Giáo trình Cơ học lý thuyết - Trịnh Anh Ngọc

ó một tích phân đầu từ nhận xét
∂L/∂θ (hàm Lagrange không phụ thuộc θ, nghĩa là θ là tọa độ cyclic). Tích
phân đầu này chính là mômen động lượng của hạt mr2θ˙ được bảo toàn.
45 Hệ là hạt. Vì vectơ bán kính của hạt:
r = rer,
trong đó er = (sinα cosϕ, sinα sinϕ, cosα), nên hệ có 2 bậc tự do. Tọa độ
suy rộng: r, θ. Vận tốc của hạt:
r˙ = r˙er + re˙r.
Để ý rằng,
e˙r = ϕ˙ sinα(− sinϕ, cosϕ, 0) = ϕ˙ sinαeϕ.
Lời giải một số bài tập 48
Như vậy, động năng của hạt:
T =
1
2
m(r˙2 + r2ϕ˙2 sin2 α).
Thế năng của hạt (đối với O):
V = mgr cosα.
Hàm Lagrange:
L = T − V = 1
2
m(r˙2 + r2ϕ˙2 sin2 α) −mgr cosα.
Hệ phương trình Lagrange (sv nên tính toán tường minh)
r¨ − rϕ˙2 sin2 α+ g cosα = 0,
2rr˙ϕ˙+ r2ϕ¨ = 0 (sinα > 0).
Do hàm Lagrange không phụ thuộc ϕ nên ϕ là tọa độ cyclic. Tích phân đầu:
r2 ˙varphi = const. Sv tự giải thích ý nghĩa vật lý.
46 Hệ hai bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng: x, chuyển dịch của nêm đối
với điểm cố định trên sàn; y, chuyển dịch của vật đối với điểm cố định trên
nêm.
Động năng và thế năng của hệ:
T =
1
2
Mx˙2 +
1
2
m(x˙2 + y˙2 + 2x˙y˙ cosα),
V = −mgy sinα.
Hàm Lagrange:
L = T − V = 1
2
Mx˙2 +
1
2
m(x˙2 + y˙2 + 2x˙y˙ cosα) +mgy sinα.
Tính các đạo hàm
∂L
∂x
= 0,
∂L
∂x˙
= (M +m)x˙+ (m cosα)y˙,
d
dt
∂L
∂x˙
= (M +m)x¨+ (m cosα)y¨;
∂L
∂y
= mg sinα,
∂L
∂y˙
= my˙ + (m cosα)x˙,
d
dt
∂L
∂y˙
= my¨ + (m cosα)x¨.
Lời giải một số bài tập 49
Hệ phương trình Lagrange loại hai:
(M +m)x¨+ (m cosα)y¨ = 0,
my¨ + (m cosα)x¨−mg sinα = 0.
Giải ra ta được
x¨ = −mg sinα cosα
M +m sin2 α
, y¨ = −(M +m)g sinα
M +m sin2 α
.
47 Nếu không có điều kiện "lăn không trượt" thì hệ hai bậc tự do với các
tọa độ suy rộng: θ, góc giữa OG và trục thẳng đứng hướng xuống; ϕ, góc quay
của hình trụ (đối với vị trí tham chiếu nào đó). Điều kiện lăn không trượt
cho
(b− a)θ˙ = aϕ˙⇒ (b− a)θ = aϕ. (a)
Ở đây ta đã chọn vị trí tham chiếu thích hợp để cho ϕ = 0 khi θ = 0. Vậy
hệ một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng là θ.
Động năng của hệ:
T =
1
2
m((b− a)θ˙)2 + 1
2
Jϕ˙2
=
3
4
m(b− a)2θ˙2
trong đó ta đã dùng phương trình liên kết (a) và công thức tính mômen quán
tính của hình trụ J = ma2/2.
Thế năng:
V = −mg(b− a) cos θ.
