Giá trình Cơ học lý thuyết - Phần: Động lực học

: π = -mgs.sinα + const. 
 Trang 73 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 
truCCC JmVT
22
2
1
2
1 ω+= 
αα sin,cos sVsxVVVV CyCxerC 
GGG −=+=⇒+= 
2
2
1; mRJ
R
s
R
V
C
r
tru === ω 
 Do đó : [ ] 2222
4
1sin)cos(
2
1 smssXmTC  +++= αα 
 Vậy động năng của hệ là : 
[ ] 222 1cos2
2
1)(
2
1 sssxmxmMT  ++++= α 
 Hàm Lagơrăng L = T- π của hệ là : 
mssxmsmxmML −+++= α sincos
4
3)(
2
1 22 
 Ta tính : 
s
L
s
L
x
L
x
L
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ;;;  
α
α
α
α
cos
2
3
sin;0
cos)(
cos)(
xmsm
s
L
mg
s
L
x
L
smxmM
x
L
dt
d
smxmM
x
L



+=∂
∂
−=∂
∂=∂
∂
++=∂
∂
++=∂
∂
αcos
2
3)( xmsm
s
L
dt
d  +=∂
∂ 
 Thay các biểu thức này vào phương trình (1) và (2) ta
0sincos
2
3
0cos)(
=++
=++
αα
α
mgxmsm
smxmM


 Từ (3) và (4) dễ dàng tìm được : 
α
α
α
α
2
2
cos2)(3
sin)(2
cos2)(3
2sin
mmM
gmMs
mmM
mgx
−+
+=
−+=


Vậy hệ chuyển động biến đổi đều. Nếu ban đầu hệ đứng y
còn lăng trụ sẽ trượt qua trái. 
Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng 4
mconst+α 
 nhận được : 
(3)
(4)
ên thì khối trụ lăn xuống, 
 Trang 74 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
LÝ THUYẾT VA CHẠM 
 Mọi quá trình chuyển động của vật thể không phải bao giờ cũng diễn ra một 
cách đều đặn, mà có thể xảy ra sự biến đổi đột ngột. Vì vậy, khi nghiên cứu ta cần chú 
ý đến các đặc điểm, các hiện tượng đặc biệt của chuyển động. Ở chương này ta sẽ 
nghiên cứu một loại chuyển động đặc biệt đó là sự vật chạm. Va chạm là một bài toán 
ta thường gặp trong thực tế và kỹ thuật. Trước khi nghiên cứu hiện tượng này ta cần 
nắm vững các đặc điểm và các giả thuyết sau đây : 
§1. CÁC ĐẶC ĐIỂM VÀ GIẢ THUYẾT VỀ VA CHẠM 
1. Va chạm : Là quá trình động lực trong đó vận tốc chuyển động cảu cơ hệ thay đổi 
đột ngột trong khoảng thời gian vô cùng bé. Thời gian va chạm của hai vật thường xảy 
ra khoảng từ 10-2 đến 10-4 giây. 
 Ví dụ về va chạm như khi búa đóng đinh, đóng cọc, quả bóng đá vào tường lại 
bật ra ngay. 
2. Các giai đoạn va chạm : 
 Quan sát hiện tượng, ta thấy các vật khi va chạm bị biến dạng ở vùng chúng 
tiếp xúc nhau, sau đó hình dạng có thể lại được phục hồi. Mức độ biến dạng và hồi 
phục của các vật va chạm phụ thuộc vào tính đàn hồi của các vật đó. Từ đó ta nhận 
thấy quá trình va chạm có thể chia hai giai đoạn : Biến dạng và phục hồi. 
 Giai đoạn biến dạng xảy ra từ lúc hai vật bắt đầu tiếp xúc nhau đến lúc dừng 
biến dạng. Giai đoạn phụ hồi từ lúc dừng biến dạng đến lúc kết thúc va chạm. Trong 
giai đoạn này các vật va chạm nhau dần dần trở lại hình dạng cũ đến mức độ nào đó. 
