Giáo trình Cơ học kết cấu II - Chương 9: Tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp đúng dần

 đồ ( 1M ) và )( oPM vẽ trên hình (H.9.1.3.c & H.9.1.3d). 
 * r11: 
AD
AD
AC
AC
AB
AB
11 l
J
l
J.3
l
J.4 EEEr ++= 
M < 0
M < 0
M < 0
M < 0
M > 0 M < 0
Q > 0
Q > 0
Q > 0
Q > 0
H.9.1.2a H.9.1.2b
Z1 = 1
H.9.1.3c
)( 1M AC
AC
l
EJ3
AB
AB
l
EJ2 
AB
AB
l
EJ4 
AD
AD
l
EJ 
H.9.1.3d
M 
)( oPM 
B 
A 
C D 
EJAC 
lAC 
EJAB 
lAB 
EJAD 
lAD 
M 
H.9.1.3a
H.9.1.3b
Z1 
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 95 
 Gọi: 
AB
AB
l
JERAB = - độ cứng đơn vị quy ước 
của thanh AB (thanh có đầu đối diện là ngàm). 
AC
AC
l
J
4
3 ERAC = - độ cứng đơn vị quy 
ước của thanh AC (thanh có đầu đối diện là khớp). 
AD
AD
l
J
4
1 ERAD = - độ cứng đơn vị quy ước của thanh AD (thanh có đầu đối 
diện là ngàm trượt song song với trục thanh). 
 Suy ra: r11 = 4.(RAB + RAC + RAD) = 4 åR 
 * R1P: 
 R1P = -M. 
 Thay vào phương trình chính tắc: 
 4.(RAB + RAC + RAD).Z1 - M = 0 R
M
RRR
MZ
ADACAB S
=
++
=Þ
4)(41
 - Vẽ biểu đồ mômen (M): 
 oPMZMM += 11)()( . Kết quả thể hiện trên hình (H.9.1.3e). 
 Từ đây, ta xác định được giá trị mômen uốn tại các đầu thanh quy tụ tại nút 
A: 
 M
R
RM ABAB .S
= , M
R
RM ACAC .S
= , M
R
RM ADAD .S
= 
 - Các mômen uốn MAB, MAC, MAD là do mômen M phân phối vào nút A nên 
gọi là mômen phân phối. Và nếu xét dấu theo qui ước H.Cross thì: 
 M
R
RM ABAB .S
-= , M
R
RM ACAC .S
-= , M
R
RM ADAD .S
-= 
 - Mômen uốn tại các đầu thanh đối diện với nút A: 
 ABBA MM .2
1
+= ; MCA = 0.MAC; MDA = -1.MAD. 
 Các mômen này gọi là mômen truyền. 
 ¨ Tổng quát: Khi nút A gồm nhiều thanh quy tụ, ta có: 
 + Mômen phân phối tại đầu A thuộc thanh AX: 
 MAX = -gAX.M. 
 + Mômen truyền: 
 MXA = bXA.MAX. 
 Trong đó: gAX - hệ số phân phối của thanh AX. 
(M) 
H.9.1.3e
M
R
RAC .
S
M
R
RAB .
2S
M
R
RAB .
S
M
R
RAD .
S
r11 
AC
AC
l
EJ3
AB
AB
l
EJ4 
AD
AD
l
EJ 
M 
R1P 
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 96 
R
RAX
AX S
=g . 
 RAX: là độ cứng đơn vị quy ước của thanh AX, phụ thuộc vào liên kết đầu 
đối diện với nút. 
 åR: tổng độ cứng đơn vị quy ước của các thanh quy tụ tại nút A. 
 bXA: hệ số truyền của thanh AX. 
 * Chú ý: Mômen M tập trung tại nút trong các biểu thức trên được lấy dấu 
dương khi xoay cùng chiều kim đồng hồ và ngược lại. 
