Giáo trình Nhập môn Đại số tuyến tính

) Chứng tỏ Τ1 là không gian con của T. 
b4) Chứng tỏ mọi vectơ H = [0 0 h3]C ∈ T ; h3 ∈ Ρ , đều vuông góc với T1 . 
 150
b5) Tìm hình chiếu vuông góc X0 = [ x10 x20 0]C ∈ T1 của Y = [1 0 – 2]C ∈ T 
xuống T1 . 
Giải 
b1) Tích vô hướng (X , Y) của 2 vectơ X , Y ∈ T là 
 (X , Y) = XCAY = [ x1 x2 x3] 
1 1 0
1 2 0
0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
3
y
y
y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 = [ x1 + x2 x1 + 2x2 x3][y1 y2 y3]C = (x1 + x2)y1 
+ (x1 + 2x2)y2 + x3y3 
b2) Ta có dạng toàn phương 
 (X , X) = x12 + 2x1x2 + 2x22 + x32 = (x1 + x2)2 + x22 + x32 
* Đổi biến 
1 2 1
2 2
3 3
x x y
x y
x y
+ =
=
=
⎧⎪⎨⎪⎩
 ⇔ 
1 1 2
2 2
3 3
x y y
x y
x y
= −
=
=
⎧⎪⎨⎪⎩
* Dạng chính tắc của dạng toàn phương (X , X) là 
 (Y,Y) = y12 + y22 + y32 , 
Y = [y1 y2 y3]C ∈ Ρ3 . Chứng tỏ dạng toàn phương tương ứng là xác định dương. 
b3) T1 là không gian con của T vì 
* T1 ⊂ T . 
* Với mọi X = [x1 x2 0]C , Y = [y1 y2 0]C thuộc T1 và α ∈ Ρ: 
 X + Y = [x1 + y1 x2 + y2 0]C ∈ T1 , αX = [αx1 αx2 0]C ∈ 
T1 
* Tích vô hướng của 2 vectơ trên Τ1 được xác định như trên T : 
 (X , Y) = (x1 + x2)y1 + (x1 + 2x2)y2 + 0.0 
b4) Với vectơ bất kỳ X = [ x1 x2 0]C ∈ T1 ta có 
 (X , H) = XCH = (x1 + x2).0 + (x1 + 2x2).0 + 0.h3 = 0 
có nghĩa là H ⊥ X . Vậy H ⊥ T1. 
b5) Ta có 
 Y – X0 = [1 – x10 – x20 – 2]C 
 Y – X0 ⊥ Τ1 
có nghĩa là với mọi X = [ x1 x2 0]C ∈ T1 : 
 (Y – X0 , X) = 0 ⇔ (1 – x10)x1 – x20x2 – 2.0 = 0 
 ⇔ 10
20
1 0
0
x
x
− =
=
⎧⎨⎩
 ⇔ 10
20
1
0
x
x
=
=
⎧⎨⎩
Vậy X0 =[1 0 0]C. 
3) T = Χ [0 ; 1] : Tập hợp các hàm số thực liên tục trên [0 ; 1], là Không gian Euclid 
với tích vô hướng xác định theo (6.1.5). 
Xét T1 = DT2{Ρ,Ρ} ={ P(t) = at2 + bt + c ; a , b , c, t ∈ Ρ} 
 Tập hợp các đa thức thực trên Ρ có bậc ≤ 2 . 
a) T1 là không gian con của T vì 
* T1 ⊂ T . 
* Với mọi P(t) = at2 + bt + c , Q(t) = gt2 + et + f thuộc T1 và α ∈ Ρ : 
 P(t) + Q(t) = (a + g)t2 + (b + e)t + (c + f) ∈ T1 
 151
 αP(t) = (αa)t2 + (αb)t + (αc) ∈ T1 
* Tích vô hướng của 2 vectơ của T1 được xác định như trên T : 
 (P(t) , Q(t)) = ( )( )1 2 2
0
at bt c gt et f dt+ + + +∫ 
b) Tìm hình chiếu vuông góc của Y = cost ∈ Τ lên Τ1. 
