Chuyên đề Khảo sát hàm số - Cù Đức Hòa

laø haøm soá chaún neân ñoà thò 1( )C nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng 
3O X
Y 4
-3
(D)
Do ñoù ñoà thò 1( )C suy töø (C) nhö sau : 
-Phaàn cuûa (C) beân phaûi truïc Oy giöõ nguyeân 
-Boû phaàn cuûa (C) beân traùi Oy vaø laáy phaàn ñoái xöùng cuûa phaàn beân phaûi cuûa (C) qua truïc 
Oy. 
b.Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : 
3 2
3 2
6 9 3 0
6 9 3
x x x m
x x x m
    
    
Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 1( )C vaø ñöôøng thaúng d : y = 3 – m . Soá 
giao ñieåm cuûa 1( )C vaø d laø soá nghieäm cuûa phöông trình . 
Bieän luaän : 
 3 0 3m m    :voâ nghieäm 
 3 0 3m m    : 3 nghieäm 
 0 3 4 1 3m m       : 6 nghieäm 
 3 4 1m m     : 4 nghieäm 
 3 4 1m m     : 2 nghieäm 
Caâu 50: 
Cho haøm soá : y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx – 5 
1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá coù CÑ, CT: 
Ta coù: y’ = 3(m + 2)x2 + 6x + m 
 y’ = 0  3(m + 2)x2 + 6x + m = 0 (1) 
Haøm soá coù CÑ, CT  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät 
2
2 0 2
' 0 9 3 ( 2) 0
2 2
3 13 6 9 0
m m
m m
m m
mm m
    
  
     
  
  
      
Vaäy haøm soá coù CÑ, CT khi: 
 - 3 < m < 1 vaø m  -2 
2) Khaûo saùt haøm soá öùng vôùi m = 0 
 y = 2x3 + 3x2 – 5 (C) 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  68 
 TXÑ: D = R 
2' 6 6
0
' 0
1
'' 12 6
y x x
x
y
x
y x
 

    
 
1 9
'' 0
2 2
y x y        ñieåm uoán 
1 9
,
2 2
 
  
 
 BBT: 
 Ñoà thò : 
Cho 
1
, 4
2
x y   
3
, 5
2
1, 0
x y
x y
   
 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  69 
3) Chöùng minh raèng töø ñieåm A(1, -4) coù 3 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) : Ñöôøng thaúng (d) qua 
A coù heä soá goùc k coù phöông trình: 
 y = k(x - 1) – 4 
(d) tieáp xuùc vôùi (C) 
3 2
2
2 3 5 ( 1) 4 (1)
6 6 (2)
x x k x
x x k
     

 
 coù nghieäm. 
Thay (2) vaøo (1) 
3 2 2
3 2 3 2 2
3 2
2
2 3 5 (6 6 )( 1) 4
2 3 5 6 6 6 6 4
4 3 6 1 0 (3)
1
( 1)(4 7 1) 0 7 33
8
x x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x
x
     
       
    
 
       

(3) coù 3 nghieäm thay vaøo (2)  3 giaù trò k 
Vaäy : Töø A(1, -4) coù 3 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) 
CAÂU 51: 
 1) Cho haøm soá: 3 23( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x      
 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi a=0 
 3 23 1y x x   
 D = R 
 2' 3 6 3 2
0
' 0
2
'' 6 6
'' 0 1 3
y x x x x
x
y
x
y x
y x y
   

    
 
     
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  70 
  Ñieåm uoán (-1, 3) 
 BBT: 
 Ñoà thò: 
 Cho 
1 5
3 1
x y
x y
  
   
 b) Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì haøm soá ñoàn bieán vôùi 1 2x  
 Ta coù: 
   
   
3 23 1 3 2 1
2' 3 6 1 3 2
y x a x a a x
y x a x a a
     
    
Haøm soá ñoàng bieán vôùi 1 2x  
 ' 0y  vôùi 1 2x  
    2 2 1 2 0x a x a a      vôùi : 2 1 1 2x x       
 BXD: 
 ' 0y  vôùi 2 1 1 2x x       
1 2 1
1 1
a a
a a a
    
     
 Vaäy haøm soá ñoàng bieán trong 1 2x  vôùi moïi a 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  71 
 2) Tìm m ñeå ñoà thò 2 3 3
m
y x x
x
    coù 3 ñieåm cöïc trò. 
 Ta coù: ' 2 3
2
m
y x
x
   