B.9.1.1 Bảng độ cứng đơn vị vi ước và các hệ số truyền 
Liên kết đầu đối diện nút RAX bXA 
- Khớp 
l
J
4
3 E 0 
- Ngàm trượt 
l
J
4
1 E -1 
- Ngàm 
l
JE +1/2 
- Tự do 0 0 
 Ví dụ 1: Xác định mômen phân phối và mômen truyền của hệ cho trên hình 
(H.9.1.4a). Cho biết độ cứng trong tất cả các thanh là EJ = const. 
 1. Xác định độ cứng đơn vị quy ước: 
 RAB = 4
EJ
l
EJ
AB
= ; RAC = 4
EJ
l
EJ
AC
= ; 
 RAD = 43
.
4
3.
4
3 EJEJ
l
EJ
AD
== ; RAE = 43
.
4
3.
4
3 EJEJ
l
EJ
AE
== 
 2. Xác định hệ số phân phối và mômen phân phối: 
 - Hệ số phân phối: 
R
RAX
AX S
=g . 
 ® 25,0
4
4
4
J
== EJ
E
ABg ; 25,0
4
4
4
J
== EJ
E
ACg ; 25,0
4
4
4
J
== EJ
E
ADg ; 25,0
4
4
4
J
== EJ
E
AEg 
D
3m
AC
B
H.9.1.4a
4m
4m
3m
E
M = 4T.m
H.9.1.4b
(M)
1
1
1
1
0,5
0,5
(T.m)
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 97 
 Mômen phân phối: MAX = -gAX.M. 
 ® MAB = - 0,25.(-4) = 1; MAC = - 0,25.(-4) = 1; 
 MAD = - 0,25.(-4) = 1; MAE = - 0,25.(-4) = 1 
 3. Xác định hệ số truyền và mômen truyền: 
 - Hệ số truyền: bBA = bCA = 2
1 ; bDA = bEA = 0. 
 - Mômen truyền: MXA = bXA.MAX. 
 ® MBA = 2
1 .1 = 0,5; MCA = 2
1 .1 = 0,5; MDA = MEA = 0. 
 Kết quả tính toán có thể được vẽ trên biểu đồ (M) (H.9.1.4b) 
 IV. Cách tính hệ có nút không chuyển vị thẳng: 
 Ta phân tích cách tính hệ trên hình (H.9.1.5a). Tuy nhiên, cách lập luận vẫn 
mang tính tổng quát cho hệ bất kỳ có nút không chuyển vị thẳng. 
 Giả sử ngăn cản chuyển vị xoay của tất cả các nút bằng cách đặt thêm vào 
mỗi nút một liên kết mômen, ta sẽ thu được một hệ mới 
chính là hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị 
(H.9.1.5b). Tại mỗi nút bị chốt, sẽ phát sinh những phản 
lực mômen gọi là ngẫu lực chèn. Ngẫu lực chèn phải cân 
bằng với mômen uốn tại các dầu thanh quy tụ tại nút đó. 
 Ví dụ: Với nút B: 
 MB + MBA + MBE + MBC = 0. 
H.9.1.5a
F
C
H
E
G
BA
D
M M
D
A B
G
E
H
C
F
H.9.1.5b
MB MC
ME MF
MFME
MCMB
H.9.1.5c
F
C
H
E
G
BA
D
M
D 
A B 
G 
E
H 
C 
F 
H.9.1.5d
BB MM -=
* CC MM -=
* 
EE MM -=
* FF MM -=
* 
MBA 
MB 
MBC 
MBE 
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 98 
 Suy ra: MB = -(MBA + MBE + MBC). 
 Vậy ngẫu lực chèn tại một nút sẽ bằng tổng đại số mômen uốn tại các đầu 
thanh quy tụ tại mỗi nút đang xét do tải trọng gây ra trên hệ có nút bị chốt nhưng 
trái dấu. 
 Nhận xét:.- Các ngẫu lực chèn chính là RkP của phương pháp chuyển vị. 
