Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản

t trong môi 
trường Matlab 
Xét tấm P - FGM vuông (a/b = 1) chịu tải 
trọng phân bố đều, liên kết gối tựa đơn giản 
trên chu vi với chiều dày tấm h = 0,01 (m), tỉ số 
a/h = 10, vật liệu FGM (Al/Al2O3) với tính chất 
các vật liệu thành phần: 
- Kim loại (Al): 70mE  (GPa); 2 702m . 
(kg/m3) 
Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 
đơn giản 
802 
- Ceramic (Al203): 380cE  (GPa); 
3 800c .  (kg/m3); 
Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm 
(a/2;b/2) và các thành phần ứng suất của tấm 
được tính với m = n = 19 và được so sánh với kết 
quả giải tích tính theo lý thuyết biến dạng cắt 
tổng quát của Zenkour (2006) - chuyển vị biến 
thiên theo quy luật hàm sin và kết quả tính 
theo lý thuyết bậc nhất đơn giản của Thai và 
Kim (2013) thể hiện trên bảng 1. 
Giá trị độ võng và ứng suất không thứ 
nguyên trong các ví dụ dưới đây tính theo Thai 
và Kim (2013), có dạng như sau: 
3
4
0
10. .
. ( ; )
2 2.
cE h a bw w
q a

; 
0
( ) . ( ; ; )
. 2 2
xx xx
h a bz z
q a
 
; 
0
( ) . ( ; ; )
. 2 2
yy yy
h a bz z
q a
 
; 
0
( ) . (0;0; )
.
xy xy
hz z
q a
 
; 
0
( ) . (0; ; )
. 2
xz xz
h bz z
q a
 
0
( ) . ( ;0; )
. 2
yz yz
h az z
q a
 
Qua so sánh độ võng không thứ nguyên tại 
tâm tấm chữ nhật FGM và các thành phần ứng 
suất với các chỉ số thể tích p = 0; 1; 10 của bài 
báo với kết quả giải tích tính theo Zenkour. 
(2006), Thai và Kim (2013) trên bảng 1 cho thấy 
các kết quả là tương đồng, như vậy nghiệm giải 
tích cũng như chương trình tính mà bài báo đã 
xây dựng là tin cậy. 
Ví dụ 2: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ lệ thể 
tích p đến độ võng 
Xét tấm vuông có tỉ số b/a = 1, a/h = 10. Độ 
võng tại tâm của tấm FGM với các chỉ số tỷ lệ 
thể tích p = 0; 0,5; 1; 2; 5; 10 cho trên bảng 2. Đồ 
thị độ võng của tấm tại mặt cắt x = a/2 với các 
giá trị p khác nhau biểu diễn trên hình 3. 
Bảng 1. Độ võng và các thành phần ứng suất lớn nhất không thứ nguyên 
của tấm vuông P- FGM liên kết khớp trên chu vi 
Mô hình 
Chỉ số 
tỉ lệ 
thể 
tích p 
Tỉ số b/a = 1 
Tỉ số a/h = 10 
( / 2; / 2)w a b ( / 2) xx h ( / 3) yy h ( / 3) xy h ( / 6) yz h (0) xz 
SSDT (Zenkour, 2006) 0 0.4665 2.8932 1.9103 1.2850 0.4429 0.5115 
FSDT (Thai HT, 2013) 0.4666 2.8732 1.9155 1.2990 0.4004 0.4004 
Bài báo 0.4666 2.8913 1.9107 1.2858 0.3914 0.4953 
SSDT (Zenkour, 2006) 1 0.9287 4.4745 2.1692 1.1143 0.5441 0.5114 
FSDT (Thai HT, 2013) 0.9288 4.4407 2.1767 1.1218 0.4923 0.4004 
Bài báo 0.9288 4.4713 2.1698 1.1146 0.5012 4.4953 
SSDT (Zenkour, 2006) 10 1.5876 7.3689 1.2820 1.0694 0.4227 0.4552 
FSDT (Thai HT, 2013) 1.5697 7.2963 1.2953 1.0853 0.3074 0.2867 
Bài báo 1.5872 7.3625 1.2832 1.0705 0.3708 0.4377 
Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 
803 
Bảng 2. Độ võng ,2 2
 
