Bài giảng Xác suất thông kê - Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên - Nguyễn Ngọc Phụng

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Nguyễn Ngọc Phụng
-
Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM
ĐT: 0989 969 057
E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com
phungvl@yahoo.com
10-10-2010
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
1 Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Mode
Định nghĩa
Định nghĩa (Mode)
Mode của bnn X, kí hiệu là Mod(X).
Nếu X là bnnrr: ModX là giá trị mà X có khả năng nhận được cao
nhất trong 1 phép thử.
ModX = xk ⇔ pk = maxi∈I pi
Nếu X là bnnlt: ModX là giá trị mà hàm mật độ xác suất ở đó đạt
cực đại.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Mode
Ví dụ
Ví dụ:
1 Cho bnnrr X có ppxs:
X 1 2 3 4
P 0, 25 0, 15 0, 5 0, 1
Xác định ModX.
2 Cho bnnlt X có đồ thị của hàm mật độ xác suất như sau:
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Mode
Ví dụ
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Median
Định nghĩa
Định nghĩa (Median)
Median của bnn X, kí hiệu là Med(X), là giá trị trung vị của bnn X, là
giá trị chia đôi phân phối xác suất của X.
Nếu X là bnnrr: MedX = x0 ⇔ P(X x0) ≤ 0, 5
Nếu X là bnnlt: MedX = x0 ⇔ P(X < x0) = 0, 5
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Định nghĩa
Định nghĩa (Kỳ vọng)
Kỳ vọng của bnn X, kí hiệu là E(X), là giá trị trung bình theo xác suất
của bnn X.
Thực hiện n phép thử độc lập. Gọi X1, . . . ,Xn là kết quả của X ở phép
thử thứ n. Khi đó EX = lim
n→∞
X1+X2+···+Xn
n
Nếu X là bnnrr:
E(X) =
∑
i∈I
xi.pi = x1.p1 + x2.p2 + . . .+ xi.pi + . . .
Nếu X là bnnlt: E(X) =
+∞∫
−∞
xf(x)dx
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Ví dụ
Ví dụ:
1 Cho bnnrr X có bảng ppxs như sau:
X 0 1 2
P 0, 2 0, 5 0, 3
Xác định EX.
2 Cho bnn X có hàm mật độ xác suất
f(x) =
{
2x , x ∈ [0; 1]
0 , x /∈ [0; 1]
Xác định EX.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Ví dụ
1
2
3 Một người đánh số đề bỏ ra t (đồng) đánh một số có 2 chữ số ab mà
người đó dự đoán sẽ ra ở Giải tám của đài X ngày hôm đó (đánh số
đầu). Nếu chiều hôm đó đài X xổ số ab cho Giải tám thì người đó sẽ
nhận lại được 70.t (đồng), nếu không thì người đó sẽ mất số tiền đã
chơi. Tính kỳ vọng số tiền người đó ăn được, giả sử không có gian
lận trong quá trình quay số.
4 Cho biết trò chơi Roulette trong Casino như sau:
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Ví dụ
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Tính chất
Tính chất (1)
E(C) = C;∀C ∈ R
Tính chất (2)
E(X+ Y) = E(X) + E(Y)
Tính chất (3)
E(k.X) = k.E(X);∀k ∈ R.
⇒ E(aX+ bY) = aEX+ bEY,∀a, b ∈ R
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Tính chất
Tính chất (4)
Nếu X, Y là 2 bnn độc lập thì E(X.Y) = E(X).E(Y).
Tính chất (5)
Nếu X, Y là 2 bnn với X ≥ Y thì E(X) ≥ E(Y).
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Tính chất
Tính chất (6)
Nếu X là bnnrr thì
E(ϕ(X)) =
∑
i∈I
ϕ(xi)pi = ϕ(x1)p1 + . . .+ ϕ(xi)pi + . . .
Từ đó ta được E(X2) =
∑
i∈I x2i pi = x21p1 + x22p2 + . . .+ x2i pi + . . .
Tính chất (7)
Nếu X là bnnlt thì E(ϕ(X)) =
+∞∫
−∞
ϕ(x)f(x)dx
Từ đó ta được E(X2) =
+∞∫
−∞
x2f(x)dx
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Kỳ vọng
Ví dụ
Ví dụ:
1 Cho X là bnnrr có ppxs như sau:
X 0 1 2
P 0, 2 0, 5 0, 3
a) Tính E(X2 − X+ 1).
b) Cho biết Y là bnn độc lập với X và EY = 10. Tính E(2XY−3Y+5).
2 Cho bnnlt X có hàm mật độ xác suất f(x) =
{
2x , x ∈ [0; 1]
0 , x /∈ [0; 1] . Xác
định E(X2 − X+ 1).
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Phương sai
Định nghĩa
Định nghĩa (Phương sai)
Phương sai của bnn X, kí hiệu là Var(X): VarX = E(X− EX)2. Là giá trị
trung bình theo xác suất của bình phương độ lệch của X so với EX.
Phương sai của X cho biết mức độ phân tán các giá trị của X so với
kỳ vọng của nó. Trong kinh tế, phương sai dùng để đánh giá độ rủi
ro của các quyết định. Trong kỹ thuật, phương sai dùng để đánh giá
sai số của các thiết bị.
Trong tính toán ta sử dụng công thức: VarX = E(X2)− (EX)2.
Tuy nhiên, do phương sai không cùng thứ nguyên với X nên ta đặt
σ(X) =
√
VarX, được gọi là độ lệch chuẩn của X.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Phương sai
Minh họa
Cho biết bnn X có hàm mật độ xác suất f(x) = 1
σ
√
2pie
− (x−µ)2
2σ2 có EX = µ
và VarX = σ2. Hình vẽ sau đây sẽ minh họa về sự phân bố giá trị của X
với các giá trị phương sai khác nhau.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Phương sai
Minh họa
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Phương sai
Ví dụ
Ví dụ:
1 Cho bnnrr X có bảng ppxs như sau: X 0 1 2P 0, 2 0, 5 0, 3 . Xác định
VarX.
2 Cho bnnlt X có hàm mật độ xác suất f(x) =
{
2x , x ∈ [0; 1]
0 , x /∈ [0; 1] . Xác
định VarX.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Phương sai
Tính chất
Tính chất (1)
Var(C) = 0,∀C ∈ R
Tính chất (2)
Var(k.X) = k2.Var(X),∀k ∈ R
Tính chất (3)
Nếu X, Y là 2 bnn độc lập thì Var(X+ Y) = Var(X) + Var(Y)
⇒ Var(X+ C) = VarX,∀C ∈ R
Var(aX+ bY) = a2.VarX+ b2VarY,∀a, b ∈ R
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mode
Median
Kỳ vọng
Phương sai
Phương sai
Ví dụ
Ví dụ:
1 Cho 2 bnn độc lập X, Y với VarX=5 và VarY=2. Tính Var(2X-3Y+5).
2 Cho 2 bnn độc lập X,Y với EX=1, EY=2, EX2 = 2,EY2 = 3. Tính
Var(XY).
3 Năng suất của 2 máy tương ứng là bnn X, Y (sp/phút) có ppxs như
sau
X 1 2 3 4
P 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2
Y 2 3 4 5
P 0, 3 0, 3 0, 2 0, 1
Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, ta nên chọn mua máy
nào?
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