 Tiếp tục biến đổi nút bị chốt bằng cách thay các liên kết mômen bằng các 
ngẫu lực chèn tương ứng tại mỗi nút ta sẽ được hệ tương đương trên hình 
(H.9.1.5c). Hệ này khác với hệ ban đầu là hệ có thêm các ngẫu lực chèn tại các nút. 
 Xét một hệ phụ lấy từ hệ ban đầu, trong đó chỉ chịu các ngẫu lực đặt tại các 
nút. Các ngẫu lực này có giá trị bằng ngẫu lực chèn nhưng ngược chiều và được gọi 
là mômen nút cứng (H.9.1.5d). 
 Theo nguyên lý cộng tác dụng thì: 
Hệ ban đầu 
H.9.1.5a = 
Hệ ban đầu + ngẫu lực 
chèn tại các nút cứng 
(H.9.1.5c) 
+ 
Hệ ban đầu chỉ chịu 
mômen nút cứng 
(H.9.1.5d) 
 Như vậy, thay vì đi giải bài toán với hệ trên hình (H.9.1.5.a), ta đi giải bài 
toán trên hình (H.9.5.1b) hoặc (H.9.5.1c) và (H.9.5.1d). 
 - Đối với hệ trên hình (H.9.5.1c) ta dễ dàng xác định được nội lực, đó chính 
là nội lực do tải trọng gây ra trên hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị là biểu đồ 
)( oPM của phương pháp chuyển vị. 
 - Đối với hệ trên hình (H.9.5.1d), ta tìm cách tính đúng dần. Cách thực hiện 
như sau: 
 + Lần lượt tháo từng chốt. Khi tháo từng chốt thì mômen nút cứng sẽ phân 
phối vào nút đó và truyền vào các nút lân cận như đã trình bày trong bài toán sự 
phân phối mômen xung quanh một nút. Và nút này sẽ xoay đến vị trí cân bằng mới. 
 + Chốt lại nút này và chuyển sang nút khác và thực hiện tương tự. 
 Quá trình cứ tiến hành như vậy và lặp lại nhiều lần cho đến khi ta tháo tất cả 
các chốt thì các nút không xoay nữa (mômen tại các nút đã cân bằng).Thực chất vẫn 
chưa cân bằng nhưng giá trị của mômen uốn không cân bằng là không đáng kể. Lúc 
này, ta dừng quá trình thực hiện và trạng thái đó là trạng thái cần tìm. 
 Mômen uốn tại các đầu thanh tương ứng chính là tổng đại số mômen phân 
phối và mômen truyền tích luỹ trong các chu trình. 
 - Muốn tìm mômen uốn tại các đầu thanh nào của hệ đã cho ban đầu, ta lấy 
tổng đại số mômen do tải trọng gây ra trên hệ có các nút bị chốt với mômen uốn do 
mômen nút cứng gây ra trên các đầu thanh tương ứng. 
 Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ mômen uốn của dầm liên tục trên hình (H.9.1.6.a). Cho 
biết độ cứng trong tất cả các thanh là EJ = const. 
 1. Xác định độ cứng đơn vị quy ước của các thanh: 
16
J3
l
J
4
3
AB
EERAB == ; .3
J
l
J
BC
EERBC == 
4
J
l
J
CD
EERCD == ; .4
J
l
J
4
3
DE
EERDE == 
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 99 
 2. Xác định hệ số phân phối từng đầu thanh quy tụ vào nút: 
 - Tại nút B: 
 36,0
)
3
EJ
16
3(
16
3
=
+
= EJ
EJ
BAg ; .64,0
)
3
EJ
16
3(
3 =
+
= EJ
EJ
BCg 
 - Tại nút C: 
 577,0
)
4
EJ
3
EJ(
3
EJ
=
+
=CBg ; .429,0
)
4
EJ
3
EJ(
4
EJ
=
+
=CDg 
 - Tại nút D: 
 5,0
)
4
EJ
4
EJ(
4
EJ
=
+
=DCg ; .5,0
)
4
EJ
4
EJ(
4
EJ
=
+
=DEg 
 3. Xác định mômen nút cứng M* tại các đầu thanh do tải trọng gây ra: 
 Tra bảng cho các phần tử chịu tải trọng và xét dấu theo qui ước H.Cross. 
