Các cách tiếp cận của khái niệm phân số trong lịch sử và sách giáo khoa toán ở tiểu học

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 34 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
CÁC CÁCH TIẾP CẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÂN SỐ 
TRONG LỊCH SỬ VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở TIỂU HỌC 
DƯƠNG HỮU TÒNG* 
TÓM TẮT 
Lịch sử mang lại những cách tiếp cận khác nhau cho một khái niệm toán học. Các 
nhà lí luận dạy học, tác giả sách giáo khoa lựa chọn các cách tiếp cận phù hợp với trình 
độ nhận thức và đặc điểm của học sinh. Do đó, một khái niệm toán học trong sách giáo 
khoa có thể được tiếp cận không tương đồng như trong lịch sử. Trong bài báo này, các 
cách tiếp cận của khái niệm phân số trong lịch sử và sách giáo khoa Toán ở tiểu học sẽ 
được làm rõ. 
Từ khóa: cách tiếp cận, phân số, lịch sử toán, khái niệm toán. 
ABSTRACT 
The approaches to fractional concept in history and mathematics textbooks 
 in primary school 
History brought different approaches to a mathematical concept. Learning theorists, 
textbook authors chose the approaches in accordance with pupils’cognitive levels and 
characteristics. Therefore, a mathematical concept in the textbook could not be 
approached as the same in the history. In this article, the approaches to fractional concept 
in history and mathematics textbooks in primary school are clarified. 
Keywords: approach, fractions, mathematical history, mathematics concept. 
1. Đặt vấn đề 
Một trong những khái niệm toán 
học mà học sinh (HS) tiểu học thường 
gặp khó khăn trong nhận thức là khái 
niệm phân số. Phân số có vị trí, vai trò 
quan trọng trong các mạch kiến thức toán 
ở tiểu học, đồng thời nó là cơ sở để mở 
rộng các loại số khác: hỗn số, số thập 
phân, số hữu tỉ, Do đó, nhiệm vụ đặt ra 
đối với giáo viên (GV) tiểu học là phải 
làm sao cho HS có những hiểu biết đúng 
đắn về khái niệm phân số, đặc biệt là 
hình thành khái niệm ban đầu về phân số 
một cách chính xác. 
2. Các cách tiếp cận khái niệm phân 
số trong lịch sử 
* NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
 Nghiên cứu các tài liệu lịch sử, 
chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ 
thống số từ số tự nhiên sang số biểu diễn 
bởi phân số được tiến hành theo hai cách: 
xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và 
xuất phát từ nội bộ toán học. Thứ nhất, 
phân số ra đời để giải quyết các vấn đề 
thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp 
cả những đại lượng không chứa đựng một 
số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu 
chia những vật ra nhiều phần bằng nhau. 
Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số 
ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để 
cho phép chia các số nguyên cho một số 
khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc 
các phương trình dạng (b khác 
0) luôn luôn có nghiệm. Trong quá trình 
b x a× =
 68 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
mở rộng như trên, phân số được tiếp cận 
theo 4 cách như sau: 
2.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần 
của cái toàn thể
Cách tiếp cận này có liên quan đến 
bài toán: “Tìm ra một số phần của một 
đối tượng được chia thành các phần bằng 
nhau”. Trong lịch sử, khái niệm về đại 
lượng phân số phát triển từ thời cổ đại 
khi “phân số” đã được quan niệm như 
“không chia được và không chia hết” 
(Klein, 1968). Một đại lượng phân số 
không được xem như là một số trong 
nhiều thế kỉ; đúng hơn, nó đã được sử 
dụng như một đơn vị mới biểu diễn cho 
một phần hoặc các phần của một số cho 
đến khi Stevin (1548-1620) tuyên bố rằng 
đại lượng này là một con số bằng cách 
định nghĩa phân số như là “một phần của 
các bộ phận của cái toàn thể” (Klein, 
1968). 
