Bài giảng tóm tắt Lý thuyết độ đo và tích phân - Nguyễn Thị Bích Thìn

Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG
——————– ∞ ∞ ∞ ——————–
LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO
VÀ
TÍCH PHÂN
BÀI GIẢNG TÓM TẮT
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Bích Thìn
Trần Thị Thu Trang
Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Minh Tuấn
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2015
1
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
CHƯƠNG I
ĐỘ ĐO DƯƠNG - HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
∗Nhắc lại về cơ sở
B⊂P(X)
Ta nói B là một cơ sở tôpô trên X⋃
B∈B
B=X
Nếu B1, B2 ∈B , B1 ∩ B2 6=∅
∀x∈ B1 ∩ B2, ∃ B3 ∈ B
x∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2
∗Ví dụ: Cho X={a,b,c,d}
Cơ sở B=
{
{a},{b},{c,d}
}
Xây dựng tôpô T =
{
{a,b,c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},{a},{b},{c,d},∅
}
∗Ví dụ:Cho X={a,b,c,d}
Cơ sở con C=
{
{a,b},{b,c,d}
}
Cơ sở B=
{
{b},{a,b},{b,c,d}
}
Tôpô T =
{
∅,{b},{a,b},{b,c,d},{a,b,c,d}
}
∗Ví dụ:Giao của 2 tập đếm được là quá lắm đếm được.
Giao 2 tập hữu hạn là hữu hạn.
Giao 2 tập quá lắm đếm được là quá lắm đếm được.
Hợp của các tập vô hạn đếm được là tập vô hạn đếm được.
Hai tập vô hạn đếm được nhân với nhau là tập vô hạn đếm được.
Q,Z,N là tập đếm được.
R là tập không đếm được.
Tập hợp các số từ 1 đến 10 là tập không đếm được.
Tập hợp các số hữu tỉ từ 1 đến 10 là tập đếm được.
FĐỊNH NGHĨA:
[-∞,∞]=R∪{-∞,∞}
(-∞,∞]=R∪{∞}
[-∞,∞)=R∪{-∞}
a+∞=∞+a=∞ ∀a∈(-∞,∞)
a-∞=-∞+a=-∞ ∀a∈(-∞,∞)
a.(-∞)=-∞ ∀a∈(0,∞)
a.(∞)=∞ ∀a∈(0,∞)
a.(-∞)=∞ ∀a∈(-∞,0)
a.(∞)=-∞ ∀a∈(-∞,0)
FĐỊNH NGHĨA:Cho M⊂P(X),với X 6=0,ta nói M là một σ- đại số trong X nếu: i)X∈M
ii)XA∈M ∀A∈M(với XA=Ac:phần bù của M)
iii)
∞⋃
n=1
An∈M ∀{An}n∈N⊂M
∗Ví dụ:X={a,b,c,d}
M=
{
∅,X,{a},{b,c,d}
}
2
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
♣BÀI TẬP:
1.Cho 1 họ M,kiểm tra xem có phải là σ- đại số không ?
cm: 3 điều kiện
2Cho M là σ- đại số,hãy chứng minh một số tính chất liên quan.
cm:{An}n∈N⊂M
→
∞⋃
n=1
An∈M
X
∞⋃
n=1
An∈M
∞⋂
n=1
Acn ∈M
B1,...,Bn,...∈M
Bc1,B
c
2,...,B
c
n,...∈M∞⋂
n=1
(Bcn)
c∈M
∞⋂
n=1
Bn∈M
FĐỊNH NGHĨA: Cho X là một tập hợp.Nếu tồn tại một σ- đại số M trên X ta nói X là
một không gian đo được.Với mọi A ∈M,A được gọi là các tập đo được.
FĐỊNH NGHĨA: Cho M là một σ- đại số trên X và µ là một ánh xạ đi từ M→[0,∞].Ta
nói µ là một độ đo dương nếu:
∗∀{An}n∈N⊂M, Ai∩Aj=∅ ∀i,j Ta có µ(
∞⋃
n=1
An)=Σµ(A n)
∗∃B∈M, µ(B)<∞
FĐỊNH NGHĨA: ChoM là một σ- đại số trên X và ánh xạ µ:M→C.Ta nói µ là một độ đo
phức nếu:∀{An}n∈N⊂M sao cho Ai∩Aj=∅ ∀i 6=j
Ta có µ(
∞⋃
n=1
An)=Σµ(An)
Cho X là một không gi n đo được với σ- đại số M và µ là một độ đo trên M,ta nói (X,M,µ) là
một không gian đo được với độ đo µ
♣BÀI TẬP:
2.1
Cho X 6=∅.CM:{X,∅} và P(X) là các σ- đại số trong X,còn có các σ đại số khác trong X hay không?
