Giáo trình Cơ học kết cấu (Phần 1) - Lý Trưởng Thành

ra, kết quả ghi trên 
hình 4.12b. 
Hình 4.12
+ Vận dụng công thức (4-14) ta có: [ ] ( )ϕ+−=ϕ+−−= .La).L()b.0(1.a)( nC Δ 
Kết quả tính mang dấu âm cho ta thấy tiết diện C dịch chuyển sang phải (ngược với 
chiều của Pk =1 đã giả thiết). 
4.3.3. Hệ dàn tĩnh định khi chiều dài các thanh chế tạo không chính xác 
Khi lắp ráp các thanh chế tạo không chính xác vào hệ dàn, các mắt dàn sẽ chuyển vị. 
Bài toán có thể giải quyết tương tự như trường hợp hệ chịu sự thay đổi nhiệt độ. Các 
thanh có chiều dài được chế tạo dài hơn chiều dài yêu cầu là Δ được xem như chịu biến 
dạng vì nhiệt tương đương là α.tc.L = Δ; còn các thanh bị chế tạo hụt so với chiều dài yêu 
cầu là Δ được xem như chịu biến dạng vì nhiệt tương đương là α.tc.L = -Δ. Với L là chiều 
dài của thanh dàn. 
Một cách tổng quát, nếu gọi Δi là độ dôi của thanh dàn thứ i bị chế tạo dài hay ngắn 
hơn chiều dài yêu cầu thì sau khi áp dụng công thức (4-13) ta có: 
 im
n
1i
ik .N Δ=∑
=
ΔkΔ (4-15) 
Ví dụ 4-5: Xác định độ võng tại K của dàn có kích thước và sơ đồ như trên hình 4.13a, 
nếu trong khi chế tạo chiều dài của các thanh 1-2 và 2-3 bị hụt một đoạn bằng Δ. 
Khi vận dụng công thức (4-15) vào bài toán trên ta có: i = 2; Δ1-2 = Δ2-3 = - Δ. 
Lập trạng thái “k” như trên hình 4.13b và tính hệ ở trạng thái “k”: 
+ Xác định phản lực, kết quả ghi trên hình 4.13b. 
+ Tính nội lực trong thanh dàn 1-2 và 2-3 ở trạng thái “k”. 
109 
 "k" 
K 
Δ 
Hình 4.13
1 
6 
5 
4 
2 
3 
a 
"m" 
a) 
a a 
1 
5 
4 
2 
2
1
 - NN 3-2k
2-1
k == Do đó: ( ) ( ) Δ=Δ−⋅−Δ−⋅−=Δ
2
1
2
1
 kΔ 
Kết quả cho thấy điểm K sẽ chuyển vị xuống một đoạn bằng Δ. 
Chú ý: Trong trường hợp hệ chịu nhiều nguyên nhân khác nhau ta có thể vận dụng 
nguyên lý cộng tác dụng để tính riêng biệt với từng nguyên nhân rồi cộng các kết quả. 
4.4. TÍNH CÁC TÍCH PHÂN TRONG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ DO 
TẢI TRỌNG TÁC DỤNG BẰNG CÁCH “NHÂN” BIỂU ĐỒ 
Đối với hệ gồm các thanh thẳng như dầm, khung, dàn ta có thể tính các tích phân 
trong công thức chuyển vị một cách đơn giản và tiện lợi hơn so với cách lấy tích phân trực 
tiếp. Cách tính này gọi là cách “nhân” biểu đồ do A.N.Vêrêsaghin đề xuất vào năm 1925. 
Ta sẽ nghiên cứu nội dung của phương pháp qua cách tính tích phân trong số hạng đầu 
của công thức (4-7). 
 T = ∫2
1
z
z
Pk dz
EJ
)z(M).z(M (a) 
Giả sử trong đoạn thanh thẳng đang 
xét (Z1, Z2) có: 
. EJ = const 
. Biểu thức nội lực Mp(z) có dạng 
bất kỳ liên tục trong đoạn 
. Biểu thức nội lực )z(Mk có dạng 
bậc nhất 
Gọi α là góc nghiêng giữa đường 
thẳng của biểu đồ )z(Mk và đường 
chuẩn (trục z) . 
