Bài giảng Toán rời rạc - Chương 4: Hàm bool

LOGO
Chương 4. Hàm bool
TOÁN RỜI RẠC
Chương 4
Bài giảng có tham khảo của đồng nghiệp
1
Nội dung
Đại Số Bool
Hàm Bool
Biểu đồ karnaugh
Mạch logic
2
Xét mạch điện như hình vẽ
Mở đầu
Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòng 
điện đi qua MN. Như vậy ta sẽ có bảng giá trị sau
3
Mở đầu
A B C MN
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1Câu hỏi: Khi mạch điện gồm nhiều 
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
cầu dao, làm sao ta có thể kiểm 
soát được. 
Giải pháp là đưa ra công thức, với 
mỗi biến được xem như là một cầu 
dao
5Xét tập hợp B = {0, 1}. Trên B ta định nghĩa hai
phép toán ∧,∨ như sau:
I. ðại Số Bool
Khi đó, B trở thành một đại số Bool
6II. Hàm Bool
Hàm Bool n biến là ánh xạ 
f : Bn→ B , trong đó B = {0, 1}. 
Như vậy hàm Bool n biến là một hàm số có dạng :
f = f(x1,x2,M,xn), trong đó mỗi biến trong x1, x2,M, xn chỉ nhận 
hai giá trị 0, 1 và f nhận giá trị trong B = {0, 1}.
Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool biến. 
Ví dụ. Dạng mệnh đề E = E(p1,p2,M,pn) theo n biến p1, 
p2,M, pn là một hàm Bool n biến.
7Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,M,xn)
Vì mỗi biến xi chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trường 
hợp của bộ biến (x1,x2,M,xn).
Bảng chân trị
Do đó, để mô tả f, ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tất 
cả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọi 
đây là bảng chân trị của f 
8Ví dụ
Xét kết qủa f trong việc thông qua một quyết định dựa 
vào 3 phiếu bầu x, y, z 
Mỗi phiếu chỉ lấy một trong hai giá trị: 1 (tán thành) hoặc 
0 (bác bỏ). 
Kết qủa f là 1 (thông qua quyết định) nếu được đa số 
phiếu tán thành, là 0 (không thông qua quyết định) nếu đa 
số phiếu bác bỏ. 
Hàm Bool
Khi đó f là hàm Bool theo 3 biến x, y, z có bảng chân trị như 
sau:
x y z f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
9
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
10
Các phép toán trên hàm Bool
Các phép toán trên Fn được định nghĩa như sau:
Phép cộng Bool ∨:
Với f, g ∈ Fn ta định nghĩa tổng Bool của f và g:
f ∨ g = f + g – fg 
∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
Suy ra
11
Các phép toán trên hàm Bool
∀x = (x1,x2,M,xn)∈ Bn, 
(f ∨ g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) 
Dễ thấy
f ∨ g ∈ Fn và (f ∨ g)(x) = max{f(x), g(x)}
12
Các phép toán trên hàm Bool
Phép nhân Bool ∧:
Với f, g ∈Fn ta định nghĩa tích Bool của f và g 
f ∧ g = fg 
∀x=(x ,x ,M,x )∈Bn,1 2 n
(f ∧ g)(x) = f(x)g(x) 
Dễ thấy: 
f ∧ g ∈Fn và (f ∧ g)(x) = min{f(x), g(x)} 
Ta thường viết fg thay cho f ∧ g 
13
Các phép toán trên hàm Bool
Phép lấy hàm bù:
Với f ∈ Fn ta định nghĩa hàm bù của f như sau:
1f f= −
Dạng nối rời chính tắc của Hàm Bool
Xét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1, 
x2,,xn

Mỗi hàm bool xi hay được gọi là từ đơn.

 Đơn thức là tích khác không của một số hữu hạn từ 
đơn.
ix
14

 Từ tối tiểu là tích khác không của đúng n từ đơn.

 Công thức đa thức là công thức biểu diễn hàm Bool 
thành tổng của các đơn thức.

 Dạng nối rời chính tắc là công thức biểu diễn hàm Bool 
thành tổng của các từ tối tiểu.
là từ tối tiểu
15
III. Mạng logic (Mạng các cổng)
Ta nói mạng logic trên tổng hợp hay biểu diễn hàm Bool f
16
Cổng NOT
Kí hiệu cổng
X not X
0 1
1 0
Bảng chân trị
Nếu đưa mức HIGH vào ngõ vào của cổng, ngõ ra 
sẽ là mức LOW và ngược lại.
( )F x x=
Input Output
17
Cổng AND
Cổng AND có ít nhất 2 ngõ vào
Ngõ ra là 1 khi tất cả các ngõ vào là 1, 
ngược lại là 0
x y x y x y xy• ∧, , & ,x and y
x
y
xy
X Y X and Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Bảng chân trị
18
Cổng OR
Cổng OR có ít nhất là 2 ngõ vào
Ngõ ra là 1, nếu có một ngõ vào là 
1, ngược lại là 0
x y x y x y+ ∨, , |x or y x
y
x v y
X Y X or Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Bảng chân trị:
19
Cổng NAND
Là cổng bù của AND
Có ngõ ra là ngược lại với 
cổng AND
X Y Z
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X nand Y = not (X and Y) = x y
20
Cổng NOR
Là cổng bù của OR
Có ngõ ra ngược với cổng 
OR
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
X nor Y = not (X or Y) = x y∨
21
Ví dụ f x z y z x t y t x y z= ∨ ∨ ∨ ∨
22
Ví dụ
23
Cho sơ đồ
Viết biểu thức f = ∨ ∨( , , ) ( )f x y z x y z x y z
. Thiết kế một mạch điều khiển bởi 2 cầu dao
Mỗi cầu dao xem như là biến x, y : 1 là bật 0 là tắt 
Cho F(x, y) =1 khi đèn sáng và 0 khi đèn tắt
Giả sử F(x, y) =1 khi cả hai cái đều bật hoặc cùng tắt
x y F(x, y)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ta có bảng chân trị sau
25
x
y
x y
xy x y∨
x
x
y
yxy
26
Giả sử F(x,y,z) =1 khi 1 hoặc 3 
cái đều bật
x y z F(x, y)
1 1 1 1
. Thiết kế một mạch điều khiển bởi 3 cầu dao
Mỗi cầu dao xem như là biến x, y : 1 là bật 0 là tắt 
Cho F(x, y) =1 khi đèn sáng và 0 khi đèn tắt
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
Ta có bảng chân trị sau
27
xz
x
y
z
x y z
zyxy
z
y
x x
Mạch
∨
∨ ∨
x y z x y z
x y z x y z
y
zyxz
z
x
zyx
z
y
x
y
28