 Haøm soá coù 3 cöïc trò  y’= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. 
 3 22 3 0x x m    coù 3 nghieäm phaân bieät. 
 Xeùt haøm soá   3 22 3g x x x m   
 
 
2'( ) 6 6
0
' 0
1 1
cñ
g x x x
x y m
g x
x y m
CT
  
   
 
    

 g(x) = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät . 0y y
ct
 
cñ
  1 0 1 0m m m       
 Vaäy ñoà thò coù 3 ñieåm cöïc trò khi: -1 < m < 0 
 Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc phöông trình ñöôøng cong chöùa 3 ñieåm cöïc trò: 
  
1 3 3 3 3
' . .
22 4 4 2 4
m m
y f x x
x x
 
     
 
 Toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò thoûa heä: 
   
 
2 3 1' 0
2
3 3 3
. . 3 3 3
2 . . 24 2 4
24 2 4
m
xf x
x
m m
y m m
yx x x x

  
 
 
       
 Khöû m ta coù: 
 22 3 2 3
2
m m
x x x
xx
     
 Thay vaøo (2) ta ñöôïc : 
    3 3 322 3 2 34 2 4y x x x     
 
23 6 3
23 1
y x x
y x
   
  
 Vaäy 3 ñieåm cöïc trò ôû treân ñöôøng cong coù phöông trình: 
  23 1y x  
Caâu 52: 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá : 
2x x 1 1
y x 2
x 1 x 1
 
   
 
 TXÑ : D = R\ 1 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  72 
2
2
x 2 x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2




   
 Tieäm caän ñöùng : x = 1 vì 
x 1
lim y

  
 Tieäm caän xieân : y = x + 2 vì 
x
1
lim 0
x 1


 BBT: 
 Ñoà Thò: 
2) Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø 1 ñieåm baát kì treân (C) tôùi hai tieäm caän cuûa 
(C) laø 1 soá khoâng ñoåi. 
Goïi M(a, b)  (C)  
1
b = a + 2 + 
a - 1
 TCÑ : x – 1 = 0 
 TCX : y – x – 2 = 0 
Ta coù: d(M, TCÑ). d(M, TCX) = 
2
1
2
b a
a
 
 
1 1
1
22 1
a
a
  

 (khoâng ñoåi) 
Caâu 53: 
1) Khaûo saùt haøm soá : y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 (C) 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  73 
 TXÑ : D = R 
2y' 6 x 6 x 12
x 1
y' 0
x 2
y'' 12 x 6
1 11
y'' 0 x y
2 2
  

    
 
     
  ñieåm uoán 
1 11
,
2 2
 
 
 
 BBT: 
 Ñieåm ñaët bieät: 
7
x , y 8
2
5
x , y 19
2
   
 
2) Tìm ñieåm M thuoäc (C) sao cho tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M ñi qua O. Ñöôøng thaúng (d) ñi 
qua O vaø coù heä soá goùc k coù phöông trình: 
 y = kx 
(d) tieáp xuùc (C) 
3 2
2
2 x 3x 12 x 1 x (1)
6 x 6 x 12 (2)
k
k
    
 
  
 coù nghieäm. 
Thay (2) vaøo (1) : 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  74 
3 2 2
3 2 3 2
3 2
2
2
2 x 3x 12 x 1 (6 x 6 x 12) x
2 x 3x 12 x 1 6 x 6 x 12
4 x 3x 1 0
(x 1)(4 x x 1) 0
x 1 y 12
4 x x 1 0
x
     
      
   
    
   
 
  
Vaäy toaï ñoä tieáp ñieåm M laø: M(-1, 12). 
Caâu 54: 
Cho haøm soá: 
2x ( 2) x 1
y
x 1
m m   


1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 2: 
2x 3 4
y x 1 ( )
x 1 x 1
C

   
 
