Bài giảng Toán rời rạc - Chương 2: Phép đém

LOGO
Chương 2. Phép đếm
TOÁN RỜI RẠC
Chương 2
1
Nội dung
- Các nguyên lý
- Giải tích tổ hợp
- Hoán vị lặp, tổ hợp lặp
- Hệ thức đệ qui
2
I. Các nguyên lý
1. Nguyên lý cộng
Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp
- Phương pháp 1 có n cách làm
- Phương pháp 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n+m
Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái 
áo thì An có mấy cách 
3
I. Các nguyên lý
2. Nguyên lý nhân
Giả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước
- Bước 1 có n cách làm
- Bước 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n.m
Phép đếm
Ví dụ: 
A B C
Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C
4
I. Các nguyên lý
Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0}
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia 
hết cho 2
Giải. Gọi số có 3 chữ số là abc
TH1 . c=0. Khi đó 
c có 1 cách chọn
a có 5 cách chọn ( a∈X\{0} )
b có 4 cách chọn ( b∈X\{a, 0} )
TH1 có 1.4.5 =20
TH2 . c≠0. Khi đó 
c có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn ( a∈X\{c, 0} )
b có 4 cách chọn ( b∈X\{a, c} )
TH2 có 2.4.4 =32
Vậy có 20+32 =52
5
I. Các nguyên lý
3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)
Gọi là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x. 
Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít 
nhất một chuồng chứa từ bồ câu trở lên. /n k  
x  
Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ
có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên
- Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh
cùng ngày
6
Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con 
của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có 
tổng bằng 10.
Giải. 
I. Các nguyên lý
Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5}
Do A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử 
trong 1 chuồng. Suy ra đpcm 
7
4. Nguyên lý bù trừ. 
Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó 
|A ∪ B|= |A|+|B| - |A ∩ B|
I. Các nguyên lý
A∩ B BA
8
I. Các nguyên lý
A∩ C B∩C 
A∩ B ∩ C
C
A∩ B
A B
|A∪ B ∪ C|=?
9
I. Các nguyên lý
Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học 
Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học 
Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người
Giải. 
Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp
B là những học sinh học Tiếng Anh
Khi đó. Số học sinh của lớp là |A∪ B |. Theo nguyên lý 
bù trừ ta có |A∪ B|= |A|+|B| - |A∩ B|=24+26-15=35
10
II. Giải tích tổ hợp
1. Hoán vị
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt 
có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n
phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn 
Pn = n! = n.(n-1).(n-2)n1
Quy ước 0! =1
Ví dụ. Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau
abc,acb,
bac,bca,
cab,cba
11
Ví dụ. Nếu A là tập hợp n phần tử thì số song ánh từ A vào 
A là n!
Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 
5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X 
 5!
12
II. Giải tích tổ hợp
2. Chỉnh hợp.
Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
phần tử (1 ≤ k ≤n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một 
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là
k
nA
- Công thức 
( )
!
!
k
n
n
A
n k
=
−
Ví dụ. Cho X ={abc}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 
3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb. 
13
II. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo 
thành từ 1,2,3,4,5,6. 
Kết quả: 3
6
A
14
II. Giải tích tổ hợp
3.Tổ hợp.
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k 
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là hay
k
nC 



k
n

( )
!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−
Tính chất n k k
n nC C
− = 1 1
k k k
n n nC C C
−
++ =
15
II. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của 
X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4} 
Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn
10C- Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30. 
30
16
III. Hoán vị lặp, tổ hợp lặp
1. Hoán vị lặp
Định nghĩa. Cho n đối tượng trong đó có ni đối tượng loại i 
giống hệt nhau (i =1,2,n,k ; n1+ n2,n+ nk= n).
Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đã cho gọi là một 
hoán vị lặp của n.
Số hoán vị của n đối tượng, trong đó có 
n1 đối tượng giống nhau thuộc loại 1, 
n2 đối tượng giống nhau thuộc loại 2,n, 
nk đối tượng giống nhau thuộc loại k, là 
1 2
!
! !... !k
n
n n n
17
II. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Có bao nhiêu chuỗi kí tự khác nhau bằng cách sắp 
xếp các chữ cái của từ SUCCESS?
Giải. Trong từ SUCCESS có 3 chữ S, 1 chữ U, 2 chữ C và 
1 chữ E. Do đó số chuỗi có được là 
.
7!
420
3!1!2!1!
=
18
III. Hoán vị lặp, tổ hợp lặp
2. Tổ hợp lặp
Định nghĩa. Mỗi cách chọn ra k vật từ n loại vật khác nhau 
(trong đó mỗi loại vật có thể được chọn lại nhiều lần) 
được gọi là tổ hợp lặp chập k của n
Số các tổ hợp lặp chập k của n được ký hiệu là kKn
1
k k
n n kK C + −=
19
Ví dụ. Có 3 loại nón A, B, C. An mua 2 cái nón. Hỏi An có 
bao nhiêu cách chọn.
Ta có mỗi cách chọn là mỗi tổ hợp lặp chập 2 của 3. Cụ thể 
AA, AB, AC, BB, BC, CC
2 2 2
6K C C= = =
III. Hoán vị lặp, tổ hợp lặp
3 3 2 1 4+ −
20
Hệ quả. Số nghiệm nguyên không âm (x1,x2,n,xn) (mỗi xi
đều nguyên không âm) của phương trình 
x1+ x2+n+ xn = k là 
1
k k
n n kK C + −=
Số cách chia k vật đồng chất nhau vào n hộp phân biệt cũng 
chính bằng số tổ hợp lặp chập k của n 
1
k k
n n kK C + −=
21
Ví dụ. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình 
x1+ x2 + x3 + x4 = 20 (1)
Thỏa điều kiện x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > 4 (∗). 
Giải. Ta viết điều kiện đã cho thành x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5. 
III. Hoán vị lặp, tổ hợp lặp
Xét các điều kiện sau:
x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (∗∗)
x1 ≥ 4; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (∗∗∗)
Gọi p, q, r lần lượt là các số nghiệm nguyên không âm của 
phương trình (1) thỏa các điều kiện (∗), (∗∗), (∗∗∗). Ta có:
22
p = q – r.
Trước hết ta tìm q. 
Đặt 
x1’ = x1; x2’ = x2 – 2; x3’ = x3 - 5; x4’ = x4
Phương trình (1) trở thành 
x ’+ x ’ + x ’ + x ’ = 13 (2)
III. Hoán vị lặp, tổ hợp lặp
1 2 3 4
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều 
kiện (∗∗) bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình 
(2)
23
Số nghiệm đó là 
Vậy . 
Lý luận tương tự, ta có .
13 13 13
4 4 13 1 16
K C C+ −= =
13
16
q C=
9 9 9
4 4 9 1 12
r K C C+ −= = =
III. Hoán vị lặp, tổ hợp lặp
Suy ra. Vậy số nghiệm nguyên không âm của 
phương trình (1) thỏa điều kiện (∗) là 340 
13 9
16 12
560 220 340.p q r C C= − = − = − =
24