Bài giảng Phương pháp số (Phần 2)

�) 
Ta giả sử với công thức lặp được thiết lập là 
{
𝒙𝟎 = 𝟐
𝒙𝒏+𝟏 = 𝒈(𝒙𝒏) = 𝒍𝒏(𝒙𝒏
𝟐 + 𝟏𝟎)
+) Bước 1: Nhập giá trị ban đầu: Nhập giá trị 𝒙𝟎 và lưu vào một bộ nhớ A bằng cách ấn 
các phím 2 Shift Sto A. 
+) Bước 2: Nhập biểu thức lặp: Thao tác trên biểu thức 
𝒈(𝒙𝒏) = 𝒍𝒏(𝒙𝒏
𝟐 + 𝟏𝟎) 
ở đâu có 𝑥𝑛 thì ta ấn Alpha A. Sau khi nhập xong thì lưu vào chính A (Shift Sto A) ta được 
giá trị 𝑥1 = 2.63905733 
+) Bước 3: Lặp: Ấn phím = liên tiếp thì ta được các kết quả 𝑥2; 𝑥3;  và cho bởi bảng sau. 
n 𝑥𝑛 
0 2 
1 2.63905733 
2 2.83113021 
3 2.891221301 
4 2.910128666 
5 2.916085467 
6 2.917962846 
7 2.918554596 
8 2.918741122 
9 2.918799918 
10 2.918818451 
+) Chú ý: 
- Mỗi lần ấn = thì nhớ ghi kết quả luôn. 
- Nếu muốn tính giá trị của 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑒
𝑥𝑛 − (𝑥𝑛
2 + 10) thì ta làm như sau: 
Nhập biểu thức 𝑓(𝑥): Ở đâu có 𝑥𝑛 ta ấn Alpha X sau đó ấn CALC máy hỏi X? Ta 
nhập giá trị 𝑥𝑛 cần tính vào, ví dụ 𝑥10 = 2.918818451 ta nhập 2.918818451 rồi ấn = ta 
được kết quả 𝑓(𝑥10) = −1.081925472 × 10
−4. 
II. Hướng dẫn ấn máy tính 500MS; 500ES; 570MS; 570ES,để giải hệ phương trình 
tuyến tính bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel. 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
40 
Ví dụ với hệ 3 phương trình 3 ẩn sau: 
{
7𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 3
2𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 4
−𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 = 4
Dãy lặp Gauss-Seidel với giá trị ban đầu (0) (0) (0) (0)
0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x  
( 1) ( ) ( )
1 2 3
( 1) ( 1) ( )
2 1 3
( 1) ( 1) ( 1)
3 1 2
2 3 3
 (1)
7 7 7
2 1 4
 (2)
9 9 9
1 1 1
 (3)
8 2 2
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x

 
  

  


   


  

+)Bước 1: Nhập và lưu giá trị ban đầu: (0) 0 0 0
0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x  
0 Shift Sto A 
0 Shift Sto B 
0 Shift Sto C 
+) Bước 2: Nhập các biểu thức của dãy lặp: 
Nhập biểu thức 1 : 
0 x Alpha A + 2/7 x Alpha B - 3/7 X Alpha C + 3/7 
Shift Sto A 
Nhập biểu thức 2: 
(-) 2/9 X Alpha A + 0 x Alpha B - 1/9 x Alpha C + 4/9 
Shift Sto B 
(1)
2 0.349206x  
(1)
1 0.428571x 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
41 
Nhập biểu thức 3 
1/8 x Alpha A - 1/2 x Alpha B + 0 X Alpha C + ½ 
Shift Sto C 
(1)
3 0.378968x  
+) Bước 3: 
 Rồi ấn phím = (2)
1 0.365929x  
 Rồi ấn phím = (2)
2 0.321019x 
 Rồi ấn phím = (2)
3 0.385232x  
(*)Tiếp tục như bước 3 ta được 2x , Và ta được bảng kết quả 
k 
( )
1
kx ( )2
kx ( )3
kx 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
0 
0.428571 
0.365929 
0.355192 
0.356612 
0.356500 
0 
0.349206 
0.321019 
0.322709 
0.322636 
0.322638 
0 
0.378968 
0.385232 
0.383044 
0.383258 
0.383243 
Nghiệm 𝑥∗ ≈ 𝑥(5) = (0.356500; 0.322638; 0.383243) 
Chú ý: +) Được kết quả nào thì phải ghi luôn vào bảng kết quả. 
