Bài giảng Vật lý 1 - Điện thế - Lê Quang Nguyên

Điện thế
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle@zenbe.com
Nội dung
1. Cơng của lực tĩnh điện
2. Thế năng tĩnh điện
3. Điện thế
4. Lưu số của trường tĩnh điện
5. Bài tập áp dụng
1. Cơng của lực tĩnh điện – 1
• Xét điện tích thử q0
chuyển động trong 
điện trường tạo bởi q, 
từ M đến N, theo 
đường cong (C).
• Cơng của lực tĩnh 
điện là:
∫
→
⋅=
NMC
MN rdEqW
)(
0



q
dr
F = q0E
M
N
q0 (C)
E
1. Cơng của lực tĩnh điện – 2
• Phân tích vectơ dịch chuyển 
dr thành hai thành phần 
vuơng gĩc và song song với 
điện trường (phương bán 
kính r).
• Chỉ cĩ thành phần song 
song cĩ đĩng gĩp vào cơng:
q0E
q0
rd

q
dr
EdrqrdEqW 00 =⋅=


δ
2020
r
drqkqdr
r
qkqW ==δ
dr┴
1. Cơng của lực tĩnh điện – 3
• Ta cĩ thể viết lại biểu thức trên như sau:
• Suy ra:
• Cơng của lực tĩnh điện khơng phụ thuộc đường đi,
• chỉ phụ thuộc vị trí đầu và cuối.
• Kết quả trên cũng đúng với một điện trường bất 
kỳ.






−=
r
qqkdW 0δ
NM
MN
r
qqk
r
qqk
r
qqkWW 000 −=




∆−== ∫δ
2a. Thế năng tĩnh điện – 1
• Cho điện tích thử q0 chuyển động trong một điện 
trường từ M đến N, theo đường cong (C).
• Cơng của lực tĩnh điện là:
∫
→
⋅=
NMC
MN rdEqW
)(
0



dr
F = q0EM
N
E
q0
(C)
2a. Thế năng tĩnh điện – 2
• Cơng của lực tĩnh điện khơng phụ thuộc đường đi, 
chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối.
• Do đĩ người ta cĩ thể định nghĩa thế năng tĩnh 
điện U của hệ (điện tích thử + điện trường):
• U là một hàm của vị trí; tích phân được thực hiện 
theo một đường cong bất kỳ nối M và N.
• UM − UN = −∆U là độ giảm thế năng tĩnh điện 
giữa M và N. Thế năng biến đổi thành cơng.
∫ ⋅=−
N
M
NM rdEqUU



0
2a. Thế năng tĩnh điện – 3
• Nếu chọn thế năng tại một điểm P nào đĩ bằng 
khơng (chọn P làm gốc thế năng) thì thế năng tĩnh 
điện tại điểm M là:
• Tích phân được thực hiện theo một đường cong 
bất kỳ nối M và P.
∫ ⋅=
P
M
M rdEqU



0
2b. Thế năng của hai điện tích điểm – 1
• Xét hai điện tích điểm q1 and q2 cách nhau một 
khoảng r.
• Theo cơng thức trên thế năng tĩnh điện của hệ là:
• E1 là điện trường tạo bởi q1.
∫
∞
⋅=
r
rdEqU 



12
Gốc thế năng ở ∞, tích phân 
thực hiện trên đường qua hai 
điện tích, từ r tới ∞.
q1
r
E1q2
dr
∞
2b. Thế năng của hai điện tích điểm – 2
• Suy ra:
• Để tạo nên một hệ hai điện tích điểm, năng lượng 
cần cung cấp ít nhất phải bằng thế năng tĩnh điện 
của hệ.
∫∫
∞∞
=
⋅
=
rr
r
drqkq
r
rdrqkqU 221321



r
qqkU 21=
2c. Thế năng tĩnh điện của một hệ điện tích điểm
• Xét một hệ điện tích điểm bất kỳ.
• Năng lượng tĩnh điện của hệ bằng tổng năng 
lượng tĩnh điện của tất cả các cặp điện tích thuộc 
hệ.
• (i, j) chỉ cặp điện tích qi, qj, cách nhau một 
khoảng rij.
• U là năng lượng tối thiểu cần cung cấp để tạo nên 
hệ.
∑=
),( ji ij
ji
r
qq
kU
3a. Điện thế
• Điện thế tại M được định nghĩa là:
• Điện thế chỉ phụ thuộc vào điện trường chứ khơng 
phụ thuộc vào điện tích thử.
• Độ giảm điện thế giữa hai vị trí M và N trong 
điện trường là:
∫ ⋅==
P
M
M
M rdEq
UV 



