Bài giảng Không gian véctơ con. Tổng và giao của các không gian véctơ con - Lê Xuân Đại

h của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 4 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một
không gian véctơ con của E khi và chỉ khi
1 F 6= ∅
2 ∀x , y ∈ F , x + y ∈ F
3 ∀λ ∈ K ,∀x ∈ F , λx ∈ F .
Ký hiệu F là một K -kgvc của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 5 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một
K -kgvc của E thì F là một K−kgv với luật
1 + : F × F → F
(x , y) 7−→ x + y
2 • : K × F → F
(λ, x) 7−→ λ.x
cảm sinh bởi các luật của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 6 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = R× {0} = {(x1, x2) : x1 ∈ R, x2 = 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R2.
Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. Với mọi
x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì
x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 7 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R3.
Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅.
∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒
2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó,
suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
2(x1 + y1)− 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(2x1−2x2+x3)+(2y1−2y2+y3) = 0⇒ x+y ∈ F ,
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 8 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), khi đó
2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0
⇒ λx ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 9 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R, x1+2x2+x3 = 1}
không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.
Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F
thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và
(x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = 1 + 1 = 2. Do
đó x + y /∈ F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 10 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính
Bao tuyến tính
Định lý
Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E ,E− là một K -kgv.
Khi đó W == {x ∈ E , x =
n∑
i=1
λixi ,∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là một không
gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến
tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu
W = span(S)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 11 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính
Chứng minh
1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W
⇒ W 6= ∅.
2 ∀x , y ∈ W ⇒ x + y =
n∑
i=1
λixi +
n∑
i=1
γixi =
n∑
i=1
(λi + γi)xi ⇒ x + y ∈ W .
3 ∀λ ∈ K ,∀x ∈ W ⇒ λx = λ
n∑
i=1
λixi =
n∑
i=1
(λ.λi)xi ⇒ λx ∈ W .
Vậy W là một không gian véctơ con của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 12 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R− kgv R3 cho
M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định
 .
Giải.
= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) +
λ3(0, 0, 1),∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x =
(λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3),∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 13 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R− kgv P2(x) cho
M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định .
Giải.
= {λ1(x−2)+λ2(x−2)2,∀λ1, λ2 ∈ R} =
{λ2x2+(λ1−4λ2)x+(−2λ1+4λ2),∀λ1, λ2 ∈ R}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 14 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Hệ quả
Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không
gian véctơ con của E thì dim(F ) 6 n.
Chứng minh.
Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính
của F đều có số phần tử 6 n.
Gọi B = {x1, x2, . . . , xk}(k 6 n) là 1 tập con
độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn
nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ
cần chứng minh B là tập sinh của F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 15 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Chứng minh B là tập sinh của F .
Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F
B = {x1, x2, . . . , xk} (k < n) ĐLTT, x không là
THTT của k véctơ của B khi đó B ∪ {x} ĐLTT
Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần
tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn
nhất).
Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của
những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F 
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 16 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho không gian con
F = {p(x) ∈ P2(x) : p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm
một cơ sở và số chiều của không gian con F .
∀p(x) = ax2 + bx + c ∈ F , ta có
p(1) = a + b + c = 0 và
p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình{
a + b + c = 0
a − b + c = 0 ⇔
{
a = −c
b = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 17 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Vậy p(x) = c(−x2 + 1). Do đó {−x2 + 1} là tập
sinh của F .
−x2 + 1 6= 0 nên luôn độc lập tuyến tính.
Như vậy, −x2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều
dim(F ) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 18 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W
của R3 cho bởi
W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0}
Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình
x1 + x2 + x3 = 0⇔ x1 = −x2 − x3.
Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1).
Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở
của W .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 19 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập
tuyến tính.
Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra
W . Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ W thì
x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1).
Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W
và số chiều dim(W ) = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 20 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Không gian nghiệm của hệ thuần nhất
Định lý
Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm
m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi
đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành
không gian véctơ con của không gian K n.
Định lý
Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng
n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 21 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0
2x1 + 4x2 − 3x3 = 0
x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0 1 2 −1 12 4 −3 0
1 2 1 5
 h2→h2−2h1h3→h3−h1−−−−−−→
 1 2 −1 10 0 −1 −2
0 0 2 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 22 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
h3→h3+2h2−−−−−−→
 1 2 −1 10 0 −1 −2
0 0 0 0
⇒ x1, x3 là biến cơ
sở, x2, x4 là biến tự do. Đặt x2 = α, x4 = β
x1
x2
x3
x4
 =