Từ hình 4.14b ta thấy: )z(Mk = Z.tgα (b) 
6 
3 
2
1
b)
PK = 1 
K
Δ
2
1
y 
o 
C 
Hình 4.14 
Mk(z) k
y α
dz 
z1 
Mp(z) 
z 
Mk
Mp
a)
b)
z 
zc 
z2 
110 
Thay (b) vào (a) với lưu ý trong đoạn (Z1, Z2) ta có: tgα = const nên: 
 ( )∫ ⋅⋅α= 2
1
z
z
P dzzMztgEJ
1
T 
Ký hiệu Mp(z).dz = dΩp là vi phân diện tích của biểu đồ Mp (phần gạch chéo) trên 
hình 4.14a. Tích phân được viết lại: 
 ∫ Ω⋅α= 2
1
z
z
PdztgEJ
1
T 
Ta nhận thấy tích phân ở vế phải của biểu thức chính là mô men tĩnh của diện tích 
biểu đồ Mp đối với trục oy. Nên . Trong đó: ∫ Ω=Ω PCP .zd.z
+ Zc là hoành độ trọng tâm diện tích của biểu đồ mô men uốn MP với trục oy. 
+ Ωp là diện tích của biểu đồ mô men uốn MP. 
+ Ký hiệu ky = tgα.Zc là tung độ của biểu đồ kM ứng với trọng tâm diện tích của 
biểu đồ mô men uốn MP. 
Tích phân (a) được viết lại: pp ΩΩα .ky.EJ
1
.
c
Zg.
EJ
1
T =⋅= t 
Số hạng đầu của công thức (4-7) được tính theo cách “nhân” biểu đồ và ký hiệu như 
sau: 
 M . M y.
EJ
1
ds
EJ
MM
kp
i
k
i
p
pk =Ω=∑∑∫ (4-16) 
Làm tương tự với các tích phân còn lại của công thức (4-7) ta có thể viết lại công thức 
tính chuyển vị cho hệ chịu tải trọng dưới dạng “nhân” biểu đồ như sau: 
 N . N Q . Q M . M kpkpkpkp ++=Δ (4-17) 
Trong ký hiệu “nhân” biểu đồ nội lực của (4-17) bao gồm việc lấy tổng các kết quả 
nhân của từng đoạn thanh và trong mỗi đoạn thanh đều có xét đến độ cứng EJ, EF, GF 
tương ứng. 
Các chú ý khi nhân biểu đồ: 
1. Tung độ ky buộc phải lấy ở biểu đồ có dạng đường thẳng. Diện tích Ωp lấy ở biểu 
đồ có dạng bất kỳ. 
2. Nếu biểu đồ lấy diện tích và và biểu đồ lấy tung độ cùng dấu thì kết quả nhân biểu 
đồ mang dấu dương và ngược lại. 
3. Theo tính chất tích phân của tích phân xác định, khi biểu đồ lấy diện tích (miền lấy 
tích phân) là hình phức tạp, ta có thể chia thành nhiều hình đơn giản (hình dễ tìm ngay 
được diện tích và trọng tâm của nó) để áp dụng riêng biệt cách nhân cho từng hình rồi cộng 
kết quả lại với nhau. 
111 
 h C
4. Biểu đồ đối xứng nhân với biểu đồ phản 
xứng cho kết quả bằng không. 
Trên hình 4.15 sẽ cung cấp các số liệu về 
diện tích và vị trí trọng tâm của một số hình đơn 
giản thường gặp. 
Ta sẽ tìm hiểu cách nhân biểu đồ khi gặp các 
hình phức tạp (khó tính diện tích và tìm vị trí 
trọng tâm của nó) thông qua các hình đơn giản 
nói trên qua ví dụ sau: 
Tính chuyển vị thẳng đứng của tiết diện C 
trên dầm có kích thước và sơ đồ chịu lực như trên 
hình 4.16. 
