Bài giảng Xử lý tin hiệu số - Chương 2: Tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian - Đinh Đức Anh Vũ

nh trục k=0
2. Dịch: h(–k) → h(–k + n0) : dịch h(–k) đi một đoạn 
n0 sang phải (trái) nếu n0 dương (âm)
3. Nhân: vn0(k) = x(k) h(–k + n0)
4. Cộng: tổng tất cả chuỗi vn0(k)
0 0( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
∞
=−∞
= −∑
H/t LTI – Tổng chập (2)
2011
dce
37DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Trong biểu thức tổng chập, nếu thay m=n–k (tức 
k=n–m), ta có
– Công thức này cho cùng kết quả như công thức tổng chập, 
nhưng thứ tự tính toán khác nhau
– Nếu vn(k) = x(k)h(n–k)
wn(k) = x(n–k)h(k)
⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m k
y n x n m h m x n k h k
∞ ∞
=−∞ =−∞
= − = −∑ ∑
vn(k) = wn(n–k)
H/t LTI – Tổng chập (3)
( ) ( ) ( )n n
k k
y n v k w n k
∞ ∞
=−∞ =−∞
= = −∑ ∑
2011
dce
38DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
H/t LTI – Tổng chập (4)
LTI: h(n)
x(n) y(n)
h(n) : Hàm đáp ứng xung đơn vị của hệ LTI 
∑
∞
−∞=
−=
=
k
knhkx
nhnxny
)()(
)(*)()(
∑
∞
−∞=
−=
=
k
khknx
nxnhny
)()(
)(*)()(
• Tóm tắt
2011
dce
39DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Giao hoán x(n)*h(n) = h(n)*x(n)
• Kết hợp [x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]
H/t LTI – Tính chất tổng chập
h(n)
x(n) y(n)
x(n)
h(n) y(n)
h1(n) h2(n)
h2(n) h1(n)Giao hoán
Kết hợp h(n) = h1(n)*h2(n)
2011
dce
40DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Ví dụ
• Xác định đáp ứng xung đơn vị của hệ thống 
được cấu trúc bằng cách nối tiếp của các hệ 
thống có đáp ứng xung đơn vị
1
1( ) ( ) ( )
2
nh n u n= 2
1( ) ( ) ( )
4
nh n u n=
2011
dce
41DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Phân phối
x(n)*[h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n)
– Ví dụ: dùng tổng chập, xác định đáp ứng của hệ thống
• x(n) = anu(n) và h(n) = bnu(n) trong cả 2 truờng hợp a=b và a≠b
• x(n) = {0, 1, 2^, 1, 1, 0} và h(n) = δ(n) – δ(n–1) + δ(n–4) + δ(n–5)
H/t LTI – Tính chất tổng chập
h1(n)
h2(n)
+
x(n) y(n)
Phân phối h(n) = h1(n) + h2(n)
x(n) y(n)
2011
dce
42DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Một hệ LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu các đáp ứng xung của nó bằng 0 
đối với các giá trị âm của n [tức, h(n) = 0, ∀n < 0]
– Chứng minh
• Ngõ xuất của h/t tại thời điểm n0
• Thành phần tổng thứ 2 bao gồm các t/h tương lai đối với n0. Hệ nhân quả nếu 
h(n)=0 ∀n < 0
Qui ước
– Chuỗi bằng 0 ∀n < 0 → chuỗi nhân quả
– Chuỗi khác 0 ∀n: n0 → chuỗi không nhân quả
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∞
= =−∞
= − = −∑ ∑
n
k k
y n h k x n k x k h n k
0 0
1