Hàm Lagrange
L = T − V = 3
4
m(b− a)2θ˙2 +mg(b− a) cos θ.
Tính các đạo hàm:
∂L
∂θ
= −mg(b− a) sin θ, ∂L
∂θ˙
=
3
2
m(b− a)2θ˙, d
dt
∂L
∂θ˙
=
3
2
m(b− a)2θ¨.
Lời giải một số bài tập 50
Phương trình Lagrange loại hai:
3
2
m(b− a)2θ¨ +mg(b− a) sin θ = 0⇒ θ¨ + 2g
3(b− a) sin θ = 0.
(chú ý, phương trình này trùng với phương trình chính xác cho dao động con
lắc đơn có chiều dài l = 3(b− a)/2).
Với giả thiết dao động bé ta xấp xỉ sin θ ≈ θ trong phương trình Lagrange,
ta được
θ¨ +
2g
3(b − a)θ = 0.
Chu kỳ của dao động theo công thức của con lắc đơn
2pi
√
l
g
= 2pi
√
3(b − a)
2g
.
48 Hệ hai bậc tự do. Chọn các tọa độ suy rộng: x, θ như trên hình 23. Điểm
đặc biệt ở thí dụ này là lực F tác dụng lên P2 được cho phụ thuộc thời gian
(không bảo toàn) nên ta cần tính các lực suy rộng! Chuyển dịch ảo của P2
theo phương ngang:
δx+ a cos θδθ.
nên công phân tố của lực chủ động (chỉ có lực F ) là
F (t)(δx+ a cos θδθ) = Qxδx+Qθδθ,
suy ra
Qx = F (t), Qθ = (a cos θ)F (t).
Động năng của hệ:
T =
1
2
mx˙2 +
1
2
m[(x˙+ a cos θθ˙)2 + (a sin θθ˙)2]
= mx˙2 + (ma cos θ)x˙θ˙ +
1
2
ma2θ˙2.
Lời giải một số bài tập 51
Hệ phương trình Lagrange loại hai:
d
dt
[2mx˙+ (ma cos θ)θ˙] = F (t),
d
dt
[(ma cos θ)x˙+ma2θ˙]− [−(ma sin θ)x˙θ˙] = (a cos θ)F (t).
Phụ lục A
Đề thi mẫu
Câu 1 (2đ) Một con ong bay trên một quỹ đạo theo luật chuyển động cho
trong tọa độ cực là
r =
bt
τ 2
(2τ − t), ϕ = t
τ
(0 ≤ t ≤ 2τ ),
trong đó b và τ là những hằng số dương. Chứng tỏ rằng tốc độ nhỏ nhất của
con ong là b/τ . Tìm gia tốc của con ong tại thời điểm này.
Câu 2 (2đ) Một chất điểm P khối lượng m chuyển động dưới lực hấp dẫn
Hình 1: Câu 2
của vật có khối lượng M đặt tại O. Ban đầu P ở cách O khoảng cách a, được
bắn ra xa O với tốc độ (2MG/a)1/2. Tìm khoảng cách từ P đến O tại thời
điểm t. Chứng tỏ P chuyển động ra vô cùng. Ở đây G là hằng số hấp dẫn.
Câu 3 (1đ) Cho đĩa tròn đồng chất bán kính a, khối lượng M . Để thay đổi
mômen quán tính của đĩa người ta gắn thêm vào đĩa khối lượng m cách tâm
khoảng cách a/2. Tính mômen quán tính của hệ đối với trục đi qua tâm và
52
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 53
Hình 2: Câu 3
vuông góc với đĩa. Nếu không thêm và khối lượng m thì trục phải dời song
song đến điểm nào trên đĩa để mômen quán tính vẫn bằng như trường hợp
trước?