Ấn 2 
lần 
Ấn 2 
lần 
Ấn 2 
lần 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
42 
 +)Nếu hệ n phương trình n ẩn thì ta làm tương tự như trên nhưng phải dùng một bộ n biến 
nhớ, và phải nhập n biểu thức đồng thời ở bước 3 phải ấn n-1 lần để quay trở lại biểu thức ban 
đầu 
+)Lặp đơn thì phức tạp hơn và phải dùng đến 2 bộ nhớ. 
Hướng dẫn ấn máy tính 500MS; 500ES; 570MS; 570ES,để giải hệ phương trình tuyến tính 
bằng phương pháp lặp đơn. 
Ví dụ với hệ 3 phương trình 3 ẩn: 
{
7𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 3
2𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 4
−𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 = 4
Dãy lặp đơn với giá trị ban đầu (0) 0 0 0
0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x  
( 1) ( ) ( )
1 2 3
( 1) ( ) ( )
2 1 3
( 1) ( ) ( )
3 1 2
2 3 3
 (1)
7 7 7
2 1 4
 (2)
9 9 9
1 1 1
 (3)
8 2 2
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x




  


   


  

+)Bước 1: Nhập và lưu giá trị ban đầu: (0) 0 0 0
0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x  
0 Shift Sto A 
0 Shift Sto B 
0 Shift Sto C 
Ấn n-
1 lần 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
43 
+) Bước 2: Nhập các biểu thức của dãy lặp: 
Nhập biểu thức thứ nhất : 
0 x Alpha A + 2/7 x Alpha B - 3/7 X Alpha C + 3/7 
Shift Sto D 
Nhập biểu thức thứ 2: 
(-) 2/9 x Alpha A + 0 x Alpha B - 1/9 x Alpha C + 4/9 
Shift Sto X 
(1)
2 0.444444x  
Nhập biểu thức thứ 3 
1/8 x Alpha A - 1/2 x Alpha B + 0 x Alpha C + 1/2 
Shift Sto Y 
(1)
3 0.500000x  
Bước tiếp theo ta làm lại bước 2 nhưng phải dùng trên bộ nhớ D, X, Y. 
Nhập biểu thức thứ nhất : 
0 x Alpha D + 2/7 x Alpha X - 3/7 X Alpha Y + 3/7 
Shift Sto A 
Nhập biểu thức thứ 2: 
(-) 2/9 x Alpha D + 0 x Alpha X - 1/9 x Alpha Y + 4/9 
Shift Sto B 
(2)
2 0.293651x  
Nhập biểu thức thứ 3 
1/8 x Alpha D - 1/2 x Alpha X + 0 x Alpha Y + 1/2 
(1)
1 0.428571x 
(2)
1 0.341270x 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
44 
Shift Sto C 
(2)
3 0.331349x  
+) Đối với máy 500 ES hoặc 570 ES, Để tính tiếp 𝒙(𝟑) ta làm như sau: Ấn bàn phím REPLAY 
ngược lên 5 lần, sau đó ấn phim REPLAY sang trái 1 lần và ấn DEL rồi ấn = thì ta được 
𝑥1
(3) =0.370465 
Tương tự lại ẤN bàn phím REPLAY ngược lên 5 lần, sau đó ấn phim REPLAY sang trái 1 lần và ấn 
DEL rồi ấn = thì ta được 𝑥2
(3) =0.331790 
Cứ thế ta được bảng sau: 
K 
( )
1
kx ( )2
kx ( )3
kx 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
0 
0.428571 
0.341270 
0.370465 
0.353725 
0.356434 
0 
0.444444 
0.293651 
0.331790 
0.318137 
0.323571 
0 
0.500000 
0.331349 
0.395833 
0.380413 
0.385147 
6 0.355957 0.322443 0.382768 
7 0.356654 0.322813 0.383088 
Nghiệm 𝒙∗ ≈ 𝒙(𝟕) = (0.356654; 0.322813; 0.383088) 
Chú ý: MÁY ES thì có đủ bộ số trên máy nên có làm phương pháp lặp đơn như hướng dẫn trên. 
Còn máy MS không đủ bộ số nên để tính với k=3 thì ta lại quay lại bước 2. 