 
 
a bw và độ võng không thứ nguyên ,2 2
 
 
 
a bw 
tại tâm của tấm FGM ( ; )2 2
a b
Độ võng 
[m] 
Tỉ số 
a/h 
Tỉ số a/b=1 
Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 
0 0.5 1 2 5 10 
,
2 2
a bw   
  
10 
-1.2E-05 -1.9E-05 -2.4E-05 -3.1E-05 -3.8E-05 -4.2E-05 
,
2 2
a bw   
  
0.4666 0.7154 0.9288 1.194 1.4349 1.5872 
Hình 3. Biểu đồ độ võng của tấm tại mặt cắt x = a/2 
với các chỉ số tỉ lệ thể tích p thay đổi 
Từ bảng 2 và hình 3 ta có thể thấy rằng khi 
chỉ số thể tích p tăng lên thì độ cứng của tấm 
giảm do đó làm cho độ võng của tấm tăng lên. 
Ví dụ 3: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số a/h 
đến độ võng 
Xét tấm vuông (b/a=1), với các tỷ số a/h = 5; 
10; 15; 20; 25; 30; 40; 50. Độ võng không thứ 
nguyên tại tâm tấm FGM với p = 0; 2; 5; 10 cho 
trên bảng 3. Đồ thị độ võng không thứ nguyên 
tại tâm của tấm biến thiên theo tỉ số a/h biểu 
diễn trên hình 4. 
Từ bảng 3 và hình 4 ta có thể thấy rằng khi 
tỉ số a/h tăng thì độ võng không thứ nguyên của 
tấm FGM giảm. Khi chỉ số thể tích p tăng lên 
thì độ cứng của tấm giảm làm cho độ võng 
không thứ nguyên tại tâm tấm FGM tăng lên. 
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x 10-5
y [m]
D
o 
vo
ng
 c
ua
 T
am
 [m
]
p=0 [Ceramic]
p=0.5
p=1
p=2
p=5
p=10
Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 
đơn giản 
804 
Bảng 3. Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm vuông với các tỷ số a/h 
a/h b/a 
Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm ( / 2; / 2)w a b 
Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 
0 2 5 10 
5 1 0.5354 1.3538 1.6929 1.9059 
10 0.4666 1.1940 1.4349 1.5872 
15 0.4538 1.1643 1.3870 1.5280 
20 0.4494 1.1539 1.3703 1.5073 
25 0.4473 1.1491 1.3625 1.4977 
30 0.4462 1.1465 1.3583 1.4925 
40 0.4450 1.1439 1.3541 1.4873 
50 0.4445 1.1427 1.3521 1.4849 
Hình 4. Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm vuông FGM biến thiên theo a/h 
Ví dụ 4: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số b/a 
đến độ võng 
Xét tấm hình chữ nhật FGM có tỷ số 
a/h = 5. Đồ thị biến thiên của độ võng 
không thứ nguyên tại tâm của tấm với các 
tỷ số kích thước cạnh b/a và chỉ số tỷ lệ thể 
tích p khác nhau (p = 0; 2; 10) được biểu 
diễn trên hình 5. 
Ta nhận thấy rằng độ võng tăng nhanh khi 
tỷ số b/a trong khoảng 1 ÷ 4, tốc độ tăng của độ 
võng giảm dần khi tỷ số b/a > 4. Chỉ số thể tích 
p tăng thì độ võng cũng tăng. 
Ví dụ 5: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ lệ thể 
tích p đến thành phần ứng suất 
 Bảng 4 thể hiện giá trị ứng suất lớn nhất 
không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM có tỷ 
số kích thước cạnh b/a = 2 và tỷ số a/h = 10 với 
các chỉ số tỷ lệ thể tích p = 0; 0.5; 1; 2; 5; 10. Đồ 
thị các thành phần ứng suất thay đổi theo tọa 
độ chiều dày tấm thể hiện trên hình 6, 7 và 8. 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
D
o 
vo
ng
 k
ho
ng
 th
u 
ng
uy
en
 (a
/2
;b
/2
)
a/h
p=0
p=2
p=5
p=10
Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 
805 
Hình 5. Độ võng không thứ nguyên tại tâm 
của tấm chữ nhật FGM biến thiên theo b/a 
Bảng 4. Các thành phần ứng suất của tấm FGM với các chỉ số tỷ lệ thể tích p 
Các thành phần 
ứng suất tỉ số a/h 
tỉ số b/a=2 
Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 
0 0.5 1 2 5 10 
( / 2)xx h 
10 6.1268 8.0412 9.4731 11.0477 13.006 15.5874 
( / 3)yy h 1.8512 2.0581 2.1028 1.9730 1.5654 1.2468 
( / 3)xy h  1.8369 1.7991 1.5904 1.4154 1.4955 1.5309 
Hình 6. Ứng suất xx biến thiên theo chiều dày tấm với các giá trị p 
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 105
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
sigma xx [MPa]
z/
h
Ceramic(p=0)
p=0.5
p=1
p=2
p=5
p=10
Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 
đơn giản 
806 
Hình 7. Ứng suất xy