Giải:
∗ M={∅,X} là σ- đại số trong X ta kiểm tra 3 tính chất:
i) X∈{∅,X} hiển nhiên
ii) A∈{∅,X}
=⇒
[
A = ∅ =⇒ XA = X ∈ {∅, X}
A = X =⇒ XA = ∅ ∈ {∅, X}
⇒XA∈{∅,X}
iii)∀{An}⊂M={∅,X}
Ta chứng minh:
∞⋃
n=1
An∈M={∅,X}
TH1:∃i0∈N:Ai0=X∞⋃
n=1
An=X∈{∅,X}
TH2:An=∅ ∀n∈N
3
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
=⇒
∞⋃
n=1
An=∅∈{∅,X}
∗M=P(X)={A:A⊂X} là σ- đại số trong X
i)X∈P(X)(Vì X⊂X)
ii)A∈P(X) Ta chứng minh XA∈ P(X)
A∈P(X)=⇒A⊂X=⇒XA⊂X=⇒XA∈P(X)
iii)∀{An}⊂P(X) Ta chứng minh
∞⋃
n=1
An∈P(X)
Ta có:An⊂X , ∀n∈N
=⇒
∞⋃
n=1
An⊂X=⇒
∞⋃
n=1
An∈P(X)
∗X 6=∅=⇒∃a∈X
Xét M=
{
∅,{a},X{a},X
}
i)X∈M(hiển nhiên)
ii)A∈M
=⇒

A = ∅⇒ XA = X ∈M
A = {a} =⇒ XA = X{a} ∈M
A = X{a} =⇒ XA = {a} ∈M
A = X =⇒ XA = ∅ ∈M
Vậy XA∈M
iii)∀{An}n∈N ⊂M
∞⋃
n=1
An = X nếu ∃Ai0 = X hay
{
A1 = {a}
A2 = X = {a}
∞⋃
n=1
An = ∅ nếu An = ∅ ∀n ∈ N
∞⋃
n=1
An = ∅ nếu
{
An 6= X∀Ai0 = {a}
An 6= X{an}
∞⋃
n=1
An = X{a} nếu
{
An 6= X
An 6= {a}
∃Ai0 = X{a}
2.2
Cho B là một họ các tập con trong một tập hợp X khác rỗng .Tìm một σ-đại số nhỏ nhất M
trong X sao cho B ⊂M.
Gọi F là họ tất cả các σ- đại số trên X chứa B
Đặt T = ⋂
F∈F
F ⊂ P (X)
Cần chứng minh T là σ đại số.
∗ Kiểm tra X ∈ T :
Ta có: X∈F ,∀F ∈ F
=⇒X ∈ ⋂
F∈F
F=T
∗ Kiểm tra ∀A ∈ T ,Ac ∈ T
Lấy A ∈ T tùy ý
Ta có A ∈ F,∀F ∈ F
Vì F là một σ- đại số nên Ac ∈ F ,∀F ∈ F
=⇒ Ac ∈ ⋂
F∈F
F= T
∗ Kiểm tra ý thứ 3:
∀{An} ⊂
⋂
F∈F
F (F là σ đại số chứa B)
=⇒ {An} ⊂ F, ∀F ∈ F
4
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
=⇒
∞⋃
n=1
An ∈ F (vì F là σ đại số trong X) ∀F ∈ F
∗ Tìm một σ- đại số nhỏ nhất .
Lấy G là σ- đại số bất kì chứa B
=⇒ G ∈ F
=⇒ ⋂
F∈F
F ⊂ G
Vậy T ∈ G
Vậy T là σ- đại số nhỏ nhất.
2.3
giống câu 2.2 chỉ thay X bằng R
2.4
Xác định các σ- đại số M trong tập hợp các số nguyên dương N sao cho {n} ∈M với mọi n∈ N.
