa độ: Graph | Hide Grid, chọn trục Ox, Oy vào Display | Hide 
Axes; 
- Tạo thanh trượt số tự nhiên n với giá trị n tăng nhanh: 
* Dựng tia Ax với công cụ Ray Straightedge Tool, lấy hai điểm B, C trên tia 
Ax, lần lượt chọn theo thứ tự các điểm A, B, C vào Measure | Ratio để đo tỉ số; 
* Sử dụng Number | Calculate | Functions chọn hàm round, chọn tỉ số và 
nhấn OK; Chọn giá trị vừa có được, kích chuột phải vào Properties | Label đổi tên 
là n; 
* Dựng đoạn thẳng AC; 
x
n = 3.00
AC
AB = 3.00
A
B C
Hình 2.31 
* Chọn điểm B, dùng phím mũi tên để dịch chuyển B đến sát điểm A; 
* Chọn để giấu những đối tượng không cần thiết; 
n = 12.00
n
- Tính giá trị ( 1)
n
n
−
, sau đó vào Graph | Plot Points để dựng điểm M( ( 1)n
n
− ;0) 
- Chọn M, áp dụng Transform | Translate | Fixed Distance 0.5cm, Fixed Angle 
90 degrees; 
- Dựng đoạn thẳng nối M và điểm vừa tịnh tiến. Kéo rê n càng lớn, ta sẽ thấy các 
điểm M dịch chuyển quanh điểm O. 
40 
1( )n
n
 = –0.04n = 25.00
M-0.5 0.5-1 0 1
n
Hình 2.32 
Chúng ta cũng có thể biểu diễn các số hạng của dãy số trên một hệ trục tọa độ chữ 
nhật để thấy giá trị của dãy ( 1)
n
nu
n
−
= tiến về 0 khi n đủ lớn. 
- Mở trang mới; 
- Dựng hệ trục tọa độ; Vào Graph | Grid Form | Rectangular Grid để có được hệ 
trục tọa độ chữ nhật; 
- Chọn điểm đơn vị trên trục hoành, dùng phím mũi tên để đưa điểm này đến sát 
gốc tọa độ O, ngược lại đưa điểm đơn vị trên trục tung ra xa gốc tọa độ O; 
- Tạo thanh trượt số tự nhiên n với giá trị n tăng nhanh; 
- Dùng máy tính tính giá trị ( 1)
n
n
−
, dựng điểm M(n, ( 1)
n
n
− ) lên hệ trục tọa độ bằng 
chức năng Graph | Plot As (x,y); 
- Chọn điểm M, vào Display | Trace Plotted Point để tạo vết cho điểm M; 
- Tạo nút lệnh để điều khiển giá trị n tăng dần: chọn điểm n, chọn Edit | Action 
Buttons | Animation | Animate chọn trong ô Direction forward, Speed Slow, vào ô 
Label đổi tên nhãn. 
Hình 3.33 
- Nhấp chuột vào nút lệnh n tăng và quan sát các vết. 
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
1( )n
n
 = 0.00249
n = 402
lặp lại
n tăng
n
Hình 3.34 
41 
b. Dự đoán giới hạn của dãy số thực (un) xác định bởi: 
u1 = 2 và un+1 = un / 2 + 3 với 1n ≥ 
- Mở trang mới; 
- Dựng hệ trục tọa độ; 
- Chọn Graph | Plot New Function để vẽ hai đường thẳng d1: 32
xy = + và d2: y = 
x; 
- Lấy điểm u1 tùy ý trên trục Ox, qua u1 vẽ đường thẳng song song với Oy (chọn u1, 
Oy, Construct | Parallel Line) cắt d1, d2 lần lượt tại A1, B1; 
- Tiếp tục dựng B2 là giao điểm của đường thẳng qua A1 song song với trục hoành 
và đường thẳng d2; u2 là giao điểm của đường thẳng qua B2 song song với trục tung và 
đường thẳng Ox; 
- Chọn các đường thẳng song song, áp dụng Display | Hide Parallel Line để giấu 
các đường thẳng đó; 
- Sử dụng công cụ Segment Straightedge Tool, dựng các đoạn A1u1, B2u2, A1B1, 
A1B2; 
- Chọn u1, n áp dụng Transform | Shift | Iterate To Depth để thực hiện phép lặp 
ứng với u1 tại u2; 
Hình 2.35 
- Dựng thanh trượt số tự nhiên n (xem cách dựng ở giới hạn dãy số); 
- Vào Graph | Plot Points để dựng điểm (2;0) trên trục hoành; 
- Chọn u1, điểm (2;0), vào Edit | Action Buttons | Movement để tạo nút lệnh cho 
phép di chuyển điểm u1 đến chính xác vị trí (2;0); 
- Kéo rê n để thấy dãy (un) tiến dần đến giới hạn nào. 
6
5
4
3
2
1
1
2 4 6
d1
d2
n
 = 8.00
g x( ) = x2 + 3
f x( ) = x
u2
B2
B1
A1
u1
n
Hình 2.36 
42 
c. Giới hạn của hàm số 1( ) . osf x x c
x
 
=  
 
 khi 0x → 
- Mở trang mới; 
- Dựng hệ trục tọa độ, kéo điểm đơn vị đủ xa để dễ quan sát đồ thị; 
- Vào Edit | Preferences | Units | Angle đổi đơn vị đo góc từ độ (degrees) sang 
radian; 
Hình 2.37 
- Sử dụng Graph | Plot New Function vẽ đồ thị hàm số 1( ) . osf x x c
x
 
=  
 
; 
- Dựng thanh trượt số nguyên n; 
- Dùng Number | Calculate tính 1
n
 và 1f
n
 
 
 
; 
- Chọn các giá trị 1
n
,
1f
n
 
 
 
vào Graph | Plot As (x,y) để vẽ điểm M( 1
n
; 1f
n
 
 
 
); 
- Kéo rê n sang phải, sang trái để quan sát điểm M. 
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
f
1
n( ) = –0.02
f x( ) = x·cos 1
x( )
1
n
 = 0.13
n = 8.00
M
n
Hình 2.38 
BÀI TẬP 
Bài 1. Thiết kế mô hình GSP để minh họa cho tổng 
1 1 1 1 1
2 4 8 2n
+ + + + + =L L 
Bài 2. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, thiết kế mô hình GSP minh họa 
cho kết quả của 
2
1
3 4lim
1x
x x
x→−
− −
+
 là -5. 
43 
Bài 3. Cho dãy số (un) xác định bởi 1 10u = và 1 35
n
n
u
u + = + với mọi 1n ≥ . 
Thiết kế mô hình GSP giúp học sinh dự đoán được giới hạn của dãy số trên. 
Bài 4. Thiết kế mô hình GSP để minh họa định lý: 
“Nếu |q|<1 thì limqn = 0”