biến thiên theo chiều dày tấm với các giá trị p 
Hình 8. Ứng suất xz biến thiên theo chiều dày tấm với các giá trị p 
Ta thấy khi p = 0 (vật liệu đẳng hướng 
ceramic) thì phân bố các thành phần ứng suất 
pháp , ,
2 2xx
a b z   
 
 và  0,0,xy z là tuyến tính 
theo chiều dày. Với các chỉ số tỉ lệ thể tích 0p  
biểu đồ ứng suất xx và xy là đường cong phi 
tuyến. Biểu đồ ứng suất cắt ngang xz là đường 
cong phi tuyến thỏa mãn điều kiện ứng suất 
tiếp tại mặt trên và dưới của tấm bằng không. 
-8 -6 -4 -2 0 2 4
x 104
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
sigma xy [MPa]
z/
h
Ceramic(p=0)
p=0.5
p=1
p=2
p=5
p=10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
sigma xz [MPa]
z/
h
Ceramic(p=0)
p=0.5
p=1
p=2
p=5
p=10
Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 
807 
3.2. Phân tích dao động riêng 
Ví dụ 6: Kiểm chứng độ tin cậy của thuật 
toán và chương trình tính 
Xét tấm FGM với kích thước tấm: h = 0.01 
(m); b/a = 1. Tần số dao động riêng không thứ 
nguyên tính theo Thai và Kim (2013): 
h /c cE   
Tần số dao động riêng không thứ nguyên 
với các tỉ số kích thước a/h = 5; 20 và các dạng 
dao động (m, n) khác nhau tính theo nghiệm 
giải tích của bài báo thể hiện trên bảng 5. Kết 
quả này được so sánh với tần số dao động riêng 
không thứ nguyên của Hossein-Hashemi et al. 
(2010) tính theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 
nhất (FSDT) cũng bằng phương pháp giải tích. 
Biến thiên của tần số dao động riêng cơ bản 
(m = n = 1) không thứ nguyên theo tỉ số a/h với 
các chỉ số tỉ lệ thể tích p = 0; 1; 10 biểu diễn trên 
hình 9. 
Từ bảng 5 và đồ thị trên hình 9 ta thấy tần 
số dao động riêng của tấm FGM tính theo 
nghiệm giải tích của bài báo với kết quả giải 
tích của Hossein-Hashemi et al. (2010) có sai 
khác nhỏ (lớn nhất là 4.23%). Như vậy nghiệm 
giải tích và chương trình tính mà bài báo xây 
dựng là tin cậy. 
Bảng 5. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông FGM biên khớp 
Tỉ số 
a/h 
Mô hình (m,n) 
Tỉ số b/a=1 
Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 
0 0.5 1 4 10 
5 FSDT (Hosseini, 2010) (1,1) 0.2112 0.1805 0.1631 0.1397 0.1324 
Bài báo 0.2149 0.1834 0.1655 0.1411 0.1337 
FSDT (Hosseini, 2010) (1,2) 0.4618 0.3978 0.3604 0.3049 0.2856 
Bài báo 0.4773 0.4102 0.3707 0.311 0.2912 
FSDT (Hosseini, 2010) (2,2) 0.6676 0.5779 0.5245 0.4405 0.4097 
Bài báo 0.6971 0.6018 0.5446 0.4524 0.4203 
20 FSDT (Hosseini, 2010) (1,1) 0.0148 0.0125 0.0113 0.0098 0.0094 
Bài báo 0.0148 0.0126 0.0113 0.0098 0.0094 
Hình 9. Tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  biến thiên 
theo tỷ số a/h với các chỉ số tỉ lệ thể tích p thay đổi 
Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 
đơn giản 
808 
Ví dụ 7: Khảo sát ảnh hưởng của p đến tần 
số dao động riêng không thứ nguyên 
Xét tấm chữ nhật FGM có a/h = 10; b/a = 2. 
Tần số dao động riêng không thứ nguyên của 
tấm theo nghiệm giải tích với chỉ số thể tích p = 
0; 0.5; 1; 4; 10 được cho trên bảng 6. Quan hệ 
giữa tần số dao động riêng không thứ nguyên  
và chỉ số thể tích p được biểu diễn trên hình 10. 
Từ bảng 6 và hình 10 ta thấy rằng khi chỉ 
số thể tích p tăng lên hay nói cách khác khi hàm 
lượng của gốm - Al2O3 trong vật liệu FGM giảm 
thì tần số dao động riêng của tấm giảm. 
Ví dụ 8: Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h 
đến tần số dao động riêng không thứ 
nguyên 
Xét tấm chữ nhật FGM với các tính chất vật 
liệu như trên và có tỉ lệ kích thước b/a = 2, chỉ số 
thể tích p = 10. Tần số dao động riêng của tấm 
với các tỉ số a/h khác nhau thể hiện trên bảng 7 
và biểu diễn bằng đồ thị trên hình 11. 
Bảng 6. Tần số dao động riêng của tấm FGM (a/h=10); (b/a=2) 
Tần số 
dao động riêng KTN tỉ số a/h (m,n) 
Tỉ số b/a = 2 
Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 
0 0.5 1 4 10 
 10 (1,1) 0.0366 0.0311 0.028 0.0243 0.0232 