0
∫ ⋅=∆−=−
N
M
NM rdEVVV



Đơn vị điện thế là J/C 
hay Volt (V)
3b. Điện thế tạo bởi một điện tích điểm
• Điện trường do điện tích điểm q tạo ra:
• Nếu gốc thế năng P ở vơ cùng và đường lấy tích 
phân là đường thẳng thì: 
3
r
rqkE




=
∫∫
∞
=
⋅
=
r
P
M
M
r
drkq
r
rdrkqV 23



r
qkVM = q r
EM
∞
dr
3c. Điện thế tạo bởi hệ điện tích điểm
• Điện thế tạo bởi một hệ điện tích điểm bằng tổng 
điện thế của tất cả các điện tích điểm thuộc hệ.
• Nếu hệ là một phân bố điện tích liên tục,
• ta chia hệ làm nhiều phần nhỏ vi phân, sao cho 
mỗi phần được coi như một điện tích điểm.
• Tổng sẽ được thay thế bằng tích phân.
3d. Tìm điện trường từ điện thế
• Độ giảm điện thế giữa hai điểm rất gần nhau:
• Mặt khác ta cĩ:
• Suy ra:
dzEdyEdxErdEdV zyx ++=⋅=−



rdVdz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV 
⋅=∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
= grad
VE grad−=


z
VE
y
VE
x
VE zyx ∂
∂
−=∂
∂
−=∂
∂
−= ,,
3e. Mặt đẳng thế – Định nghĩa
• Mặt đẳng thế là tập hợp các điểm cĩ cùng một 
điện thế trong điện trường.
• Ví dụ, mặt đẳng thế trong điện trường do một 
điện tích điểm q tạo ra là các mặt cầu cĩ tâm đặt 
tại q:
• Minh họa.
constzyxV =),,(
constrconst
r
qkV =⇔==
3e. Mặt đẳng thế – Tính chất
• Điện trường vuơng gĩc với mặt đẳng thế,
• và hướng theo chiều giảm của điện thế.
• Khi một điện tích điểm dịch chuyển trên một mặt 
đẳng thế thì cơng của lực tĩnh điện bằng khơng. 
4a. Lưu số của trường tĩnh điện - 1
• Cho một đường cong (C) trong khơng gian cĩ 
điện trường, lưu số của điện trường trên (C) được 
định nghĩa là:
∫ ⋅=Γ
)(C
C rdE



dr
E
E
(C)
4a. Lưu số của trường tĩnh điện - 2
• Cơng thực hiện khi điện tích 
dịch chuyển trên một đường 
kín (C) thì bằng khơng.
• Vậy lưu số điện trường theo 
một đường kín luơn luơn 
bằng khơng:
• Trường tĩnh điện là một 
trường khơng cĩ xốy: đường 
sức khơng khép kín.
• So sánh với dịng chảy: minh 
họa.
( )
0
C
E dr⋅ =∫

 


( )
0 0
C
q E dr⋅ =∫

 


4b. Rotation – Định nghĩa
• Xét một đường cong kín (C) nhỏ bao quanh một 
điểm M(x, y, z).
• Gọi diện tích giới hạn trong (C) là ∆S, pháp vectơ 
của mặt phẳng trong (C) là n, và lưu số của điện 
trường trên (C) là ∆Γ.
• Rotation của điện trường ở M, ký hiệu là rotE, 
được định nghĩa như sau:
S
nE
S ∆
∆Γ
=⋅
→∆ 0
limrot 



(C)
n
∆S
M
dr
4b. Rotation – Tính chất
• Hình chiếu của rotE trên một phương n là:
• Mật độ lưu số trên một đường khép kín nhỏ
vuơng gĩc với phương đĩ.
n
M
rotE
rotE.n
4b. Rotation – Tính chất (tt)
• Đối với trường tĩnh điện thì lưu số trên một 
đường kín luơn luơn bằng khơng, nên:
• Người ta chứng tỏ được là rotE cĩ dạng: 
0rot =E


rot y xz z
y x
E EE EE i j
y z z x
E Ek
x y
∂ ∂∂ ∂   
= − + −  ∂ ∂ ∂ ∂  
∂ ∂ 
+ − ∂ ∂ 