Giải 
Ta tìm X0 = a0t2 + b0t + c0 ∈ Τ1 sao cho Y – X0 ⊥ Τ1, có nghĩa là với mọi X ∈ 
Τ1: 
 (Y – X0 , X) = 0 ⇔ 
( )
( )
( )
0
0
2
0
,1 0
, 0
, 0
Y X
Y X t
Y X t
− =
− =
− =
⎧⎪⎨⎪⎩
⇔
( )
( )
( )
1 2
0 0 0
0
1 2
0 0 0
0
1 2 2
0 0 0
0
cos .1. 0
cos . . 0
cos . . 0
t a t b t c dt
t a t b t c t dt
t a t b t c t dt
− + + =∫
− + + =∫
− + + =∫
⎧ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎩
⇔ ( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 3 6 6 sin 1
3 4 6 12 sin 1 cos1 1
12 15 20 60 2 cos1 sin1
a b c
a b c
a b c
+ + =
+ + = + −
+ + = −
⎧⎪⎨⎪⎩
 ⇒ X0 = (152 – 330sin1 – 108cos1)t2 + (– 172 + 336sin1 + 120cos1)t 
+ 36 – 57sin1 – 24cos1 
2- Cơ sở trực chuẩn 
Cơ sở V1 , V2 , . . . của không gian Euclid Τ được gọi là cơ sở trực chuẩn nếu 
 (Vi ,Vj) =
1
0
khi i j
khi i j
=
≠
⎧⎨⎩ i , j = 1 , 2 , . . . (6.2.9) 
Ví dụ 6 
Τ = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng xác định theo (6.1.1). 
Cơ sở tự nhiên E1 = [1 0 0]C , E2 = [0 1 0]C , E3 = [0 0 1]C là cơ sở trực chuẩn . 
Định lý 6 
Các vectơ U1 , U2 , . . . , Un khác vectơ không của không gian Euclid Τ (tương ứng 
với không gian tuyến tính n- chiều) vuông góc từng đôi sẽ là cơ sở của Τ . 
Chứng minh 
Ta chỉ cần chứng minh hệ vectơ U1 , U2 , . . . , Un là độc lập tuyến tính . 
Thậy vậy, giả sử 
 a1U1 + a2U2 + . . . + anUn = O 
Ta có 
 (a1U1 + a2U2 + . . . + anUn , Us) = 0 ⇔ aS (Us , Us) = 0 ⇔ aS = 
0 ; s = 1 , 2 , . . . , n 
Định lý 7 Phương pháp trực chuẩn hoá Gram - Smidt 
Ta có thể tìm cơ sở trực chuẩn V1 , V2 , . . . , Vn từ các vectơ cơ sở U1 , U2 , . . . , Un 
của không gian Euclid Τ (tương ứng với không gian tuyến tính n- chiều) qua 2 bước 
sau đây 
* Trực giao hoá : Tìm Z1 , Z2 , . . . , Zn vuông góc với nhau từng đôi bởi công 
thức 
 + Z1 = U1 
 + Z2 = U2 – 1 2 1
1 1
.
.
Z U Z
Z Z
 152
 + Z3 = U3 – 1 3 2 31 2
1 1 2 2
. .
. .
Z U Z UZ Z
Z Z Z Z
− 
 . . . 
 + Zn = Un – 11 21 2 1
1 1 2 2 1 1
.. . . . .
. . .
n nn n
n
n n
Z UZ U Z UZ Z Z
Z Z Z Z Z Z
−
−
− −
− − − (6.2.10) 
* Chuẩn hoá : Tìm các vectơ V1 , V2 , . . . , Vn có độ dài bằng 1 bởi công thức 
 Vj = ( ),
j
j j
Z
Z Z
 ; j = 1 , 2 , . . . , n (6.2.11) 
Chứng minh 
* Trực giao hoá: 
Đặt 
 Z1 = U1 . 
Tìm 
 Z2 = U2 + a1Z1 
sao cho 
 (Z1 , Z2) = 0 ⇔ (Z1 , U2 + a1Z1) = 0 
 ⇔ (Z1 , U2) + a1(Z1 , Z1) = 0 ⇔ a1 = ( )( )1 21 1
,
,
Z U
Z Z
− 
Giả sử đã tìm được Z1 , Z2 , . . . , Zk ( 2 ≤ k < n – 1) vuông góc từng đôi. 
Ta tìm 
 Zk + 1 = Uk + 1 + 
1
k
i i
i
a Z
=
∑ 
sao cho 
 (Zj , Zk + 1) = 0 ; j = 1 , 2 , . . . , k 
 ⇔ ( )1 1, ki k i iiZ U a Z+ =∑+ = 0 ⇔ (Zj , Uk + 1) + aj(Zj , Zj) = 0 
 ⇔ aj = ( )1 1, ki k i iiZ U a Z+ =∑+ ; j = 1 , 2 , . . . , k 
Như vậy ta đã tìm được các vectơ Z1 , Z2 , . . . , Zn vuông góc từng đôi . 