(1,2) 0.058 0.0492 0.0444 0.0384 0.0367 
(2,2) 0.1393 0.1186 0.107 0.0917 0.0873 
Hình 10. Tần số dao động riêng không thứ nguyên  
biến thiên theo chỉ số tỉ lệ thể tích p 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Ta
n 
so
 D
D
R
 k
ho
ng
 th
u 
ng
uy
en
Chi so the tich p
m=1,n=1
m=1,n=2
m=2,n=2
Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 
809 
Bảng 7. Tần số dao động riêng của tấm FGM (với p = 10; b/a = 2) 
Tần số dao 
động riêng 
KTN 
Chỉ số tỉ lệ thể 
tích (p) (m,n) 
Tỉ số b/a=2 
tỉ số a/h 
5 10 20 50 
 10 (1,1) 0.0873 0.0232 0.0059 0.0001 
(1,2) 0.1337 0.0367 0.0094 0.0015 
(2,2) 0.2912 0.0873 0.0232 0.0038 
Hình 11. Tần số dao động không thứ nguyên  khi a/h thay đổi 
Quan sát đồ thị trên hình 11 ta thấy khi tỷ 
số a/h tăng lên thì tần số dao động riêng không 
thứ nguyên của tấm FGM giảm. 
Ví dụ 9: Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số b/a 
đến tần số dao động riêng không thứ 
nguyên 
 Xét tấm chữ nhật FGM có tỷ số chiều dày 
a/h=5, chỉ số thể tích p=10. Tần số dao động 
riêng không thứ nguyên của tấm theo nghiệm 
giải tích được cho trên bảng 8. 
Từ biểu đồ trên hình 12 ta thấy khi tỷ số 
b/a tăng lên thì tần số dao động không thứ 
nguyên của tấm  giảm. 
Bảng 8. Tần số dao động riêng của tấm FGM (p=10); (a/h=5) 
Tần số dao động 
riêng KTN 
Chỉ số tỉ lệ 
thể tích (p) (m,n) 
Tỉ số a/h=5 
tỉ số b/a 
1 1.5 2 2.5 3 
 10 (1,1) 0.1337 0.0997 0.0873 0.0815 0.0783 
(1,2) 0.2912 0.1783 0.1337 0.1119 0.0997 
(2,2) 0.4203 0.3268 0.2912 0.2741 0.2646 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Ta
n 
so
 D
D
R
 k
ho
ng
 th
u 
ng
uy
en
Ti so a/h
m=1,n=1
m=1,n=2
m=2,n=2
Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 
đơn giản 
810 
Hình 12. Tần số dao động không thứ nguyên  khi b/a thay đổi 
4. KẾT LUẬN 
Bằng chương trình tính toán số được viết 
trên nền Matlab, tiến hành khảo sát số các lớp 
bài toán, kết quả tính theo nghiệm giải tích mà 
bài báo nêu đã được so sánh với các kết quả của 
một số tác giả khác trong tài liệu tham khảo cho 
thấy độ tin cậy của lời giải. 
 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p, tỉ số 
kích thước b/a, tỉ số a/h đến độ võng, ứng suất 
và tần số dao động riêng của tấm FGM đã được 
khảo sát. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Javaheri R., Eslami M.R. (2002). Buckling of 
functionally graded plates under in-plane 
compressive loading, J. Appl. Math. Mech., 82(4): 
277-283. 
Zhang D.G., Zhou Y.H. (2008). A theoretical analysis 
of FGM thin plates based on physical neutral 
surface, Comput. Mater. Sci., 44(2): 716-720. 
Mohammadi M., Saidi A.R., Jomehzadeh E. (2010). 
Levy solution for buckling analysis of functionally 
graded rectangular plates, Appl. Compos. Mater., 
17(2): 81-93. 
Bodaghi M., Saidi A.R. (2011). Stability analysis of 
functionally graded rectangular plates under 
nonlinearly varying in-plane loading resting on 
elastic foundation, Arch. Appl. Mech., 81(6): 765-
780. 
Della Croce L., Venini P. (2004). Finite elements for 
functionally graded Reissner-Mindlin plates, 
Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 193(9-11): 
705-725. 
Ganapathi M., Prakash T., Sundararajan N. (2006). 
Influence of functionally graded material on 
buckling of skew plates under mechanical loads, J. 
Eng. Mech., 132(8): 902-905. 
Zhao X., Liew K.M. (2009). Geometrically nonlinear 
analysis of functionally graded plates using the 
element-free kp-Ritz method, Comput. Methods 
Appl. Mech. Eng., 198(33-36): 2796-2811. 
Zhao X., Lee Y.Y., Liew K.M. (2009). Free vibration 
analysis of functionally graded plates using the 
element-free kp-Ritz method, J. Sound Vib., 
319(3-5): 918-939. 
Lee Y.Y., Zhao X., Reddy J.N. (2010). Postbuckling 
analysis of functionally graded plates subject to 
compressive and thermal loads, Comput. Methods 
Appl. Mech. Eng., 199(25-28): 1645-1653. 