0 0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∞
=−∞
∞ −
= =−∞
= −
= − + −
∑
∑ ∑
k
k k
y n h k x n k
h k x n k h k x n k
H/t LTI – Tính nhân quả
2011
dce
43DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Nếu t/h nhập là chuỗi nhân quả [x(n) = 0, ∀n < 0]
– Đáp ứng của h/t nhân quả với chuỗi nhân quả là nhân quả 
[y(n) = 0, ∀n<0]
• Ví dụ: xác định đáp ứng của h/t có h(n)=(bn+1)u(n) 
đối với t/h x(n)=anu(n) 
– x(n) và h(n) đều là chuỗi nhân quả
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= =
= − = −∑ ∑
n n
k k
y n h k x n k x k h n k
H/t LTI – Tính nhân quả
2011
dce
44DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hệ LTI là ổn định nếu hàm đáp ứng xung đơn vị là khả tổng 
tuyệt đối
– Chứng minh
• Ví dụ: xác định tầm giá trị a, b sao cho hệ LTI sau ổn định
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
∞
=−∞
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
∞
=−∞

= −

 ≤
= − ≤ − ≤
≤ < ∞ = < ∞
∑
∑ ∑ ∑
∑
k
x
x
k k k
y h
k
y n x n k h k
Ta có
x n M
y n x n k h k x n k h k M h k
y n M n êu S h k
H/t LTI – Tính ổn định
0
( ) 1 1 0
1
n
n
a n
h n n
b n
 ≥
= − ≤ <
 < −
2011
dce
45DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hệ có đáp ứng xung hữu hạn – FIR (Finite-duration Impulse 
Response)
– h(n) = 0 ∀n: n < 0 và n ≥ M
– Hệ FIR có bộ nhớ độ dài M
• Hệ có đáp ứng xung vô hạn – IIR (Infinite-duration Impulse 
Response)
– Giả sử h/t có tính nhân quả
– Hệ IIR có bộ nhớ vô hạn
H/t LTI – FIR và IIR
1
0
( ) ( ) ( )
−
=
= −∑
M
k
y n h k x n k
0
( ) ( ) ( )
∞
=
= −∑
k
y n h k x n k
2011
dce
46DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Trung bình tích lũy của t/h x(n) trong khoảng 0 ≤ k ≤ n
– Việc tính y(n) đòi hỏi lưu trữ tất cả giá trị của x(k)
⇒ khi n tăng, bộ nhớ cần thiết cũng tăng
• Cách khác để tính y(n): đệ qui
• y(n0 – 1): điều kiện đầu
• H/t đệ qui là hệ có y(n) phụ thuộc không chỉ t/h nhập mà còn giá trị quá 
khứ của ngõ xuất
H/t RRTG – Đệ qui
0
1( ) ( )
1 =
=
+ ∑
n
k
y n x k
n
1
0
( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
1( ) ( 1) ( )
1 1
−
=
+ = + = − +
⇒ = − +
+ +
∑
n
k
n y n x k x n n yn x n
ny n y n x n
n n
x+
x Z–1
1
n+1
n
x(n) y(n)
2011
dce
47DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• H/t không đệ qui nếu y(n) = F[x(n), x(n–1), , x(n–M)]
• Khác nhau cơ bản giữa h/t đệ qui và h/t không đệ qui
• Ý nghĩa
– H/t đệ qui phải tính các giá trị ngõ xuất ở quá khứ trước
– H/t không đệ qui có thể xác định giá trị ngõ xuất ở thời điểm bất kỳ mà 
không cần tính giá trị ngõ xuất ở quá khứ
– Hệ đệ qui: hệ tuần tự
– Hệ không đệ qui: hệ tổ hợp
H/t RRTG – Không Đệ qui
F[x(n), x(n–1), , x(n–M)]