III. Giải gần đúng phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử f(x) 570 ES. 
Bài toán Cauchy 
{
𝑦′ = 𝑥2 + 𝑦2 𝑣ớ𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1
𝑦(0) = 0 
Với ℎ = 0.1 
a. Công thức Euler: 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
45 
{
𝑢𝑛+1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛) + 𝑢𝑛
𝑢0 = 𝑦(0) = 0 
Tức là 
{
𝑢𝑛+1 = 0.1(𝑥𝑛
2 + 𝑢𝑛
2) + 𝑢𝑛
𝑢0 = 1 
+) Bước 1: Khai báo công thức 𝑢𝑛+1 = 0.1(𝑥𝑛
2 + 𝑢𝑛
2) + 𝑢𝑛: Ở đâu có 𝑥𝑛 ta ấn Alpha 
X; ở đâu có 𝑢𝑛 ta ấn Alpha Y. 
(Trong qui trình này ta đã dùng ô nhớ X để chứa giá trị 𝑥𝑛 và ô nhớ Y để chứa giá trị của 
𝑢𝑛.) 
 +) Bước 2: Tính toán lần 1: Ấn CALC, máy hỏi: X? 
 Khai báo 𝑥0 = 0: Bấm phím 0 = 
Máy hỏi tiếp: Y? 
 Khai báo: 𝑢0 = 1: Bấm 1 = sẽ cho kết quả 𝑢1 = 1.1 
Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y 
Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. 
 +) Bước 3: Qui trình: Ấn CALC máy hỏi: X? 
 Khai báo 𝑥1 = 0.1: Bấm phím 0.1 = 
Máy hỏi tiếp: Y? 
 Bấm = (𝑢1 = 1.1 đã có sẵn trong ô nhớ Y nên không cần khai báo lại) sẽ cho kết quả 
𝑢2 = 1.222 
Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y 
Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. 
 +) Bước 4: Lặp lại Qui trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? thì ta khai báo các 
giá trị tiếp theo: 0.2; 0.3; 0.4; . ; 1. Ta được bẳng giá trị sau 
n 𝑥𝑛 𝑢𝑛 
0 0 1 
1 0.1 1.1 
2 0.2 1.222 
3 0.3 1.3803284 
4 0.4 1.586859049 
5 0.5 1.863671213 
6 0.6 2.246998253 
7 0.7 2.800898367 
8 0.8 3.649401534 
9 0.9 5.062214689 
10 1.0 7.724816445 
b. Công thức Euler cải tiến ta cũng làm tương tự nhưng ta dùng them bộ nhớ thứ 3. 
Công thức Euler cải tiến 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
46 
{
�̂�𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛)
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +
ℎ
2
(𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛+1, �̂�𝑛+1))
𝑢0 = 𝑦(0) = 1
Tức là ta có được 
𝑢𝑛+1 = 0.05 (𝑥𝑛
2 + 𝑢𝑛
2 + 𝑥𝑛+1
2 + (𝑢𝑛 + 0.1(𝑥𝑛
2 + 𝑢𝑛
2))
2
) + 𝑢𝑛 (∗) 
+) Bước 1: Khai báo công thức (*): Ở đâu có 𝑥𝑛 thì ta ấn Alpha X; ở đau có 𝑢𝑛 ta ấn 
Alpha Y; ở đâu có 𝑥𝑛+1 ta ấn Alpha A. 
(Tức là ta dùng ô nhớ X để lưu 𝑥𝑛; ô nhớ Y để lưu 𝑢𝑛 và ô nhớ A để lưu 𝑥𝑛+1). 
+) Bước 2: Tính toán lần 1: Bấm CALC, máy hỏi: X? 
 Khai báo 𝑥0 = 0: Bấm phím 0 = 
Máy hỏi tiếp: Y? 
 Khai báo: 𝑢0 = 1: Bấm 1 = 
Máy hỏi tiếp: A? 
 Khai báo 𝑥1 = 0.1: Bấm 0.1 = sẽ cho kết quả 𝑢1 = 1.1 
Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y 
Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. 
+) Bước 3: Qui trình: Ấn CALC máy hỏi: X? 
 Khai báo 𝑥1 = 0.1: Bấm phím 0.1 = 
Máy hỏi tiếp: Y? 
 Bấm = (𝑢1 = 1.1 đã có sẵn trong ô nhớ Y nên không cần khai báo lại) 
Máy hỏi tiếp: A? 
