Bài giảng Xác suất thông kê - Các phân phối xác suất thông dụng - Nguyễn Ngọc Phụng

Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Nguyeãn Ngoïc Phuïng
-
Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
ÑT: 0989 969 057
E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com
phungvl@yahoo.com
10-10-2010
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Ñònh nghóa (Normal Distribution)
Bnn X coù phaân phoái chuaån, ñöôïc kí hieäu X ∼ N(µ;σ2), coù haøm mñxs
f(x, µ, σ) = 1
σ
√
2pie
− (x−µ)2
2σ2
1 X(Ω) = R
2 ModX = EX = µ
3 VarX = σ2
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Ñoà thò haøm f(x,4,1)
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Ñònh nghóa (Standard Normal Distribution)
Tröôøng hôïp µ = 0, σ = 1 ta ñöôïc X ∼ N(0; 1). Khi ñoù X coù phaân phoái
chuaån chuaån taéc vôùi haøm mñxs f(x) = 1√2pie
− x22 (Haøm Gauss)
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Ñoà thò cuûa haøm Gauss
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Haøm ϕ(x) =
x∫
0
f(t)dt (Haøm Laplace). Ñoà thò cuûa haøm Laplace
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Neáu X ∼ N(0; 1) : P(a ≤ X ≤ b) =
b∫
a
f(x)dx = ϕ(b)− ϕ(a)
Neáu X ∼ N(µ;σ2) : P(a ≤ X ≤ b) = P( a−µσ ≤ X−µσ ≤ b−µσ ) =
ϕ( b−µσ )− ϕ( a−µσ )
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Moät soá löu yù:
1 f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 8
2 f(−x) = f(x), ∀x
3 ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 5
4 ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x
5 ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, 5
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Ví duï: Moät trang traïi troàng thöû nghieäm 2 gioáng taùo A vaø B cho thaáy taùo
thu hoaïch cuûa 2 gioáng naøy coù ñöôøng kính toái ña laàn löôït tuaân theo phaân
phoái chuaån N(8,35;48,65)(cm) vaø N(8,21;12,26)(cm). Taùo loaïi I laø taùo coù
ñöôøng kính toái ña khoâng nhoû hôn laø 8cm. Haõy cho bieát gioáng taùo naøo cho
tæ leä taùo loaïi I cao hôn?
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Quy taéc nσ
Cho bnn X ∼ N(µ;σ2)
n=2: P(|X− µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 0, 9545%
n=3: P(|X− µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 0, 9973%
n=6: P(|X− µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 0, 99999999803%
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Phaân phoái nhò thöùc
Ñònh nghóa (Binomial Distribution)
Thöïc hieän n pheùp thöû ñoäc laäp, cho bieát bieán coá A xaûy ra ôû moãi pheùp thöû
vôùi xaùc suaát khoâng ñoåi laø p.
Goïi X laø soá laàn bieán coá A xaûy ra trong soá n pheùp thöû. Khi ñoù X coù phaân
phaân phoái nhò thöùc, kí hieäu X ∼ B(n; p). Tröôøng hôïp n=1, ta ñöôïc phaân
phoái Bernoulli.
Ta coù
1 X(Ω) = {0..n}
2 P(X = k) = Cknpkqn−k vôùi k ∈ X{Ω}, q = 1− p
3 EX = np
4 VarX = npq
5 ModX = n0 vôùi (n+ 1)p− 1 ≤ n0 ≤ (n+ 1)p
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Phaân phoái nhò thöùc
Ví duïï:
Moät ngöôøi moãi ngaøy ñi baùn haøng ôû 5 nôi khaùc nhau. Xaùc suaát baùn ñöôïc
haøng ôû moãi nôi laø 0,3.
a. Tính xaùc suaát ngöôøi ñoù baùn ñöôïc haøng trong moät ngaøy.
b. Trung bình moãi naêm ngöôøi ñoù ñi baùn haøng 300 ngaøy. Tìm soá ngaøy
baùn ñöôïc haøng nhieàu khaû naêng nhaát trong moät naêm cuûa ngöôøi ñoù.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù (Poisson)
Xeùt moät daõy bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp {Xn} : Xn ∼ B(n; p(n)),np(n) = λ.
Khi ñoù Xn
F→P(λ).
Trong ñoù P(λ) laø phaân phoái Poisson vôùi thoâng soá λ. X ∼ P(λ) thoûa
1 X(Ω) = N
2 P(X = k) = e−λ.λ
k
k!
3 EX = λ
4 VarX = λ
5 ModX = n0 vôùi λ− 1 ≤ n0 ≤ λ
Ñieàu naøy coù nghóa trong thöïc haønh khi X ∼ B(n; p) vôùi n ñuû lôùn vaø p khaù
nhoû sao cho np < 5 thì ta coù theå xaáp xæ X ∼ P(λ) vôùi λ = np
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc baèng phaân phoái Poisson
Ví duïï:
Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm töï ñoäng vôùi khaû naêng saûn xuaát ra moät pheá
phaåm ôû moãi laàn saûn xuaát laø 0, 1%. Cho maùy naøy saûn xuaát 1000 saûn
phaåm. Tính xaùc suaát
a. Coù ñuùng 2 pheá phaåm trong soá ñoù.
b. Coù ít nhaát 5 pheá phaåm trong soá ñoù.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù (Moivre-Laplace)
Xeùt moät daõy bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp {Xn} : Xn ∼ B(n; p). Khi ñoù
X F→N(µ;σ2) vôùi µ = np, σ = √npq
Ñieàu naøy coù nghóa trong thöïc haønh khi X ∼ B(n; p) vôùi n ñuû lôùn sao cho
np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta coù theå xaáp xæ X ∼ N(µ;σ2)
1 P(X = k) ≈ 1σ f( k−µσ )
2 P(k1 ≤ X < k2) ≈ ϕ( k2−µσ )− ϕ( k1−µσ )
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