* Chuẩn hoá: 
Tìm các vectơ V1 , V2 , . . . , Vn có độ dài bằng 1 từ các vectơ Z1 , Z2 , . . . , Zn như 
sau 
 Vj = ( ),
j
j j
Z
Z Z
= j
j
Z
Z
 ; j = 1 , 2 , . . . , n 
Dễ dàng nhận thấy 
 ⎟Vj⎟ = ( ),j jV V = ,j j
j j
Z Z
Z Z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 
( ),j j
j
Z Z
Z
= 1 ; j = 1 , 2 , . . . , n 
Ví dụ 7 
Τ = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng xác định theo (6.1.1). 
a) Chứng tỏ U1 = [1 0 0]C , U2 = [1 – 1 0]C , U3 = [1 – 2 1]C là cơ sở của Τ . 
b) Tìm cơ sở trực chuẩn V1 , V2 , V3 tương ứng với U1 , U2 , U3 . 
Giải 
 153
a) U1 , U2 , U3 là cơ sở của Τ vì 
1 1 1
0 1 2
0 0 1
− − = – 1 ≠ 0. 
b) Trực giao hoá 
 Z1 = U1 = [1 0 0]C 
 Z2 = U2 
( )
( )1 21 1
,
,
Z U
Z Z
− Z1 = [ 1 – 1 0]C 
1.1 0.( 1) 0.0
1.1 0.0 0.0
+ − +−
+ +
 [1 0 0]C = 
[0 – 1 0]C 
 Z3 = U3 
( )
( )1 31 1
,
,
Z U
Z Z
− Z1
( )
( )2 32 2
,
,
Z U
Z Z
− Z2 
 = [1 – 2 1]C 1.1 0.( 2) 0.1
1.1 0.0 0.0
+ − +−
+ +
 [1 0 0]C [ ][ ]
0.1 ( 1).( 2) 0.1
0.0 ( 1).( 1) 0.0
+ − − +−
+ − − +
 [0 – 1 
0]C = [0 0 1]C 
Chuẩn hoá 
 V1 = ( )
1
1 1,
Z
Z Z
 = 1
1.1 0.0 0.0+ +
 [1 0 0]C = [1 0 0]C 
 V2 = ( )
2
2 2,
Z
Z Z
 = 
( ) ( )
1
0.0 1 . 1 0.0+ − − +
 [0 – 1 0]C = [0 – 1 0]C 
 V3 = ( )
3
2 3,
Z
Z Z
 = 1
0.0 0.0 1.1+ + +
 [0 0 1]C = [0 0 1]C 
3- Phần bù trực giao 
Giả sử T là không gian Euclid và T1 là không gian con của T. 
Tập hợp T2 các vectơ X ∈ T vuông góc với T1 được gọi là phần bù trực giao của 
T1 trong T và ta ký hiệu T2 ⊥ T1. 
Định lý 8 
Phần bù trực giao T2 của T1 trong T là không gian con của T. 
Chứng minh 
* X , Y ∈ T2 ⇒ X ⊥ T1 , Y ⊥ T1 ⇒ (X , Z) = 0 , (Y , Z) = 0 , ∀ Z ∈ T1 
 ⇒ (X + Y , Z) = (X , Z) + (Y , Z) = 0 ⇒ X 
+ Y ⊥ T1 ⇒ X + Y ∈ T2 
* X ∈ T2 , α ∈ Ρ ⇒ (αX , Z) = α(X , Z) = 0 , ∀ Z ∈ T1 ⇒ αX ∈ T2 
Ví dụ 8 
T = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng xác định theo (6.1.1). 
a) Với T1 = { X = [x1 x2 0]C ; x1 , x2 ∈ Ρ} , T2 = { Y = [0 0 y3]C ; y3 ∈ Ρ} ta có 
T1 ⊥ T2 . 
Thật vậy 
 (X , Y) = x1.0 + x2.0 + 0.y3 = 0 
b) Tìm phần bù trực giao T2 của T1 ={ X = [x1 x2 x3]C∈ T ; 2x1 + x2 – 3x3 = 0 } . 
Giải 
* Tìm cơ sở của T1: 
 2x1 + x2 – 3x3 = 0 ⇒ x2 = – 2x1 + 3x3 ⇒ ∀ X = [x1 x2 x3]C 
∈ T1 : 
 154
 X = x1E1 + x2E2 + x3E3 = x1E1 + (– 2x1 + 3x3)E2 + x3E3 = (E1 
– 2E2)x1 + (3E2 + E3)x3 
Dễ dàng nhận thấy X1 = [1 – 2 0]C , X2 = [0 3 1]C độc lập tuyến tính . Vì vậy 
cơ sở của T1 là X1 , X2 . 