Trên hình 4.16 ta thấy biểu đồ mô men uốn ở 
trạng thái “p” liên tục từ A đến B. Nhưng ở trạng 
thái “k” biểu đồ mô men uốn gồm hai đoạn thẳng 
có hệ số góc khác nhau nên khi nhân biểu đồ ta 
phải chia thành hai đoạn AC và CB rồi nhân riêng 
trong từng đoạn. 
Với cách chia hình khi nhân biểu đồ trên đoạn AC (Hình 4.17) ta có thể chia biểu đồ 
Mp thành 2 hình tam giác và một hình parabôn bậc hai (Hình 4.17b,c,d) và tương tự với 
đoạn CB ta cũng chia thành một hình tam giác và một hình parabôn bậc hai. Ta có kết quả 
nhân là: 
Hình 4.16 
"k" 
C 
BA
Pk=1 
4ky 3ky
1ky 2ky 5ky 
M 
a b 
L 
q 
"p" 
C 
BA
MpΩ5 
Ω1 
Ω2 
MA=M Ω3 
Ω4 
MC 
Mk
Hình 4.15
zC 
L
Ω = h.L 
zc = L/2 
Ω = h.L/2 
zC = L/3 
C 
zC 
L 
h Ω = h.L/3 
zC = L/4 
P2 tiếp tuyến C
zC 
L
h 
Pn tiếp tuyến C 
zC 
L 
h 
Ω = h.L n+1 
zc = 
L 
n+2 
h 
P2 
tiếp tuyến 
C
zC 
L
Ω = 2.h.L 3 
zc = 
3.L 
8 
Ω = 2h.L/3 
zC = L/2 
h parabol 
bậc 2 (P2) C
zC 
L
tiếp tuyến 
112 
 = MP [-Ω1. + Ω2. + Ω3. + Ω4. + Ω5. dcΔ kM = EJ
1
1ky 2ky 3ky 4ky 5ky ]
Ω3 
Ω2 
Ω1 
8
qa2
8
qa2
b) 
a) MA 
MC 
MA
MC 
A C
c) 
d) 
2ky
3ky
1ky
e) 
Hình 4.17
Mk
Mp
Ví dụ 4-6: Xác định chuyển vị ngang tại mắt cắt C của khung có kích thước và sơ đồ 
chịu lực như trên hình 4.18a. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. 
Theo yêu cầu của đề bài ta cần: 
+ Lập trạng thái “k” (Hình 4.18c). Tính hệ ở trạng thái “k”, biểu đồ mô men uốn ở trạng 
thái “k” được vẽ trên hình 4.18d. 
+ Tính hệ ở trạng thái “p”, biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “p” được vẽ trên Hình 4.18b. 
Mk+ Dùng cách nhân biểu đồ để tính chuyển vị ngang tại C: 
n
cΔ = Mp
 Hình 4.18 
M = qa2 
EJ = const 
q 
qa 
a) 
"p" 
D
A 
C 
B 
a 
a 
3qa 
2 3qa 2 
qa2 
b) 
Mp
qa2
8 
qa2
2 
qa2
2 PK = 1 
1 
c)
"k" 
C
1 
1 
a 
Mk 
d) 
 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅−−−=
2
a
.a.
8
2qa
3
2
a.
3
2
.
2
a
.
2
2qa
a.
3
2
.
2
a
.
2
2qa
3
a
.
2
a.2qa
EJ
1n
C Δ 
EJ24
qa5
24
1
6
1
6
1
6
1
EJ
qa 44 −=−−− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= nCΔ 
113 
Kết quả tính cho ta thấy mặt cắt C sẽ dịch chuyển sang trái một đoạn bằng
EJ24
qa5 4 
(ngược với chiều Pk = 1 đã giả thiết). 