 *BAM = -2,25(T.m); *BCM = 0,9(T.m); *CBM = -0,9(T.m); 
 *CDM = 1(T.m); *DCM = -1(T.m); *DEM = 1,35(T.m). 
 4. Phân phối và truyền mômen: 
 Quá trình phân phối và truyền mômen được lập thành bảng. Bảng có thể 
được lập như sau: 
 * Hàng thứ nhất ghi ký hiệu các nút và các đầu thanh có liên kết ngàm. 
 * Hàng thứ hai ghi ký hiệu những đầu thanh quy tụ tại nút tương ứng. Nút có 
bao nhiêu thanh quy tụ thì có bấy nhiêu cột. 
 * Hàng thứ ba ghi các hệ số phân phối tương ứng với các đầu thanh quy tụ 
vào nút. 
 * Hàng thứ tư ghi trị số mômen nút cứng tại các đầu thanh. 
 * Các hàng tiếp theo ghi kết quả phân phối và truyền mômen lần lượt tương 
ứng với các nút được tháo chốt. 
 Với ví dụ trên quá trình được thực hiện như sau: 
 Chu trình 1: 
 - Tháo chốt nút B: 
 + Mômen không cân bằng: 
*
BM = -2,25 + 0,9 = -1,35(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MBA = (-0,36).(-1,35) = 0,486(T.m) MAB = 0. 
 MBC = (-0,64).(-1,35) = 0,864(T.m) 432,0864,0.2
1
==CBM 
 - Chốt nút B, tháo chốt nút C: 
 + Mômen không cân bằng: 
*
CM = -0,9 + 1 + 0,432 = 0,532(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MCB = (-0,571).0,532) = -0,3037(T.m) MBC = -0,1519(T.m) 
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 100 
 MCD = (-0,429).0,532 = -0,2282(T.m) MDC = -0,1141(T.m) 
 - Chốt nút C, tháo chốt nút D: 
 + Mômen không cân bằng: 
*
DM = -1 + 0,35 - 0,1141 = 0,2359(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MDC = (-0,5).0,2359) = -0,1179(T.m) MCD = -0,0589(T.m) 
 MDE = (-0,5).0,2359 = -0,1179 (T.m) MED = 0. 
 Chu trình 2: 
 - Tháo chốt nút B: 
 + Mômen không cân bằng: 
 *BM = -0,1519(T.m). 
 * Nhận xét: Khi tháo chốt ở các nút trong chu kỳ thứ (i) nào đó thì nguyên 
nhân làm cho nút không cân bằng là các mômen truyền từ các nút khác tới trong 
chu trình thứ (i-1) chứ không phải do mômen phân phối. 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MBA = (-0,36).(-0,1519) = 0,0546(T.m) MAB = 0. 
 MBC = (-0,64).(-0,1519) = 0,0972(T.m) MCB = 0,0486(T.m) 
 - Chốt nút B, tháo chốt nút C: 
 + Mômen không cân bằng: 
*
CM = 0,0486 - 0,0589 = -0,0103(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MCB = (-0,571).(-0,0103) = 0,0058(T.m) MBC = 0,0029(T.m) 
 MCD = (-0,429).(-0,0103) = 0,0044(T.m) MDC = 0,0022(T.m) 
 - Chốt nút C, tháo chốt nút D: 
 + Mômen không cân bằng: 
*
DM = 0,0022(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MDC = (-0,5).0,0022= -0,0011(T.m) MCD = 2
1 .(-0,0011) = -0,0005(T.m) 
 MDE = (-0,5).0,0022= -0,0011 (T.m) MED = 0. 