x(n) y(n) F[x(n), x(n–1), , x(n–M), 
y(n–1), y(n–2), , y(n–N)]
x(n) y(n)
Z-1
2011
dce
48DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tập con của h/t đệ qui và không đệ qui
• Ví dụ h/t đệ qui được mô tả bởi PTSP bậc 1: y(n) = ay(n–1) + x(n)
– Phương trình xuất nhập cho hệ LTI
– Tác động vào h/t t/h x(n) ∀n ≥ 0 và giả sử tồn tại y(–1)
y(0) = ay(–1) + x(0)
y(1) = ay(0) + x(1) = a2y(–1) + ax(0) + x(1)
y(n) = ay(n–1) + x(n) = an+1y(–1) + anx(0) + an-1x(1) +  + ax(n–1) + x(n)
Hoặc 
– Nếu h/t nghỉ tại n=0, bộ nhớ của nó bằng 0, do đó y(–1) = 0
• Bộ nhớ biểu diễn trạng thái h/t → h/t ở trạng thái 0 (đáp ứng trạng thái 0 hoặc đáp 
ứng cưỡng bức – yzs(n))
• Đây là tích chập của x(n) và h(n) = anu(n)
• Đáp ứng trạng thái 0 phụ thuộc bản chất h/t và t/h nhập
1
0
( ) ( 1) ( ) 0+
=
= − + − ∀ ≥∑
n
n k
k
y n a y a x n k n
0
( ) ( )
=
= −∑
n
k
zs
k
y n a x n k
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
49DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Nếu h/t không nghỉ [tức y(–1) ≠ 0] và x(n) = 0 ∀n: hệ thống 
không có t/h nhập
– Đáp ứng không ngõ nhập (hay đáp ứng tự nhiên) yzi(n)
– H/t đệ qui với điều kiện đầu khác không là hệ không nghỉ, tức nó vẫn 
tạo ra đáp ứng ngõ ra ngay cả khi không có t/h nhập (đáp ứng này do 
bộ nhớ của h/t) 
– Đáp ứng không ngõ nhập đặc trưng cho chính h/t: nó phụ thuộc bản 
chất h/t và điều kiện đầu
• Tổng quát
• Dạng tổng quát của PTSPTT HSH
– N: bậc của PTSP
1( ) ( 1)+= −nziy n a y
1 0
0
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1)
= =
= =
= − − + −
− = − ≡
∑ ∑
∑ ∑
N M
k k
k k
N M
k k
k k
y n a y n k b x n k
hoac
a y n k b x n k a
( ) ( ) ( )= +zi zsy n y n y n
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
50DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Xem lại các t/chất tuyến tính, bất biến thời gian và ổn định 
của h/t đệ qui được mô tả bằng PTSP TT HSH
– Hệ đệ qui có thể nghỉ hay không tùy vào điều kiện đầu
• Tuyến tính 
– Hệ là tuyến tính nếu nó thỏa
1. Đáp ứng toàn phần bằng tổng đáp ứng trạng thái không và đáp ứng không 
ngõ nhập y(n) = yzs(n) + yzi(n)
2. Nguyên tắc xếp chồng áp dụng cho đáp ứng trạng thái không (tuyến tính 
trạng thái không)
3. Nguyên tắc xếp chồng áp dụng cho đáp ứng không ngõ nhập (tuyến tính 
không ngõ nhập)
– Hệ không thoả một trong 3 đ/k trên là hệ phi tuyến
– Hệ đệ qui được mô tả bằng PTSP HSH thỏa cả 3 đ/k trên → tuyến tính
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
51DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: xét tính chất tuyến tính của hệ y(n) = ay(n–1) + x(n)
– Đ/k 1.
– Đ/k 2. 
• Giả sử x(n) = c1x1(n) + c2x2(n)
– Đ/k 3.