4.5. CÁCH LẬP TRẠNG THÁI KHẢ DĨ “K” ĐỂ TÍNH CHUYỂN VỊ 
TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI TIẾT DIỆN VÀ GÓC XOAY CỦA THANH DÀN 
Trong thực tế khi tính toán nhiều trường hợp ta cần phải xác định chuyển vị thẳng và 
chuyển vị góc giữa hai tiết diện với nhau. Các chuyển vị đó gọi là chuyển vị tương đối, 
cách lập trạng thái “k” để tính các chuyển vị này có khác so với cách lập trạng thái “k” để 
tính chuyển vị tuyệt đối. Sau đây ta sẽ xét một số trường hợp thường gặp trong thực tế tính 
toán. 
4.5.1. Chuyển vị thẳng tương đối 
Chuyển vị thẳng tương đối giữa hai điểm theo một phương u nào đó là hiệu số hình 
chiếu của khoảng cách giữa hai điểm đó theo phương u ở lúc sau và trước khi biến dạng. 
Giả sử cần tìm chuyển vị tương đối giữa hai điểm A và B theo phương thẳng đứng y 
do nguyên nhân “m” nào đó gây ra trên hệ (Hình 4.19a). 
Từ hình vẽ ta thấy hình chiếu của khoảng cách giữa hai điểm A và B theo phương y 
lúc trước biến dạng bằng không còn sau khi biến dạng hình chiếu khoảng cách giữa chúng 
lên phương y là: A'B' = ΔA + ΔB 
Vậy khi hai điểm có chuyển vị ngược chiều nhau thì chuyển vị tương đối giữa chúng 
bằng tổng của hai chuyển vị tuyệt đối của hai điểm đó. 
Ta có ΔAB = ΔA + ΔB. Để tính 
chuyển vị tuyệt đối ΔA và ΔB.ta cần 
lập hai trạng thái “k1” và “k2” 
(Hình 4.19b và Hình 4.19c). Nếu 
bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và 
lực dọc bằng cách nhân biểu đồ ta 
có: 
y 
 ΔA = 
 ΔB = 
 ΔAB = + 
 = [ + ] 
 = Hình 4.19 
b) 
A
"k1"
B 
Pk=1 
c) 
A
"k2"
B 
Pk=1 
d) 
A
"k" 
B 
Pk=1 
Pk=1 
Mk1Mm 
Mk2Mm 
Mk1Mm Mk 2 Mm 
Mk 1 Mk2 Mm
Mm Mk
ΔB 
ΔA ΔC 
C’ 
C 
A’ 
C’ 
A’
A,B,C 
B’ 
a) 
B’
Pm "m"
A
B 
114 
Trong đó kM là biểu đồ mô men ở trạng thái “k” là tổ hợp của hai trạng thái “k1” và 
“k2” (Hình 4.19d). 
Khi hai điểm có chuyển vị cùng chiều nhau như hai điểm A và C thì chuyển vị thẳng 
tương đối giữa hai điểm đó theo phương y là hiệu của hai chuyển vị tuyệt đối của A và C. 
Ta có: ΔAC = ΔA - ΔC, viết dưới dạng tổng đại số thì: ΔAC = ΔA +(- ΔC) 
Với cách lập luận tương tự như trên cả hai trường hợp đều cho ta cách tạo trạng thái 
“k” khi cần xác định chuyển vị thẳng tương đối như sau: 
Muốn tìm chuyển vị thẳng tương đối giữa hai điểm nào đó theo phương u bất kỳ thì ở 
trạng thái “k” ta cần đặt hai lực Pk = 1 ngược chiều nhau theo phương u vào hai điểm đang 
xét. 
Sau khi lập trạng thái “k” các bước tính tiếp theo giống như cách xác định các chuyển 
vị tuyệt đối. 
Ví dụ 4-7: Xác định chuyển vị thẳng tương đối giữa hai điểm A và B theo phương 
ngang của khung có kích thước và sơ đồ chịu lực như hình 4.20. Bỏ qua ảnh hưởng của lực 
cắt và lực dọc. 
 a) b) 
Theo yêu cầu của đề bài ta cần thực hiện theo thứ tự sau: 
 + Lập trạng thái “k”: Đặt hai lực nằm ngang Pk=1 ngược chiều nhau tại A và B 
(Hình 4.20c). 