Giải:
Ta chứng minh : M = P (N) = 2N
∗M ⊂ P (N),∀B ∈M =⇒ B ⊂ N =⇒ B ∈ P (N)
∗ lấy A∈ P (N) =⇒ A ⊂ N
TH1:A= {n1, n2, ..., nk}
A=
k⋃
i=1
{ni} ∈M(Mlà σ- đại số và {ni} ∈M, ∀i = 1, k)
TH2 : A = {n1, n2, ..., nk, ..}
A=
∞⋃
k=1
{nk} ∈M (vì M là σ- đại số và {nk} ∈M, ∀k ∈ N)
2.5
Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M,và cho {Bi}i∈I là một họ quá lắm đếm
được trong M.Chứng minh ∩i∈IBi và ∪i∈IBi đều thuộc về M.
Giải:
{B1}i∈I ⊂M
CM:
∞⋃
i=1
Bi ∈M
∞⋂
i∈I
Bi ∈M
Giải:TH1:I hữu hạn
Giả sử :I={x1, ..., xn}
Đặt Bxk = ∅ ∈M,∀k ≥ n+ 1
∗ ⋃
i∈I
Bi =
n⋃
k=1
Bxk =
∞⋃
k=1
Bxk ∈M(tính chất iii),Bxk ∈M,∀k ∈ N
∗Bi ∈M =⇒ XBi ∈M,∀i ∈ I
=⇒ ⋃
i∈I
(XBi) ∈M(cmt)
=⇒ X ⋂
i∈I
Bi ∈M
=⇒ ⋂
i∈I
Bi ∈M
TH2:I đếm được
∗I = {x1, x2, ..., xk, ...}⋃
i∈I
=
∞⋃
k=1
Bxk ∈M(Vì Mlàσđại số và Bxk ∈M,∀k ∈ N
∗Bi ∈M =⇒ XBi ∈M,∀i ∈ I
=⇒ ⋃
i∈I
(XBi) ∈M(cmt)
5
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
=⇒ X ⋂
i∈I
Bi ∈M
=⇒ ⋂
i∈I
Bi ∈M
Thí dụ 2.1.1
iv) ∅ (A)=
{
tchsccphnttrongA,A 6= ∅
1, A = ∅
Cho A={1},B={2}
∅(A ∪B) = 2
∅(A) + ∅(B) = 3
=⇒ ∅(A ∪B) 6= ∅(A) + ∅(B)
nên ∅(A)không là độ đo
Định nghĩa 2.1.6: Cho (X,M, µ) là một không gian đo được .Cho M∗là tập tất cả các tập
con E của X sao cho có hai tập A và B trong M sao cho A⊂ E ⊂ B và µ(BA) = 0.Lúc đó ta
đặt µ∗(E) = µ(A).
Định lý 2.1.1: (X,M∗, µ∗) là một không gian đo được .
Chứng minh:gồm 2 ý
? ý 1:chứng minh M∗ là σ-đại số.
i)Vì M ⊂M∗ nên X ∈M =⇒ X ∈M∗
ii)Lấy E ∈M∗ tùy ý
=⇒ ∃ A,B ∈M, A ⊂ E ⊂ B, µ(BA)=0
Ac, Bc ∈M : Bc ⊂ Ec ⊂ Ac
µ(AcBc) = µ(BA) = 0
=⇒ Ec ∈M∗
iii)
∞⋃
n=1
En ∈M∗(En ∈M∗)
Với mỗi En ∈M∗,∃An, Bn ∈M
An ⊂ En ⊂ Bn và µ(BnAn) = 0∞⋃
n=1
An ⊂
∞⋃
n=1
En ⊂
∞⋃
n=1
Bn,
∞⋃
n=1
An ∈M,
∞⋃
n=1
Bn ∈M
Ta cần chứng minh:µ(
∞⋃
n=1
Bn
∞⋃
n=1
An) = 0
Ta có :
∞⋃
n=1
Bn
∞⋃
n=1
An =
∞⋃
n=1
(Bn
∞⋃
n=1
An) ⊂
∞⋃
n=1
(BnAn)
=⇒ 0 ≤ µ(
∞⋃
n=1
Bn
∞⋃
n=1
An) ≤ µ(
∞⋃
n=1
(BnAn))
Mà µ
( ∞⋃
n=1
(BnAn)
)
≤ Σ∞n=1µ(BnAn) = 0
do đó µ(
∞⋃
n=1
Bn
∞⋃
n=1
An) = 0
=⇒
∞⋃
n=1
En ∈M∗
Vậy M∗ là σ-đại số
? ý 2: chứng minh µ∗ là độ đo dương
{En} là dãy các phần tử rời nhau trong M∗
Với mỗi En ∈M∗
Tồn tại An, Bn ∈M , sao cho
An ⊂ En ⊂ Bn và µ− ∗98(BnAn) = 0 =⇒ µ∗(En) = µ(An)