 TXÑ: D = R\-1 
2
2
x 2 x 3
y'
(x 1)
x 1
y' 0
x 3
 



    
 Tieäm caän ñöùng: 
 x = –1 vì 
1x
lim y

  
 Tieäm caän xieân: 
 y = x – 1 vì 
x
4
lim 0
x 1


 BBT: 
 Ñoà thò: 
Cho x = 0 , y = 3 
 x = –2 , y = –7 
(voâ 
nghieäm) 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  75 
2) Tìm m treân ñoà thò coù 2 ñieåm A, B sao cho : 
 5xA – yA + 3 = 0, 5xB – yB + 3 = 0 
Ta coù: A, B  (d’) : 5x – y + 3 = 0  y = 5x + 3 
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (d’) : 
2
2
2
x ( 2) x 1
5 x 3
x 1
x ( 2) x 1 (5x 3)(x 1)
4 x ( 10) x 2 0
m m
m m
m m
   
 

       
     
 2 210 16(2 ) 4 68 0,( )m m m m m         
Vaäy (d’) luoân luoân caét (Cm) taïi 2 ñieåm A, B vôùi moïi m. 
- Tìm m ñeå 2 ñieåm A, B ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng (d) : x + 5y + 9 = 0 
Ta coù: (d)  (d’). 
Toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB: 
1
1 1
x x 10
x
2 8
5( 10) 5 26
y 5x 3 3
8 8
A B m
m m
 
 

      

A vaø B ñoái xöùng nhau qua (d)  I  (d) 
10 5(5 26)
9 0
8 8
68 34
26 68 0
26 13
m m
m m
 
   
     
Vaäy : 
34
13
m  
Caâu 55: 
1) Khaûo saùt haøm soá: y = x3 – 2x2 + x (C) 
 TXÑ : D = R 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  76 
2y' 3x 4 x 1
x 1
y' 0 1
x
3
y'' 6 x 4
  

 
 

 
2 2
y'' 0 x y
3 27
      ñieåm uoán 
2 2
,
3 27
 
 
 
 BBT: 
 Ñieåm ñaëc bieät: 
 Cho x = 0, y = 0 
4 4
x , y
3 27
  
2) Tìm dieän tích giôùi haïn bôûi (C) vaø ñöôøng thaúng y = 4x. 
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : 
3 2
3 2
2
x 2 x x 4 x
x 2 x 3x 0
x(x 2 x 3) 0
x 0
x 1
x 3
  
   
   

  
 
Dieän tích hình phaúng cho bôûi: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  77 
0 33 2 3 2
1 0
0 3
4 3 2 4 3 2
1 0
(x 2 x x 4 x) x (4 x x 2 x x) x
x 2 x 3x x 2 x 3x
4 3 2 4 3 2
7 45 71
( )
12 4 6
S d d
dvdt
 


       
   
            
   
  
Caâu 56: 
Cho haøm soá : 
22 x 3x
y
2 x 1
m  


a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá nghòch bieán trong khoaûng 
1
,
2
 
   
 
. 
Ta coù : 
2
2
4 x 4 x 3 2
y'
(2 x 1)
m   


Haøm soá nghòch bieán trong : 
1 1
, y' 0, x ,
2 2
   
           
   
2 14 x 4 x 3 2 0, x ,
2
' 0 4 4(3 2 ) 0
1
m
m
m
 
           
 
      
  
b) Khaûo saùt haøm soá khi m = 1 
22 x 3x 1
y
2 x 1
  


 TXÑ: D = R\ 
1
2
 
 
 
2
2
4 x 4 x 5 1
y' 0, x
2(2 x 1)
  
   

  Haøm soá nghòch bieán trong töøng khoaûng xaùc ñònh. 
 Tieäm caän ñöùng: 
1
x
2
1
x vì lim y
2 
    
Ta coù: 
2
y x 1
2 x 1
   

 Tieäm caän xieân : 
x
2
y x 1 vì lim 0
2 x 1
   

 BBT: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  78 
 Ñieåm ñaët bieät: 
Caâu 57: 
Cho haøm soá y = mx3 – 3mx2 + 2(m – 1)x + 2 
1) Tìm nhöõng ñieåm coá ñònh maø moïi ñöôøng cong cuûa hoï treân ñeàu ñi qua. 
Ta coù theå vieát : m(x3 – 3x2 + 2x) + 2 – 2x – y = 0 (1) 
Ñieåm coá ñònh A(x, y) thoaû (1), m. 
3 2 2x 3x 2 x 0 x(x 3x 2) 0
2 2 x y 0 y 2 x 2
x 0 , y 2
x 1 , y 0
x 2 , y 2
       