 Căn cứ vào mức độ phục hồi lại hình dạng cũ của các vật va chạm, người ta 
phân biệt các loại va chạm như sau : 
 - Nếu va chạm không có giai đoạn phục hồi được gọi là va chạm mềm hay va 
chạm không đàn hồi. Đặc điểm cơ bản của loại va chạm này là khi kết thúc quá trình 
va chạm, những phần tử của hai vật va nhau có cùng vận tốc pháp ở vùng tiếp xúc. 
 - Nếu va chạm có giai đoạn phục hồi thì gọi là va chạm đàn hồi. Hình dáng cũ 
của các vật va chạm được phục hồi hoàn toàn gọi là va chạm hoàn toàn đàn hồi. Đặc 
điểm va chạm đàn hồi là kết thúc va chạm vận tốc pháp truyền các phần tử của hai vật 
ở vùng tiếp xúc khác nhau. 
Trang 1 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
 Để đánh giá sự phục hồi của vật va chạm người ta đưa vào hệ số phục hồi là : 
1
2
S
Sk = (7-1) 
Trong đó ∫= 1
0
1
τ
dtNS
GG
 là xung lượng va chạm trong giai đoạn biến dạng, còn 
∫= 2
1
2
τ
τ
dtNS
GG
 là xung lượng va chạm trong giai đoạn phục hồi. 
 Rõ ràng k=0 là va chạm mềm khi k=1 là va chạm hoàn toàn đàn hồi, còn 0<k<1 
là va chạm đàn hồi. Hệ số k phụ thuộc tính chất đàn hồi của các vật va chạm và được 
xác định bằng thực nghiệm. 
3. Bỏ qua di chuyển của hệ trong va chạm : 
 Va chạm xảy ra rất nhanh, nên khi va chạm ta xem như các vật không di 
chuyển. Thật vậy, quãng đường di chuyển của chất điểm trong khoảng thời gian va 
chạm là : 
∫ ≤= τ τ
0
max .. Vdtvs 
Vmax là đại lượng giới nội và khoảng thời gian τ rất bé, nên s cũng rất bé ta có thể bỏ 
qua được. 
4. Lực va chạm và xung lực va chạm : 
 Trong va chạm, ngoài những lực thường tác 
dụng lên cơ hệ như trọng lực, lực cản,..v...v . các chất 
điểm của cơ hệ còn chịu thêm những phản lực liên kết 
ở vùng tiếp xúc xuất hiện từ lúc bắt đầu va chạm và 
mất đi ngay khi hết va chạm. Những phản lực đó gọi 
là những lực va chạm. Ta ký hiệu lực va chạm là N
G
lực va chạm biến đổi trong khoảng thời gian va chạm 
và có lúc đạt đến giá trị rất lớn, nên nó biểu diễn là 
hàm thời gian N
G
= N
G
(t). Vì vậy, người ta thường đánh giá tác dụng lực va chạm trong 
khoảng thời gian va chạm τ bằng xung lượng va chạm S
G
. 
Hình 7-1 
N(t) 
N*
N 
t O 
Trang 2 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
τ
τ
.*.
0
NdtNS
GGG == ∫ 
trong đó *N
G
 là lực va chạm trung bình. 
 Áp dụng định lý động lượng cho chất điểm thuộc hệ trong thời gian va chạm ta 
có : 
dtNdtFvm ∫∫ +=∆ ττ
00
GGG 
trong đó F
G
 là hợp lực các lực thường tác dụng lên chất điểm ấy. Rõ ràng, ta có : 
τ
τ
.max
0
FdtF ≤∫ G 
 Thực tế Fmax không lớn lắm mà τ lại rất bé nên xung lượng lực thường cũng rất 
bé so với xung lượng va chạm. Do đó trong quá trình va chạm ta bỏ qua xung lượng 
của lực thường. Phương trình trên có dạng : 
SdtNvm
GGG ==∆ ∫τ
0
 (7-2) 
Đây là phương trình cơ bản của hiện tượng va chạm. 
Ví dụ :
 Một búa tạ có khối lượng m = 5kg, vận tốc của búa lúc bặt đầu đập lên vật rèn 
là v= 5m/s. Thời gian vật đập lên vật rèn là τ = 10-2 giây. tính lực vật đập trung bình 
cảu búa lên vật rèn. 