Ta có :
∞⋃
n=1
An ⊂
∞⋃
n=1
En ⊂
∞⋃
n=1
Bn
6
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
µ(
∞⋃
n=1
Bn
∞⋃
n=1
An) = 0
µ∗(
∞⋃
n=1
En) = µ(
∞⋃
n=1
An) = Σ
∞
n=1µ(An) = Σ
∞
n=1µ
∗(En)
Chứng minh :∃B ∈M∗ sao cho µ∗(B) <∞ vì µ là độ đo dương
B ∈M =⇒ B ∈M∗(M ⊂M∗)
nên µ∗(B) = µ(B) <∞
TÍNH CHẤT: Cho (X,M, µ là một không gian đo được ,µ là độ đo dương
• Nếu A,B ∈M, A ⊂ B
µ(B) = µ(A) + µ(BA) > µ(A)
• A,B ∈M
µ(A ∪B) = µ(AB) + µ(BA) + µ(A ∩B)
µ(A)− µ(B) = µ(A ∩B)
ĐỊNH NGHĨA 2.1.7: (X,M∗, µ∗) được gọi là đầy đủ hóa của (X,M, µ).NếuM∗ = M ta nói µ
là một độ đo đầy đủ.
TÍNH CHẤT SUY RA TỪ ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 : Cho (X,M là một không gian đo được
và f:X→Y với (Y, T ) là một không gian tô pô ta nói f là một ánh xạ đo được trên (X,M) nếu và
chỉ nếu f−1(B) ∈M với mọi B ∈ T
THEO ĐỊNH LÍ 2.1.4 ,CM TÍNH CHẤT:
i)M(∅) = 0
ii)M(A ∪ C) = M(A) +M(C), A ∩ C 6= ∅
Chứng minh:i) chọn A1 = B,Ak = ∅,∀k > 2 ta được
µ(
∞⋃
n=1
An) = Σ
∞
n=1µ(An)
=⇒ Σ∞n=1µ(An)
do µ(B) <∞
=⇒ µ(An) = 0,∀n ∈ N{1}
=⇒ µ(∅) = 0
ii)Cho A1 = A,A2 = C,Ak = ∅∀k > 3
µ(
∞⋃
n=1
An) = Σ
∞
n=1µ(An)
⇐⇒ µ(A ∪ C) = µ(A) + µ(C) + Σ∞n=3µ(An)
⇐⇒ µ(A ∪ C) = µ(A) + µ(C)
BÀI TẬP:
2.6 Cho X là một tập khác trống , cho M là P(X).Đặt µ(A) =| A |(bản số của A,cardinal of A
).Lúc đó µ có là một độ đo dương trên M hay không?
Chứng minh: i)Lấy {An} ⊂M, Ai ∩ Aj = ∅∀i 6= j
M(
∞⋃
n=1
An) = Σ
∞
n=1M(An)
|
∞⋃
n=1
An |= Σ∞n=1 | An |
TH1:Nếu |
∞⋃
n=1
An |<∞ =⇒ µ(
∞⋃
n=1
An) < +∞
?∃Ai :| Ai |=∞ =⇒ µ(
∞⋃
n=1
An) = µ(Ai) +
∞∑
n=1
µ(An) =
∞∑
n=1
µ(An)
? | Ai |<∞,∀i ∈ N
=⇒
∞∑
n=1
| An |=∞ vì nếu
∞∑
n=1
| An |<∞
7
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
=⇒
∞∑
k=1
| Ak |<
∞∑
k=1
| Ak |<∞
=⇒|
n⋃
k=1
Ak |<∞,∀n
cho n→∞
=⇒|
∞⋃
k=1
Ak |≤
∞∑
k=1
| Ak |<∞
TH2:Nếu |
∞⋃
n=1
An |<∞→ ∃n1, n2, ..., nk
| Ai |= 0,∀i ∈ N{n1, ..., nk}
=⇒M(
∞⋃
n=1
An) =|
k⋃
i=1
Ani |=
k∑
n=1
| Ani |=
∞∑
n=1
| An |
ii) ∅ ∈M
µ(∅) =| ∅ |= 0 <∞
2.7: Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M , cho µ là một độ đo trên M, và
A ∈M.Đặt N = {A⋂E : E ∈M} và η(D) = µ(D),∀D ∈ N.Chứng minh (A,N, η) là một không
gian đo được.