2.2. Cách tiếp cận dựa trên đo lường 
Người ta tìm thấy các phân số từ 
các số tự nhiên qua các số đo và tỉ lệ, giải 
quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo lường 
chung đối với hai đại lượng. Trong lịch 
sử, thuật ngữ bao gồm số đo đại lượng và 
tỉ lệ là “tính có thể so sánh được” được 
định nghĩa bởi nhà toán học Hi Lạp, 
Euclide (thế kỉ III, trước công nguyên) 
như sau: “Những độ lớn được cho là có 
thể so sánh được với nhau nếu được đo 
lường bởi cùng đơn vị đo, và chúng 
không thể so sánh được nếu chúng không 
có đơn vị đo lường chung” (Heath, 
1956). 
Theo ý nghĩa hiện đại, nếu A và B 
(khác 0) là hai số có thể so sánh được với 
nhau nếu tồn tại đại lượng C sao cho A = 
mC và B = nC với m, n là các số nguyên 
và 0n ≠ . Euclide không xem đại lượng C 
như là một số, nhưng như là “một phần 
hay các phần của một số” (Klein, 1968). 
2.3. Cách tiếp cận dựa trên phép chia 
Cách tiếp cận này nảy sinh trong 
lúc người ta đi tìm nghiệm cho phương 
trình b x a× = với a, b là các số nguyên, b 
khác 0. Cụ thể, nó được tìm thấy trong 
định nghĩa thông thường của một trường, 
được hình thành đầu tiên bởi Galois vào 
đầu thế kỉ XIX và được thiết lập cụ thể 
bởi Dedekind vào năm 1871 (Baumgart, 
1966). Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận 
dựa trên phép chia vì nhu cầu phải có 
phân số a
b
 là kết quả của sự cần thiết để 
có một tập hợp số trong đó phép chia là 
đóng kín (tức là tồn tại phần tử nghịch 
đảo và thỏa mãn các tiên đề của trường) 
nhằm giải quyết các vấn đề đại số. 
2.4. Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết 
tập hợp 
Theo cách tiếp cận này, người ta 
định nghĩa các phân số như là tập hợp các 
cặp số nguyên có thứ tự. Cụ thể, các nhà 
toán học tiếp cận như sau: 
Lấy tập hợp S gồm các cặp số 
nguyên có thứ tự (a, b), với b khác 0. 
Phân chia tập S thành các tập hợp con với 
quy tắc: hai cặp (a, b) và (c, d) nằm trong 
cùng một tập hợp con nếu tỉ số a
b
 bằng 
với tỉ số c
d
; tức là, nếu và chỉ nếu 
ad bc= (Childs, 1995). Cách tiếp cận 
này có thể được tìm thấy trong thế kỉ 
XIX và thế kỉ XX. Bằng sự nỗ lực để 
phát triển một nền tảng toán học chặt chẽ, 
 69
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 34 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Chương trình Toán 2 giới thiệu các 
n số: 1
2
, 1
3
, 1 , 1 . Trong khi đó, 
 Toán 3 cho en với các 
n số đơn vị 1 
một số nhà toán học chuyển sang 
như là nguồn gốc cho nền tảng nh
Vào cuối thế kỉ XIX, Cantor phát 
thuyết tập hợp, mà cuối cùng d
việc hình thành các định nghĩa lí
tập hợp về số hữu tỉ. Điều này rất 
trong phong trào “toán học mớ
những năm 60, dựa vào tác phẩ
Bourbaki. 
3. Các cách tiếp cận khái niệm
số trong sách giáo khoa lớp 2, lớ
lớp 4 
 Dạy học phân số ở tiểu học
cung cấp cho học sinh một loại s
biểu diễn được thương đúng của ha
nhiên, cũng nhằm đáp ứng nhu cầ
diễn chính xác các số đo đại lượn
đời sống thực tiễn. Phân số được
thức đưa vào giảng dạy một cách
đối đầy đủ ở chương trình Toán
Dạy học phân số trong Toán 4 là 
nối mạch kiến thức về phân số ở lớ
lớp 3, đồng thời làm cơ sở vững c
dạy học về phân số thập phân, hỗ
lớp 5. Từ đó, SGK hệ thống hóa v
chỉnh toàn bộ nội dung dạy học ph
tiểu học, chuẩn bị cho dạy học s
phân. 