• Giả sử y(–1) = c1y1(–1) + c2y2(–1)
– Vậy y(n) tuyến tính
0
1
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( 1) 0
=
+

= − ∀ ≥ ⇒ = +
= − ∀ ≥ 
∑
n
k
zs
k zs zi
n
zi
y n a x n k n
y n y n y n
y n a y n
1 1 2 2
0 0
1 1 2 2
0 0
(1) (2)
1 2
( ) ( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
( ) ( )
= =
= =
= − = − + −
= − + −
= +
∑ ∑
∑ ∑
n n
k k
zs
k k
n n
k k
k k
zs zs
y n a x n k a c x n k c x n k
c a x n k c a x n k
c y n c y n
1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
(1) (2)
1 2
( ) ( 1) [ ( 1) ( 1)]
( 1) ( 1)
( ) ( )
+ +
+ +
= − = − + −
= − + −
= +
n n
zi
n n
zi zi
y n a y a c y c y
c a y c a y
c y n c y n
Z–1
+
a
x(n) y(n)
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
52DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Bất biến thời gian
– ak và bk là hằng số → PTSP HSH là bất biến theo thời gian
– H/t đệ qui được mô tả bằng PTSP HSH là LTI
• Ổn định
– H/t BIBO ổn định nếu và chỉ nếu với mọi ngõ nhập hữu hạn và mọi điều kiện đầu hữu 
hạn, đáp ứng của toàn h/t là hữu hạn
– Ví dụ: xác định giá trị a để h/t y(n) = ay(n–1) + x(n) ổn định
• Giả sử │x(n)│≤ Mx < ∞ ∀n ≥ 0
• n hữu hạn ⇒ My hữu hạn và y(n) hữu hạn độc lập với giá trị a
• Khi n→∞, My hữu hạn chỉ nếu │a│< 1 ⇒ My = Mx/(1 – │a│)
• Vậy h/t chỉ ổn định nếu │a│< 1
1 1
0 0
1
1
1
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( 1)
1
( 1)
1
+ +
= =
+
+
+
= − + − ≤ − + −
≤ − +
−
≤ − + ≡
−
∑ ∑
∑
n n
n k n k
k k
n k
x
n
n
x y
y n a y a x n k a y a x n k
a y M a
a
a y M M
a
H/t LTI RRTG – PT sai phân hệ số hằng
2011
dce
53DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Xác định biểu thức chính xác của y(n) khi biết x(n) 
(n≥0) và tập các đ/k đầu
• 2 phương pháp
– Gián tiếp: biến đổi Z
– Trực tiếp
• Phương pháp trực tiếp
– Đáp ứng toàn phần y(n) = yh(n) + yp(n)
• yh(n): đáp ứng thuần nhất, không phụ thuộc x(n) (x(n) = 0)
• yp(n): đáp ứng riêng phần, phụ thuộc x(n)
Giải PT sai phân tuyến tính hệ số hằng
2011
dce
54DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Giả sử x(n) = 0
• Cách giải PTSP TT HSH tương tự cách giải PT vi phân TT HSH
– Giả sử đáp ứng có dạng yh(n) = λn
⇒
hoặc
Biểu thức trong ngoặc đơn: đa thức đặc trưng của h/t
– PT này có N nghiệm λ1, λ2, , λN
– Dạng tổng quát nhất của nghiệm PTSP thuần nhất (giả sử các nghiệm 
đơn riêng biệt)
Ci có thể được xác định nhờ vào các đ/k đầu của h/t
– Nếu λ1 là nghiệm bội bậc m, 
– PT này có thể được dùng để xác định đáp ứng không ngõ nhập của h/t 
(bởi vì x(n) = 0)
0
( ) 0
=
− =∑
N
k
k
a y n k
( )
0
0λ −
=
=∑
N
n k
k
k
a
1 2
1 2 1( ) 0λ λ λ λ λ
− − −
−+ + + + + =
n N N N N
N Na a a a
1 1 2 2( ) λ λ λ= + + +
n n n
h N Ny n C C C
2 1
1 1 2 1 3 1 1 1 1( ) λ λ λ λ λ λ
−
+ += + + + + + + + 
n n n m n n n
h m m m N Ny n C C n C n C n C C