i) Lấy {An} ⊂ N, Ai
⋂
Aj 6= ∅,∀i 6= j
Ta chứng minh :η(
∞⋃
n=1
An) =
∞∑
n=1
η(An)
VT =η(
∞⋃
n=1
An) = µ(
∞⋃
n=1
An)
=
∞∑
n=1
µ(An) =
∞∑
n=1
η(An)
Vậy η(
∞⋃
n=1
An) =
∞∑
n=1
η(An)
ii) Ta chứng minh :∃B ∈ N
η(B) <∞
Ta có :µ là độ đo dương(gt)
=⇒ ∃B ∈M : µ(B) <∞
=⇒ (B⋂E) ∈ N : η(B⋂E) = µ(B⋂E) 6 µ(B) <∞
Chứng minh N là σ đại số trên E
i)E = E
⋂
E ∈ N vì (E ∈M
ii)A ∈ N =⇒ A = B⋂E,B ∈M
EA = E(B
⋂
E) = (EB)
⋃
(EE)
= (EB) = EB
⋂
E (Vì EB ⊂ E) =⇒ EA ∈ N
iii) Lấy {An} ⊂ N
Ta chứng minh:
∞⋃
n=1
An ∈ N
Ta có:{An} ⊂ N =⇒ An = Bn
⋂
E,Bn ∈M,∀n ∈ N∞⋃
n=1
An =
∞⋃
n=1
(Bn
⋂
E) = (
∞⋃
n=1
Bn)
⋂
E
∞⋃
n=1
Bn ∈M vì M là σ-đại số
Vậy (A,N, η) là một không gian đo được .
2.8 Cho X là một không gian đo được với một σ-đại sốM, µ là một độ đo trênM, và f là một
song ánh từ X vào một tập hợp Y .Đặt
N = {f(E) : E ∈M} và ν(D) = µ(f−1(D)), ∀D ∈ N
Chứng minh:(Y,N, ν) là một không gian đo được .
F Chứng minh N là σ-đại số trên Y
8
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
i)Y=f(X) ∈ N(do f là song ánh)X ∈M
ii) A ∈ N =⇒ A = f(B), B ∈M
YA = Yf(B) = f(XB)doXB ∈M
=⇒ YA ∈ N
iii) Lấy {An} ⊂ N ta chứng minh
∞⋃
n=1
An ∈ N
{An} ⊂ N =⇒ ∃B ∈M : An = f(Bn),∀n ∈ N
∞⋃
n=1
An =
∞⋃
n=1
f(Bn) = f
( ∞⋃
n=1
Bn
)
∈ N
do
∞⋃
n=1
Bn ∈M
Vậy N là σ-đại số.
F Cứng minh ν là độ đo trên N
i)∀{Ai} ⊂ N, Ai
⋂
Aj 6= ∅,∀i 6= j
Ta chứng minh:ν(
∞⋃
n=1
An) =
∞∑
n=1
ν(An)
VT=µ
(
f−1(
∞⋃
n=1
An)
)
= µ
( ∞⋃
n=1
f−1(An)
)
=
∞∑
n=1
µ (f−1(An)) =
∞∑
n=1
ν(An)
ii)µ là độ đo
=⇒ ∃B ∈M, µ(B) <∞
do f song ánh =⇒ ∃A ∈ N
A=f(B)
=⇒ B = f−1(A)
=⇒ ν(A) = µ (f−1(A)) = µ(B) <∞
2.13 Cho X là một không gian đo được với một σ đại số M và cho µ là độ đo dương trên M
.Cho {Bm} là dãy tăng các phần tử trong M.Chứng minh µ(
∞⋃
k=1
Bk) = limm→∞µ(Bm)
Đặt A1 = B1, A2 = B2B1, ..., Ak+1 = Bk+1Bk,∀k ∈ N{0}
Ta có:
 Ai
⋂
Aj = ∅,∀i 6= j
n⋃
k=1
Ak =
n⋂
k=1
Bk = Bn
Ta có :µ(
∞⋃
n=1
An) =
∞∑
n=1
µ(An)
Đặt sn = µ(A1) + µ(A2) + ...+ µ(An)
= µ(B1) + µ(B2)− µ(B1) + ...+ µ(Bn)− µ(Bn−1) = µ(Bn)
=⇒
(
µ
∞⋃
n=1
An
)
=
∞∑
n=1
µ(An) = limn→∞sn = limn→∞µ(Bn)
2.16
∀a ∈ R, f−1 ((a,+∞)) ∈M
=⇒ Xf−1 ((a,+∞)) ∈M
f−1(R(a,+∞)) ∈M
f−1((−∞, a]) ∈M,∀a ∈ R
Ta có:(−∞, a) =
∞⋃
n=1
(
−∞, a− 1
n
]
=⇒ f−1((−∞, a)) = f−1
( ∞⋃
n=1
(
−∞, a− 1
n
])
=
∞⋃
n=1
f−1
((
−∞, a− 1
n
])
∈M
9
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
2.17 f(X) hữu hạn trong R
f(X)={a1, a2, ..., an}
f(A1) = {a1}
f(A2) = {a2}
...