3.1. Cách tiếp cận phân số ở lớ
lớp 3 
 Hình 1 
Đã tô vào 1
6
 hình n4 
 70 phâ
SGK
phâ
số học 
ư vậy. 
triển lí 
ẫn đến 
 thuyết nrõ ràng 
i” của 
m của 
Trong bài “P
SGK Toán 2 trình
bằng nhau” của mộ
 phân 
p 3 và 
   
   
6 ô chia thà
mỗi phần có 3 ô
ngầm ẩn giới thiệ
bằng nhau” chứ kh
về phân số. SGK
bài tập theo kiểu
lượng của một bộ
toàn tập hợp đó. C
có thể gọi tên các
cận kiểu tập hợp”. 
 nhằm 
ố mới, 
i số tự 
u biểu 
g trong 
 chính 
 tương 
 lớp 4. 
sự tiếp 
p 2 và 
hắc để 
n số ở 
à hoàn 
ân số ở 
ố thập 
Lớp 3 mang
cận phân số đơn vị
số hình cơ bản như
nhật. Các hình nà
phần bằng nhau, 
một số phần nào đ
khái niệm phân số
tập được đưa ra t
sau: 
p 2 và 
 Hình 2 
ào? 4 5
HS làm qu
với . 10n ≤
hép chia”, các tác giả 
 bày khái niệm “phần 
t đơn vị. 
nh 2 phần bằng nhau, 
. Ở đây, người ta chỉ 
u về khái niệm “phần 
ông giới thiệu trực tiếp 
 cũng đưa thêm nhiều 
 tiếp cận so sánh số 
 phận của tập so với 
hính vì lẽ đó, chúng ta 
h tiếp cận này là “tiếp 
 lại cho HS cách tiếp 
 theo diện tích của một 
 hình vuông, hình chữ 
y được chia thành các 
người ta tác động đến 
ó, từ đó làm nảy sinh 
. Chẳng hạn, một bài 
rong SGK Toán 3 như 
 Hình 3 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Tóm lại, SGK Toán 2 và 3 chỉ đề 
cập đến các phân số đơn vị. Tuy nhiên, 
các tác giả không nêu tên phân số mà chỉ 
đề cập một cách ẩn tàng thông qua khái 
niệm “phần bằng nhau”. Phân số được 
xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải 
quyết dạng toán “Tìm một trong các phần 
bằng nhau của một số”. 
3.2. Cách tiếp cận phân số trong SGK 
Toán 4 
a) Cách hình thành khái niệm phân 
số trong SGK 
SGK Toán 4 hình thành khái niệm 
phân số như sau: 
Chia hình tròn thành 6 phần bằng 
nhau, tô màu vào 5 phần. Ta nói: Đã tô 
màu vào năm phần sáu hình tròn. 
Ta viết: 
5
6
, đọc là năm phần sáu. 
Ta gọi 
5
6
 là phân số. Phân số 
5
6
 có tử số 
là 5, mẫu số là 6. 
Mẫu số là số tự nhiên viết
gạch ngang. Mẫu số cho biết 
được chia thành 6 phần bằng nh
là số tự nhiên viết trên gạch nga
cho biết 5 phần bằng nhau đã
màu. 
SGK giới thiệu khái niệm
qua việc chia cái toàn thể thàn
bằng nhau. Sau đó, lấy a phần t
số b phần đó. Như vậy, có được ph
Cách trình bày này phù
cách tiếp cận dựa trên số phầ
toàn thể trong lịch sử của phân
không đưa ra định nghĩa chính
phân số theo cách tiếp cận nà
chúng tôi có thể phát biểu như sau: Phân 
số là cặp số thứ tự (a, b) trong đó a, b là 
các số tự nhiên và , b chỉ số phần 
bằng nhau mà đơn vị trọn vẹn được chia 
ra và a chỉ số phần bằng nhau đã lấy. 