  
       
 

  
   
Vaäy hoï ñöôøng cong luoân ñi qua 3 ñieåm coá ñònh : 
 A(0, 2), B(1, 0), C(2, - 2) 
2) Chöùng toû raèng nhöõng ñieåm coá ñònh ñoù thaúng haøng. Töø ñoù suy ra hoï ñöôøng cong coù 1 
taâm ñoái xöùng. 
Toaï ñoä 3 ñieåm A, B, C thoaû phöông trình y = –2x + 2 neân 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng vì 
A vaø C ñoái xöùng qua B neân hoï ñöôøng cong coù chung 1 taâm ñoái xöùng laø B(1, 0). 
3) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá öùng vôùi m = 1: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  79 
 y = x3 – 3x2 + 2 (C) 
- TXÑ : D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      ñieåm uoán (1, 0) 
-BBT 
- Ñoà thò : 
 Cho x = –1 , y = –2 
 x = 3 , y = 2 
4) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm uoán vaø chöùng toû raèng trong caùc tieáp 
tuyeán cuûa (C) thì tieáp tuyeán naøy coù heä soá goùc nhoû nhaát. 
Ta coù ñieåm uoán I(1, 0)  phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi I: 
 y = f’(1).(x – 1)  y = –3(x – 1) 
  y = –3x + 3 
Ta coù heä soá goùc caùc tieáp tuyeán laø: 
 y’= 3x2 – 6x 
  y = 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 
BXÑ: 
 min y’ = –3 taïi x = 1 
Vaäy heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán I nhoû nhaát. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  80 
5) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán vaø truïc Oy. 
Dieän tích hình phaúng laø : 
11 4 2
3 2 3
0 0
x 3x
S ( 3x 3) (x 3x 2) x x x
4 2
1
S
4
d
 
              
 
 

(ñvdt)
Caâu 58: 
Cho haøm soá y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + 2 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 1 
 y = x3 – 3x2 + 2 
- TXÑ: D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      ñieåm uoán (1, 0) 
- BBT: 
- Ñoà Thò: 
2) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá ñaõ cho coù ñieåm CÑ vaø ñieåm CT ñoàng thôøi caùc ñieåm CÑ vaø 
ñieåm CT naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc tung. 
Ta coù: y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1)x +2 
 y’ = 3x2 – 6mx +3(m2 – 1) 
 y’= 0  x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1) 
Haøm soá coù ñieåm CÑ vaø ñieåm CT ôû hai beân Oy 
  (1) coù hai nghieäm x1, x2 sao cho : x1 < 0 < x2 
  P < 0  m2 – 1 < 0  –1 < m < 1 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  81 
Vaäy -1< m < 1. 
Caâu 59: 
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2x 3
y (1)
x 1



 TXD: D = R \{1} 
2
2
x 2 x 3
y'
(x 1)
x 1
y' 0
x 3
 



    
 Tieäm caän ñöùng: 
 x = -1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta coù: 
4
y x 1
x 1
  

 Tieäm caân xieân: 
 y = x – 1 vì 
4
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Ñoà thò 
 Cho x = 0  y = 3 
 x = -2  y = – 7 
 Ñoà thò: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  82 
 2) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm 
2
M(2, )
5
 sao cho (d) caét ñoà thò 
haøm soá (1) taïi hai ñieåm A, B vaø M laø trung ñieåm AB. 
 Ñöôøng thaúng (d) qua 
2
M(2, )
5
 vaø coù heä soá goùc k: 
2
y (x 2)
5
k   
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (1) vaø (d): 
2
2 2
2
x 3 2
(x 2)
x 1 5
5(x 3)x 5 (x 2)(x 1) 2(x 1) x 0
5(1 )x (5 2)x 10 13 0
k
k
k k k

  

       
      
 Ñöôøng thaúng (d) caét ñoà thò (1) taïi 2 ñieåm A, B sao cho M laø trung ñieåm cuûa AB. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  83 
A B M
2
2
1 0
0
x x 2 x
1
(5 2) 20(1 )(10 13) 0
2 5
4
5(1 )
1
1 6
4 20 (25) 0
5 5
6
5
k
k
k k k
k
k
k
k
k
 

  
  

 

       
 
 


 

  
         