Câu 4 (2.5đ) Một đĩa tròn khối lượng M bán kính a có thể quay không ma
Hình 3: Câu 4
sát quanh trục nằm ngang đi qua tâm của nó. Một con bọ khối lượng m chạy
với vận tốc không đổi u quanh mép đĩa. Ban đầu đĩa được giữ ở trạng thái
nghỉ và được thả ra khi con bọ ở vị trí thấp nhất. Tính mômen động lượng
của hệ (gồm đĩa và con bọ) đối với trục quay. Viết phương trình biến thiên
động lượng của hệ. Chứng tỏ rằng
ϕ˙2 =
4mg
a(M + 2m)
(cosϕ− 1) + u
2
a2
.
trong đó ϕ là góc xác định vị trí con bọ so với phương thẳng đứng hướng
xuống.
Câu 5 (2.5đ) Một ống trụ bán kính a, trong lượng P1 có cuốn xung quanh
bằng một sợi dây. Dây vắt qua ròng rọc cố định O rồi nối với vật nặng A
trọng lượng P2. Vật A trượt trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát f . Bỏ qua
ma sát ở ổ trục O. Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ. Tìm gia tốc
của A và tâm C của ống trụ.
Chú thích
Đề thi gồm 5 câu được cấu trúc như sau:
Câu 1 - Động học điểm; kiểm tra kiến thức và kỹ năng tính toán các
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 54
Hình 4: Câu 5
khái niệm động học cơ bản: phương trình (luật) chuyển động, quỹ đạo, vận
tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong.
Câu 2 - Động lực học điểm; kiểm tra khả năng thiết lập phương trình
vi phân chuyển động và kỹ năng giải phương trình vi phân.
Câu 3 - Kiểm tra kiến thức về khối tâm, mômen quán tính.
Câu 4 - Kiểm tra kỹ năng vận dụng một trong ba định luật tổng quát
(động lượng, mômen động lượng và động năng).
Câu 5 - Cơ học giải tích; kiểm tra kỹ năng phân tích liên kết, thiết lập
phương trình Lagrange loại hai.
Đáp án
Câu 1
Vận tốc của con ong tại thời điểm t:
vr =
2b
τ 2
(τ − t), vϕ = bt
τ 3
(2τ − t).
Tốc độ của con ong tại thời điểm t:
v =
b
τ 2
√
4(τ − t)2 + 1
τ 2
(2τ t− t2)2,
v2 =
b2
τ 4
f(t).
Ở đây ta đã đặt f(t) = 4(τ − t)2 + 1
τ2
(2τ t− t2)2. Để tìm tốc độ nhỏ nhất của
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 55
ong ta khảo sát hàm f(t).
f ′(t) = −8(τ − t) + 2
τ 2
(2τ t− t2)(2τ − 2t)
= − 4
τ 2
(τ − t)(t2 − 2τ t+ 2τ 2)
Xét dấu f ′(t) trong khoảng [0, 2τ ] có thể thấy f(t) nhỏ nhất (và như vậy vận
tốc nhỏ nhất) khi t = τ . Vận tốc nhỏ nhất bằng b/τ .
Gia tốc của con ong tại thời điểm t:
wr = −2b
τ 2
− bt
τ 4
(2τ − t), wϕ = 4b
τ 3
(τ − t).
Lúc t = τ ,
wr = −3b
τ 2
, wϕ = 0⇒ w = 3b
τ 2
.
Câu 2
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Lực tác dụng: lực hấp dẫn có độ lớn
F = GMm/x2 và hướng về O.
Phương trình vi phân chuyển động
mx¨ = −GMm
x2
⇒ x¨ = −GM
x2
.
Ký hiệu v = x˙⇒ x¨ = v˙. Nhân vào hai vế phương trình với vdt = dx, ta được
1
2
d(v2) = −GMdx
x2
.
Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t:
v(t)2− v(0)2 = 2GM
[
1
x(t)
− 1
x(0)
]
.
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 56
Dùng điều kiện đầu, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy ra
v(t) =
√
2GM
x(t)
.
Nhân vào hai vế với dt, ta được
dx =
√
2GM
x
dt⇒ x1/2dx =
√
2GMdt.