−2α− 3β
α
−2β
β
 = α

−2
1
0
0
+ β

−3
0
−2
1

Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0,−2, 1)T là cơ sở
của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm
của hệ này là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 23 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Số chiều của bao tuyến tính và hạng của hệ véctơ
Định lý
Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E có hạng r và
W = là không gian véctơ con sinh bởi M .
Khi đó dim(W ) = r .
Chứng minh.
Giả sử Mr = {xi1, xi2, . . . xir} là 1 tập con độc
lập tuyến tính tối đại của M .
Chứng minh Mr sinh ra W .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 24 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ
thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ
của Mr ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của Mr . Có nghĩa là
W =⇒ W = .
Mr độc lập tuyến tính.
Mr là tập sinh của W .
⇒ Mr là cơ sở của W
⇒ dim(W ) = r = rank(M).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 25 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E
sinh bởi m véctơ x1, x2, . . . , xm : M =
1 Lấy một cơ sở B = {e1, e2, . . . , en} bất kỳ của
E . Tìm [x1]B , [x2]B , . . . , [xm]B
2 Xét không gian hàng của ma trận
A = ([x1]B , [x2]B , . . . , [xm]B)
T
3 Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định
r(A) và cơ sở của M , số chiều của M bằng
r(A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 26 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) =
x2 + 2x + 1, p2(x) = 2x
2 + x − 1, p3(x) = 4x + 4.
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi
3 véctơ trên.
Xét cơ sở chính tắc x2, x , 1 của P2(x), vậy ma
trận các cột A là A =
 1 2 12 1 −1
0 4 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 27 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
A
h2→h2−2h1−−−−−−→
 1 2 10 −3 −3
0 4 4
 h3→h3−4/3h2−−−−−−−→
 1 2 10 −3 −3
0 0 0
 = B . Ma trận B có hàng 1 và
hàng 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không
gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy
p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian
con sinh bởi 3 véctơ trên là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 28 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hạng của ma trận phụ hợp
Hạng của ma trận phụ hợp
Định lý
Cho A ∈ Mn(K ). Khi đó
1 Nếu r(A) = n thì r(PA) = n
2 Nếu r(A) = n − 1 thì r(PA) = 1
3 Nếu r(A) < n − 1 thì r(PA) = 0.
1. r(A) = n⇒ det(A) 6= 0. det(PA) =
(det(A))n−1 ⇒ det(PA) 6= 0⇒ r(PA) = n.
3. r(A) < n − 1⇒ mọi định thức con cấp n − 1
đều bằng 0⇒ PA = 0⇒ r(PA) = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 29 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hạng của ma trận phụ hợp
2. Ta có A.PA = det(A). Nếu r(A) = n − 1 thì
det(A) = 0. Do đó A.PA = 0, từ đó suy ra các véc
tơ cột của ma trận PA là nghiệm của hệ phương
trình AX = 0. Suy ra rank(PA) = hạng các véc tơ
cột của ma trận PA nhỏ hơn hoặc bằng số chiều
của không gian nghiệm của hệ thuần nhất
AX = 0 ⇒ r(PA) 6 n − r(A) = 1. Mặt khác, do
r(A) = n − 1 nên A có ít nhất 1 định thức con
cấp n − 1 khác không hay PA 6= 0. Suy ra
r(PA) > 1. Vậy r(PA) = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 30 / 53
Tổng và giao các không gian con Định nghĩa
Định lý
Giả sử E là một K -kgv; (Fi)i∈I là một họ các
không gian véctơ con của E , thế thì giao
⋂
i∈I
Fi là
một không gian véctơ con của E .
Chứng minh. Đặt F =
⋂
i∈I
Fi
1 F 6= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F .
2 ∀x , y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x , y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi
⇒ x + y ∈ F
3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 31 / 53
Tổng và giao các không gian con Định nghĩa
Định nghĩa
Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 =
= {x ∈ E ,∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được
gọi là tổng của F1 và F2.
Định lý
Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con
của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 32 / 53
Tổng và giao các không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực
tiếp khi và chỉ khi F1
⋂
F2 = {0}. Khi đó ta ký
hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.
Ví dụ
K = R,E = R3, các không gian véctơ con
F1 = R× {0} × {0}, F2 = {0} × R× {0} có
F1
⋂
F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R× R× {0}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 33 / 53
Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con
Định nghĩa
Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E
được gọi là bù nhau trong E
⇔
{
F1 + F2 = E
F1
⋂
F2 = {0} ⇔ F1 ⊕ F2 = E .
Ví dụ
K = R,E = R2, các không gian véctơ con
F1 = R× {0}, F2 = {0} × R có F1
⋂
F2 = {0}
và F1 ⊕ F2 = R× R = R2 = E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 34 / 53
Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con
Số chiều của phần bù của không gian con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,
dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của
E , dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó
1 F có ít nhất một phần bù trong E
2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là
n − p.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 35 / 53
Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con
Hệ quả
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là
2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp.
Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).
Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E
nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của
E ⇒ dim(H) = p 6 n. Mặt khác H = F ⊕ G nên
G là phần bù của F trong H
⇒ dim(G ) = p − dim(F ),
⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 36 / 53
Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con
Hệ quả
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,
F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của
E có tổng trực tiếp. Khi đó
dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fm) =
m∑
i=1
dim(Fi).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 37 / 53
Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con
Hệ quả
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là
2 không gian véctơ con của E . Nếu{
F ⊂ G
dim(F ) = dim(G )
⇒ F = G .
Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G
và dim(H) = dim(G )− dim(F ) ⇒ dim(H) = 0
⇒ H = {0}.
Vậy G = F + H = F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 38 / 53
Tổng và giao các không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con
Mối liên hệ giữa số chiều của tổng và giao của các không
gian con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là
những không gian véctơ con của E . Khi đó
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G )− dim(F ∩ G )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 39 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1),
u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8),
u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3),
v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9),
v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U = và
V = . Tìm cơ sở và chiều của
không gian U + V và U ∩ V .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 40 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Tìm cơ sở của U
1 2 1 1
3 6 5 7
4 8 6 8
8 16 12 16
→