 



 Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng (d) laø: 
6 2
y (x 2)
5 5
6
y x 2
5
  
  
Caâu 60: 
 Cho haøm soá: 2 2 2y x 3x xm m    
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá öùng vôùi m = 0. 
 3 2y x 3x  
 TXD: D = R 
 y’ = 3x2- 6x 
x 0
y' 0
x 2

   
 y’’= 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 y = -2 
  ñieåm uoán I(1, -2) 
 BBT: 
 Ñoà thò: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  84 
 2) Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm CÑ vaø CT ñoái xöùng nhau 
qua ñöôøng thaúng 
1 5
y x
2 2
  
 Ta coù: y = x3 - 3x2 + m2x + m 
 y'= 3x2 - 6x + m2 
 y'= 0  3x2 - 6x + m2 = 0 (1) 
 Haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu  (1) coù hai nghieäm phaân bieät. 
  ’ > 0  9 – 3m2 > 0 
  3 m 3   
 Goïi M1(x1, y1), M2(x2, y2) laø ñieåm CÑ, ñieåm CT cuûa ñoà thò. 
 M1, M2 ñoái xöùng qua (d): 
1 5
y x
2 2
  
1 2M M (d)
1 2Trung ñieåm I cuûa M M (d)  

 - Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc phöông trình ñöôøng thaúng M1M2: 
 2 2
1 1 2 1
y f'(x) x m 2 x m m
3 3 3 3
   
        
   
   2 21 2
2 1
M M : y m 2 x m m
3 3
 
     
 
 - Trung ñieåm I cuûa M1M2 laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò: 
 Ta coù: y’’= 6x – 6 
 y' = 0  x = 1  y = m2 + m – 2  I(1, m2 + m – 2) 
 Ta coù: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  85 
2
1 2
2
2
2 1
m 2 . 1
M M 3 2
I (d) 1 5
m m 2
2 2
m 0 m 0
m 0
m 0 m 1m m 0
 
      
     

 
   
     
 So vôùi ñieàu kieän: 3 m 3   nhaän m = 0. 
 ÑS: m = 0 
Caâu 61: 
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2x x 1
y (C)
x 1
  


 TXD: D = R\{1} 
2
2
x 2 x 2
y' 0, x 1
(x 1)
  
   

  Haøm soá giaûm trong töøng khoaûng xaùc ñònh. 
 Tieäm caän ñöùng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Chia töû cho maãu: 
1
y x
x 1
  

 Tieäm caän xieân: 
 Ta coù: y = - x vì 
1
lim
x 1x 
 BBT: 
 Ñoà thò: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  86 
 2) Chöùng minh raèng  ñöôøng thaúng y = m caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. Xaùc 
ñònh m ñeå ñoä daøi ñoaïn AB ngaén nhaát. 
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: 
2
2
2
2 2
2
x x 1
m
x 1
x x 1 m x m
x (m 1) x m 1 0
(m 1) 4(m 1) m 2m 5
(m 1) 4 0, m
  


     
     
       
    
  Ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B, m. 
 Ta coù: 
2 2 2 2
2 1 2 2 2 1
2 2
2 1 1 2
2 2
A B (x x ) (y y ) (x x ) 0
x x 2 x x
S -2P-2P=S -4P
      
  

 Maø: 
b
m 1
a
c
m 1
a
S
P
    
   
2 2 2
2 2
2
A B ( m 1) 4(m 1) m 2m 5
A B (m 1) 4
A B (m 1) 4
Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1
        
   
   
  
Caâu 62: 
 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2x
y (C)
x 1


 TXÑ: D = R\{1} 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  87 
2
2
x 2 x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2




   
 Tieäm caän ñöùng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta coù: 
1
y x 1
x 1
  

 Tieäm caän xieân: 
 y = x + 1 vì 
1
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Ñoà thò: 
 2) Tìm treân ñöôøng thaúng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå keû tôùi 
(C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goùc 450. 
 - Goïi M(a, 4)  ñöôøng thaúng y = 4, ta coù ñöôøng thaúng y = 4 laø tieáp tuyeán keû töø M 
ñeán (C) vaø song song Ox  tieáp tuyeán thöù hai taïo vôùi Ox 1 goùc baèng ± 450 
  Heä soá goùc tieáp tuyeán taïi M0(x0, y0)  (C) laø f’(x0) = ± 1 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  88 
2
0 0
0 2
0
2
0 0
0 2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2 x
f'(x ) 1 =1 (voâ nghieäm)
(x 1)
x 2 x
f'(x ) 1 = 1 
(x 1)
2
x 1
22 x 4 x 1 0
2
x 1
2
3 2
y 2
2
3 2
y 2
2