Định nghĩa này được cụ thể như sau: 
0b ≠
1 chia cho b, ta được 1
b
 (một phần 
b của đơn vị). 
Tiếp đến, lấy a lần số hạng 1
b
, tức 
 1 1 1... a
b b b b
+ + + =
1442443
 a số hạng 
Thêm vào đó, SGK còn nêu lên 
cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của 
mẫu số thông qua nhận xét sau: “Mỗi 
phân số có tử số và mẫu số”. Tử số là số 
tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là 
số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch 
ngang”. 
Ngoài ra, SGK Toán 4 còn tiếp cận 
 dưới dấu 
hình tròn 
au. Tử số 
ng. Tử số 
 được tô 
 phân số 
h b phần 
rong tổng 
ân số 
a
b
. 
 hợp với 
n của cái 
 số. SGK 
 thức của 
y. Ở đây, 
phân số như là kết quả của phép chia của 
hai số tự nhiên mà số chia khác 0 thông 
qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ 
TỰ NHIÊN”: 
“Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. 
Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái 
bánh”. SGK trình bày: 
33: 4
4
= . 
Hoặc “Có 5 cái bánh, chia đều cho 
4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần 
của cái bánh”. SGK trình bày: 
55 : 4
4
= . 
Đến đây, ta thấy được cách giới 
thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách 
mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ 
71
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 34 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ 
toán học. 
Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra 
tình huống như trên có từ thực tiễn cuộc 
sống. Đó là kết quả của những phép chia 
không hết. Chứng tỏ, trong thực tế có 
những tình huống cho phép làm nảy sinh 
khái niệm số mới – phân số. 
Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: 
Khái niệm phân số ra đời cho phép thực 
hiện mọi phép chia thông qua nhận xét 
sau trong SGK: “Thương của phép chia 
số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có 
thể viết thành một phân số, tử số là số bị 
chia và mẫu số là số chia”. Ngầm ẩn sau 
đó, phân số ra đời còn có một ý nghĩa 
khác. Nó cho phép mọi phương trình đại 
số dạng ( ) luôn có 
nghiệm. Vậy phân số là thương của phép 
chia một số tự nhiên a cho số tự nhiên b, 
. Trên tập hợp số mới (Q
b x a× = 0b ≠
0b ≠ *) phép 
chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b, 
luôn luôn thực hiện được (đóng kín 
đối với phép chia) và tập hợp Q
0b ≠
* chứa 
một bộ phận đẳng cấu với N. 
Hơn nữa, cách tiếp cận phân số dựa 
trên phép chia tỏ ra hiệu quả hơn cách 
tiếp trước đó vì giới thiệu thêm phân số 
không thực sự (phân số tử số lớn hơn 
mẫu số). 
Bên cạnh đó, tác giả cũng nêu lên 
mối quan hệ của một phần tử của tập N 
với tập số Q*: “Mọi số tự nhiên có thể 
viết thành một phân số có tử số là số tự 
nhiên đó và có mẫu số bằng 1”. Mối 
quan hệ này sẽ tỏ ra rất hữu dụng khi 
thực các phép tính sau này. 
Tiếp đó, cần dạy HS tính chất cơ 
bản của phân số, SGK trình bày chủ đề: 
phân số bằng nhau. Kiến thức này rất cần 
thiết cho việc học quy đồng mẫu số các 
phân số, so sánh hai phân số, làm tính với 
các phân số. Phân số bằng nhau được tác 
giả giới thiệu qua mô hình trực quan: 
Chia hai băng giấy bằng nhau. 
Băng giấy thứ nhất được chia thành 4 
phần, lấy 3 phần. Băng giấy thứ hai được 
chia thành 8 phần, lấy 6 phần nhau. 
3 6
4 8
=Ta được , với nhận xét rằng: 
3 2 6
4 2 8
× =× ; 
6 : 2 3
8 : 2 4
= . Rút ra kết luận: 
3 6
4 8
= . 