PTSP thuần nhất
Đáp ứng thuần nhất (1)
2011
dce
55DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ y(n) + a1y(n–1) = x(n)
– Cho x(n) = 0 và giả sử yh(n) = λn
⇒ λn +a1λn–1 = 0
⇒ λn–1(λ+a1) = 0
⇒ λ = –a1
– Đáp ứng đồng dạng yh(n) = Cλn = C(–a1)n
– Mặt khác,
Do đó
• Ví dụ khác 
y(n) – 2y(n–1) – 3y(n–2) = x(n) + 2x(n–1)
1
1
(0) ( 1)
( 1)
(0)
= − −
⇒ = − −
=h
y a y
C a y
y C
1
1( ) ( ) ( 1) 0
+= − − ∀ ≥nziy n a y n
Đáp ứng thuần nhất (2)
2011
dce
56DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Đáp ứng riêng phần yp(n) thoả mãn PT
• Ví dụ y(n) + a1y(n–1) = x(n) (│a1│< 1)
xác định yp(n) khi x(n) = u(n)
– Đáp ứng riêng phần có dạng yp(n) = Ku(n)
K: hệ số co giãn
⇒ Ku(n) + a1Ku(n–1) = u(n)
– Khi n ≥ 1, ta có K + a1K = 1 ⇒ K = 1/(1+a1)
– Đáp ứng riêng phần
• Dạng tổng quát của đáp ứng 
riêng phần
• Ví dụ khác 
y(n) = 5/6y(n–1) – 1/6y(n–2) + x(n)
Với x(n) = 2nu(n)
0
0 0
( ) ( ) 1
= =
− = − ≡∑ ∑
N M
k p k
k k
a y n k b x n k a
1
1( ) ( )
1
=
+p
y n u n
a
x(n) yp(n)
A K
AMn KMn
AnM K0nM + K1nM-1 +  + KM
AnnM An(K0nM + K1nM-1 +  + KM)
Acosω0n K1cosω0n + K2sinω0nAsinω0n
Đáp ứng riêng phần
2011
dce
57DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: xác định đáp ứng toàn phần của PTSP y(n) + a1y(n–1) = x(n)
với x(n) = u(n) và y(–1) là đ/k đầu
– Theo trên, ta có
– Muốn xác định đáp ứng trạng thái không, ta cho y(–1) = 0
Vậy
– Nếu tìm C dưới đ/k y(–1) ≠ 0, đáp ứng toàn phần sẽ bao gồm đáp ứng trạng thái
không và đáp ứng không ngõ nhập
1
1
1
1
(0) ( 1) 1
1(0) 1
1
+ − = 
 ⇒ == + ++ 
y a y
aC
y C a
a
1
1
1
1 ( )( ) 0
1
+− −
= ≥
+
n
zs
ay n n
a
1
1
1
1
( ) ( )
1( ) ( ) 01( ) 1
1
 = −
 ⇒ = − + ≥ = + +
n
h
n
p
y n C a
y n C a n
y n a
a
1
1
1
1
1
(0) ( 1) 1
( 1)1(0) 1
1
+ − = 
 ⇒ = − − += + ++ 
y a y
aC a y
y C a
a
1
1 1
1
1
1 ( )( ) ( ) ( 1) 0
1
( ) ( )
+
+ − −= − − + ≥
+
= +
n
n
zi zs
ay n a y n
a
y n y n
Đáp ứng toàn phần
2011
dce
58DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ngoài ra, có thể xác định đáp ứng riêng phần từ đáp 
ứng trạng thái không
– yp(n) ≠ 0 khi n→∞: đáp ứng trạng thái đều
– yp(n) = 0 khi n→∞: đáp ứng tiệm cận
• Bài tập: xác định đáp ứng y(n), n≥0, của hệ thống 
y(n) – 2y(n–1) – 3y(n–2) = x(n) + 2x(n–1) đối với ngõ 
nhập x(n) = 4nu(n)
1
1( ) lim ( )
1→∞
= =
+p zsn
y n y n
a
Giải PT sai phân tuyến tính hệ số hằng
2011
dce
59DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• x(n) = δ(n) ⇒
• yp(n) = 0 vì x(n) = 0 khi n > 0 ⇒ h(n) = yh(n)
• Bất kỳ h/t đệ qui nào được mô tả bằng PTSP TT HSH đều là IIR
• Đáp ứng thuần nhất
{Ci} được xác định nhờ đ/k đầu y(-1) = y(-2) =  = y(-N) = 0
• Tính ổn định
– Đ/k cần và đủ cho sự ổn định của một h/t nhân quả IIR được mô tả bởi PTSP TT HSH là tất cả các