 Chu trình 3: 
 - Tháo chốt nút B 
 + Mômen không cân bằng: 
*
BM = 0,0029(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MBA = -0,36.0,0029 = -0,0010(T.m) MAB = 0. 
 MBC = -0,64.0,0029 = -0,0018(T.m) MCB = -0,0009(T.m) 
 - Chốt nút B, tháo chốt nút C: 
 + Mômen không cân bằng: 
*
CM = -0,0009 - 0,0005 = -0,0014(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MCB = (-0,571).(-0,0014) = 0,0008(T.m) MBC = 0,0004(T.m) 
 MCD = (-0,429).(-0,0014) = 0,0006(T.m) MDC = 0,0003(T.m) 
 - Chốt nút C, tháo chốt nút D: 
 + Mômen không cân bằng: 
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 101 
*
DM = 0,0003(T.m). 
 + Mômen phân phối: Mômen truyền: 
 MDC = (-0,5).0,0003= -0,00015(T.m) MCD = -0,00007(T.m) 
 MDE = (-0,5).0,0003= -0,00015(T.m) MDC = 0. 
 Các mômen phân phối đã khá nhỏ, ta có thể dùng quá trình tại đây. Kết quả 
tính toán ta thể hiện trên bảng (B.9.1.2). 
Nút 
(Ngàm) A B C D E 
Đầu AB BA BC CB CD DC DE ED 
g 0,36 0,64 0,571 0,429 0,5 0,5 
M* -2,25 0,9 -0,9 1 -1 1,35 
B 0 0,486 0,864 0,432 
C -0,1519 -0,3037 -0,2282 -0,1141 
D -0,0589 -0,1179 0,1179 0 
B 0 0,05476 -0,0972 0,0486 
C 0,0029 0,0058 0,0044 0,0022 
D -0,0005 -0,0011 -0,0011 0 
B 0 -0,0010 -0,0018 -0,0009 
C 0,0004 0,0008 0,0006 0,0003 
D -0,00007 -0,00015 -0,00015 0 
Mcc 0 -1,7102 1,7108 -0,7174 0,7173 -1,230 1,230 0 
B.9.1.2 Bảng phân phối mômen. 
 Mômen uốn tại các đầu thanh trong hệ ban đầu sẽ bằng mômen uốn trong hệ 
có các nút bị chốt ghi ở hàng thứ 4 trên bảng cộng với mômen uốn trong hệ chịu các 
mômen nút cứng đặt tại nút cứng là tổng cá giá trị ghi từ hàng thứ 5 trở xuống. 
 5. Vẽ biểu đồ nội lực: 
 Sau khi đã biết mômen uốn tại các đầu thanh ta vẽ được biểu đồ (M) theo 
cách đã biết như phương pháp treo biểu đồ chẳng hạn (H.9.1.6b). 
 6. Kiểm tra cân bằng nút: 
 Nút B: -1,7102 + 1,7108 = 0,0006 » 0. 
 Nút C: -0,7174 + 0,7173 = -0,0001 » 0. 
3m
A
3m
B DC
E
2m
q = 1,2T/m
H.9.1.6a
2m2m2m
P = 3T P = 2T q = 1,2T/m
3
1,71
1,35 2
0,72 1,23
1,35
M
H.9.1.6b
(T.m)
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 102 
 Nút D: -0,1230 + 0,1230 = 0. 
 * Chú ý: 
 - Ta luôn kiểm tra kết quả trong quá trình tính toán: 
 + Tổng hệ số phân phối xung quanh một nút bằng đơn vị. 
 + Tổng mômen phân phối bằng mômen nút cứng nhưng trái dấu. 
 - Theo kinh nghiệm, ta nên tháo chốt nút có mômen không cân bằng lớn nhất 
làm nút khởi đầu. 