Hosseini-Hashemi S., Rokni Damavandi Taher H., 
Akhavan H., Omidi M. (2010). Free vibration of 
functionally graded rectangular plates using first-
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Ta
n 
so
 D
D
R
 k
ho
ng
 th
u 
ng
uy
en
Ti so b/a
m=1,n=1
m=1,n=2
m=2,n=2
Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 
811 
order shear deformation plate theory, Appl. Math. 
Model., 34(5): 1276-1291. 
Hosseini-Hashemi S., Fadaee M., Atashipour S.R. 
(2011). A new exact analytical approach for free 
vibration of Reissner-Mindlin functionally graded 
rectangular plates, Int. J. Mech. Sci., 53(1): 11-22. 
Reddy JN. (2000). Analysis of functionally graded plates, 
Int. J. Numer. Methods Eng., 47(1-3): 663-684. 
Karama M., Afaq K.S., Mistou S. (2003). Mechanical 
behaviour of laminated composite beam by the 
new multi-layered laminated composite structures 
model with transverse shear stress continuity, Int. 
J. Solids Struct., 40(6): 1525-1546. 
ZenkourA.M. (2005). A comprehensive analysis of 
functionally graded sandwich plates: Part 1-
Deflection and stresses, Int. J. Solids Struct., 42 
(18-19): 5224-5242. 
Zenkour A.M. (2005). A comprehensive analysis of 
functionally graded sandwich plates: Part 2-
Buckling and free vibration, Int. J. Solids Struct., 
42(18-19): 5243-5258. 
Zenkour A.M. (2006). Generalized shear deformation 
theory for bending analysis of functionally graded 
plates, Appl. Math. Model., 30 (1): 67-84 
Benyoucef S., Mechab I., Tounsi A., Fekrar A., Ait 
Atmane H., Adda Bedia E.A. (2010). Bending of 
thick functionally graded plates resting on 
Winkler-Pasternak elastic foundations, Mech. 
Compos. Mater., 46(4): 425-434. 
Atmane H.A., Tounsi A., Mechab I., Adda Bedia E.A. 
(2010). Free vibration analysis of functionally 
graded plates resting on Winkler-Pasternak elastic 
foundations using a new shear deformation theory, 
Int. J Mech. Mater. Design, 6(2): 113-121. 
Mantari J. L., Oktem A.S., Guedes Soares C. (2012). 
Bending response of functionally graded plates by 
using a new higher order shear deformation theory, 
Compos. Struct., 94(2): 714-723. 
Pradyumna S, Bandyopadhyay JN. (2008). Free 
vibration analysis of functionally graded curved 
panels using a higher-order finite element 
formulation, J. Sound. Vib., 318(1-2): 176-192. 
Neves AMA., Ferreira AJM., Carrera E, Roque CMC, 
Cinefra M, Jorge RMN et al. (2012). A quasi-3D 
sinusoidal shear deformation theory for the static 
and free vibration analysis of functionally graded 
plates, Compos. Part B: Eng., 43(2): 711-25. 
Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Cinefra M, 
Roque CMC, Jorge RMN et al. (2012). A quasi-
3D hyperbolic shear deformation theory for the 
static and free vibration 
analysis of functionally graded plates. Compos. 
Struct, 94(5): 1814-25. 
Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E et al. (2012). 
Static, free vibration and buckling analysis of 
isotropic and sandwich functionally graded plates 
using a quasi-3D higher-order shear deformation 
theory and a meshless technique, Compos. Part B: 
Eng., 44(1): 657-674. 
Reddy JN (2011). A general nonlinear third-order 
theory of functionally graded plates, Int. J. Aeros. 
Lightw.Struct., 1(1): 1-21 
Talha M, Singh BN. Static response and free vibration 
analysis of FGM plates using higher order shear 
deformation theory, Appl. Math. Modell, 34(12): 
3991-4011. 
Thai HT, Kim SE (2010). Free vibration of laminated 
composite plates using two variable refined plate 
theory, Int J Mech Sci., 52(4): 626-33. 
Thai HT, Kim SE (2013). A simple higher-order 
shear deformation theory for bending and free 
vibration analysis of functionally graded plates, 
Composite Structures, 96: 165-173. 
Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 
đơn giản 
812 
PHỤ LỤC 
1. Các hệ số của phương trình (15), (16): 
2
2
h
ij ij
h
A Q dz