 Khai báo 𝑥2 = 0.2: Bấm 0.2 = sẽ cho kết quả 𝑢2 = 1.222 
Đưa kết quả vào bộ nhớ Y: Shift Sto Y 
Sau đó trở về công thức đã nhập: Bấm phím REPLAY ngược lên một lần. 
 +) Bước 4: Lặp lại Qui trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? A? thì ta khai báo 
các giá trị tiếp theo: 0.2 (0.3); 0.3 (0.4); 0.4 (0.5); . ; 0.9 (1.0) Ta được bảng giá trị sau 
n 𝑥𝑛 𝑢𝑛 
0 0 1 
1 0.1 1.051 
2 0.2 1.109467678 
3 0.3 1.178909589 
4 0.4 1.26373277 
5 0.5 1.369718589 
6 0.6 1.504725574 
7 0.7 1.679805854 
8 0.8 1.911109639 
9 0.9 2.22338971 
10 1.0 2.657022002 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
47 
IV. Tính giá trị của hàm trên một đoạn [𝒂; 𝒃] với các bước chia đều 𝒉 =
𝒃−𝒂
𝒏
 để nhằm tính 
gần đúng tích phân 
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
𝑏
𝑎
Thao tác trên máy tính có chức năng Table, ví dụ máy 500ES hoặc 570ES. 
+) Bước 1: Vào chế độ Table: Mode 7 (7. TABLE) màn hình hiện 
f(X)= 
+) Bước 2: Nhập biểu thức 𝑓(𝑥), ví dụ 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −
5
𝑥2+6
 trên [𝑎; 𝑏] = [1; 3] với ℎ = 0.2. 
Ta nhập biểu thức bằng cách ở đâu có 𝑥 ta ấn Alpha X. 
+) Ấn = miền hình hiện Start? Ta nhập giá trị 𝑎 = 1 ấn 1 = máy hỏi End? Ta nhập 𝑏 = 3 ấn 
3 =, máy hỏi Step? Ta nhập ℎ = 0.2: ấn 0.2 = máy sẽ cho ra bảng kết quả với 11 giá trị tại 
các điểm 𝑥 = 1; 1.2; ; 3.0 như sau 
i 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 
1 1 2.2857 
2 1.2 3.0651 
3 1.4 4.0273 
4 1.6 5.2154 
5 1.8 6.6835 
6 2.0 8.5 
7 2.2 10.75 
8 2.4 13.541 
9 2.6 17.006 
10 2.8 21.312 
11 3.0 26.666 
Ở đây hạn chế ở chỗ là cho ít chữ số sau dấu phẩy. Ta có thể tính giá trị bằng cách 
nhập biểu thức và dùng phím CALC để tính giá trị thì sẽ cho kq với 10 chữ số. 
+) Bước 1: Nhập biểu thức 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −
5
𝑥2+6
 bằng cách ở đâu có 𝑥 ta ấn Alpha X. 
+) Bước 2: Ấn CALC máy hỏi X? ta nhập 𝑥0 = 1 sau đó ấn = ta được 𝑓(1) =
2.285714286 
+) Ấn phím REPLAY ngược lên một lần để nhìn thấy biểu thức ta vừa nhập, sau đó lại thao 
tác lại bước 2 và khai báo 𝑥1 = 1.2 ta được 𝑓(1.2) = 3.065149808 
Ngoài ra ta có thể tham khảo các phần mềm giải gần đúng khác như Maple, Mathematica, Excel. 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
48 
Thao tác trên Maple 13 
Giải gần đúng phương trình sau bằng phương pháp Newton trên Maple 
𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 = 𝟎 
> 
Bảng 1. Nghiệm của phương trình 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 = 𝟎 qua pp Newton và giá trị của 𝒇(𝒙) tương ứng. 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
49 
NỘI DUNG ÔN THI KIỂM TRA GIỮA KỲ 
Câu 1 (3,5 điểm) 
+ Sai số tuyệt đối, sai số tương đối, quy tròn số và sai số mắc phải 
+ Tìm chữ số chắc, bài toán ngược của sai số. 
+ Tính gần đúng một biểu thức với sai số cho trước. 
Câu 2 (3,5 điểm) và Câu 3 (3,0 điểm) Bao gồm toàn bộ chương 2: Giải gần đúng một phương trình phi 
tuyến: 
+ Phương pháp chia đôi giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm gần đúng 
nghiệm khi biết sai số. 
+ Phương pháp lặp đơn giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm gần đúng 
nghiệm khi biết sai số. 