Bài giải:
Theo phương trình (7-2) ta có : 
5.5 = S = N*. 10-2
ta suy ra : NN 2500
10
25* 2 == − 
Lực này bằng áp lực tĩnh của một vật có khối lượng m = 2500/10 = 250 không gian đè 
lên. Vì vậy, mà người ta gọi búa ấy là búa tạ, mặc dầu khối lượng chỉ có 250kg. 
Trang 3 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
§2. CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC 
 Áp dụng trong quá trình vật chạm. Dựa và phương trình cơ bản : 
Svm
GG =∆ 
với những giả thuyết đơn giản về lực và di chuyển trong quá trình va chạm. Bây giờ ta 
sẽ áp dụng các định lý tổng quát động lực cơ hệ vào quá trình va chạm như sau : 
2.1 Định lý biến thiên động lượng: 
 Ta xét va chạm cơ hệ n chất điểm có khối lượng M = ∑ km . Bỏ qua tác dụng 
xung lượng của lực thường, theo định lí động lượng cơ hệ, ta có : 
∑=− ekSQQ GGG 0 (7-3) 
 Áp dụng định lý này cho trục x, ta có : 
∑=− ekxxx SQQ 0 (7-4) 
 Ta đã biết ∑ == Ckk VMVmQ GGG là động lượng của hệ ngay sau khi va chạm, còn 
)0()0(0 ∑ == Ckk VMVmQ GGG là động lượng của hệ ngay trước va chạm. CVG và CVG (0) là 
vận tốc khối tâm của hệ sau và trước va chạm. 
Ví dụ : Hai toa xe có khối lượng 
m1 và m2 chạy trên đường ray 
thẳng với vận tốc V1 và V2 va vào 
nhau (V1 > V2) . Giả thuyết vật 
chạm mềm, tìm vận tốc chung của 
hai toa xe sau va chạm. 
x 
Hình 7-2 
C21
V
G
2V
G
 C1
Bài gải :
Khảo sát cơ hệ gồm hai toa xe xung lượng vật chạm giữa chúng là xung lượng 
trong. Bỏ qua tác dụng của các lực thường là trọng lượng P1, P2 và các phản lực đường 
ray N1, N2. Ở đây không có xung lượng va chạm ngoài nên động lượng của hệ được 
bảo toàn trong quá trình va chạm. Do đó ta có : 
m1V1x +m2V2x = (m1 + m2)Vx
 Từ đó suy ra : 
Trang 4 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
21
2211
mm
VmVmV xxx +
+= 
hay : 
21
2211
mm
VmVmV xx +
+= 
2.2 Định lý biến thiên mômen động lượng : 
 Cũng như trước đây, ta kí hiệu : 
∑= )( kkOO VmmL GGG 
∑= )( kkzz VmmL G 
là mômen động lượng của hệ đối với tâm O và trục z. Bỏ qua tác dụng của lực thường, 
áp dụng định lý biến thiên mômen động của hệ, ta có : 
)()( eOkO
O MFm
dt
Ld GGGG == ∑ 
Hay : )()1()2(
0
)( adtMLL eOOO ∫=− τ GGG 
Nhưng: ∑∫∫∑∫ ∧== τττ
000
)( )()( dtFrdtFmdtM ekkekO
e
O
GGGGG 
Bỏ qua di chuyển của chất điểm trong vật chạm, ta viết được : 
∑ ∫ ∑∫ =∧= ττ
00
)( )( ekOekk
e
O SmdtFrdtM
GGGGG 
Do đó, hệ thức (a) có thể viết lại : 
)57()()1()2( −=− ∑ ekOOO SmLL GGGG 
Như vậy : Biến thiên mômen động của hệ đối với tâm O trong thời gian va chạm bằng 
tổng mômen xung lượng các ngoại lực va chạm tác dụng lên cơ hệ trong cùng thời 
gian và cùng tâm ấy. 
 Tương tự đối với trục z, ta cũng có : 
)67()()1()2( −=− ∑ ekzzz SmLL G 
Lz(1) và Lz(2) là mômen động của hệ đối với trục z trước và sau va chạm. 