 
 



5a. Bài tập 1
Lưỡng cực điện là một hệ gồm 
hai điện tích điểm +q và −q, đặt 
cách nhau một khoảng d.
Chọn trục z là trục đi qua hai 
điện tích điểm và đặt gốc tọa độ
O ở điểm giữa của chúng.
Định nghĩa vectơ momen lưỡng 
cực điện:
Vectơ d hướng từ −q đến +q.
+q
–q
d
z
Odqp



=
5a. Bài tập 1 (tt)
Hãy tìm:
(a) Điện thế do lưỡng cực điện tạo ra ở khoảng 
cách r lớn hơn nhiều so với d. Viết kết quả thu 
được qua momen lưỡng cực điện.
(b) Điện trường từ biểu thức của điện thế.
5a. Trả lời BT 1 – 1
M
r
r+
r
–
θ
+q
–q
d
x
z
+
+ =
r
qkV
−
−
−=
r
qkV
5a. Trả lời BT 1 – 2
• Điện thế ở điểm M(r,θ):
• Khi r >> d ta cĩ gần đúng:
• Suy ra:





 −
=





−=
−+
+−
−+ rr
rrkq
rr
kqV 11
2cos rrrdrr ≈≈−
−++− θ
22
coscos
r
pk
r
dkqV θθ ==
d
r+
r
–
θ
dcosθ
5a. Trả lời BT 1 – 3
• Trở lại tọa độ Descartes:
• Suy ra:
• Vậy:
rzzxr =+= θcos222
53
r
xzkp
x
VEx =∂
∂
−=
x
z
r
θ
( ) 23223 zx
zkp
r
zkpV
+
==
5
223
r
rzkp
z
VEz
−
=∂
∂
−=
5a. Trả lời BT 1 – 4
• Suy ra độ lớn của điện trường:
• Minh họa
22
4
22 3zr
r
kpEEE zx +=+=
θ23 cos31+=
r
kpE
5b. Bài tập 2
 Đặt một lưỡng cực điện cĩ momen lưỡng cực p
trong một điện trường đều E. Hãy tìm:
(a) Thế năng tĩnh điện của lưỡng cực điện.
(b) Momen lực tĩnh điện tác động lên lưỡng cực 
điện.
5b. Trả lời BT 2 – 1
N
M
E
d
• Thế năng tĩnh điện:
• Thế năng này cực tiểu 
khi momen lưỡng cực 
điện song song cùng 
chiều với điện trường 
ngồi.
( ) ∫ ⋅−=−=−=
M
N
NMNM rdEqVVqqVqVU



dEqrdEqU
M
N





⋅−=−= ∫.
EpU



⋅−=
• Momen lực lên q và –q:
• Momen lực tồn phần:
• Momen lực này cĩ xu 
hướng quay dipole điện 
sao cho p song song với 
E.
5b. Trả lời BT 2 – 2
d
N
M
E
+qE
–qE O
rM
rN
EqrM




×=+τ
( )EqrN 


 −×=−τ
( ) Errq NM 



 ×−=τ
EpEdq






×=×=τ
5b. Bài tập 2 – Lị vi sĩng
• Các phân tử nước trong thức 
ăn là những lưỡng cực điện.
• Trong một điện trường xoay 
chiều (tần số radio), các phân 
tử nước dao động để luơn luơn 
định hướng momen lưỡng cực 
của chúng theo điện trường.
• Sự ma sát giữa chúng với mơi 
trường chung quanh tạo nên 
nhiệt làm chín thức ăn.
• Minh họa
p
p
H+ H+
O--
E
5c. Bài tập 3
• Một dây khơng dẫn điện, chiều dài L được tích 
điện đều với mật độ λ > 0. Tìm điện thế do thanh 
tạo ra ở điểm M cách dây một khoảng d, nằm trên 
đường đi qua một đầu dây và vuơng gĩc với dây. 
d
M
L
5c. Trả lời BT 3 – 1
• Điện thế do một đoạn vi phân dx ở tọa độ x tạo ra 
ởM:
22 dx
dxk
r
dqkdV
+
==
λ
x
dx
d r
M
5c. Trả lời BT 3 – 2
• Điện thế tồn phần ởM:
∫∫ +
==
L
dx
dxkdVV
0
22λ
( )[ ]
0
ln 22
L
dxxkV ++= λ





 ++
=
d
dLLkV
22
lnλ