f(An) = {an}Ai
⋂
Aj = ∅, ∀i 6= j
∞⋃
k=1
Ak = X
f(x) = a1XA1(x) + a2fA2(x)
ĐỊNH NGHĨA 3.1.1 trang 42
ĐỊNH NGHĨA 3.1.2 trang 42
(X,M, µ) , E ∈M , f đo được
F(f) = {S:hàm đơn/0 ≤ S ≤ f }∫
F
fdµ := sup
{∫
E
Sdµ/S ∈ F(f)
}
ĐỊNH LÝ 3.1.1 trang 43
BÀI TẬP 3.1 trang 47
f : N→ [0,∞] ;M = P(N)
f:đo được ;µ(A) =| A |∫
N
fdµ =
∞∑
n=1
BÀI TẬP 3.2 trang 47
i)
∫
E
fdµ =
∫
X
(f.XE)dµ
VT=sup
{∫
E
Sdµ/S hàm đơn : 0 6 S 6 f }
= sup
{
n∑
k=1
Ckµ(Ak
⋂
E/S =
n∑
k=1
Ck.XAK , 0 6 S 6 f
}
∫
X
(S.XE)dµ =
∫
E
(S.XEdµ sao cho 0 6 s.XE 6 XE.f
=
∫
E
n∑
k=1
CkX (Ak
⋂
E)
VP=sup
{∫
X
tdµ/tlahamdon; 0 6 t 6 XE.f
}
= sup
{
m∑
l=1
dlµ(Bl)/t =
m∑
l=1
dl.XBl ; 0 6 t 6 XE.f
}
= sup
{
m∑
l=1
dlµ(Bl
⋂
E)/t =
m∑
l=1
dl.XBl ; 0 6 t 6 XE.f
}
= sup
{∫
E
t.dµ/t =
m∑
l=1
dl.XBl ; 0 6 t 6 XE.f
}
ĐỊNH LÍ 3.1.1
Chứng minh định lí 3.1.1
iv)
∫
E
(Cf)dµ = sup
{∫
E
Sdµ/shamdon; 0 6 S 6 cf
}
= sup
{
n∑
k=1
Ck.µ(Ak
⋂
E)/Shamdon;S =
n∑
k=1
Ck.X (Ak); 0 6 S 6 C.f
}
= sup
{
C.
n∑
k=1
Ck
c
µ(Ak)/
S
c
=
n∑
k=1
Ck
c
.X (Ak); 0 6 s
c
6 f
}
10
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
= sup
{
C
∫
E
tdµ/thamdon; 0 6 t 6 f
}
=c.sup
{∫
E
tdµ/thamdon; 0 6 t 6 f
}
ĐỊNH LÍ 3.1.2
ĐỊNH LÍ 3.1.3
BÀI TẬP 3.3 TRANG 47
Ta có:∀n ∈ N, fn(X) 6 f(x)∀X
=⇒ ∀n ∈ N, ∫
X
fndµ 6
∫
X
fdµ
∀m,n ∈ N,m > n : fm > fn
=⇒ ∫
X
fmdµ >
∫
X
fndµ
Đặt a= lim
n−→∞
∫
X
fndµ
Ta chứng minh:a >
∫
X
fdµ , đặt b =
∫
X
fdµ
Nếu a > r.b,∀r ∈ (0, 1) thì a > b
S hàm đơn:0 6 S 6 f
a > r.