Trang 5 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
Ví dụ : Thanh đồng chất OB = l, khối lượng M có 
trục quay O nằm ngang, được thả từ vị trí nằm ngang 
đến chạm vào vật A khối lượng M. Tìm vận tốc vật 
A sau va chạm. Giả thuyết k: hệ số phục hồi k = 0 (H 
7.3) 
Bài giải : 
Trước khi khảo sát hiện tượng va chạm, ta xét 
thanh OB chuyển động từ vị trí nằm ngang đến vị trí 
thẳng đứng để tìm vận tốc góc của nó trước lúc va 
chạm. 
P
G
A
BO
Hình 7-3 
Áp dụng định lý biên thiên động năng cho thanh OB, ta có : 
T1 –T0 = ΣA = Pl/2. 
Ban đầu thanh nằm yên nên T0 = 0, còn T1 = ½.J0ω12 = 21
2
6
ωMl 
Thay vào biểu thức (b), ta được : 
2
1
2
6
ωMl = Pl/2 = Mgl/2. 
Từ đó ta có : 
l
g32
1 =ω là vận tốc thanh OB trước lúc va chạm. 
Bây giờ ta xét thanh OB và vật A trong giai đoạn va chạm. Lực xuất hiện giữa 
vật A và thanh OB là nội lực của hệ. Để triệt tiêu lực va chạm ở trục quay O, ta áp 
dụng định lý mômen động đối với trục O, thì : 
0)( =ekO Sm
GG 
Do đó, mômen động của hệ đối với trục O được bảo đảm nghĩa là : mômen 
động của hệ sau va chạm bằng mômen động của hệ đối với tâm O bằng nhau. 
)1()2( OO LL
GG = 
Hay: ∑∑ = )()( 00 UmmVmm GG 
Lúc đầu vật A nằm yên, chỉ có mômen động của thanh, sau va chạm kết thanh thành 
một khố, lúc đó vận tốc của thanh là ω2. Ta có : 
100 )( ωJVmm =∑ G 
Trang 6 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
Vì va chạm không đàn hồi (k=0) nên vật A và thanh sau va chạm kết thành một khối, 
lúc đó vận tốc của thanh là ω2 . Ta có: 
2
2
00 )()( ωmlJUmm +=∑ G 
Như vậy, ta viết được : 
102
2
0 )( ωω JmlJ =+ 
 Từ đó ta có : 
12
0
0
2 ωω mlJ
J
+= 
 Vận tốc vật A sau va chạm là : 
VA = l.ω2 = 12
0
0 ωl
mlJ
J
+ 
 Thay biểu thức : J0 = 3
Ml2 và 
l
g3
1 =ω cuối cùng ta nhận được : 
VA = glmM
M 3
3+ 
2.3 Định lý mất động năng : 
 Nói chung trong va chạm một phần động năng bị tiêu hao chuyển hóa thành 
nhiệt năng. Vì vậy trong va chạm không áp định lý bảo toàn cơ năng. 
 Lượng động năng bị mất mát la ∆T = T1 – T2 >0, trong đó T1 và T2 là động 
năng của hệ trước và sau va chạm. Trong va chạm ta không thể tính được công các lực 
va chạm tỏng quá trình va chạm, nên ta không dùng định lý động năng. Sau đây, ta sẽ 
dùng định lý động lượng và mômen động lượng đê nghiên cứu một số bài toán ứng 
dụng va chạm. 
§3. HAI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM 
 Sau đây là hai bài toán va chạm được ứng dụng quan trọng. 
3.1 Va chạm xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến : 
 1. Đặt vấn đề : Giả sử có hai vật M1 và M2 có khối lượng m1 và m2 va chạm 
nhau. Vận tốc của chúng trước va chạm là 1V
G
 và 2V
G
. 
 Gọi pháp tuyến chung của hai mặt tiếp xúc nhau của hai vật tại điểm I là n1In2 
và khối tâm của chung là C1 và C2 . 
Trang 7 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
 Đường thẳng n1In2 gọi là đường va chạm, đường thẳng C1C2 gọi là đường 
xuyên tâm. Từ đó ta có định nghĩa : 
 Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến là đường va chạm 
trùng với đường thẳng xuyên tâm của hai vật và vận tốc 1V
G
 và 2V
G
 đều nằm trên đường 
ấy. 
 Sau đây ta chỉ xét va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật với mô hình đơn giản ta 
xét va chạm hai quả cầu. 