1 2 1 1
0 0 2 4
0 0 0 0
0 0 0 0

Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là
{(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4)}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 41 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Tìm cơ sở của V
1 3 3 3
2 5 8 6
3 8 8 9
6 16 16 18
→

1 3 3 3
0 −1 −1 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là
{(1, 3, 3, 3), (0,−1,−1, 0)}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 42 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Không gian U + V là không gian sinh bởi các
véctơ
{(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4), (1, 3, 3, 3), (0,−1,−1, 0)}.
Tìm cơ sở của U + V
A =

1 2 1 1
0 0 2 4
1 3 3 3
0 −1 −1 0
→

1 2 1 1
0 1 2 2
0 0 2 4
0 0 0 0

⇒ r(A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của
U + V là {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 2), (0, 0, 2, 4)}.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 43 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . u ∈ U ∩ V ⇔{
u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4)
u = α3(1, 3, 3, 3) + α4(0,−1,−1, 0) ⇔ u =
α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4), và α1(1, 2, 1, 1) +
α2(0, 0, 2, 4) = α3(1, 3, 3, 3)+α4(0,−1,−1, 0)⇔{
u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4)
α1 = α3 = α4 = 2α2
⇒ u = α2(2, 4, 4, 6). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1
cơ sở của U ∩ V là (2, 4, 4, 6)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 44 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R4 cho
U = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 − 2x3 = 0
∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} và
V = {(x1, x2, x3, x4) : x1 = x2 = x3}. Tìm cơ sở và
chiều của không gian U + V và U ∩ V .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 45 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Tìm cơ sở của U(
1 1 −2 0
1 −1 0 −2
)
→
(
1 1 −2 0
0 −2 2 −2
)
Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là
{(1, 1, 1, 0), (1,−1, 0, 1)}
Tìm cơ sở của V . Với
∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1)
Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là
{(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 46 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Không gian U + V là không gian sinh bởi các
véctơ {(1, 1, 1, 0), (1,−1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. Tìm
cơ sở của U + V
A =
 1 1 1 01 −1 0 1
0 0 0 1
→
 1 1 1 00 −2 −1 1
0 0 0 1

⇒ r(A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của
U + V là {(1, 1, 1, 0), (0,−2,−1, 1), (0, 0, 0, 1)}.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 47 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . x ∈ U ∩ V ⇔
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 − x2 − 2x4 = 0
x1 = x2 = x3
⇔
{
x1 = x2 = x3 = α
x4 = 0
⇒ x = α(1, 1, 1, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ
sở của U ∩ V là (1, 1, 1, 0)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 48 / 53
Tổng và giao các không gian con Ví dụ
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. CM — 2013. 49 / 53