∫
X
Sdµ
S =
n∑
k=1
Ck.X (Ak)
∀m ∈ N đặt Em = {x ∈ X/fm(X) > r.S}
E1 ⊂ E2 ⊂ ... ⊂ En,
∞⋃
m=1
En = X
a = lim
∫
X
fndµ >
∫
X
fndµ >
∫
En
fndµ >
∫
En
XSdµ = r. ∫
En
Sdµ
a > lim
n−→∞
r.
∫
En
sdµ > r.
∫
X
sdµ
ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 trang 44
BÀI TẬP:
1)Cho hàm f đo được ,cm | f |là hàm đo được
2)Cho f là hàm phức đo được cmr:|| f || đo được
BÀI TẬP CÓ THI: Cho fn(x) = x
n, X = [0, 1] .Hỏi fn(x) hội tụ điểm về đâu ?
giải: Lấy x1 = 0 =⇒ fn(0) = 0, fn(0)→ 0
x2 =
1
2
=⇒ fn(1
2
) =
1
2n
, fn(
1
2
)→ 0khin→∞
x3 = r, 0 < r < 1 =⇒ fn(r) = rn; fn(r)→ 0 khi n→∞
x4 = 1 =⇒ fn(1) = 1 f(x)=
{
0, voix = 1
1, voi0 6 x 6 1
LÝ THUYẾT:
1)f∼ g ⇐⇒ µ ({x/f(x) 6= g(x)}) = 0
2)f=u+i.v
u = u+ − u−
u+(x) = sup {u(x), 0}
u(x) = sup {0,−u(x)}
3){x/f(x) 6= h(x)} ⊂ {x/f(x) 6= g(x)} ∪ {x/g(x) 6= h(x)}
4)f, g ≥ 0∫
(f + g)dµ =
∫
fdµ+
∫
gdµ
A=B+C
11
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
B+C ⊂ A
sup B + C ≤ sup A
sup B + sup C ≤ sup A
BÀI 3.8 TRANG 49
i)h=f+g
h+ − h− = (f+ − f−) + (g+ − g−)∫
h+ =
∫
f+ +
∫
g+∫
h− =
∫
f− +
∫
g−
ii)α ∈ C, α 6= 0
∀c ∈ C :| c |= 1
c.α =| α |
α =| α | .eiarg(α)
c = e−iarg(α)
BÀI 3.9 TRANG 49
α =
∫
fdµ ∈ C
∃c ∈ C, | c |= 1 : c ∫ fdµ =| ∫ fdµ |∫
cfdµ =| ∫ fdµ |
cf=u+iv∫
(cf)dµ =
∫
udµ+ i
∫
vdµ
| cf |= √u2 + v2 > √u2 =| u |
| f |=| cf |>| u |
Ta có:| ∫
X
fdµ |= ∫
X
cfdµ =
∫
X
udµ 6
∫
X
| u | dµ 6 ∫
X
| f | dµ
BÀI 3.10 TRANG 49
fm −→ f
| fm |6 g
gm = 2g− | fm − f
∗ | f |6 g
| ∫ fdµ |6 ∫ | f | dµ
| fn − f |6| fn | + | f |6 2g
gn = 2g− | fn − f |∫
2gdµ 6 lim
n−→∞
inf
∫
(2g− | fn − f |)dµ
=
∫
X
2gdµ+ lim inf(− ∫
X
| fn − f | dµ)∫
2gdµ− lim
n−→∞
sup
∫ | fn − f | dµ∫
2gdµ− lim
n−→∞
sup
∫ | fn − f | dµ. lim
n−→∞
sup
∫ | fn − f | dµ 6 0
lim
n−→∞
∫ | fn − f | dµ = 0
ĐỊNH NGHĨA 4.2.1
ĐỊNH LÍ 4.2.1
BÀI TẬP 2.20 TRANG 39
f(x)=
{
x−2, x ∈ R{0}
∞, x = 0
Ánh xạ f có đo được trên (R,B)
Giải: ∀a ∈ R
Xét f(x) < a
? Nếu a 6 0 thì f−1 ((a,∞]) = ∅ ∈ B
? Nếu a > 0
12
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
·x 6= 0
f(x) < a(x 6= 0)
⇐⇒ 1
x2
< a
⇐⇒
x >
1√
a
x <
−1√
a
·x = 0
∞ < a( vô lí )
Vậy f−1 ((−∞, a)) =
(
−∞, −1√
a
)
∪
(
1√
a
,+∞
)
∈ B
Vậy f đo được trên (R,B)
BÀI 2.21 TRANG 39
f(x) =
{
x−1, x ∈ R{0}
−∞, x = 0
∀a ∈ R
Xét f(x) < a
·x = 0
−∞ < a luôn đúng
·x 6= 0
f(x) < a⇒ 1
x
< a⇐⇒ 1− ax
x
< a(1)
Với a=0
(1)⇐⇒ x < a
f−1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∈ B
Với a > 0
(1)⇐⇒ x 1
a
f−1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪
(
1
a
,+∞
)
∈ B
Với a < 0
(1)⇐⇒ x < 1
a
∨
x > 0
f−1 ((−∞, a)) =
(
−∞, 1
a
]
∪ (0,+∞) ∈ B
Vậy f đo được
BÀI 2.22 TRANG 39
f(x) =
{
x−1, x ∈ R{0}
0, x = 0
ánh xạ f có là một ánh xạ đo được trên (R,B) không?