 + Tính hệ ở trạng thái “k”: Vẽ biểu đồ mô men uốn (Hình 4.20d). 
 + Tính hệ ở trạng thái “p”: Vẽ biểu đồ mô men uốn (Hình 4.20b). 
 + Dùng cách nhân biểu đồ để tính chuyển vị ngang tương đối giữa A và B: 
JE218JE
42
n
BA aa
q
3
21 qaa =⋅⋅⋅⋅=Δ 
Kết quả mang dấu dương cho ta thấy chuyển vị ngang tương đối giữa hai tiết diện A 
và B hướng theo chiều của hai lực Pk = 1 đã giả thiết (hai điểm A và B xích lại gần nhau). 
Mp
Mk
Hình 4.20 
A B"p" 
q 
EJ = const 
a 
a 
Mp 
qa2
8 
BA
"k" 
Pk=1 c)Pk=1 d) 
Mk 
aa 
Mp ΔAB = n Mk
115 
4.5.2. Chuyển vị góc tương đối 
Chuyển vị góc tương đối giữa hai tiết diện là hiệu số của góc hợp giữa hai tiết diện đó 
ở lúc sau và trước khi biến dạng. 
Ví dụ cần tìm chuyển vị góc tương đối 
giữa hai tiết diện A và B của hệ có sơ đồ chịu 
lực trên hình 4.21. 
Từ hình 4.21a ta thấy góc hợp giữa hai 
tiết diện A và B lúc trước khi biến dạng bằng 
không, còn sau khi biến dạng là ϕAB và 
ϕAB = ϕA + ϕB . 
Hình 4.21 
Mk=1 Mk=1 
a) 
Vậy chuyển vị góc tương đối giữa hai tiết 
diện A và B được tính bằng tổng hai chuyển vị 
góc tuyệt đối tại hai tiết diện đó. 
Với lý luận tương tự như chuyển vị thẳng tương đối ta có kết luận: Muốn tìm chuyển 
vị góc tương đối giữa hai tiết diện thì ở trạng thái “k” ta cần đặt hai mô men tập trung 
Mk = 1 ngược chiều nhau tại hai tiết diện đó (Hình 4.21b). 
Ví dụ 4-8: Xác định chuyển vị góc xoay tương đối giữa hai tiết diện A và B của khung 
có sơ đồ chịu lực như hình 4.22. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. 
Thứ tự thực hiện như sau: 
+ Lập trạng thái “k”: Đặt hai mô men tập trung Mk = 1 ngược chiều nhau tại A và B 
(Hình 4.22c). 
+ Tính hệ ở trạng thái “k”: Vẽ biểu đồ mô men uốn (Hình 4.22d). 
+ Tính hệ ở trạng thái “p”: Vẽ biểu đồ mô men uốn (Hình 4.22b). 
+ Dùng cách nhân biểu đồ để tính chuyển vị góc xoay tương đối giữa A và B: 
EJ12
qa11
1.a.
8
qa
.
3
2
1.
2
a.qa
1.
2
a.qa
.
EJ
1 3222
AB =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+=ϕ 
Kết quả mang dấu dương cho ta biết chuyển vị góc xoay tương đối giữa hai tiết diện A 
và B là cùng chiều với cặp mô men Mk= 1 đã giả thiết. 
