Giáo trình Cơ thủy khí ứng dụng - Chương IV: Động lực học chất lỏng lý tưởng

 1
Chương IV 
ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG 
ðộng lực học chất lỏng nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển động của chất 
lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mơ tả chuyển động này trong mối 
quan hệ với các ngoại lực tác dụng. 
Chất lỏng lý tưởng khi bỏ qua sự ảnh hưởng của tính nhớt, cĩ nghĩa là hệ 
số nhớt 0µ = . 
1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ðỘNG - PHƯƠNG 
TRÌNH EULER. 
Xuất phát từ nguyên lý biến thiên động lượng: Ngoại lực tác dụng lên một 
hệ thống chất lỏng bằng tốc độ thay đổi động lượng của khối chất lỏng đĩ. Ta 
cĩ: 
1 du
F grad p
dtρ
− =




 (4.1) 
Chiếu lên các trục tọa độ, phương trình (1.1) trở thành: 
1
1
1
x
x
y
y
z
z
dup
F
x dt
dup
F
y dt
dup
F
z dt
ρ
ρ
ρ
∂
− =
∂
∂
− =
∂
∂
− =
∂
 (4.2) 
Phương trình (4.1) và (4.2) gọi là phương trình vi phân chuyển động Euler của 
chất lỏng lý tưởng dạng vector và hình chiếu tương ứng. 
2. BÀI TỐN ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG 
Trong trường hợp chất lỏng lý tưởng, khơng nén được, hệ phương trình Euler 
cĩ 4 ẩn , ,x y zu u u và áp suất p. ðể giải hệ phương trình này ta sử dụng thêm 
phương trình liên tục: 
 0yx z
uu u
divu
x y z
∂∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂


 (4.3) 
ðể tích phân hệ 4 phương trình trên, ta thêm vào điều kiện đầu và điều kiện 
biên của nĩ: 
• ðiều kiện đầu là điều kiện xác định các thành phần vận tốc và áp suất 
tại thời điểm ban đầu t=0: 
 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
3
4
0 , ,
0 , ,
0 , ,
0 , ,
x
y
z
u f x y z
u f x y z
u f x y z
p f x y z







=
=
=
=
 (4.4) 
• ðiều kiện biên là điều kiện xác định biên giới mơi trường lỏng đang xét 
và biểu thị bằng điều kiện cho trên mặt vật và điều kiện khá xa vật rắn 
(coi ở ∞ ). ðiều kiện biên trên mặt vật rắn phải thỏa mãn điều kiện hạt 
lỏng khơng xuyên qua hoặc tách rời khỏi mặt vật rắn. 
- Khi vật rắn S đứng yên, dịng chất lỏng lý tưởng chuyển động từ 
vơ cùng đến bao quanh vật ta cĩ: 
0
n nS Su v
u ∞



=
=
 (4.5) 
- Khi vật rắn S chuyển động trong chất lỏng lý tưởng với vận tốc 
v


 trong chất lỏng được coi là đứng yên ở vơ cùng, ta cĩ: 
0n Su
u u∞ ∞
 =

=
 (4.6) 
3. DẠNG LAMB – GROMECO CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER 
Sau khi sắp xếp trên phương x, ta được 
( ) ( )
22 2
2
1
2 2 2
2
y yx x x x xz z
x z y
x
z yy z
u udu u u u uu up
F u u
x dt t x z y x y
u u
u rot u u rot u
t x
ρ
    
          
 
 
 
∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂
− = = + + + + − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
= + + −
∂ ∂
 (4.7) 
Ta biến đổi tương tự cho phương y và z. Cuối cùng ta được dạng Lamb – 
Gromeco của phương trình Euler: 
 ( )
21
2
du u u
F grad p grad rot u u
dt tρ
 
 
 
∂
− = = + + ∧
∂

 
 


 
 

 (4.8) 
Tính chất đặc biệt của phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý 
tưởng dưới dạng Gromeco là tồn tại dạng hiển của vector xốy của vận tốc. 
4. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DƯỜNG DỊNG 
Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng 
lý tưởng khơng tích phân được. ðể tích phân được, ta xét một số trường hợp 
đặc biệt. 
a. Tích phân Lagrange – Cauchy với chuyển động cĩ thế 
Xét chất lỏng khơng nén được, chuyển động khơng xốy dưới tác dụng của lực 
cĩ thế, nghĩa là 
 3
0
const
rot u
u grad
F grad U
ρ
ϕ
=
 =

=
 =






 (a) 
với ϕ là hàm thế vận tốc, U là hàm thế lực khối đơn vị. 
Khi đĩ: 
 ( )u grad grad
t t t
ϕ
ϕ
∂ ∂ ∂ = =  ∂ ∂ ∂ 