C1 C2 
1V
G
2V
G
 n2 n1 
 Ta gọi 1V
G
, 2V
G
 và 1U
G
, 2U
G
là vận tốc 
ngay trước và sau va chạm của hai quả 
cầu. Ta sẽ tìm vận tốc vủa chúng sau va 
chạm, xung lượng va chạm và mất động 
năng trong va chạm. 
Hình 7-4
2. Giải bài toán : Giả sử hai quả cầu có khối lượng m1 và m2 vận tốc trước 
va chạm V1 và V2 (V1 > V2). Các giai đoạn va chạm như hình vẽ (7-5). 
uG uG
C2 C1 
1U
G
C1 
2U
G
C2 C2 
1V
G
C1 
2V
G
Hình 7-5
Giai đoạn phục hồi
Giai đoạn biến dạng
Áp dụng định lý biến thiên động lượng trong quá trình va chạm cho hai giai 
đoạn, ta có : 
Giai đoạn biến fạng : 
m1(u –V1) = S21 = -S1 (a) 
m1(u –V2) = S12 = S1 (b) 
 Giai đoạn phục hồi 
m1(U1 –u) = S’21 = -S2 (c) 
m1(U2 –u) = S’12 = S2 (d) 
Trong đó là vận tốc chung của hai vật lúc kết thúc giai đoạn biến dạng 
chuyển sang giai đoạn phục hồi. 
uG
2112 , SS
GG
 xung lượng tương hỗ giữa hai vật trong giai 
đoạn phục hồi. 
Trang 8 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
 Ngoài ra bốn phương trình trên, ta còn có một phương trình nữa là : 
S2 = kS1 (e) 
 Giải hệ năm phương trình trên, ta nhận được : 
12
21
21
1
21
21
21
1
21
21
1
11
21
21
2
11
21
2211
.
.
)()1(
)()1(
UU
mm
mmS
VV
mm
mmS
VV
mm
mkVu
VV
mm
mkVu
mm
VmVmu
−+=
−+=
−+++=
−++−=
+
+=
(7-7) 
(7-8) 
3. Xác định hệ số phụ hồi bằng thực nghiệm : 
Từ kết quả trên, ta có hệ số phụ hồi : 
r
r
V
U
VV
UU
S
Sk =−
−==
12
12
1
2 
Trong đó Ur = | U2 – U1| và Vr = | V2 – V1 | là vận tốc tương 
đối của hai vật va chạm xuyên tâm ngay sau và trước va chạm. 
Dựa vào công vừa tìm được, người ta tiến hành nhiều thí nghiệm 
xác định hệ số k. Sau đây là một trong các thí nghiệm ấy. 
A
h
HTa thả viên bi rơi xuống không vận tốc đầu từ độ cao H tới 
nền nằm ngang cố định, sau đó viên bi bật lên độ cao lớn nhất h 
rồi lại rơi xuống. Vì nền cố định, nên V2 = U2 = 0 theo công thứ
Galilê thì vận tốc viên bi trước và sau va chạm là V1 = gH2 . Do 
đó hệ số phục hồi : Hình 7-6
H
h
gH
gh
V
U ==
2
2
1
1
V
Uk
r
r == 
4. Biểu thức mất động năng :
Trong khi hai vật va chạm nhau thì một phần động năng b
T2 trong đó T1 và T2 là động năng của hệ ngay trước và sau va chạ
 c ị mất đi là ∆T = T1 – 
m. 
Trang 9 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
Theo định nghĩa ta có : 
22
22
2
22
2
11
1
2
22
2
11
1
UmUmT
VmVmT
+=
+=
Do đó ∆T = T2 – T1 = )(2
)(
2
2
2
2
2
22
1
2
1
1 UVmUVm −+− . Theo công thức (7-7) sau 
khi biến đổi ta nhận được : 
∆T = )97())(1( 2212
21
21 −−−+ VVkmm
mm 
Ta sẽ áp dụng công thức này vào việc dùng búa rèn và đóng cọc đinh. Trước 
khi va đập búa có vận tốc V1 còn vật bị va đập V2 = 0. Khi đó : 
∆T = 212
21
21 ).1( Vk
mm
mm −+ 
Nếu T1 là động năng của hệ trước va đập, ta có : 
∆T = 12
21
21 ).1( Tk
mm
mm −+ 
Hay : 
2
1
2
2
21
21
1 1
1)1(
m
m
kk
mm
mm
T
T
+
−=−+=
∆ là hiệu suất của búa rèn. 