Bài “Phân số bằng nhau” đánh dấu 
cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết 
tập hợp (đã được đề cập trong phần lịch 
sử) một cách không tường minh. 
Chúng tôi nhận thấy SGK chưa đề 
cập cách tiếp cận bên dưới đây mà được 
nhắc đến rất nhiều khi dạy học số tự 
nhiên. 
Viết tiếp phân số thích hợp vào chỗ 
chấm: 
 0 1
10
 2
10
 ..... ..... 
Cách tiếp cận này có thể được gọi 
là cách tiếp cận tia số. Nó có hiệu quả 
trong các bài tập so sánh các phân số. 
Ngoài ra, nó cho thấy tập hợp Q* là tập 
hợp số trù mật, khác với tập hợp số rời 
rạc N, tức trên [ ]0, 1 không tồn tại số tự 
nhiên nào nhưng có rất nhiều phân số. 
 72 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Ngoài ra, SGK còn đề xuất thêm 
cách tiếp cận tỉ số qua bài “Giới thiệu tỉ 
số”: 
“Một đội xe có 5 xe tải và 7 xe 
khách. 
Ta nói: Tỉ số của số xe tải và số xe 
khách là 5:7 hay 5
7
. 
Tỉ số của số xe khách và số xe tải là 
7:5 hay 7
5
.” 
Giống như cách tiếp cận dựa trên 
phép chia, cách tiếp cận tỉ số cho phép 
giới thiệu cả hai loại phân số: phân số 
thực sự và phân số không thực sự. Tuy 
nhiên, đôi khi nó dẫn đến hiểu nhầm của 
HS không phân biệt được phân số và tỉ 
số. 
Nhận xét: 
Phân số được nghiên cứu ở lớp 2, 
lớp 3 ở góc độ ẩn tàng. Khi đó nó chỉ 
được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để 
giải quyết các tình huống. Trong khi đó, 
ở lớp 4 phân số được nghiên cứu như là 
một “đối tượng” tường minh. HS chính 
thức được tìm hiểu nó qua cách hình 
thành khái niệm, nghiên cứu các tính chất 
cơ bản, các phép tính. Từ đó, phân số trở 
thành “công cụ tường minh” để giải 
quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan. 
4. Kết luận 
Những kết quả của việc phân tích ở 
trên cho thấy các tác giả SGK đã có sự 
chọn lựa đối với các cách tiếp cận khái 
niệm phân số. Phân số được tiếp cận trên 
tư tưởng số phần/cái toàn thể, theo phép 
chia hai số tự nhiên, tia số, tỉ số, SGK 
cũng chuyển tải được sự cần thiết phải có 
phân số: xuất phát từ nhu cầu thực tế 
cuộc sống và nhu cầu của nội bộ toán 
học. Các cách tiếp cận khái niệm phân số 
trong lịch sử đã soi sáng được các cách 
tiếp của đối tượng này trong SGK Toán ở 
tiểu học. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Vũ Quốc Chung (chủ biên) (2007), Phương pháp dạy học Toán ở tiểu học, Nxb Giáo 
dục, Nxb Đại học Sư phạm. 
2. Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ Quốc Chung (2004), Giáo 
trình Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, Nxb Đại học Sư phạm. 
3. Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 2, 3, 4, Nxb Giáo dục, (SGK hiện hành). 
4. Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 2, 3, 4, Nxb Giáo dục, (SGV hiện hành). 
5. Nguyễn Thanh Hưng (2008), Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, Nxb Giáo dục. 
6. Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, Nxb Giáo dục. 
7. Đào Tam, Phạm Thanh Thông, Hoàng Bá Thịnh, Thực hành phương pháp dạy học 
Toán ở tiểu học, Nxb Đà Nẵng. 
8. Phạm Đình Thực (2003), Phương pháp dạy học Toán bậc tiểu học, Nxb Đại học Sư phạm. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 14-9-2011; ngày chấp nhận đăng: 04-10-2011) 
 73