* Với mọi Y = [y1 y2 y3]C ∈ T2: 
 1
2
( , ) 0
( , ) 0
X Y
X Y
=
=
⎧⎨⎩
 ⇔ 1 2
2 3
2 0
3 0
y y
y y
− =
+ =
⎧⎨⎩ ⇔ 
1 2
3 2
2
3
y y
y y
=
= −
⎧⎨⎩ ⇔ Y = y2[2 1 – 
3]C , ∀ y2 ∈ Ρ 
Bài tập 
1) T = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng của 2 vectơ X = [ x1 x2 x3]C , Y 
= [ y1 y2 y3]C ∈ T được xác định theo công thức (6.1.1) 
 (X , Y) = XCY = x1y1 + x2y2 + x3y3 
a) Tìm a để các vectơ V1 = [1 0 1] , V2 = [– 1 2 1] , V3 = [ 1 1 a] vuông góc với 
nhau từng đôi . 
b) Tính góc giữa 2 vectơ U1 = [1 0 1]C , U2 = [– 1 1 2]C 
c) Cho Z = [2 – 1 0]C , W = [1 0 – 1]C , X = [0 – 1 1]C . Tìm Y ∈ T sao cho : 
c1) Y vuông góc với Z và W . 
c2) Y vuông góc với X đồng thời Z , W , Y độc lập tuyến tính . 
2) T = Χ
0;
2
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
: Tập hợp các hàm số thực liên tục trên ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
;0 π , là Không gian Euclide 
với tích vô hướng của 2 vectơ X = x(t) , Y = y(t) ∈ T được xác định theo công thức 
(6.1.6) 
 (X , Y) = 2
0
( ) ( ) ( )A t x t y t dt
π
∫ , A(t) = sint 
Cho X = x(t) = a , Y = y(t) = 1 + t2 . 
a) Xác định a để X ⊥ Y . 
b) Tính góc giữa 2 vectơ X , Y . 
3) T = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng của 2 vectơ X = [ x1 x2 x3]C , Y 
= [ y1 y2 y3]C ∈ T được xác định theo công thức (6.1.1) 
 (X , Y) = XCY = x1y1 + x2y2 + x3y3 
Xét T1 = { X = [x1 x2 x3]C∈ T ; x1 + 2x2 – 3x3 = 0 } 
a) Chứng tỏ T1 là không gian con của T . 
b) Chứng tỏ vectơ H = [h1 h2 h3]C ∈ T , H ⊥ T1 khi và chỉ khi H = h1[1 2 – 
3]C. 
c) Tìm hình chiếu vuông góc X0 = [ x02 x02 x03]C ∈ T1 của H = [1 2 1]C ∈ T 
xuống T1 
4) Trong T = DT2{Ρ,Ρ} ={ P(t) = at2 + bt + c ; a , b , c, t ∈ Ρ}:Tập hợp các đa 
thức thực trên Ρ có bậc≤ 2 
 155
a) Chứng tỏ rằng ta có thể định nghĩa tích vô hướng của X = a + bt + ct2 , Y = g + 
et + ft2 như sau 
 (X , Y) = ag + be + cf . 
b) Với tích vô hướng được xác định trong a) tìm W ∈ T sao cho W vuông góc với 
 X = 1 – 2t2 , Y = t + t2 , Z = 2 – 3t 
5) T = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng của 2 vectơ X = [ x1 x2 x3]C , Y 
= [ y1 y2 y3]C ∈ T được xác định theo công thức (6.1.3) 
 (X , Y) = XCAY 
a) Cho A = 
1 0 1
0 3 0
1 0 2
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 và T1 = { X ∈ T : X = [x1 x2 0]C ; x1 , x2 ∈ Ρ } 
a1) Tìm tích vô hướng (X , Y) ; X , Y ∈ T . 
a2) Chứng tỏ dạng toàn phương (X , X) là xác định dương . 
a3) Tìm hình chiếu vuông góc X0 = [x10 x20 0]C∈ T1 của Y = [1 – 2 3]C ∈ T 
xuống T1 
a4) Cho V1 = [1 0 1]C . Tìm V2 , V3 sao cho V1 ,V2 ,V3 là cơ sở trực giao của T . 
a5) Tính góc giữa 2 vectơ X = [1 2 0]C , Y = [– 1 1 a]C và tìm a để X ⊥ Y . 
b) Cho A = 
1 2 0
2 0
0 0 3
b
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 và T1 = {X∈Τ : X = [0 x2 x3]C ; x2 , x3 ∈ Ρ} 
b1) Tìm b để có tích vô hướng (X , Y) ; X , Y ∈ T và tìm (X , Y) . 
b2) Tìm b để dạng toàn phương (X , X) bán xác định dương . 
b3) Chứng tỏ Τ1 là không gian con của T . 
b4) Tìm h1 ∈ Ρ để vectơ H = [h1 0 0]C vuông góc với T1 . 
b5) Tìm hình chiếu vuông góc X0 = [0 x20 x30]C ∈ T1 của Y = [1 0 – 2]C ∈ T 
xuống T1 . 