Mp
Mk
Hình 4.22 
P = qa a) 
A B 
"p" 
q 
EJ = const a 
a 
qa2 
qa2 
Mp
b) 
qa2
8 
BA
"k" 
Mk= 1 
c)
Mk= 1 
1 1 
d) 
Mk 
1 
ϕAB = Mp Mk
b) 
"k" 
ϕB ϕA 
ϕAB 
B 
Pm 
A 
"m"
116 
4.5.3. Chuyển vị góc xoay của thanh dàn a) “p” 
Đặc điểm của hệ dàn là khi chịu lực trong các 
thanh dàn chỉ tồn tại một thành phần nội lực đó là lực 
dọc, khi bị biến dạng thanh dàn vẫn thẳng, chúng chỉ bị 
biến dạng dài làm cho các mắt dàn bị chuyển vị thẳng 
do đó các thanh dàn sẽ bị xoay. 
A
B 
P P P 
A’ ΔA 
Giả sử cần tìm góc xoay của thanh dàn AB trong 
dàn có sơ đồ chịu lực trên hình 4.23a. 
Trên hình 4.23b nếu gọi A’B’ là vị trí của thanh 
AB sau biến dạng đồng thời gọi ΔA và ΔB là chuyển vị 
tại mắt A và B theo phương vuông góc với trục thanh 
AB. Gọi ϕAB là góc xoay của thanh dàn AB ta có: 
BA
BA
ABAB a
1
a
1
a
tg Δ⋅+Δ⋅=Δ+Δ=ϕ=ϕ 
Ta thấy góc xoay của thanh AB trong dàn chính là 
tập hợp của hai chuyển vị ΔA và ΔB với hệ số là 1/a. 
Vậy ta có thể phát biểu cách lập trạng thái “k” như sau: 
Muốn tìm góc xoay của thanh bất kỳ trong dàn thì ở trạng thái “k” ta cần đặt hai lực 
tập trung tại hai đầu thanh, ngược chiều nhau, vuông góc với trục thanh và có giá trị bằng 
đơn vị chia cho chiều dài của thanh (Pk = 1/a). 
4.6. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TƯƠNG HỖ 
Dưới đây sẽ trình bày bốn định lý về sự tương hỗ để phục vụ cho việc nghiên cứu và 
tính toán hệ siêu tĩnh sau này. 
4.6.1. Định lý tương hỗ về công khả dĩ của ngoại lực 
Định lý này do E. Betti đề xuất vào năm 1872. Xét một hệ đàn hồi tuyến tính ở hai 
trạng thái “m” và “k” (Hình 4.24). 
+ Ở trạng thái “m” hệ chịu các 
ngoại lực Pm và các chuyển vị gối tựa 
Δm (Hình 4.24a). 
+ Ở trạng thái “k” hệ chịu các 
ngoại lực Pk và các chuyển vị gối tựa 
Δk (Hình 4.24b). 
Theo công thức công khả dĩ (4-5) 
ta có: 
Hình 4.23 
b)
ΔB 
B’ 
B 
A 
a 
ϕAB 
c) “k” 
B 
A
1Pk= a 
Pk= 1 a 
a) Pm "m" 
Δkm Δm
Hình 4.24
"k" b)
Δk 
Pk 
Δmk 
Rm 
Rk 
117 
♦ Công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “m” trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng 
ở trạng thái “k”: 
∑
=
Δ
n
1i
i
mk
i
m.P +∑ =
=
Δ
n
1j
j
k
j
m .R ∑∫ ∑∫ ∑∫+μ+ dsEFNNdsGFQQdsEJMM kmkmkm (a) 
♦ Công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “k” trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng 
ở trạng thái “m”: 
∑
=
Δ
n
1i
i
km
i
k .P + =∑
=
Δ
n
1j
j
m
j
k .R ∑∫ ∑∫ ∑∫+μ+ dsEFNNdsGFQQdsEJMM mkmkmk (b) 
So sánh (a) và (b) ta có: 
∑
=
Δ
n
1i
i
mk
i
m.P +∑ = + hay Tmk = Tkm (4-18) 
=
Δ
n
1j
j
k
j
m .R ∑
=
Δ
n
1i
i
km
i
k .P ∑
=
Δ
n
1j
j
m
j
k .R
Vậy định lý Betti được phát biểu như sau: 
Trong hệ đàn hồi tuyến tính công khả dĩ của ngoại lực đặt vào hệ ở trạng thái “m” 
trên những chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái “k” tương hỗ bằng công khả dĩ 
của các ngoại lực đặt vào hệ ở trạng thái “k” trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng 
thái “m”. 
