Đề thi tuyển sinh sau Đại học năm 2014 - Môn: Toán cao cấp III

3.1 Đề thi đợt 1 năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2014
Môn thi cơ bản: Toán cao cấp III
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình sau
Câu 2. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
Câu 3. Chứng minh rằng hàm ; a, b Î R thỏa mãn phương trình
Câu 4. Tính các giới hạn sau
Câu 5. Vẽ đồ thị (C): rồi tính tích phân đường theo chiều tăng của đối số x
Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp một thỏa mãn y(0) = 2
Lời giải:
Câu 1: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a:
	Ma trận liên kết mở rộng của hệ:
	+ Nếu a ¹ –1 thì hệ phương trình vô nghiệm.
	+ Nếu a = –1 thì hệ trở thành:
Kết luận:
	+ Nếu a ¹ –1 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 
	+ Nếu a = –1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm (phụ thuộc vào t):
	(x, y, z, t) = (–1; 5t – 6; 3t – 3; t)	"t Î R
Câu 2: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:
	Dạng toàn phương này tồn tại aii ¹ 0 nên thuộc trường hợp 1. Ta đưa về dạng chính tắc bằng cách nhóm tất cả các số hạng chứa x1 với nhau và lập thành bình phương của một tổng. Làm tương tự với các số hạng chứa x2, x3
	Đặt: 
Suy ra: . Đây là dạng chính tắc cần tìm.
Câu 3: Chứng minh: 
	Ta có: 	
(với điều kiện Û x ¹ a hoặc y ¹ b). Vì chỉ có logarit của một số dương. 
	+ Tính các đạo hàm riêng cấp hai đối với x và y:
	Do đó:
	(điều phải chứng minh)
Câu 4: Tìm các giới hạn:
	(vì )
	Sử dụng công thức khai triển Taylor của các hàm số tại x = 0 ta được:
	(với o(x) là vô cùng bé của x)
	Một vấn đề gặp phải là khai triển đến bậc bao nhiêu đối với x. Thương thì ta nên khai triển các hàm số đến bậc k nào đó (k có thể khác nhau đối với từng hàm số) để khi nhân ra sẽ được cùng bậc với số hạng tự do. Ví dụ trong bài này số hạng tự do nằm dưới mẫu và có bậc bằng 2. Do đó, trên tử ta chỉ cần khai triển đến bậc 1 đối với sinx và bậc 1 đối với (1 + xsinx)a là được.
	Giới hạn là:
	Đối với câu này, nếu khai triển Taylor của hàm số ex và cos(x) sẽ không thuận lợi cho việc rút gọn. Có thể sử dụng quy tắc Bernoulli (tức quy tắc L'Hospital) rồi sau đó áp dụng giới hạn của một số dạng đặc biệt:
	(vì x ® 0 thì xex và xe-x ® 0)
Câu 5: Vẽ đồ thị và tính tích phân đường:
 * Vẽ đồ thị (C) của hàm số: 
	Ta có: 
	Mà: nên:
	Đồ thị của hàm số như sau: 
 * Tích phân đường theo chiều tăng của đối số x:
	Đây là tích phân đường loại 2 có y = y(x). Chia thành 2 khoảng lấy tích phân [0,1] và [1, 2] ứng với y = x và y = 2 – x
Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
	Điều kiện: x ¹ –1
	Ta thấy, tất cả các hệ số của các số hạng của chuỗi đều khác 0. Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi là:
	với an và an+1 là hệ số của số hạng thứ n và thứ (n+1)
	Do đó miền hội tụ của chuỗi đã cho là:
	+ Xét tại x = –1: các số hạng của chuỗi không xác định. Chuỗi không hội tụ ở –1
	+ Xét tại x = 0, chuỗi trở thành:
	có dạng chuỗi số phân kỳ.
Kết luận:
	Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là khoảng: 
Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp một thỏa mãn y(0) = 2
	Đầu tiên, tìm nghiệm tổng quát của phương trình. Sau đó thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát để suy ra hằng số C và tìm được nghiệm cụ thể.
	Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 này có dạng:
	y' + p(x)y = q(x)
	Nhân cả hai vế với sau đó rút gọn đi và lấy tích phân để suy ra nghiêm.
	Nhân cả hai vế với ta được:
	Ta thấy, vế trái chính là đạo hàm của . Do đó:
	Lấy tích phân hai vế theo x:
	(với C là hằng số)
Đây là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho. Nghiệm cụ thể của phương trình phải thỏa mãn điều kiện đầu. Ta có:
	Vậy, nghiệm của phương trình là: