Định lí điểm bất động chung với điều kiện co kiểu Pata suy rộng trong không gian b-mêtric sắp thứ tự

.5, suy ra tồn tại hai số dương ,c d sao cho 
2 1 2 1( ) .n nc c c d
a ae e y e+ +£ + Giả sử 2 1{ }nc + không bị chặn. Khi đó, tồn tại dãy con 
2 1in
c + ® ¥ thỏa mãn 2 1 2 1( ) .i in nc c c d
a ae e y e+ +£ + Chọn 
2 1
1 ,
i
i
n
d
c
e e
+
+= = ta có 
2 1
2 1 2 1
1 11 .
i
i i
n
n n
d dd c c d
c c
a
ay +
+ +
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç+ £ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
 Điều này dẫn đến ( )
2 1
11 1 0.
in
dc d
c
a
y
+
æ ö÷ç + ÷ç£ + ®÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Điều này là một mâu thuẫn. Vậy 2 1{ }nc + là dãy bị chặn. Bằng lập luận tương tự như 
trên, ta cũng chứng minh được 2 2{ }nc + là dãy bị chặn. Vậy { }nc là dãy bị chặn. Mặt 
khác, từ (2.1), ta có 
2 2 1 2 1 2
2 1 2 2 1 0 2 0 2 2 03
( , ) ( , )
1 ( , ) ( ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) .
n n n n
ba
n n n n n
d x x d fx gx
d x x d x x d x x d x x
s
e ge y e
+ -
- - +
=
- é ù£ + + + +ê úë û
Do { }nc bị chặn nên tồn tại 0M ³ sao cho nc M£ với mọi .n Î ¥ Do đó 
2 1 0 2 0 2 2 01 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1 4 ) .n n nd x x d x x d x x M
b b
- +
é ù+ + + £ +ê úë û 
Đặt (1 4 ) 0.K M bg= + ³ Ta có 2 2 1 2 1 23
1( , ) ( , ) ( ).n n n nd x x d x x Ks
ae e y e+ -
-£ + 
Cho ,n ® ¥ ta có * * *
3
1 ( ) (1 ) ( ).d d K d K
s
a ae e y e e e y e-£ + £ - + Suy ra 
* ( ) ( ).d K Kae e y e ey e£ £ Vì vậy * 0d = hay 1lim ( , ) 0.n nn d x x +® ¥ = 
Tiếp theo, ta chứng minh { }nx là dãy Cauchy. Do 1lim ( , ) 0n nn d x x +® ¥ = nên theo 
Bổ đề 1.6 ta chỉ cần chứng minh 2{ }nx là dãy Cauchy trong ( , , , ).X d s ° Giả sử ngược 
lại 2{ }nx không là dãy Cauchy trong ( , , , ).X d s ° Khi đó, tồn tại 0d > và hai dãy con 
2 ( ) 2 ( ){ },{ }n k m kx x của 2{ }nx sao cho 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
87 
( ) ( )m k n k k³ ³ và 2 ( ) 2 ( )( , ) .n k m kd x x d³ (2.7) 
Với mỗi *,k Î ¥ ( )n k ta chọn ( )m k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (2.7). 
Khi đó 
2 ( ) 2 ( ) 2( , ) .n k m kd x x d- < (2.8) 
Ta có 
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ), ) ( , ) ( , ).( m k n k m k m k m k n kx x sd x x sd x xdd + +£ +£ (2.9) 
Cho k ® ¥ trong (2.9), ta có 
2 ( ) 1 2 ( )lim sup ( , ).m k n k
k
d x x
s
d
+
® ¥
£ (2.10) 
Từ (2.8), ta có 
2 2
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ), ) ( , ) ( , ) ( , )( m k n k m k m k m k m k m k n kx x s d x x s d x x sd x xd - - - -£ + + 
2 2
2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2( , ) ( , ) .m k m k m k m ks d x x s d x x sd- - -< + + (2.11) 
Cho k ® ¥ trong (2.11), ta có 
2 ( ) 2 ( )lim sup ( , ) .m k n k
k
d x x sd
® ¥
£ (2.12) 
Ta cũng có 
2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1, ) ( , ) ( , ).( m k n k m k n k n k n kx x sd x x sd x xd - -£ + (2.13) 
Cho k ® ¥ trong (2.13) và sử dụng (2.10), ta có 
2
2 ( ) 2 ( ) 1lim sup , ) .( m k n k
k
x x sd d-
® ¥
£ (2.14) 
Tương tự, 
2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1, ) ( , ) ( , ).( m k n k m k m k m k n kx x sd x x sd x xd + - + -£ + (2.15) 
Cho k ® ¥ trong (2.15) và sử dụng (2.14), ta có 
3
2 ( ) 1 2 ( ) 1lim sup , ) .( m k n k
k
x x sd d+ -
® ¥
£ (2.16) 
Mặt khác, trong (2.1), thay x bởi 2 ( ) 1n kx - và y bởi 2 ( ),m kx ta có 
2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( )
2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 0 2 ( ) 03
2 ( ) 0 2 ( ) 1 0
( , ) ( , )
1 ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , )
 ( , ) ( , ) .
n k m k n k m k
fg n k m k n k m k
n k m k
d x x d fx gx
M x x d x x d x x
s
d x x d x x
a
b
e ge y e
+ -
- -
+
=
- é£ + + +êë
ù+ + úû
Do { }nc bị chặn nên tồn tại 0M ³ sao cho nc M£ với mọi .n Î ¥ Do đó 
2 ( ) 1 0 2 ( ) 0 2 ( ) 0 2 ( ) 1 01 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1 4 ) .n k m k n k m kd x x d x x d x x d x x M
b b
- +
é ù+ + + + £ +ê úë û 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 6(84) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
88 
Khi đó 
{2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 13
2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( )
1( , ) , , ,
 ( )(1 4 ) .
2
max ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
n k m k n k m k n k n k m k m k
n k m k m k n k
d x x d d d
s
d d
M
s
x x x x x x
x x x x
a b
e
ge y e
+ - - +
- +
-£
üï+ ïï + +ýïïïþ
(2.17) 
Cho k ® ¥ trong (2.17), sử dụng (2.10), (2.14) và (2.16), ta được
 3
2
3
1 1max , 0, 0, ( )(1 4 ) ( )(1 4 ) .
2
s ss M M
s s ss
a b a bd e d d ed ge y e d ge y e
ì üï ï- + -ï ï£ + + = + +í ýï ïï ïî þ
Suy ra ( ) ( )K Kaed e y e ey e£ £ với (1 4 ) 0.K s M bg= + ³ Vì vậy 0.d = Điều này là 
một mâu thuẫn. Vậy 2{ }nx là dãy Cauchy trong ( , , ).X d s Do đó, { }nx là dãy Cauchy 
trong ( , , ).X d s Do ( , , )X d s là không gian b -mêtric đầy đủ nên tồn tại z XÎ để 
lim .nn x z® ¥ = 
Giả sử f là ánh xạ liên tục. Khi đó, 1lim lim (lim )n n nn n nz x fx f x fz+® ¥ ® ¥ ® ¥= = = = hay z 
là điểm bất động của .f Theo Bước 1, ta có z là điểm bất động chung của f và .g Tương 
tự, nếu g liên tục thì ta cũng chứng minh đượcz là điểm bất động chung của f và .g 
Giả sử giả thiết ( )H được thỏa mãn. Do { }nx là dãy tăng và lim nn x z® ¥ = nên 
.nx z° Do đó, trong (2.1), thay x bởi 2 1nx + và y bởi ,z ta được 
2 2 2 1
2 1 2 1 0 0 2 2 0 03
2 1 2 2
2 1 2 1 2 23
( , ) ( , )
1 ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )1 max ( , ), ( , ), ( , ),
2
n n
fg n n n
n n
n n n
d x gz d fx gz
M x z d x x d z x d x x d gz x
s
d x gz d z x
d x z d x x d z gz
ss
bae ge y e
e
+ +
+ + +
+ +
+ + +
=
- é ù£ + + + + +ê úë û
ì üï +- ï£ íïïî
ïïýïïþ
 2 1 0 0 2 2 0 0( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .n nd x x d z x d x x d gz x
bage y e + +é ù+ + + + +ê úë û (2.18) 
Cho n ® ¥ trong (2.18) và sử dụng Bổ đề 1.4, ta có 
0 03
0 0
1 1( , ) ( , ) ( ) 1 2 ( , ) ( , ) ( , )
1 ( , ) ( ) 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) .
d z gz sd z gz sd z x d z x d z gz
s s
d z gz sd z x d z x d z gz
s
ba
ba
e ge y e
e ge y e
- é ù£ + + + +ê úë û
- é ù£ + + + +ê úë û
Suy ra ( , ) ( )d z gz N ae e y e£ với 0 01 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0.N s sd z x d z x d z gz
b
g é ù= + + + ³ê úë û 
Điều này dẫn đến ( , ) ( )d z gz N y e£ với mọi e Î [0,1]. Cho 0,e = ta có 
( , ) (0) 0.d z gz N y£ = Suy ra ( , ) 0.d z gz = Vì vậy gz z= hay z là điểm bất động của 
.g Suy ra z là điểm bất động chung của f và .g 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
89 
Trong Định lí 2.1 bằng cách chọn f g= chúng tôi nhận được hệ quả sau, là một 
mở rộng của [8, Theorem 3.2] sang không gian b -mêtric. 
Hệ quả 2.2. Cho ( , , , )X d s ° là một không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ và 
:f X X® là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau: 
(1) x fx° với mọi .x XÎ 
(2) Tồn tại 0 , 1, [0, ], 0x X a b a gÎ ³ Î ³ và hàm y Î Y sao cho 
0 0 0 03
1( , ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )sd fx fy M x y d x x d y x d fx x d fy xs
bae ge y e- é ù£ + + + + +ê úë û 
với mọi [0,1]e Î và mọi ,x y XÎ mà ,x y° trong đó 
( , ) ( , )( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), .
2s
d x fy d y fxM x y d x y d x fx d y fy
s
ì üï ï+ï ï= í ýï ïï ïî þ
(3) f liên tục hoặc ( , , , )X d s ° thỏa mãn giả thiết (H): Nếu { }nx là dãy tăng 
trong X và lim nn x x X® ¥ = Î thì nx x° với mọi .n 
Khi đó, f có điểm bất động. 
Vì mỗi mêtric là một b-mêtric với 1s = nên từ Định lí 2.1 ta nhận được hệ quả sau. 
Hệ quả 2.3. Cho ( , , , )X d s ° là một không gian mêtric sắp thứ tự đầy đủ và 
, :f g X X® là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau: 
(1) Tồn tại 0x XÎ sao cho 0 0.x gx° 
(2) Cặp ánh xạ ( , )f g tăng yếu. 
(3) Tồn tại 1, [0, ], 0a b a g³ Î ³ và hàm y Î Y sao cho 
 0 0 0 0( , ) (1 ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fx gy M x y d x x d y x d fx x d gy x
bae ge y e é ù£ - + + + + +ê úë û 
với mọi [0,1]e Î và mọi ,x y XÎ mà ,x y° trong đó 
( , ) ( , )( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), .
2fg
d x gy d y fxM x y d x y d x fx d y gy
ì üï ï+ï ï= í ýï ïï ïî þ
(4) f hoặc g liên tục, hoặc ( , , , )X d s ° thỏa mãn giả thiết (H): Nếu { }nx là dãy 
tăng trong X và lim nn x x X® ¥ = Î thì nx x° với mọi .n 
Khi đó, f và g có điểm bất động chung. 
Nhận xét 2.4. Vì mỗi mêtric là một b-mêtric với 1s = nên từ Hệ quả 2.2 ta nhận 
được [8, Theorem 3.2]. 
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra ví dụ minh họa cho sự tồn tại điểm bất động của cặp 
ánh xạ ( , )f g thỏa mãn giả thiết Định lí 2.1 và chứng tỏ rằng Định lí 2.1 là một sự tổng 
quát của Hệ quả 2.2. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 6(84) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
90 
Ví dụ 2.5. Cho {0} [1,3] [4,5]X = È È với thứ tự ° xác định bởi: x y° nếu 
x y trên ¡ và ánh xạ : [0, )d X X´ ® ¥ xác định bởi 2( , ) ( )d x y x y  với mọi 
, .x y X Khi đó, ( , , , )X d s ° là không gian b -mêtric sắp thứ tự đầy đủ với 2.s = Xét 
ánh xạ :f X X® xác định bởi 
 
 


0 neáu {0,3}
2 neáu 5
1 caùc tröôøng hôïp coøn laïi.
x
fx x 
Khi đó, với mọi ,x XÎ ta có x fx³ hay .x fx° Lấy 
0 0, 0, 1x e a b g= = = = = và ( )t ty = với mọi [0,1].t Î Chọn ( , ) (5, 3),x y = ta có 
0 0 0 03
1 9( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ).
82 s
M x y d x x d y x d fx x d fy x d fx fy
bae ge y e- é ù+ + + + + = < =ê úë û
 Suy ra giả thiết (2) trong Hệ quả 2.2 không thỏa mãn. Do đó, Hệ quả 2.2 không 
áp dụng được cho ánh xạ .f 
Bây giờ, ta xét ánh xạ g xác định bởi 0 0g = và 1gx = với mọi 
[1, 3] [4, 5].x Î È 
Ta có 0 0x gx³ hay 0 0.x gx° Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta có fx gfx và 
gx fgx với mọi .x X Do đó, fx gfx° và gx fgx° với mọi x X hay ( , )f g là 
cặp ánh xạ tăng yếu. 
Đặt 
0 0 0 03
1 ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2 fg
V P M x y d x x d y x d fx x d gy x
bae ge y e- é ù= + + + + +ê úë û 
Khi đó, với mọi ( , )x y X XÎ ´ mà x y° ta có .x y³ Với mọi [0,1],e Î ta xét 
các trường hợp sau: 
Trường hợp 1. 0x y= = hoặc , [1, 3)x y Î hoặc [4, 5), [1, 3] [4, 5).x yÎ Î È Khi 
đó ( , ) 0.d fx gy = 
Trường hợp 2. {3,5}, [1,3]x yÎ Î hoặc 5, [4, 5].x y= Î Khi đó ( , ) 1d fx gy = và 
2
2 2 2 29 9 9 1071(1 ) (11 ) (1 ) 12 2 8 .
8 8 32 1024
V P ye e e e e e
æ ö÷ç ÷³ - + + ³ - + ³ - + +ç ÷ç ÷çè ø
Như vậy, từ các trường hợp trên, ta có điều kiện (3) của Định lí 2.1 được thỏa 
mãn. Hơn nữa, g là ánh xạ liên tục trên X . Do đó, các giả thiết của Định lí 2.1 được 
thỏa mãn. Vì vậy, Định lí 2.1 áp dụng được cho cặp ánh xạ ( , ).f g 
Ví dụ sau chứng tỏ rằng Hệ quả 2.3 là một sự tổng quát của [8, Theorem 3.2]. 
Ví dụ 2.6. Cho {1,2,3,4,5}X = với thứ tự ° xác định bởi: x y° nếu x y trên 
¡ và ánh xạ : [0, )d X X´ ® ¥ xác định bởi 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
91 
ìï =ïïï Îïï= íï Îïïïïïî
0 neáu 
1 neáu ( , ) {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}
( , )
3 neáu ( , ) {(1,4),(4,1),(1,5),(5,1)}
2 tröôøng hôïp coøn laïi.
x y
x y
d x y
x y
Khi đó, ( , , , )X d s ° là không gian mêtric sắp thứ tự đầy đủ. Xét ánh xạ 
:f X X® xác định bởi 
1 2 3 1, 4 2, 5 3.f f f f f= = = = = Khi đó, với mọi ,x XÎ ta có x fx³ hay 
.x fx° Lấy 0
10, , 1
8
x e a b g= = = = = và ( )t ty = với mọi [0,1].t Î Lấy 
( , ) (5, 4),x y = ta có 
0 0 0 0
121(1 ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ).
64
M x y d x x d y x d fx x d fy x d fx fy
bae ge y e é ù- + + + + + = < =ê úë û
 Suy ra điều kiện co trong [8, Theorem 3.2] không thỏa mãn. Do đó, [8, Theorem 
3.2] không áp dụng được cho ánh xạ .f 
Bây giờ, ta xét ánh xạ g xác định bởi 1gx = với mọi .x XÎ Ta có 0 0x gx³ hay 
0 0.x gx° Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có fx gfx và gx fgx với mọi .x X Do 
đó, fx gfx° và gx fgx° với mọi x X hay ( , )f g là cặp ánh xạ tăng yếu. 
Đặt 
0 0 0 0(1 ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .fgV P M x y d x x d y x d fx x d gy x
bae ge y e é ù= - + + + + +ê úë û 
Khi đó, với mọi ( , )x y X XÎ ´ mà x y° ta có .x y³ Với mọi [0,1],e Î ta xét 
các trường hợp sau: 
Trường hợp 1. ( , ) {(2,1),(3,2),(3,1), (1,1),(2,2),(3,3)}.x y Î Khi đó 
( , ) 0.d fx gy =
Trường hợp 2. ( , ) {(4,1),(5,1)}.x y Î Khi đó ( , ) 1d fx gy = và 
2 21 (1 ) 4 .VP e e= + - + 
Trường hợp 3. ( , ) {(4,2),(5,3)}.x y Î Khi đó ( , ) 1d fx gy = và 
2 21 (1 ) 5 .VP e e= + - + 
Trường hợp 4. ( , ) {(4,3),(5,2)}.x y Î Khi đó ( , ) 1d fx gy = và 
2 23 (1 ) 5 .
2
VP e e= + - + 
Trường hợp 5. ( , ) {(5,4),(4,4),(5,5)}.x y Î Khi đó 
( , ) 1d fx gy = và 
2 23 232 1 .
2 4
VP e e
æ ö÷ç ÷= + - +ç ÷ç ÷çè ø 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 6(84) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
92 
Như vậy, từ các trường hợp trên, giả thiết (3) của Hệ quả 2.3 được thỏa mãn. Hơn 
nữa, ( , )f g là cặp ánh xạ tăng yếu và liên tục. Do đó, các giả thiết của Hệ quả 2.3 được 
thỏa mãn. Vì vậy, Hệ quả 2.3 áp dụng được cho cặp ánh xạ ( , ).f g 
Cuối cùng, chúng tôi sử dụng Định lí 2.1 để khảo sát sự tồn tại nghiệm của hệ 
phương trình tích phân phi tuyến. 
Hệ quả 2.7. Cho [ , ]C a b là tập hợp các hàm số liên tục trên [ , ]a b , quan hệ thứ tự trên 
[ , ]C a b xác định bởi: x y° nếu ( ) ( )x t y t£ với mọi [ , ]t a bÎ và b -mêtric d với 
12ps -= trên [ , ]C a b xác định bởi 
[ , ]
( , ) sup | ( ) ( )|p
t a b
d x y x t y t

  với mọi , [ , ]x y C a b và 
với  1.p Xét hệ phương trình tích phân phi tuyến 
1
2
( ) ( ) ( , , ( ))
( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
b
a
x t g t K t s x s ds
x t g t K t s x s ds

 


  



 (2.19) 
trong đó [ , ],t a bÎ : [ , ] ,g a b ® ¡ 1 2, : [ , ] [ , ]K K a b a b´ ´ ®¡ ¡ là các hàm số cho trước. 
Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn: 
(H1) g là hàm số liên tục trên [ , ],a b với mỗi [ , ],t a bÎ [ , ]x C a bÎ các hàm số 
1( , , ( ))K t s x s và 2( , , ( ))K t s x s khả tích theo biến s trên [ , ].a b 
(H2) , [ , ]T x Sx C a bÎ với [ , ],x C a bÎ trong đó 
1( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
T x t g t K t s x s ds   và 2( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
Sx t g t K t s x s ds   với [ , ].t a bÎ 
(H3)Với , [ , ], [ , ],t s a b x C a bÎ Î ta có 1 2 1( , , ( )) ( , , ( , , ( )) ( ))
b
a
K t s x t K t s K s u x u du g s£ +ò 
và 2 1 2( , , ( )) ( , , ( , , ( )) ( )).
b
a
K t s x t K t s K s u x u du g s£ +ò 
(H4) Tồn tại 0 [ , ]x C a bÎ sao cho 0 1 0( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
x t g t K t s x s ds£ + ò với mọi 
[ , ].t a bÎ 
(H5) Tồn tại hằng số 1a ³ và [0, ]b aÎ sao cho với , [ , ]t s a bÎ và , [ , ]x y C a bÎ 
thỏa mãn ( ) ( )x u y u° với mọi [ , ],u a bÎ ta có 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
93 
1 2
0 0 0 0
( , , ( )) ( , , ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( , )(1 )max ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ,
2
 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p
p p
p p p
p
p p p p
K t s x t K t s y t
x t Sy t y t Tx t
t s x t y t x t Tx t y t Sy t
x t x t y t x t Tx t x t Sy t x t
b
a
x e
e y e
-
ì üï ïï ï- + -ï ï£ - - - -í ýï ïï ïï ïî þ
é ù+ + - + - + - + -ê úê úë û
với mọi [0,1],e Î trong đó : [ , ] [ , ] [0, )a b a bx ´ ® ¥ là hàm liên tục thỏa mãn 
3 3 1
[ , ]
1sup ( , ) .
2 ( )
b
p pt a b a
s t ds
b a

 


 
Khi đó, hệ phương trình tích phân phi tuyến (2.19) có nghiệm [ , ].x C a bÎ 
Chứng minh. Xét hai ánh xạ , : [ , ] [ , ]T S C a b C a b xác định bởi 
1( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
T x t g t K t s x s ds   và 2( ) ( ) ( , , ( ))
b
a
Sx t g t K t s x s ds   
với mọi [ , ]t a b và [ , ].x C a b Khi đó, sự xác định của cặp ánh xạ ,S T được suy ra 
từ giả thiết (H1) và (H2). Hơn nữa, sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ ,S T 
dẫn đến sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tích phân (2.19). Do đó, ta sẽ chứng 
minh rằng cặp ánh xạ ,S T thỏa mãn các giả thiết của Định lí 2.1. 
(1) Từ giả thiết (H4), ta suy ra tồn tại 0 [ , ]x C a bÎ sao cho 0 0.x Sx° 
(2) Với [ , ]x C a bÎ và , [ , ],s t a bÎ từ giả thiết (H3), ta có 
2 1 2( ) ( ) , , ( , , ( )) ( ) ( ) ( , , ( )) ( ),
b b b
a a a
Tx t g t K t s K s u x u du g s ds g t K t s Tu s ds STx t
æ ö÷ç ÷ç£ + + £ + =÷ç ÷ç ÷çè ø
ò ò ò 
1 2 1( ) ( ) , , ( , , ( )) ( ) ( ) ( , , ( )) ( ).
b b b
a a a
Sx t g t K t s K s u x u du g s ds g t K t s Su s ds TSx t
æ ö÷ç ÷ç£ + + £ + =÷ç ÷ç ÷÷çè ø
ò ò ò 
Điều này dẫn đến T x ST x° và Sx T Sx° với mọi [ , ].x C a b Do đó, cặp ,T S 
là cặp ánh xạ tăng yếu. 
(3) Lấy 1q  sao cho 1 1 1.
p q
+ = Từ giả thiết (H5), ta có 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 6(84) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
94 
1 2
1 1
1 2
 | ( ) ( )|
( , , ( )) ( , , ( ))
( , , ( )) ( , , ( ))
p
pb
a
p
b bq pp
a a
T x t Sy t
K t s x s K t s y s ds
ds K t s x s K t s y s ds
-
æ ö÷ç ÷ç£ - ÷ç ÷ç ÷çè ø
é ù
ê úæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç£ -÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è ø
ê úë û
ò
ò ò
{1( ) ( , )(1 ) max ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )
2
b
p p pp
a
p p
p
b a t s x t y t x t T x t y t Sy t
x t Sy t y t Sx t
ds
x e-
é æê ç£ - - - - -çê çèêë
öüï ÷ï- + - ÷ï ÷÷ý÷ï ÷÷ï ÷ï øþ
ò
0 0 0 0( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
p p p p
a
x t x t y t x t T x t x t Sy t x t ds
b
ae y e é ù+ + - + - + - + -ê úê úë ûò
1
0 0 0 0
(1 )( ) ( , ) ( , )
 ( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
b
p
fg
a
p
b a M x y t s ds
b a d x x d y x d T x x d Sy x
ba
e x
e y e
-£ - -
é ù+ - + + + +ê úë û
ò 
0 0 0 03 3
1 ( , ) ( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2
p
fgp
M x y b a d x x d y x d T x x d Sy x
bae e y e
-
- é ù£ + - + + + +ê úë û 
Do đó, điều kiện (2.1) thỏa mãn với ( ) 0.pb ag = - ³ 
(4) [ , ]C a b là không gian b -mêtric đầy đủ với b -mêtric d đã chọn. Hơn nữa, giả 
sử { }nx là dãy tăng trong [ , ]C a b và lim .nn x x® ¥ = Khi đó, với mỗi [ , ],t a bÎ ta có 
1 2( ) ( ) ... ( ) ...nx t x t x t£ £ £ £ và lim ( ) ( ).nn x t x t® ¥ = Do đó, với mỗi [ , ],t a bÎ ta có 
( ) ( )nx t x t£ với mọi .n Î ¥ Suy ra nx x° với mọi .n Î ¥ Vậy giả thiết (H) trong 
Định lí 2.1 được thỏa mãn. 
Như vậy, các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn. Do đó, cặp ánh xạ ( , )T S có 
điểm bất động chung [ , ].x C a bÎ Vì vậy, phương trình tích phân phi tuyến (2.19) có 
nghiệm [ , ].x C a bÎ 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
95 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Aghajani, A., Abbas, M., & Roshan, J. R. (2014), “Common fixed point of 
generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric spaces”, Math. 
Slovaca, 64(4), 941-960. 
2. An, T. V., Dung, N. V., Kadelburg, Z., & Radenovic, S. (2015), “Various 
generalizations of metric spaces and fixed point theorems”, Rev. R. Acad. Cienc. 
Exactas Fis. Nat. Ser. A Mat. RACSAM, 109, 175-198. 
3. Balasubramanian, S. (2014), “A Pata-type fixed point theorem”, Math. Sci., 8(3), 65-69. 
4. Collaco, P. & Silva, J. C. E. (1997), “A complete comparison of 25 contraction 
conditions”, Nonlinear Anal., 30(1), 471-476. 
5. Czerwik, S. (1998), “Nonlinear set-valued contraction mappings in b -metric spaces”, 
Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena, 46(2), 263-276. 
6. Eshaghi, M., Mohseni, S., Delavar, M. R., Sen, M. D. L., Kim, G. H., & Arian, A. 
(2014), “Pata contractions and coupled type fixed point”, Fixed Point Theory Appl., 
2014:130, 1-10. 
7. Gordji, D. E., Baghani, H., & Kim, G. H. (2012), “Common fixed point theorems 
for( , )y f -weak nonlinear contraction in partially ordered sets”, Fixed Point Theory 
Appl., 2012:62, 1-12. 
8. Kadelburg, Z. & Radennovic, S. (2014), “Fixed point and tripled fixed point theorems 
under Pata-type conditions in ordered metric paces”, Int. J. Anal. Appl., 6(1), 113-122. 
9. Pata, V. (2011), “A fixed point theorem in metric spaces”, J. Fixed Point Theory 
Appl., 10, 299-305. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 29-01-2016; ngày phản biện đánh giá: 10-6-2016; 
ngày chấp nhận đăng: 13-6-2016)