Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 2: Tích phân phức

Toán kỹ thuật 
I. Giải tích Fourier 
II. Phép biến đổi Laplace 
III.Hàm phức và ứng dụng 
Hàm phức và ứng dụng 
1. Hàm giải tích 
2. Tích phân phức 
3. Chuỗi hàm phức 
4. Lý thuyết thặng dư 
5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 
6. Phép biến đổi bảo giác 
2. Tích phân phức 
a. Tích phân đường phức 
b. Công thức tích phân Cauchy 
c. Công thức tích phân Poisson 
2. Tích phân phức 
Tích phân phức 
Ví dụ: 
Nhận xét: Không phải hàm phức nào cũng dễ dàng tìm được 
nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải: 
- Chuyển sang tích phân đường 2 biến x,y. 
- Dùng các định lý. 
 
22
22
00
1 1
2
2 2

  
jj
zdz z j
2. Tích phân phức 
a. Tích phân đường phức 
Định nghĩa: 
 
0
1
( ) lim
 

 
k
n
k k
z
kC
f z dz f z z
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
Tích phân phức cũng mang các tính chất của tích phân thực 
(xem tài liệu) 
Ví dụ: Tính tích phân: 
với C là đoạn AD 
 
   
. ( ) ( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
  
   
 
 
C C
C C
i f z dz u x y jv x y dx jdy
u x y dx v x y dy j v x y dx u x y dy
2

C
z dz
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
Giải: 
   
 
 
2 2 2 2 2
5 5
2
1 1
3 3
2
1 1
2 2
1 2 36 24
124
10 25 40
3
196
4
3
 
         
   
    
     
    
  
 
 
C C C
AB
BD
AB BD
I z dz x y dx xydy j xydx x y dy
I x dx j x dx j
I y dy j y dy j
I I I j
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
ii. Định lý 3.1: Nếu f(z) liên tục trên C, |f(z)| ≤ M, thì: 
iii. Định lý 3.2 (bổ đề Green):Nếu miền D có biên C trơn 
từng đoạn, P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y và ∂Q/∂x liên tục trong và 
trên biên của D thì: 
( ) ; ( ) 
C
f z dz ML L length C
  
   
  
 
C D
Q P
Pdx Qdy dxdy
x y
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
iv. Định lý 3.5 (Định lý Cauchy): Nếu f(z) là giải tích tại mọi 
điểm thuộc miền D giới hạn bởi đường cong C trơn từng 
đoạn thì: 
( ) 0
C
f z dz
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
v. Định lý 3.6 (Nguyên lý biến dạng chu tuyến): Nếu đường 
cong C1 có thể biến dạng thành C2 mà không vượt qua bất 
kỳ điểm nào mà tại đó f(z) không giải tích thì: 
Ví dụ: Tính tích phân với C là một đường cong bất 
kỳ: 
a. Không chứa gốc tọa độ 
b. Chứa gốc tọa độ? 
1 2
( ) ( ) 
C C
f z dz f z dz
1

C
dz
z
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
Giải: 
a. Nếu C không chứa gốc tọa độ, theo định lý Cauchy ta có 
(gốc tọa độ z0 = 0 là một điểm mà f(z) không giải tích). 
b. Nếu C chứa gốc tọa độ, theo nguyên lý biến dạng chu 
tuyến, có thể chọn C là đường tròn z = reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π). Khi 
đó: 
Kết quả này có thể mở rộng cho tích phân 
2 2
0 0
1 1
2

 



  

    
j
j
j
C
dz jre d
dz jre d j d j
z re
1
0
C
dz
z
0
1

C
dz
z z
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
vi. Định lý 3.7: Nếu f(z) giải tích trong một miền đơn liên D 
thì tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích 
phân trong D. 
1
0
( )
z
z
f z dz
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
iv. Nếu đường cong kín C bao quanh n điểm không giải tích 
của f(z) thì: 
Trong đó γi là đường cong bao quanh (duy nhất) điểm không 
giải tích zi. 
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )
  
      
nC
f z dz f z dz f z dz f z dz
1. Hàm giải tích 
Một số tính chất và định lý liên quan 
Ví dụ: Tính tích phân: 
a. C là đường cong chứa cả hai điểm 1, -2j. 
b. C chỉ chứa -2j, không chứa điểm 1. 
Giải: 
( 1)( 2 )

 
C
z
I dz
z z j
1 2
1 1
(1 2 ) (4 2 )
3 1 5 2
1 1 17 4
. (1 2 )2 (4 2 )2 2
3 5 15 15
1 4 2
. 0 (4 2 )2 2
5 5 5
  
 
     
 
 
      
 
 
     
 
 
C C
dz dz
I j j I I
z z j
a I j j j j j j
b I j j j j
1. Hàm giải tích 
b. Công thức tích phân Cauchy 
Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm thuộc miền D, C là một 
đường kín, trơn từng đoạn trong D, z0 ∈ D thì: 
Nếu đạo hàm bậc n của f(z) tồn tại thì: 
0
0
1 ( )
( )
2


C
f z
f z dz
j z z
 
( )
0 1
0
! ( )
( )
2 



n
n
C
n f z
f z dz
j z z
1. Hàm giải tích 
b. Công thức tích phân Cauchy 
Ví dụ: Tính các tích phân sau: 
C là đường tròn bán kính 1 và có tâm là: i. z = j; ii. z = -j. 
C là đường cong kín bất kỳ chứa 3 điểm z = 1; -2 và –j. 
C là đường cong kín chứa điểm z = 1. 
1 2
1.
1


z
C
e
I dz
z
2
4
3 3
2
2.
( 1)( 2)( )
3.
( 1)

  




C
C
z
I dz
z z z j
z
I dz
z
1. Hàm giải tích 
b. Công thức tích phân Cauchy 
Giải: 
1. Tham khảo tài liệu 
2. 
 Trong đó C1, C2, C3 là 3 đường cong kín lần lượt 
chứa (duy nhất một) các điểm 1; - 2 và -j. 
 Theo công thức tích phân Cauchy: 
1 2
3
2
2 2
( 2)( ) 1 ( 1)( ) 2
2
( 1)( 2)
 
     

  
 

C C
C
z dz z dz
I
z z j z z z j z
z dz
z z z j
2
2 4 2
2
3(1 ) ( 3)( 2 ) ( 1)( 2)

  
   
        
j
I j
j j j j
1. Hàm giải tích 
b. Công thức tích phân Cauchy 
Giải: 
3. 
 
41
3 13
2
2
3 12 1
1
( )
; ( )
( 1)
1
2 ( ) 12 12
2!
  


 

 
   
 

C
z
z
f z
I dz f z z
z
d
I j f z j z j
dz
1. Hàm giải tích 
b. Công thức tích phân Cauchy 
Định lý Morera: Nếu f(z) liên tục trong miền D và 
với mọi đường kín C trong D thì f(z) giải tích trong D. 
Bất đẳng thức Cauchy: Nếu f(z) giải tích trong miền D, C là 
một đường tròn tâm z0 bán kính r nằm trong D thì: 
( ) 0
C
f z dz
( )
0
!
( )
max ( )



n
n
z C
n M
f z
r
M f z
1. Hàm giải tích 
c. Công thức tích phân Poisson 
Công thức tích phân Poisson: 
2 2 2
2 2
0
1
( , ) ( , )
2 2 cos( )

  
  


  
R r
u r u R d
R Rr r
1. Hàm giải tích 
Bài tập: 
1. Tính trực tiếp các tích phân sau: 
2. Kiểm tra lại kết quả câu 1d bằng cách chuyển sang tích 
phân thực với 2 biến x,y và đường lấy tích phân là đường 
thẳng nối liền 2 điểm 0, 3 + j. 
   
   
1 1
2
0 0
31
2
0
. . cos
. .


 

 
 
j j
z
j
z
j
a e dz b z dz
c e dz d z dz
1. Hàm giải tích 
Bài tập: 
3. Tính tích phân sau: 
Với đường lấy tích phân: 
a. Nữa đường tròn |z| = 1 ở bên phải mặt phẳng phức 
b. Dọc theo trục tung. 
4. Tính tích phân sau: 
Với C là: 
a. Đường thẳng nối 2 điểm z = 2 và z = j2. 
b. 2 đoạn thẳng, đoạn 1 từ z = 2 đến z = 2 + j2, đoạn 2 từ z 
= 2 + j2 đến z = j2. 
c. Một phần tư đường tròn |z| = 2 từ điểm z = 2 đến z = j2. 
 2 2


j
j
x jy dz
2( 3 )
C
z z dz
1. Hàm giải tích 
Bài tập: 
Áp dụng định lý Cauchy và các hệ quả liên quan tính các 
tích phân sau: 
 Với C là: a. Đường tròn |z| = 1 
 b. Đường tròn |z| = 3. 
 Với C là: a. Đường tròn |z| = 3 
 b. Đường tròn |z| = 5. 
 Với C là: a. Đường tròn |z| = 1 
 b. Đường tròn |z - 2j| = 3 
 c. Đường tròn |z – 1 + 2j| = 2 
2
5.
(2 1)( 2) 
C
zdz
z z
5
6.
( 1)( 2)( 4 )  
C
zdz
z z z j
2
sin 2
7.
4 5 
C
zdz
z z
1. Hàm giải tích 
Bài tập: 
Với C là: 
 a. Đường tròn |z| = 1 
 b. Đường tròn |z| = 3. 
2
4
8.
( 1)( 2) 
C
zdz
z z