 - Trong trường hợp hệ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ hay chuyển vị 
cưỡng bức của các gối tựa, cũng tính tương tự với cách tính trên, riêng ở bước xác 
định mômen nút cứng M*, ta thực hiện giống như lúc vẽ biểu đồ )( oZM , )( otM của 
phương pháp chuyển vị. 
 V. Tính hệ có nút chuyển vị thẳng: 
 Để đơn giản, ta đi tìm hiểu cách tính hệ trên hình (H.9.1.7a).Tuy nhiên, cách 
lập luận vẫn tổng quát, áp dụng cho hệ bất kỳ. 
 Đưa hệ đã cho về hệ có nút không chuyển vị thẳng bằng cách đặt thêm hai 
liên kết thanh vào ngang mức 
hai tầng (H.9.1.7b). 
 Để hệ mới làm việc 
giống hệ ban đầu, ta cần gây ra 
các chuyển vị cưỡng bức D1, 
D2 tương ứng với vị trí và 
phương của liên kết thanh mới 
thêm vào và thiết lập điều kiện 
phản lực trong các liên kết 
thanh này bằng không: R1 = 0; 
R2 = 0.(*). 
 Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta đưa hệ trên hình (H.9.1.7b) về ba hệ 
thành phần: 
 - Hệ có nút không chuyển vị thẳng và chịu tải trọng (H.9.1.7c). 
 - Hệ có nút không chuyển vị thẳng, không chịu tải trọng nhưng tại liên kết 
đặt thêm vào tại tầng một chịu chuyển vị cưỡng bức D1(H.9.1.7d). 
 - Hệ có nút không chuyển vị thẳng, không chịu tải trọng, nhưng tại liên kết 
đặt thêm vào tầng hai chịu chuyển vị cưỡng bức D2 (H.9.1.7e). 
 Viết lại điều kiện (*): 
D 2
D 1=
H.9.1.7a H.9.1.7b
H.9.1.7c
D 1
H.9.1.7d
D 2
H.9.1.7e
= + +
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 103 
î
í
ì
=DD
=DD
0),,(
0),,(
212
211
PR
PR
 ®
î
í
ì
=++
=++
DD
DD
0
0
22122
21111
RRR
RRR
P
P 
 Trong đó: 
 RkP: phản lực tại liên kết k đặt thêm vào do tải trọng gây ra trong hệ có nút 
không chuyển vị thẳng. 
mkR D : phản lực tại liên kết k thêm vào do chuyển vị cưỡng bức tại liên kết m 
có giá trị bằng Dm gây ra. 
Mặc khác, các chuyển vị Dm là chưa biết, để thuận lợi cho việc tính toán, ta 
biểu thị: 
 Dm = km.dm 
 dm: chuyển vị tại liên kết m, dm có thể chọn tuỳ ý (thường chọn bằng đơn vị), 
còn km chưa biết giữ vai trò ẩn số. 
 Nếu gọi rkm là phản lực tại liên kết k do dm gây ra thì RkDm = rkm.km. 
 Thay vào hệ phương trình trên ta được: 
î
í
ì
=++
=++
0
0
22121212
2121111
krkrR
krkrR
P
P 
 Biểu đồ mômen cuối cùng trong hệ: 
 )..().()()()()()( 221121 MkMkMMMMM PP ++=++= DD 
- )( mM là biểu đồ mômen uốn do chuyển vị dm gây ra trên hệ có nút không 
chuyển vị thẳng; )( oPM là biểu đồ mômen uốn do tải trọng gây ra trên hệ có nút 
không chuyển vị thẳng. 
 + Biểu đồ (MP) ta dễ dàng vẽ được theo hệ có nút không có chuyển vị thẳng 
và chỉ chịu tải trọng như ở phần phương pháp chuyển vị. 
 + Biểu đồ )( mM cũng thực hiện như vẽ biểu đồ (MP) nhưng ở đây nguyên 
nhân tác dụng là chuyển vị cưỡng bức là dm. 