Tích phân hai vế, ta được
x(t)3/2− x(0)3/2 = 3
2
√
2GMt⇒ x(t) =
(
a3/2 +
3
2
√
2GMt
)2/3
.
Đây chính là khoảng cách từ O đến P tại thời điểm t. Cho t→∞, x(t)→∞,
nghĩa là P chuyển động ra vô cùng.
Câu 3
Mômen quán tính của hệ có tính chất cộng tính. Gọi ∆ là trục đi qua
tâm (khối tâm của đĩa), ta có
J =
1
2
Ma2 +m
(a
2
)2
=
a2(2M +m)
4
.
Gọi ∆′ là trục cần tìm và d là khoảng cách giữa hai trục. Theo định lý
Huygens,
J∆′ = J∆ +Md
2 =
1
2
Ma2 +Md2.
Để mômen quán tính vẫn bằng như trường hợp trước, ta phải có
1
2
Ma2 +Md2 =
a2(2M +m)
4
⇒ d = a
2
√
m
M
.
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 57
Vậy trục ∆′ phải chọn đi qua điểm cách tâm đĩa khoảng cách d xác định
như trên.
Câu 4
Gọi θ là góc quay của đĩa (chiều chọn như hình vẽ).
Đĩa thực hiện chuyển động quay nên mômen động lượng đối với trục
quay là
Lđ = Jθ˙ =
1
2
Ma2θ˙.
Chuyển động của con bọ gồm: chuyển động tương đối - chuyển động
tròn với vận tốc dài không đổi u; chuyển động theo là chuyển động quay
quanh trục cùng với đĩa. Vận tốc tuyệt đối của con bọ:
−u+ aθ˙.
(chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương). Mômen động lượng của con bọ:
Lb = −ma(u− aθ˙).
Mômen động lượng của hệ đối với trục quay:
L = Lđ + Lb =
1
2
Ma2θ˙ −ma(u− aθ˙).
Lực tác dụng lên hệ: trọng lực của đĩa và của con bọ. Lực tác dụng lên
đĩa quy về lực đặt tại điểm mà trục quay đi qua nên mômen của lực bằng
không. Mômen của lực tác dụng lên hệ cũng là mômen của lực tác dụng lên
con bọ:
MO = mga sinϕ
(chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương). Ở đây ϕ là góc xác định vị trí con
bọ đối với phương thẳng đứng hướng xuống.
Áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng của hệ,
d
dt
[
1
2
Ma2θ˙ −ma(u− aθ˙)
]
= mga sinϕ
(M + 2m)a2θ¨
2
= mga sinϕ.
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 58
Để ý rằng góc chuyển động của con bọ tại thời điểm t so với vị trí ban đầu
bằng θ+ϕ. Con bọ chuyển động đều nên a(θ+ϕ) = ut, suy ra θ˙ = (u/a)− ϕ˙,
ϕ¨ = −θ¨. Thay vào phương trình biến thiên mômen động lượng ta được sau
một số biến đổi:
ϕ¨ = − 2mg
a(M + 2m)
sinϕ.
Nhân hai vế với ϕ˙dt = dϕ, ta được:
1
2
d(ϕ˙)2 = − 2mg
a(M + 2m)
sinϕdϕ.
Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t:
1
2
[ϕ˙(t)2 − ϕ˙(0)2] = 2mg
a(M + 2m)
[cos(ϕ(t))− cos(ϕ(0))].
Dùng điều kiện đầu, ϕ(0) = 0, ϕ˙(0) = u/a, ta suy ra:
ϕ˙2 =
4mg
a(M + 2m)
(cosϕ− 1) + u
2
a2
.
Câu 5
Hệ: ống trụ tâm C và vật năng A
Vật A thực hiện chuyển động tịnh tiến theo phương ngang. Hình trụ
thực hiện chuyển động song phẳng, bao gồm: tịnh tiến theo phương thẳng
đứng (cùng với A) và quay (tức thời) quanh B . Hệ có 2 bậc tự do. Tọa độ suy
rộng: x - vị trí A theo phương ngang, ϕ góc quay của ống trụ.