Rõ ràng để tăng hiệu suất η thì ta phải giảm tỉ số 
2
1
m
m , nghĩa là khối lượng của 
búa phải hơn khối lượng của đe rất nhiều. 
Vídụ : Nếu 
2
1
m
m = 
10
1 và k = 0 thì η = 90%. Khi dùng búa đóng cọc hay đóng đinh , 
lượng ∆T là vô ích, từ công thức trên ta tìm hiệu suất của búa là : 
2
1
2
11
1
1
111
m
m
k
T
T
T
TT
+
−−=∆−=∆−=η 
 Vậy muốn tăng hiệu suất của búa thì khối lượng của búa phải lớn hơn không 
lượng của đinh hay cọc rất nhiều lần. 
Trang 10 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
 Vậy muốn tăng hiệu suất của búa thì khối lượng của búa phải lớn hơn không 
lượng của đinh hay cọc rất nhiều lần. 
Ví dụ : 
2
1
m
m = 10, k = 0 thì η = 90%. 
3.2 Va chạm của vật qauy. Tâm va chạm : 
 1. Va chạm của vật quay:
 Giả sử ta có vật rắn quay quanh trục z cố định, 
chịu tác dụng xung lượng S
G
. Khi đó ở các ổ đỡ A và B 
sẽ xuất hiện các xung lượng va chạm AS
G
 và BS
G
. Áp 
dụng định lý biến thiên mômen động lượng ta có: 
ω 
S
G
AS
G
BS
G
z
B
A
∑ )( ekz Sm=− )1()2( zz LL G (a) 
 Trong đó Lz(1) = Jz.ω1, Lz(1) = Jz.ω2 là mômen 
động lượng của vật đối với trục z trước và sau va chạm. 
Còn : 
)()()( BzAz SmSmS)( zekz mSm
GGGG ++=∑ . 
 Nhưng . Cho nên phương 
trình (a) có thể viết : 
0)()( == BzAz SmSm
GG
Hình 7-7
Jz(ω2 – ω1) = )(Smz
G
Hay : ω2 – ω1 = 
z
z
J
Sm )(
G
 (7-10) 
2. Xung lượng phản lực va chạm : 
Trang 11 
z
A
B
S
G
C
CV
G
a
H
ω 
SAz
SBx
SBy
SAy
SAx
x
y
Bây giờ ta tìm xung lượng phản lực va 
chạm ổ trục A và B là và . Muốn vậy, ta 
chọn hệ trục Axyz sao cho khối tâm C của vật 
nằm trong mặt phẳng Ayz. Giả sử AB = b, HC 
= a. (HC ┴ trục z). Áp dụng các định lý động 
lượng và mômen động lượng với chú ý hình 
chiếu động lượng lên các trục tọa độ là 
AS
G
BS
G
Q1x = -MVC(1) = -M.a.ω1 
Q2x = -MVC(2) = -M.a.ω2
Hình 7-8
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
 Còn Qy = Qz = 0. Do đó, ta có : 
)(.)(
)(.)(
0
0
)(
12
12
12
SmbSJ
SmbSJ
SS
SSS
SSSMa
yByyz
xByxz
zAz
yByAy
xBxAx
G
G
+=−−
+−=−−
=+
=++
++=−−
ωω
ωω
ωω
Từ năm phương trình này ta tìm được xung lượng phản lực : SAx, SAy, SAz, SBx, SBy. 