Giải:
∀a ∈ R
+a > 0
Nếu x=0
f(x)< a⇐⇒ 0 < a (luôn đúng)
Nếu x 6= 0
f(x) < a⇐⇒ 1
x
 1
a
f−1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪
(
1
a
,+∞
)
∈ B
+ a=0
13
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
Nếu x=0
f(x) < a⇐⇒ 0 < 0 (vô lí)
Nếu x 6= 0
f(x) < a⇐⇒ 1
x
< 0⇐⇒ x < 0
f−1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∈ B
+a < 0
f−1 ((−∞, a)) =
(
−∞, 1
a
]
∪ (0,+∞) ∈ B
Vậy f đo được trên (R,B
BÀI 2.23 TRANG 39
fn đo được ∀n ∈ N
i)g(x)=sup
m>1
fn(x)
CM g đo được
∀a ∈ R ta chứng minh
g−1 ((a,+∞]) =
∞⋃
m=1
fm ((a,+∞]) ∈M
Lấy x ∈
∞⋃
n=1
fm ((a; +∞))
⇒ ∃mo ∈ N : x ∈ f−1m ((a,+∞)]
→ fmo(x) < a
sup
m>1
fm(x) > fm0(x) > a
→ sup
m>1
f(x) < a⇒ a ∈ g−1 ((a,+∞))
Lấy x ∈ g−1 ((a,+∞))
⇐⇒ g(x) > a
=⇒ ∃no ∈ N : fn0(x) > a
=⇒ x ∈ f−1n0 ((a,+∞))
=⇒ x ∈
∞⋃
n=1
f−1n (a,+∞)
ii)h(x) = inf
m>1
fm(x),∀x ∈ X
CM: g đo được
∀a ∈ R Ta chứng minh:
h−1 ((a,+∞]) =
∞⋂
m=1
f−1 ((a,+∞])
+Lấy x ∈ h−1 ((a,+∞)) =⇒ h(x) > a mà fn(x) > h(x),∀x ∈ N
=⇒ fn(x) > a,∀a ∈ N
=⇒ x ∈ f−1 ((a,+∞)) , ∀n ∈ N
=⇒ x ∈
∞⋂
n=1
f−1 ((a,+∞))
+Lấy x ∈ ⋂ f−1 ((a,+∞))
=⇒ x ∈ f−1 ((a,+∞)) , ∀n ∈ N
=⇒ fn(x) > a,∀n ∈ N
=⇒ inf
m>1
fm(x) > a =⇒ h(x) > a =⇒ x ∈ f−1 ((a,+∞))
ĐỊNH LÍ 3:Nếu F là một họ các tập con của X thì tồn tại σ-đại số nhỏ nhất M∗ trong X sao
cho F ⊂M∗
Nhận xét:σ-đại số M∗ này còn được gọi là σ đại số sinh bởi F
Chứng minh: Gọi Ω là tập hợp tất cả σ-đại số M trên X sao cho F ⊂ M∗ .Vì P(X) ∈ Ω nên
Ω 6= 0 .Đặt M∗ := ⋂
M∈Ω
M Ta sẽ cm:M∗ là một σ-đại số nhỏ nhất chứa F
14
Th
u
Tr
an
g
- B
ích
Th
ìn
lo
pt
oa
n1
41
@g
ma
il
.c
om
Sa
i G
on
Un
iv
er
sit
y
15