+ Phương pháp Newton (tiếp tuyến) giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm 
gần đúng nghiệm khi biết sai số. 
+ Phương pháp dây cung giải gần đúng nghiệm, đánh giá sai số mắc phải và ngược lại đi tìm gần đúng 
nghiệm khi biết sai số 
NỘI DUNG VÀ CẤU TRÚC ĐỀ THI 
KẾT THÚC MÔN HỌC 
Hình thức thi: Tự luận 
Thời gian: 60 phút 
Câu 1 (3.5 điểm) 
 Giải gần đúng phương trình 
 Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính 
 Tự chọn một ví dụ giải số gần đúng một phương trình siêu việt hoặc đa thức bằng ít nhất hai phương 
pháp khác nhau và so sánh tốc độ hội tụ nghiệm. 
Câu 2 (3 điểm) 
 Tính gần đúng đạo hàm 
 Tính gần đúng tích phân xác định 
 Tự chọn ví dụ tính gần đúng tích phân theo 2 phương pháp và so sánh kết quả. 
Câu 3 (3.5 điểm) 
 Giải gần đúng phương trình vi phân 
 Giải gần đúng phương trình đạo hàm riên 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
50 
Đề thi thử TOÁN IV C Đề 1 
Chú ý: Các phép tính lấy đến 6 chữ số thập phân. 
Câu 1(3.0 điểm). Tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình sau bằng phương pháp dây Newton, với mức sai số đạt 
được là 
510 
 2 lg 10.x x 
Câu 2 (3.0 điểm) 
Tính gần đúng giá trị của 
1
4
𝑙𝑛5 với sai số 10−3 bởi việc tính xấp xỉ 
∫
𝑑𝑥
4𝑥 + 5
5
0
 theo phương pháp Simpson. 
 Câu 3 (4.0 điểm) 
a. Dùng phương pháp Euler giải gần đúng bài toán Cauchy 
 {
𝑦′ − 2𝑥 + 2𝑥𝑦3 = 0
𝑦(0) = 0
 với 𝑥 ∈ [0, 1] và ℎ = 0.2 
b. Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình 
3Δ𝑢 = 𝑢 + 6.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 3𝑥𝑦6, 
(𝑥, 𝑦) ∈ Ω = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 
0 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
với ℎ = 𝑙 =
1
4
 và giá trị 𝑢 trên biên được cho bởi hình bên. 
y
xO
50
100
50
50
100
50
1
50 100 50 1
5010050
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
51 
Đề thi thử TOÁN IV C Đề 2 
Chú ý lấy đến 6 chữ số thập phân sau dấu phẩy 
Câu 1 (3.0 điểm).. Dùng phương pháp Dây cung giải gần đúng phương trình sau đến mức sai số không vượt quá 10−3 
6𝑥3 + 𝑥 − 1 = 0 
Câu 2 (3.0 điểm).. Tính gần đúng tích phân sau bằng phương pháp hình thang đến mức sai số không vượt quá 10−1. 
𝐼 = ∫ 𝑥𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
2
0
Câu 3 (4.0 điểm). 
a) Dùng phương pháp Euler giải gần đúng bài toán sau 
{
𝑦′ = 𝑥2 + 𝑦2
𝑦(0) = 1
với 𝑥 ∈ [0, 2]; 𝑛 = 6 
b) Dùng phương pháp lưới giải gần đúng bài toán sau 
{
Δ𝑢 = 2𝑢 + 1 với (x, y) ∈ Ω
𝑢Γ = 2𝑥 − 𝑦
Trong đó Ω = [2,3] × [1,2] và ℎ = 𝑙 =
1
4
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
52 
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP SỐ 
Chương 1: Sai số và xấp xỉ 
1.1. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của chúng 
𝑎 = 13267 , 𝛿𝑎 = 0.1% 
𝑏 = 2.32 , 𝛿𝑏 = 0.7% 
𝑐 = 
1.2. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu 
𝑉 =
1
6
𝜋𝑑3 
Với 𝑑 = 3.7 ± 0.05𝑐𝑚 và 𝜋 = 3.14 ± 0.0016 
1.3. Hãy xác định số các chữ số chắc trong các số 𝑎, 𝑏 với sai số tuyệt đối như sau 
𝑎 = 0.3941 , Δ𝑎 = 0.25 × 10−2 
𝑏 = 38.2543 , Δ𝑏 = 0.27 × 10−2 
1.4. Hãy xác định số các chữ số chắc trong các số 𝑎, 𝑏 với sai số tương đối như sau 
𝑎 = 1.8921 , 𝛿𝑎 = 0.1 × 10
−2 
𝑏 = 22.351 , 𝛿𝑏 = 0.1 
1.5. Hãy qui tròn các số dưới đây với 3 chữ số chắc và xác định sai số tuyệt đối và sai số tương đối của 
chúng 
a. 2.1514 
b. 0.16152 
c. 0.01204 
d. -0.0015281 
e. 879.023467 
1.6. Tính tổng 𝑆 sau đây với ba chữ số lẻ thập phân là chữ số chắc 
𝑆 =
1
11
+
1
12
+⋯+
1
17
1.7. Tính số e 𝑒 = 1 +
1
1!