 Vấn đề còn lại là đi xác định k1, k2. Cách thực hiện như sau: 
 - Sau khi vẽ được biểu đồ (MP), )( mM , ta sẽ xác định được rkm, RkP bằng cách 
thực hiện mặt cắt, tách ra một hệ và xét cân bằng như lúc xác định các hệ số của 
phương pháp chuyển vị tại liên kết thanh đặt thêm vào. Sau đó giải hệ trên ta sẽ 
được k1, k2. 
 Trong trường hợp tổng quát, hệ có n nút chuyển vị độc lập: 
 - Phương trình thứ i của hệ xác định các ki: 
 .,1;0..........2211 11 nikrkrkrR niniiiP ==++ 
 - Và .)....(..........).()()( 11 nnP kMkMMM ++= 
 * Chú ý: 
 - Trường hợp hệ có thanh đứng không song song hay chịu tác dụng của 
nguyên nhân biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa, nguyên tắc 
tính toán vẫn không thay đổi. Tuy nhiên, cần chú ý vận dụng sơ đồ chuyển vị hay 
giản đồ Williot khi xác định các mômen nút cứng. 
 - Nếu chọn dk = dm thì rkm = rmk. 
 Ví dụ : Vẽ biểu đồ nội lực của hệ cho trên hình (H.9.1.8a). Cho biết độ cứng 
trong các thanh đứng là EJ, trong các thanh ngang là 2EJ. 
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 104 
4m
4m
H.9.1.8a
B
ED
A
4m
F
C
q = 2,4T/m 1. Xác định độ cứng đơn vị quy 
ước của các thanh: 
4
JERRR CFBEAD === ;
 .
2
J
4
J2
F
EERR EDE === 
 2. Xác định hệ số phân phối: 
 Nút D: 
 3333,0
4
J
2
EJ
4
EJ
=
+
= EDAg
;
 .6666,0
4
J
2
EJ
2
EJ
=
+
= EDEg
 Nút E: 
 4,0
2
EJ
4
J
2
EJ
2
EJ
=
++
= EEDg
; 4,0
2
EJ
4
J
2
EJ
2
EJ
F =
++
= EEg
; .2,0
2
EJ
4
J
2
EJ
4
EJ
=
++
= EEBg
 Nút F: 3333,0
4
J
2
EJ
4
EJ
=
+
= EFCg
; .6666,0
4
J
2
EJ
2
EJ
FE =
+
= Eg
 3. Tính hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu tải trọng. (H.9.1.8b) 
 - Xác định mômen nút cứng: 
 )..(2,3
12
4.4,2
12
22
** mTqlMM EDDE ===-= 
- Lập bảng phân phối mômen (B.9.1.3) 
 - Dựa vào kết quả của bảng tính, ta có thể vẽ được ( oPM ). 
 - Xác định phản lực R1P: Thực hiện cắt ra khỏi hệ 1 phần như trên hình vẽ 
(H.9.1.8c). Lực cắt tại các đầu thanh bị cắt được suy ra từ biểu đồ mômen ( oPM ). 
 ® R1P = 0,367 – 0,522 – 0,122 = -0,277. 
H.9.1.8c
q = 2,4T/m
R1P
0,1220,3670,522
q = 2,4T/m
C
F
A
D E
B
H.9.1.8b
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 105 
Nút 
(Ngàm) A B D E F C 
Đầu 
thanh AD BE DA DE ED EB EF FE FC CF 
g 0,3333 0,666 0,4 0,2 0,4 0,6666 0,3333 
M* 3,2 -3,2 
D -0,533 -1,066 -2,133 -1,066 
E 0,426 0,853 1,706 0,853 1,706 0,853 
F -0,284 -0,568 -0,284 -0,142
D -0,142 -0,284 -0,568 -0,284 
E 0,056 0,113 0,227 0,113 0,227 0,113 
F -0,037 -0,075 -0,037 -0,018
D -0,018 -0,037 -0,075 -0,037 
E 0,007 0,014 0,029 0,014 0,029 0,014 
F -0,004 -0,009 -0,004 -0,002
D -0,022 -0,004 -0,009 -0,004 
Mcc -0,695 0,489 -1,395 1,395 -2,629 0,98 1,637 0,328 -0,325 -0,162
B.9.1.3 Bảng phân phối mômen do tải trọng 
 4. Tính hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu chuyển vị cưỡng bức: 
 - Hệ số phân phối và hệ số truyền đã xác định ở mục 3. 