3. Tâm va chạm :
Từ kết quả trên ta nhận thấy rằng khi tác dụng xung lượng S
G
 lên vật quay mà 
không sinh ra phản lực động lực AS
G
 và BS
G
ở các ổ trục do va chạm gây ra, nên thỏa 
mãn điều kiện sau : 
AS
G
 = BS
G
 = 0 
Ta suy ra : Sy = Sz = 0, nghĩa là xung lượng S
G
 phải vuông góc mặt phẳng Ayz 
hay nói cách khác là xung lượng S
G
 vuông góc mặt phẳng chứa trục quay và khối tâm 
C của vật. Vì = = 0 nên hệ phương trình không phụ thuộc vào việc chọn gốc tọa 
độ. Vì vậy, để đơn giản ta có thể chọn hệ trục tọa độ mới là Oxyz, mà xung lượng 
AS
G
BS
G
S
G
nằm trong mặt phẳng Oxy. Khi đó, ta có : 
0)()( == SmSm yx
GG
và từ hệ phương trình ta suy ra Jxy = Jyz = 0, 
nghĩa là mặt phẳng Oxy là mặt phẳng đối xứng. 
Như vậy, từ phương trình đầu của hệ phương 
trình ta có : S = Ma(ω2 – ω1), vì SA=SB = 0 nên 
SAx=SBx = 0, còn Sx = -S. 
O
Hình 7-9
S
G
KCa
h
ω 
x
y
z
B
A
 Ta đã biết : 
zJ
hS
z
z
J
Sm ==− )(12
G
ωω 
 Cuối cùng ta cũng nhận được : 
Ma
Jh z= (7-12) 
Trang 12 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
 Tóm lại, muốn cho vật quay quanh một trục cố định không phát sinh phản lực 
va chạm. Khi có xung lực tác dụng thì cần có các điều kiện sau : 
 a) Xung lượng va đập S
G
 nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay và trục 
quay là trục quán tính chính đối với giao điểm của trục với mặt phẳng ấy. 
 b) Xung lượng va đập S
G
 phải vuông góc mặt phẳng chứa trục quay và khối tâm 
của vật. 
Hình 7-10A
K
C
O
a h
 c) Xung lượng va đập S
G
 cách trục quay một đoạn 
Ma
J z=h 
và ở về cùng phía với khối tâm của vật. 
Ví dụ : Tìm tâm va chạm của thanh đồng chất OA = l quay 
quanh trục O vuông góc thanh. 
Bài giải: Giả sử xung lượng va đập S
G
 thỏa mãn điều kiện trên 
va đập là K. Áp dụng công thức trên ta có : 
Ma
Jh z= =
2
3
2
Ml
Ml 
h = l
3
2 
Va chạm của vật quy quanh trục cố định và tâm va chạm 
a) Bài toán : Cho tấm phẳng quay 
quanh một trục vuông góc với mặt tấm tại 
O. Xung lượng va chạm S
G
 tác dụng trong 
mặt phẳng của tâm tạo bởi OC một góc α. 
Tại thời điểm va chạm, tấm có vận tốc góc 
ω0. Hãy tìm vận tốc góc ω của tâm sau va 
chạm và xung lượng của các phản lực ở trục 
O. 
OxS
G
y
x
S
G
α I
O 
OyS
G
Bài giải: Xét tấm quay 
Áp dụng định lí động lượng ta có : 
01 SSVMVM OCC
GGGG +=− (1) 
Còn theo động lượng mômen động lượng ta có : 
Trang 13 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN VA CHẠM 
)(.. 001 SmJJ OO
G=− ωω (2) 
Từ (1) đối với trục Ox, Oy ta có : 
α
α
cos0
sin1
SS
SSMVMV
Oy
OxOCC
+=
+=−
 (3) 
(2) => JO( ω1 - ω0 ) = S.sinα.OI 
Đặt OC = a, ta có V1C= aω1, VOC = aω0
(3) => Ma( ω1 - ω0 ) = S.sinα.OI (5) 
Từ (3), (4) & (5) ta tìm được : 
)1.(sin.
cos
sin
0
0
01
−=
−=
+=
J
OIMaSS
SS
OI
J
S
Ox
Oy
α
α
αωω K
 (a) 
 Tâm va chạm : 
SOy = 0 => cosα = 0 => α = π/2 
SOx = 0 => 1
.
0
−
J
OIMa = 0 => 
Ma
JOI 0.= 
Vậy ở tại trục O chúng xuất hiện xung lực va chạm của phản lực khi tấm chịu 
tác dụng lực va chạm S
G
. Thì S
G
 phải vuông góc đường thẳng OC và đi qua I ∈OC, sao 
cho 
Ma
JOI 0.= . Điểm được gọi là tâm va chạm. 
Trang 14