Các lực chủ động: trọng lực P1, lực ma sát Fms = fP2, trọng lực P2.
Động năng của A:
TA =
P2
2g
x˙2.
Để tính động năng ống trụ, dùng công thức tính động năng theo khối tâm
C , trước hết ta tính vận tốc của C bằng công thức Euler (điểm cực là B - tâm
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 59
quay tức thời)
vC = x˙︸︷︷︸
vB
+aϕ˙⇒ wC = x¨+ aϕ¨.
Động năng ống trụ (J = Ma2)
TC =
P1
2g
(x˙+ aϕ˙)2 +
1
2
Jϕ˙2 =
P1
2g
(x˙2 + 2ax˙ϕ˙+ a2ϕ˙2) +
P1
2g
a2ϕ˙2.
Động năng của hệ:
T = TA + TC =
P1 + P2
2g
x˙2 +
P1a
g
x˙ϕ˙+
P1a
2
g
ϕ˙2.
Công của các lực chủ động (giúp tìm các lực suy rộng):
−fP2δx+ P1δx+ P1aδϕ⇒ Qx = −fP2 + P1, Qϕ = P1a.
Tính các đạo hàm rồi thay vào phương trình Lagrange, ta được:
P1 + P2
g
x¨+
P1a
g
ϕ¨ = −fP2 + P1,
P1a
g
x¨+
2P1a
2
g
ϕ¨ = P1a.
Giải ra ta được
x¨ =
g(P1 − 2fP2)
P1 + 2P2
(gia tốc của A),
ϕ¨ =
gP2(1 + 2f)
a(P1 + 2P2)
⇒ wC = g(P1 + P2)
P1 + 2P2
(gia tốc của C).
Phụ lục B
Đề thi môn Cơ học lý thuyết
Thời gian: 120 phút
Ngày thi: 4/6/2009
(Sinh viên được phép tham khảo tài liệu chỉ định)
Câu 1 (2đ) Điểm chuyển động trên đường cycloid,
x = a(θ− sin θ), y = a(1− cos θ),
theo luật θ = bt/a, trong đó a và b là những hằng số dương. Ở thời điểm bất
kỳ, xác định vận tốc, gia tốc của điểm và bán cong của quỹ đạo tại vị trí của
điểm.
Câu 2 (2.5đ) Một vật khối lượng m trượt không ma sát trên mặt phẳng
nghiêng một góc α (0 < α < pi/2) so với phương ngang. Cho biết vật chịu sức
cản không khí có độ lớn tỉ lệ với bình phương vận tốc, kv2. Ban đầu vật ở
đỉnh dốc O và được buông ra không vận tốc đầu. Viết phương trình vi phân
chuyển động của vật. Chứng minh vận tốc của vật biến thiên theo quy luật
v =
√
mg sinα
k
(1− e−2kx/m),
trong đó x là khoảng cách từ vật đến đỉnh dốc. Tìm vận tốc giới hạn của
vật.
Câu 3 (1đ) Một quả lắc đồng hồ gồm: thanh đồng chất chiều dài 2a, khối
lượng m và đĩa tròn đồng chất bán kính a/2, khối lượng M gắn với nhau như
hình 1. Tính mômen quán tính của quả lắc đối với trục đi qua O (điểm giữa
của thanh), cho biết OC = 3a/4.
60
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 61
Hình 1: a) Câu 3; b) Câu 5.
Câu 4 (2đ) Một vật khối lượng 4m ở trạng thái nghỉ (đứng yên) khi nó bị
nổ tung thành ba mảnh có khối lượng lần lượt là 2m, m và m. Sau khi nổ
tung, hai mảnh khối lượng m được quan sát thấy chuyển động với cùng tốc
độ u theo hai hướng hợp với nhau góc 120o . Tìm vận tốc của mảnh có khối
lượng 2m. Tính động năng toàn phần của hệ (gồm ba mảnh). Vị trí ban đầu
của vật là điểm gì của hệ?