 - Xác định mômen nút cứng: 
 Chốt tất cả các nút và tra bảng cho các phần tử chịu chuyển vị cưỡng bức 
(H.9.1.8d): 
 12
*** .
l
6EJ d=== FCEBDA MMM 
 Nếu chọn d = 
J6
2
E
l thì 1*** === FCEBDA MMM 
 Suy ra được: 2/1*** === CFBEAD MMM . 
- Lập bảng phân phối mômen (B.9.1.4) 
 - Dựa vào kết quả của bảng tính, ta có thể vẽ được ( 1M ). 
 - Xác định phản lực r11: 
 Thực hiện cắt ra khỏi hệ 1 phần như trên hình vẽ (H.9.1.8d). Lực cắt tại các 
đầu thanh bị cắt được suy ra từ biểu đồ mômen ( 1M ). 
 ® r11 = 0,261 + 0,345 + 0,251 = 0,857. 
 5. Thay tất cả vào phương trình xác định k: 
 r11k1 + R1P = 0 ® 0,877.k1 - 0,277 = 0 ® k1 = 0,323. 
d 1
H.9.1.8d
0,261 0,345 0,251
r11
H.9.1.8e
 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 106 
Nút 
(Ngàm) A B D E F C 
Đầu 
thanh AD BE DA DE ED EB EF FE FC CF 
g 0,333 0,666 0,4 0,2 0,4 0,666 0,333 
M* 0,5 0,5 1 1 1 0,5 
D -0,166 -0,333 -0,666 -0,333 
E -0,066 -0,133 -0,266 -0,133 -0,266 -0,133 
F -0,577 -0,288 -0,144 
D 0,022 0,044 0,088 0,044 
E 0,024 0,048 0,097 0,048 0,097 0,048 
F -0,015 -0,031 -0,015 -0,007 
D -0,008 -0,015 -0,031 -0,015 
E 0,003 0,006 0,012 0,006 0,012 0,006 
F -0,002 -0,004 -0,002 -0,001 
Mcc 0,348 0,461 0,696 -0,688 -0,461 0,921 -0,462 -0,687 0,659 0,348 
B.9.1.4 Bảng phân phối mômen do d1 
 6. Xác định mômen uốn tại các đầu thanh của hệ ban đầu: 
Đầu 
thanh AD BE DA DE ED EB EF FE FC CF 
o
PM -0,695 0,489 -1,395 1,395 -2,629 0,98 1,637 0,328 -0,325 -0,162 
1M 0,348 0,461 0,696 -0,688 -0,461 0,921 -0,462 -0,687 0,659 0,348 
1M .k1 0,112 0,149 0,225 -0,222 -0,149 0,297 -0,149 -0,222 0,213 0,112 
Mcc -0,583 0,638 -1,170 1,173 -2,778 1,277 1,488 0,106 -0,112 -0,50 
B.9.1.5 Bảng xác định mômen trên hệ. 
 Sau khi đã xác định được mômen 
uốn tại các đầu thanh, ta có thể vẽ được 
biểu đồ (M). Xem hình (H.9.1.8f). 
 Sau khi đã vẽ được biểu đồ (M), 
tiến hành biểu đồ lực cắt (Q) và lực dọc 
theo nguyên tắc đã biết. 
H.9.1.8f
4,8
1,17
0,583
0,638
2,778
1,488
1,277
0,50
0,122
(T.m)
M