+⋯+
1
𝑛!
+⋯ 
Với sai số tuyệt đối không quá 10−4 
1.8. Hãy xác định giá trị của hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với những giá 
trị của biến đã cho với mọi chữ số đều là chữ số chắc: 
a. 𝑢 = ln(𝑥 + 𝑦2) ; 𝑥 = 0,97; 𝑦 = 1,132 
b. 𝑢 =
(𝑥+𝑦2)
𝑧
; 𝑥 = 3,28; 𝑦 = 0,932; 𝑧 = 1,132 
Chương 2: Tính gần đúng nghiệm của một phương trình 
2.1. Dùng phương pháp chia đôi, tìm giá trị gần đúng của nghiệm nhỏ nhất của phương trình sau chính xác đến 
10−3 
a. 𝑥3 + 3𝑥2 − 3 = 0 
b. 𝑥3 − 9𝑥2 + 18𝑥 − 1 = 0 
2.2. Giải gần đúng phương trình sau nhờ phương pháp lặp đơn chính xác đến 10−1 
a. 𝑥3 + 3𝑥2 − 3 = 0 biết 𝑥∗ ∈ (−3,−2.5) 
b. 𝑥 = cos 𝑥 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
53 
2.3. Dùng phương pháp lặp đơn tính gần đúng nghiệm dương lớn nhất của phương trình 𝑥3 − 𝑥 − 1000 = 0 
với sai số tuyệt đối không quá 10−5. 
2.4. Giải gần đúng các phương trình sau nhờ phương pháp dây cung 
a. 𝑥3 + 3𝑥 + 5 = 0 , 𝑥 ∈ [−1.2, −1.1] 
b. 𝑥4 − 3𝑥 − 4 = 0 , 𝑥 ∈ [1, 2] 
2.5. Giải gần đúng nghiệm nhỏ nhất của phương trình sau nhờ phương pháp Newton 
2𝑥 = 4𝑥 
a. Đến sai số 10−2 
b. Đến lần lặp thứ 6. 
c. Đên nghiệm gần đúng mà có 3 số thập phân sau dấu phẩy. 
2.6. Dùng phương pháp Newton tính gần đúng nghiệm của các phương trình sau với sai số tuyệt đối không quá 
10−5 
a. 𝑥2 − sin 𝜋𝑥 = 0 
b. 𝑥2 − cos 𝜋𝑥 = 0 
Chương 3: Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính 
3.1. Giải hệ sau bằng phương pháp lặp đơn, tính lặp 3 lần và cho biết sai số 
{
1.02𝑥1 − 0.05𝑥2 − 0.10𝑥3 = 0.795
−0.11𝑥1 + 1.03𝑥2 − 0.05𝑥3 = 0.849
−0.11𝑥1 − 0.12𝑥2 + 1.04𝑥3 = 1.398
3.2. Giải hệ phương trình 𝐴𝑥 = 𝑏 dưới đây nhờ phương pháp lặp đơn 
𝐴 = [
24.21 2.42 3.85
2.31 31.49 1.52
3.49 4.85 28.72
] , 𝑏 = [
30.24
40.95
42.81
] 
Với độ chính xác 10−3 
3.3. Giải hệ phương trình ở bài 3.2 bằng phương pháp Seidel và đánh giá sai số gặp phải khi đó. 
3.4. Cho 
𝐴 = [
3 1 0
−1 4 1
0 1 3
] 
Tìm ma trận 𝐴−1 bằng phương pháp lặp , tính lặp hai lần, với 
𝑋0 = [
0.3 −0.08 0.27
0.08 0.25 −0.08
−0.27 −0.08 0.36
] 
Chương 4: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định 
4.1. Cho hàm số 𝑦 = log 𝑥 với giá trị tại 𝑥 = 50, 55, 60, 65 lần lượt là 1.6990 , 1.7404 , 1.7782 , 1.8129. Hãy 
tính đạo hàm của 𝑦 tại 𝑥 = 50 và so sánh với kết quả tính trực tiếp. 