Cần hiểu khái niệm tương hỗ như sau: 
+ Hai trạng thái “m” và “k” phải xây dựng trên cùng một hệ. 
+ Chuyển vị ở trạng thái này phải có vị trí và phương tương ứng với vị trí và phương 
của lực ở trạng thái kia. 
Sau đây ta sẽ vận dụng định lý Betti để chứng minh các định lý khác. 
4.6.2. Định lý tương hỗ về các chuyển vị đơn vị 
δkm
a) "m" 
b)
"k" Pk=1 
δmk 
Pm=1 
Hình 4.25 
Định lý này do J. Maxwell đề xuất năm 
1864. Xét một hệ đàn hồi tuyến tính ở hai 
trạng thái: 
+ Ở trạng thái “m” hệ chịu một lực 
Pm = 1 gây nên chuyển vị δkm theo phương 
của lực Pk (Hình 4.25a). 
+ Ở trạng thái “k” hệ chịu một lực Pk (có thể là lực tập trung hoặc mô men tập trung) 
gây nên chuyển vị δmk theo phương của lực Pm (Hình 4.25b). 
Theo định lý Betti ta có: 1.δmk = 1.δkm 
Vậy: δmk = δkm (4-19) 
118 
Định lý Maxwell được phát biểu như sau: 
Trong hệ đàn hồi tuyến tính chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí và phương của lực 
Pm do lực Pk bằng đơn vị gây ra tương hỗ bằng chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí và 
phương của lực Pk do lực Pm bằng đơn vị gây ra. 
4.6.3. Định lý tương hỗ về 
các phản lực đơn vị Δm=1 a) "m" 
rkm 
b) "k" 
rmk 
Δk=1 m 
k 
Hình 4.26 
Định lý này do L. Rayleigh 
(1842- 1919) đề xuất năm 1875. Xét 
một hệ đàn hồi ở hai trạng thái: 
+ Ở trạng thái “m”: Gối tựa thứ 
m có chuyển vị cưỡng bức bằng đơn 
vị gây ra tại gối tựa thứ k phản lực 
đơn vị rkm (Hình 4.26a). 
+ Ở trạng thái “k”: Gối tựa thứ k có chuyển vị cưỡng bức bằng đơn vị gây ra tại gối 
tựa thứ m phản lực đơn vị rmk (Hình 4.26a). 
Theo định lý Betti ta có: 1.rmk = 1.rkm 
Vậy: rmk = rkm (4-20) 
Định lý Rayleigh được phát biểu như sau: 
Trong hệ đàn hồi tuyến tính, phản lực đơn vị tại liên kết m do chuyển vị cưỡng bức tại 
liên kết k bằng đơn vị gây ra tương hỗ bằng phản lực đơn vị tại liên kết k do chuyển vị 
cưỡng bức tại liên kết m bằng đơn vị gây ra. 
4.6.4. Định lý tương hỗ về chuyển 
vị đơn vị và phản lực đơn vị a) "m"
Hình 4.27 
"k"b)
k 
ϕm=1 
δkm 
m 
Pk=1rmk 
k m 
Định lý này do A.A.Gvozđiev đề xuất 
năm 1927. Xét một hệ đàn hồi ở hai trạng 
thái: 
+ Trạng thái “m”: Gối tựa thứ m có 
chuyển vị cưỡng bức bằng đơn vị (ϕm = 1), 
gây ra chuyển vị tại một điểm k là δkm 
(Hình 4.27a). 
+ Trạng thái “k”: Một lực bằng đơn vị (Pk = 1) gây ra tại gối tựa thứ m phản lực đơn 
vị là rmk (Hình 4.27b). 
Công khả dĩ Tmk = 0 vì trạng thái m không có ngoại lực tác dụng. 