Câu 5 (2.5đ) Con lăn A lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng một góc
α so với phương ngang, làm vật C trọng lượng P được nâng lên nhờ một sợi
dây vắt qua ròng rọc B . Con lăn A và ròng rọc B là hai đĩa tròn đồng chất
có cùng trọng lượng Q và bán kính R. Bỏ qua ma sát lăn và ma sát của trục
ròng rọc. Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ. Chứng minh gia tốc
của C bằng
wC =
(Q sinα− P )g
2Q + P
.
Hãy chỉ ra điều kiện trên các dữ kiện của đầu bài (không được cho một cách
tường minh).
Đáp án
Câu 1
Vận tốc:
x˙ = b(1− cos θ), y˙ = b sin θ ⇒ v = b
√
2(1− cos θ).
Gia tốc:
x¨ =
b2
a
sin θ, y¨ =
b2
a
cos θ ⇒ w = b
2
a
.
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 62
Tính bán kính cong. Gia tốc tiếp:
wt = v˙ =
b2
a
sin θ√
2(1− cos θ) .
Gia tốc pháp:
wn =
√
w2 − w2t =
b2
a
√
1− cos θ
2
.
Suy ra
ρ =
v2
wn
= 2a
√
2(1− cos θ).
Câu 2
Hình 1: Câu 2.
Hệ quy chiếu được chọn như hình vẽ, trục Ox hướng song song với mặt
nghiêng. Lực tác dụng lên vật: trọng lực P, phản lực N và lực cản không khí
Fc.
Chiếu phương trình vi phân chuyển động (định luật thứ hai của Newton)
lên trục x, ta được:
mx¨ = mg sinα− kx˙2.
Nhân vào hai vế với x˙dt = dx, ta được:
m
2
d(v2) = (mg sinα− kv2)dx,
trong đó v = x˙. Tách biến,
md(v2)
2(mg sinα− kv2) = dx,
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 63
rồi tích phân hai vế (chú ý, biến lấy tích phân bên vế trái là v2), ta được:
−m
2k
ln |mg sinα − kv2|
∣∣∣v2
v2(0)
= x− x(0).
Dùng điều kiện đầu, v(0) = 0, x(0) = 0,
ln
(
mg sinα− kv2
mg sinα
)
= −2kx
m
,
suy ra
v =
√
mg sinα
k
(1− e−2kx/m).
Qua giới hạn, t→∞, ta thu được (do x→∞):
vgh = lim
x→∞
√
mg sinα
k
(1− e−2kx/m) =
√
mg sinα
k
.
Câu 3
Mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua O:
Jt =
1
3
m(2a)2 =
4ma2
3
.
Mômen quán tính của đĩa đối với trục đi qua O (dùng công thức Huygens):
Jđ =
1
2
M
(a
2
)2
+M
(
3a
4
)2
=
11Ma2
16
.
Vậy, mômen quán tính của quả lắc đối với trục qua O:
J = Jt + Jđ =
(
4m
3
+
11M
16
)
a2.
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 64
Hình 2: Câu 4.
Câu 4
Hệ gồm ba vật có khối lượng lần lượt là m, m, 2m (ban đầu chúng kết
dính với nhau). Theo giả thiết ban đầu chúng đứng yên, điều đó có nghĩa
là lực tác dụng lên chúng bằng không! Ta áp dụng định lý bảo toàn động
lượng. Gọi v là độ lớn vận tốc của vật 2m. Do động lượng ban đầu của hệ
bằng không nên động lượng của hệ lúc sau cũng vậy. Do đó vận tốc của vật
2m có phương chiều như hình vẽ, và độ lớn được tính nhờ sự bảo toàn động
lượng
mu cos 60o +mu cos 60o − 2mv = 0 ⇒ v = u
2
.