nghiệm của đa thức đặc trưng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn đơn vị
– CM
Ngược lại nếu │ λ│≥ 1, h(n) không còn khả tổng, tức h/t không ổn định
0
0
( ) ( ) ( ) ( 0 )
( ) ( )
( )
δ
=
=
= − ≥
= −
=
∑
∑
n
zs
k
n
k
y n h k x n k n
h k n k
h n
1
( ) ( ) λ
=
≡ =∑
N
n
h k k
k
y n h n C
0 0 1 1 0
( ) λ λ
∞ ∞ ∞
= = = = =
= ≤∑ ∑∑ ∑ ∑
N N
n n
k k k k
n n k k n
h n C C
0 0
1 ( )λ λ
∞ ∞
= =
< ∀ ⇒ < ∞ ⇒ < ∞∑ ∑nk k
n n
Nêu k h n
Đáp ứng xung của h/t đệ qui LTI
2011
dce
60DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc
• Ví dụ: Xét hệ bậc 1
y(n) = –a1y(n–1) + b0x(n) + b1x(n–1)
Sơ đồ cấu trúc Z-1Z–1
b1 -a1
x(n) y(n)b0
H1
v(n)
+ +
Z–1
b1
x(n) y(n)b0 +
Z-1
-a1
+
H2
b1
x(n) y(n)b0 +
Z-1
-a1
+
H3
w(n)
H1
H2
H3
Cấu trúc trực tiếp dạng 1
Cấu trúc trực tiếp dạng 2
(dạng chuẩn tắc)
Hoán vị hai hệ con
Gộp hai ô nhớ
0 1
1
( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1) ( )
= + −
 = − − +
v n b x n b x n
y n a y n v n
1
0 1
( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( 1)
= − − +
 = + −
w n a w n x n
y n b w n b w n
2011
dce
61DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc
Hoán vị Gộp ô nhớ
Ô nhớ: M+N Ô nhớ: Max(M,N)
Dạng I Dạng II
+x(n) y(n)
Z-1
Z-1
Z-1
–a1
+
b0
b1
b2–a2
bM
+
+
+
+
–aN Z-1
+
–aN–1
+
1 0
( ) ( ) ( )
N M
k k
k k
y n a y n k b x n k
= =
= − − + −∑ ∑
Z-1
Z-1
+
Z-1
b1
–a1
–a2
x(n) y(n)b0
Z-1
b2
Z-1
bM
Z-1
+
+
–aN
+
bM–1
+
+
+
+
–aN–1
2011
dce
62DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Khi ak = 0 ⇒
hệ FIR không đệ qui với 
• Hệ bậc 2: y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0x(n) + b1x(n–1) + b2x(n–2)
0
( ) ( )
=
= −∑
M
k
k
y n b x n k
0
( )
0
≤ ≤
= 

kb k Mh n
k khác
+x(n)
y(n)
Z-1
Z-1
–a1
+
b0
b1
b2–a2
++
+
x(n)
y(n)
Z-1 Z-1
b1 b2b0
+
+x(n)
y(n)
Z-1 Z-1
–a2–a1
+
b0
a1=a2=0: hệ FIR
b1=b2=0: hệ đệ qui thuần
Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc
2011
dce
63DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hiện thực không đệ qui
– Đáp ứng xung h(k) = bk (0 ≤ k ≤ M)
– Ví dụ
0
( ) ( )
=
= −∑
M
k
k
y n b x n k
0
1( ) ( )
1 =
= −
+ ∑
M
k
y n x n k
M
1( ) 0
1
= ≤ ≤
+
h n n M
M
Z–1
+
Z–1 Z–1 Z–1
+ +
x(n)
y(n)
M+1
1
Hiện thực hệ FIR – bất đệ qui
2011
dce
64DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hiện thực đệ qui
– Bất kỳ h/t FIR nào cũng được thực hiện theo kiểu đệ qui
– Ví dụ
0
0
1( ) ( )
1
1 1( 1 ) [ ( ) ( 1 )]
1 1
1( 1) [ ( ) ( 1 )]
1
=
=
= −
+
= − − + − − −
+ +
= − + − − −
+
∑
∑
M
k
M
k
y n x n k
M
x n k x n x n M
M M
y n x n x n M
M
Z–1
+
x(n)
M+1
1
Z–1Z–1
Z–1
+
y(n)
x(n–1–M)
–
+
Hiện thực hệ FIR – đệ qui
2011
dce
65DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ứng dụng
– Đo lường sự giống nhau giữa các tín hiệu
– Trong các lĩnh vực: truyền tín hiệu, radar, sonar, 
• Định nghĩa
T/h phát x(n)