Công khả dĩ: 
 Tkm = ϕm + Pk mkr& kmδ&
119 
 Tkm = + mkr& kmδ&
Áp dụng định lý Betti (Tkm = Tmk = 0) ta có: 
 (4-21) mkkm - r δ= &&
Như vậy định lý được phát biểu như sau: 
Trong hệ đàn hồi tuyến tính phản lực đơn vị tại liên kết k do lực Pm bằng đơn vị gây 
ra tương hỗ bằng chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí và phương của lực Pm do chuyển vị 
cưỡng bức tại liên kết k bằng đơn vị gây ra nhưng trái dấu. 
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 
1. Xác định chuyển vị thẳng đứng tại tiết diện K, chuyển vị ngang tại tiết diện I, 
chuyển vị góc xoay tại tiết diện C, chuyển vị thẳng tương đối giữa hai tiết diện A và B theo 
phương AB, chuyển vị góc xoay tương đối giữa hai tiết diện E và F của các hệ có kích 
thước và sơ đồ chịu lực trên các hình từ hình 4.28 đến hình 4.39. 
2. Xác định chuyển vị thẳng đứng tại mắt B, chuyển vị ngang tại mắt C và góc xoay 
của thanh AB trong dàn có kích thước và sơ đồ chịu lực như trên các hình từ hình 4.40 đến 
hình 4.43. 
Hình 4.28 
4m 
4m 
8m 8m 
2J 
2J 
J 
J 
q = 20kN/m 
C
K 
q = 10kN/m 
C 
Hình 4.29
EJ = const 
4m 
K
4m 4m 
Hình 4.30 
4m 
4m 
2J 
J J 
q=10kN/m 
I P= 100kN 
M=200KNm 
E F 
F 
EJ = const 
q 
I 
Hình 4.31 
L
E
L
120 
 Hình 4.32
J 
J 
q= 10KN/m 
I 
P=100kN M=200kNm 
A
B 
K 
2J 
1m 1m Hình 4.33 
2m 
2m 
2J 2J 
2J 
J J 
F E 
K 
3m 3m 
q= 10KN/m 
2m 
2m 
 -2to 
α,h=const 
I K 
-2to -2to +to 
Hình 4.34 
3m 3m 
Hình 4.35 
-20o
α,h=const 
I K
-20o -20o 
4m 4m 
+10o 
+10o 
3m 
3m 
6m 
Δ2 
Δ1 
6m 
I 
Hình 4.36 
6m 
Hình 4.37
F
a a a a 
a 
KJ J 
FF F F
q 
EJ=const 
I P
R 
ϕ 
EJ = const
A 
q 
R
ϕB
Hình 4.39Hình 4.38 
121 
 122 
Hình 4.40
EF=const
A
B 
P 
d d
P
P1=1kN 
3. Xác định chuyển vị thẳng tương đối 
giữa hai tiết diện A và B của khung có kích 
thước và sơ đồ cho trên hình 4.44. Khung 
chịu áp lực của cột nước có chiều cao là h. 
Biết EJ = const; Trọng lượng riêng của 
nước là γ0. 
4. Xác định hệ số k để: 
a) Chuyển vị góc xoay tại C trên dầm ở hình 4.45 bằng không. 
b) Chuyển vị thẳng đứng tại I bằng chuyển vị thẳng đứng tại F trên dầm ở hình 4.46. 
P2=2kN 
Hình 4.41 
4m 
3m 
EF 
EF 
EF 
EF 
EF 
EF 
1,5EF 
1,5EF 
d/2 
3m 
A 
-Δ -Δ 
+Δ 
A
B 
Hình 4.42
d d 
d +Δ 
+to +to 
B 
Hình 4.43
d d 
d 
Hình 4.44
h 
A B 
a 
F 
I 
P=2q 
Hình 4.46
kEJ EJ 
q 
2m 3m 3m 2m 2m 2m 
kEJ EJ 
P= kq 
4m 4m 
Hình 4.45
J C 
q 
6m 
2J 2J