Động năng của hệ:
T =
mu2
2
+
mu2
2
+
2m
2
(u
2
)2
=
5mu2
4
.
Vị trí ban đầu của vật (O) là khối tâm của hệ.
Câu 5
Cơ hệ gồm: con lăn A, ròng rọc B , vật C . Lực chủ động tác dụng lên
hệ: trọng lực Q, phản lực NA, trọng lực Q, phản lực NB , trọng lực P (xem
hình vẽ).
Liên kết:
Con lăn A chuyển động song phẳng. Chuyển dịch tịnh tiến s và quay
quanh tâm góc ϕ. Do lăn trượt nên δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ˙).
Ròng rọc B thực hiện chuyển động quay góc ϕ (chọn gốc thích hợp).
Vật C dịch chuyển tịnh tiến x. Do dây không giãn δx = δs (x˙ = s˙).
Như vậy, hệ có 1 bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng là x (tọa độ vật C).
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 65
Hình 3: Câu 5.
Động năng của con lăn A:
TA =
Q
2g
s˙2 +
QR2
4g
ϕ˙2 =
3Q
4g
x˙2.
Động năng của ròng rọc B:
TB =
QR2
4g
ϕ˙2 =
Q
4g
x˙2.
Động năng của vật C :
TC =
P
2g
x˙2.
Động năng của hệ:
T = TA + TB + TC =
P + 2Q
2g
x˙2.
Công toàn phần do lực chủ động tác dụng lên hệ:
δW = Q sinαδs− Pδx = (Q sinα − P )δx.
Do đó, lực suy rộng Qx = Q sinα− P .
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 66
Tính các đạo hàm rồi thay vào phương trình Lagrange, ta được:
P + 2Q
g
x¨ = Q sinα − P ⇒ wC = x¨ = (Q sinα− P )g
P + 2Q
.
Điều kiện: để vật C đi lên ta phải có điều kiện Q sinα ≥ P .
Lời bàn
Câu 4 Câu này thường làm cho các bạn lúng túng về lực tác dụng lên hệ.
Tuy nhiên, nếu để ý đến cụm từ "ở trạng thái nghỉ (đứng yên)" thì ta có thể
xem, theo định luật thứ nhất của Newton, hệ không chịu tác dụng bởi lực
nào cả, hay nói khác đi, các lực tác dụng lên hệ cân bằng.
Câu 5 Một số bạn cho là hệ có 2 bậc tự do! Thật ra với điều kiện "lăn
Hình 4: Tính động năng trong chuyển động song phẳng.
không trượt" của con lăn thì bài này chỉ có 1 bậc tự do. Một số bạn áp dụng
máy móc cách tính động năng của con lăn giống như cách tính động năng
của ống trụ (câu 5 của đề thi mẫu). Như trên hình 4a), ống trụ thực hiện
chuyển động song phẳng được phân tích bằng cách chọn B làm điểm cực,
gồm: chuyển động tịnh tiến của điểm B và chuyển động quay quanh trục đi
qua B của ống trụ. Còn trong bài này, hình 4b), chuyển động của con lăn
gồm: chuyển động tịnh tiến của điểm A và chuyển động quay quanh A của
con lăn. Các bạn nên đọc lại lời giải trong hai trường hợp để so sánh.
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Đình Áng, Trịnh Anh Ngọc, Ngô Thành Phong, Nhập môn Cơ học,
NXB Đại học Quốc gia TP. HCM 2003.
[2] Nguyễn Trọng Chuyền, Phan Văn Cúc, Bài tập cơ học lý thuyết, NXB Khoa
học và Kỹ thuật, Hà nội, 1991.
[3] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge
University Press, 2006.
[4] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge Uni-
versity Press, 2006.
[5] X.M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết, NXB Đại học & Trung học
Chuyên nghiệp Hà nội, Mir Matxcơva 1979.
67