  ; 
2
2
h
ij ij
h
B Q zdz

  ; 
2
2
2
h
ij ij
h
D Q z dz

  
32
2
2
4
3
h
ij ij
h
zF Q dz
h

  ; 
42
2
2
4
3
h
ij ij
h
zG Q dz
h

  ; 
232
2
2
4
3
h
ij ij
h
zH Q dz
h

 
  
 
 , (i, j = 1,2,6) 
2. Các ma trận của phương trình (21), (22), (23): 
 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
s s s s
s s s s
S
s s s s
s s s s
 
 
 
 
 
  
Với: 
2 2
11 11 66s A A    ; 12 12 66(s A A   ; 
2 2
13 11 )s B     
2 2
13 11 )s F     ;
2 2
22 66 11s A A    ; 
2 2
23 11 )s B     
2 2
24 11 )s F     ;
2 2 2
33 11 )s D    ; 
2 2 2
34 11 )s G    
2 2 2 2 2 2
44 11 44) )s H A        
 
11 13 14
22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
0
0
m m m
m m m
M
m m m m
m m m m
 
 
 
 
 
  
Với: 
11 12 0m m I  ; 13 1m I  ; 14 1m cI  
23 1m I  ; 24 3m cI  ; 
2 2
33 0 2 ( )m I I     
2 2
34 0 4 ( )m I cI     ; 
2 2 2
44 0 6 ( )m I c I     
và 2
4
3
c h 
 
mn
mn
bmn
smn
U
V
Q
W
W
 
 
 
  
 
  
;  
0
0
mn
mn
q
q
q
 
 
 
  
 
  