 


   


 
   

 


 


 

 Phöông trình tieáp tuyeán taïi M0 laø: 
0 0
1
2
y (x x ) y
y x 3 2 2 (d )
y x 3 2 2 (d )
   
    
 
    
 (d1) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 (d2) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 Vaäy coù 2 ñieåm M thoûa ñieàu kieän cuûa baøi toaùn. 
 1 2M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)    
CAÂU 63: 
Cho haøm soá 3 22 3( - 3) 11- 3y x m x m   ( mC ) 
 1. Cho m=2. Tìm phöông trình caùc ñöôøng thaúng qua 
9
( ,4)
12
A vaø tieáp xuùc vôùi (C2). 
 Vôùi m=2: 3 22 3 5y x x   (C2). 
 Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø coù heä soá goùc k: 
19
( ) 4
12
y k x   
 (d) tieáp xuùc (C2) 
193 22x 3 5 ( ) 4 (1)
12 
26 6 (2)
x k x
x x k

    

  
 coù nghieäm. 
 Thay (2) vaøo (1): 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  89 
193 2 22 3 5 (6 6 )( ) 4
12
3 28 25 19 2 0
2( 1)(8 17 2) 0
1 0
2 12
1 21
8 32
x x x x x
x x x
x x x
x k
x k
x k
     
    
    

   

   

   

 Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua A vaø tieáp xuùc vôùi (C2) laø: 
 y=4 hay y=12x - 15 hay
21 645
32 128
y x   
 2. Tìm m ñeå haøm soá coù 2 cöïc trò. 
 Ta coù: 3 22 3( 3) 11 3y x m x m     
 , 26 6( 3)y x m   
 , 20 6 6( 3) 0y x m     (1) 
 0
(1)
3
x
x m

   
 Haøm soá coù 2 cöïc trò  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät 
 3 0 3m m     . 
 Tìm m ñeå 2 ñieåm cöïc trò M1, M2 vaø B(0, -1) thaúng haøng. 
 Ñeå tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò M1, M2 ta chia f(x) cho
' ( )f x : 
1 3' 2( ) ( ) ( 3) 11 3
3 6
m
f x f x x m x m
 
      
 
 Suy ra phöông trình ñöôøng thaúng M1M2 laø: 
 2( 3) 11 3y m x m     
 M1, M2, B thaúng haøng B  M1M2 
  -1=11-3m  m= 4 
 So vôùi ñieàu kieän m 3 nhaän m= 4 
 ÑS:m=4 
Caâu 64: 
1) a. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:   3
1 2
3 3
y x x (C) 
 TXÑ: D = R 
 
 
   

2' 1
1
' 0
1
" 2
y x
x
y
x
y x
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  90 
     
2
" 0 0
3
y x y Ñieåm uoán 
 
 
 
2
0,
3
 BBT: 
 Ñoà thò: 
Cho   2, 0x y 
  
4
2,
3
x y 
b. Tìm ñieåm treân (C) taïi ñoù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 
   
1 2
3 3
y x (d) 
Goïi  0 0 0( , ) ( )M x y C heä soá goùc tieáp tuyeán taïi 0M laø:  
2
0 0'( ) 1f x x 
Tieáp tuyeán taïi 0M vuoâng goùc (d)   0
1
'( )
d
f x
k
       
  
   
2 2
0 0 0
0 0
0 0
1 3 4 2
4
2
3
2 0
x x x
x y
x y
Vaäy coù 2 ñieåm M: 0 ( 2,0)M vaø 1
4
(2, )
3
M 
2)   
1
2 2
0
(1 ) .I x x dx 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  91 
     
     
    
    


1
2 4 2 3
0
1
4 3 2
0
1
5 3
4 2
0
1 1 1 11
1 1
5 2 3 30
(1 2 2 2 )
( 2 2 1)
1
5 2 3
x x x x x dx
x x x x dx
x x
x x x