 (b) 
 ( )1 pgradp grad
ρ ρ
 
=  
 
 (c) 
Thế (a), (b) và (c) vào phương trình (4.8), ta thu được 
2
0
2
u p
grad U
t
ϕ
ρ
 ∂
+ + − = ∂ 
 (4.9) 
Tích phân (1.9) cho ta 
 ( )
2
2
u p
U C t
t
ϕ
ρ
∂
+ + − =
∂
 (4.10) 
với ( )C t xác định từ điều kiện biên. 
b. Tích phân Euler 
Khi chất lỏng chuyển động dừng, (4.10) cĩ dạng 
2
2
u p
U Const
ρ
+ − = (4.11) 
Khi lực khối là trọng lực, U gz= − , (4.11) trở thành 
2
2
u p
z Const
g γ
+ + = (4.12) 
Gọi 
2
2
u p
H z
g γ
= + + – độ cao thủy lực trong tồn miền chất lỏng. 
2
2
u
g
 – độ cao đo tốc. 
p
γ
 – độ cao đo áp. 
z– độ cao đo mức. 
c. Phương trình Bernulli cho đường dịng 
Xét chất lỏng lý tưởng khơng nén được, chuyển động dừng dưới tác dụng của 
lực cĩ thế là trọng lực. Khi đĩ ta cĩ phương trình Bernulli cho một đường dịng 
như sau: 
 4
2
2
u p
z C const
g γ
+ + = = (4.13) 
Ý nghĩa của năng lượng Bernulli 
2
2
u
g
 – Tỷ động năng: động năng của 1 đơn vị trọng lượng chất lỏng. 
p
γ
 – Tỷ áp năng: khả năng áp suất cĩ thể đưa một đơn vị trọng lượng chất lưu 
lên độ cao 
p
γ
 so với mặt phẳng xy. 
z – Tỷ vị năng. 
Tổng ba đại lượng gọi là tỷ năng. 
Xét hai điểm khác nhau trên 1 đường dịng, ta cĩ 
2 2
1 1 2 2
1 22 2
u p u p
z z
g gγ γ
+ + = + + (4.14) 
ðây chính là định luật bảo tồn năng lượng của chất lỏng lý tưởng 
5. ðỊNH LÝ ðỘNG LƯỢNG – ðỊNH LÝ MOMEN ðỘNG LƯỢNG 
Xét một thể tích hữu hạn V được 
bao quanh bởi mặt kín S trong chất 
lỏng đang chuyển động. 
Mặt kín S bao quanh thể tích hữu 
hạn gọi là mặt kiểm sốt. Thể tích V 
gọi là thể tích kiểm sốt. 
a. ðịnh lý động lượng đối với thể tích chất lỏng hữu hạn 
ðộng lượng của khối chất lỏng chuyển động: 
V
K udVρ= ∫∫∫

 

ðịnh lý 
1
n
e
k
kV
d
udV F
dt
ρ
=
=∑∫∫∫



 (4.15) 
⇒ 
( )
1
n
e
n k
kV S
u
dV uu dS F
t
ρ
ρ
=
∂
+ =
∂ ∑∫∫∫ ∫∫





 
nu là hình chiếu của u


 lên phương pháp tuyến ngồi của mặt S tại điểm khảo 
sát. 
d
x 
z 
y 0 
r


S 
 5
b. ðịnh lý mơmen động lượng đối với thể tích chất lỏng hữu hạn 
Mơmen động lượng đối với tâm 0: 
 ( )0
V
L r u dVρ= ∧∫∫∫

 
 

 ðịnh lý ( ) ( )0
1
n
e
k
kV
d
r u dV m F
dt
ρ
=
∧ =∑∫∫∫


 
 

 (4.16) 
6. VÍ DỤ 
Ví dụ 1. 
ðể đo vận tốc của dịng nước, người ta đặt vào một ống pito AD hình chữ U cĩ 
chứa thủy ngân (hình vẽ) sao cho đầu A hướng về dịng tới của dịng chảy và 
đầu B hướng vuơng gĩc với dịng tới. Người ta đo độ chênh cột thủy ngân 
trong ống là h. 
Ví dụ 2. 
Bỏ qua tổn thất năng lượng, xác định đường kính d2 của mặt cắt co hẹp của 
ống để khi cho một lưu lượng nước qua ống là 8.8 /Q l s= thì nước trong ống 
đặt tại mặt cắt co hẹp sẽ được hút lên một độ cao H=55cm. ðường kính ống tại 
 6
mặt cắt 1 là 1 100d mm= và áp suất tại đĩ là 
2
1 103920 /p N m= . Nước cĩ 
trọng lượng riêng là 3 39,81.10 /N mγ = .