T/h nhận y(n) = αx(n–D) +w(n)
α : hệ số suy giảm t/h
D : thời gian trễ truyền
w(n) : nhiễu đường truyền ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= +
∑
∑
xy
n
xy
n
r l x n y n l
r l x n l y n
y(n) so với x(n)
x(n) so với y(n)
Tương quan
chéo
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= +
∑
∑
yx
n
yx
n
r l y n x n l
r l y n l x n
Tương quan giữa các t/h RRTG
2011
dce
66DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Tương quan – Giải thuật
• Các bước để tính sự tương quan giữa y(n) so với x(n)
1. Dịch: để có y(n–l), dịch y(n) sang 
+ phải nếu l dương
+ trái nếu l âm
2. Nhân: vl(n) = x(n)y(n–l)
3. Cộng: tổng các vl(n)
• Nhận xét
– rxy(l) = ryx(–l)
ryx(l) là đảo của rxy(l) qua trục l = 0
– So với tính tích chập, phép tính tương quan không phải thực hiện 
phép đảo
• Có thể dùng giải thuật tính tích chập để tính tương quan và ngược lại
rxy(l) = x(l)*y(–l)
2011
dce
67DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: Tìm rxy(l), ryx(l) ?
x(n) = { 0 1 3 1^ 0 }
y(n) = { 0 1^ 3 1 0 }
rxy(l) = { 0 1 6 11 6 1^ 0 }
Max: rxy(–2) = 11
y(n) giống với x(n) nhất khi y(n) dịch trái 2 mẫu
ryx(l) = { 0 1^ 6 11 6 1 0 }
Max: ryx(2) = 11
x(n) giống với y(n) nhất khi x(n) dịch phải 2 mẫu
Tương quan – Ví dụ
2011
dce
68DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tự tương quan
• Tương quan của chuỗi nhân quả độ dài N [i.e x(n)=y(n)=0 khi 
n<0 và n≥N]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= +
= −
∑
∑
xx
n
xx
n
xx xx
r l x n x n l
r l x n l x n
r l r l
Tự tương quan
1
1
( ) ( ) ( )
, 0 0
0, 0
( ) ( ) ( )
N k
xy
n i
N k
xx
n i
r l x n y n l
i l k l
i k l l
r l x n x n l
− −
=
− −
=
= −
= = ≥
 = = <
= −
∑
∑
Với
2011
dce
69DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tính chất của sự tương quan giữa các t/h năng lượng
– Năng lượng của t/h chính là sự tự tương quan tại l = 0
– Trung bình nhân của năng lượng là giá trị lớn nhất của chuỗi tương 
quan
– Chuỗi tương quan chuẩn hóa không phụ thuộc vào sự co giãn của t/h 
(│ρxy(l)│≤ 1 và │ρxx(l)│≤ 1)
Tương quan – Tính chất (1)
2(0) ( )
+∞
=−∞
= =∑xx x
n
r x n E
( )
( ) (0)
≤
≤ ≡
xy x y
xx x xx
r l E E
r l E r
( )
( ) xyxy
x y
r l
l
E E
ρ =
( )( ) xxxx
x
r ll
E
ρ =
2011
dce
70DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tương quan của t/h tuần hoàn
– Cho x(n) và y(n) là 2 t/h công suất
– Nếu x(n) và y(n) tuần hoàn chu kỳ N
• rxy(l) và rxx(l) tuần hoàn chu kỳ N
• T/c này được dùng để xác định chu kỳ của t/h (SV đọc thêm)
1( ) lim ( ) ( )
2 1
1( ) lim ( ) ( )
2 1
→∞
=−
→∞
=−
= −
+
= −
+
∑
∑
M
xy M n M
M
xx M n M
r l x n y n l
M
r l x n x n l
M
1
0
1
0
1( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( )
−
=
−
=
= −
= −
∑
∑
N
xy
n
N
xx
n
r l x n y n l
N
r l x n x n l
N
Tương quan – Tính chất (2)