 4.2. Xét hàm số cho bởi bảng sau 
𝑥𝑖 1 1.5 2 2.5 
𝑓(𝑥𝑖) 0.00000 0.40511 0.69210 0.91672 
Tính gần đúng 𝑓′(1), 𝑓′(2), 𝑓′′(1.5) 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
54 
4.3. Cho tích phân 
𝐼 = ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
1
0
Hãy chia đoạn [0, 1] thành 𝑛 = 10 đoạn con bằng nhau rồi tính gần đúng 𝐼 và cho đánh giá sai số bằng 
 a. Công thức hình thang b. Công thức Simpson 
 4.4. Xét 
𝐼 = ∫
𝑑𝑥
1 + √𝑥
2
1
Tính gần đúng tích phân 𝐼 nhờ phương pháp hình thang chính xác đến 10−2 
4.5. Xét 
𝐼 = ∫
sin 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
2
1
Tính gần đúng tích phân 𝐼 nhờ phương pháp parabol chính xác đến 0.02 
 4.6. Tính gần đúng giá trị của 
1
5
𝑙𝑛6 với sai số 3.10−3 bởi việc tính xấp xỉ 
∫
𝑑𝑥
5𝑥 + 6
6
0
a. Theo phương pháp Simpson ; 
b. Theo phương pháp hình thang; 
 4.7. Sử dụng 1) Công thức hình thang, 2) Công thức Simpson để tính xấp xỉ các tích phân xác định sau và so 
sách các phương pháp. 
a) ∫ √1 + 𝑥3
1
−1
𝑑𝑥, 𝑛 = 8 
b) ∫ cos(𝑥2) 𝑑𝑥
1
0
, 𝑛 = 4 
c) ∫
sin𝑥
𝑥
𝜋
𝜋/2
𝑑𝑥, 𝑛 = 6 
d) ∫ 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥
𝜋/4
0
, 𝑛 = 6 
Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng 
5.1. Dùng phương pháp Euler giải bài toán 
{
𝑦′ = 𝑥2 + 𝑦2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑦(0) = 0
Với bước đi ℎ = 0.2 
 5.2. Giải gần đúng bài toán sau nhờ phương pháp Euler 
{
𝑦′ = sin 𝑥 + cos 𝑦
𝑦(2.5) = 0
 với 2.5 ≤ 𝑥 ≤ 4 , ℎ = 0.3 
Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2012-2013 
55 
5.3. Giải gần đúng bài toán sau nhờ phương pháp Euler cải tiến 
{
𝑦′ = sin 𝑥 + sin 𝑦
𝑦(0) = 1
 với 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 , ℎ =
𝜋
20
5.4. Dùng phương pháp sai phân (phương pháp lưới) giải gần đúng bài toán sau 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 𝑦2𝑥 
𝐺 = {(𝑥, 𝑡)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
𝑢(𝑥, 𝑦)|Γ = 2𝑦 + 𝑥 
Với lưới vuông ℎ = 𝑙 
5.5. Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình sau 
Δ𝑢 = −1, (𝑥, 𝑦) ∈ Ω , Ω là hình vuông cạnh 1 
Với 𝑢|Γ = 0 (Γ là biên của Ω), chọn bước đi ℎ =
1
4
. 
 5.6. Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình 
Δ𝑢 = 25, (𝑥, 𝑦) ∈ Ω = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2} 
 với ℎ = 𝑙 =
1
2
 và giá trị 𝑢 trên biên được cho bởi hình bên. 
5.7. Sử dụng phương pháp lưới giải gần đúng bài toán sau với 𝑙 = 𝑘 = 0,5 
{
Δ𝑢 = 2 𝑣ớ𝑖 (𝑥, 𝑦) ∈ Ω
𝑢|Γ = 𝑥
4𝑦4
Với Ω = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑂𝑥𝑦 | 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 } 
y 
x O 
50 
100 
50 
50 
100 
50 
2 
50 100 50 2 
50 100 50