6) T = Χ[0 ; 1] : Tập hợp các hàm số thực liên tục trên [0 ; 1] , là Không gian Euclid 
với tích vô hướng xác định theo (6.1.5) 
 (X , Y) = ( ) ( )
b
a
x t y t dt∫ 
Xét T1 = DT2{Ρ,Ρ} ={ P(t) = at2 + bt + c ; a , b , c, t ∈ Ρ}: Tập hợp các đa thức 
thực trên Ρ có bậc ≤ 2 . 
Tìm hình chiếu vuông góc của Y = sin(2t – 1) ∈ T xuống T1 . 
7) T = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng của 2 vectơ X = [ x1 x2 x3]C , Y 
= [ y1 y2 y3]C ∈ T được xác định như sau 
 (X , Y) = XCY = 3
1
i i
i
x y
=
∑ 
Cho U1 = [1 – 1 0]C , U2 = [– 1 2 1]C , U3 = [0 – 2 a]C ∈ T . 
a) Tìm a để U1 , U2 , U3 là cơ sở của T . 
b) Tìm cơ sở trực chuẩn V1 , V2 , V3 tương ứng với U1 , U2 , U3 với a = 1 . 
8) T = DT2 {Ρ,[0 ; 1]} ={ P(t) = at2 + bt + c ; a , b , c ∈ Ρ ; t ∈ [0 ; 1]}: Tập hợp 
các đa thức thực trên 
[0 ; 1] có bậc ≤ 2 là Không gian Euclid với tích vô hướng của 2 vectơ X = x(t) , Y 
= y(t) ∈ T được xác định như sau 
 156
 (X , Y) = 
1
0
( ) ( )x t y t dt∫ 
a) Chứng tỏ U1 = 1 , U2 = 1 + 2t , U3 = 2 – 3t2 là cơ sở của T . 
b) Tìm cơ sở trực chuẩn V1 , V2 , V3 tương ứng với U1 , U2 , U3 . 
9) Cho T = M2{Ρ}: Tập hợp các ma trận vuông cấp 2.2 , thực và định nghĩa 
 (V1 , V2) = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2 
với 
 V1 = 1 1
1 1
a b
c d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
 , V2 = 2 2
2 2
a b
c d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ∈ T 
a) Chứng tỏ với cách xác định như trên thì (V1 , V2) là tích vô hướng của 2 vectơ 
V1 , V2 
b) Tìm a để V1 = 
1 0
0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 
1 2
0 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , V3 = 
0 2
3 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , V4 = 
1 2
3 a−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ là cơ sở của Τ . 
c) Với a = 4 hãy tìm cơ sở trực chuẩn U1 , U2 , U3 , U4 từ hệ vectơ V1 , V2 , V3 , 
V4 . 
10) T = Ρ4 là Không gian Euclid với tích vô hướng của X = [ x1 x2 x3 x4]C , Y = [ 
y1 y2 y3 y4]C ∈ T là 
 (X , Y) = XCY = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 
a) Cho U1 = [1 1 1 1]C , U2 = [1 2 2 – 1]C , U3 = [1 0 0 3]C , Y = [4 – 1 – 
3 4]C và T1 là tổ hợp tuyến tính của U1 , U2 , U3 . Tìm hình chiếu X0 và H của Y 
xuống T1 . 
b) T1 là tập hợp các vectơ X = [ x1 x2 x3 x4]C ∈ T thoả mãn hệ phương trình 
3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
2 3 0
3 2 2 0
2 2 9 0
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + − =
⎧⎪⎨⎪⎩
Tìm hình chiếu X0 và H của Y = [7 – 4 – 1 2]C xuống T1 . 
11) T = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng của 2 vectơ X = [ x1 x2 x3]C , 
Y = [ y1 y2 y3]C ∈ T được xác định theo công thức (6.1.3) 
 (X , Y) = XCAY . 
a) Tìm cơ sở trực chuẩn từ cơ sở Y1 =
1
1
1
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 , Y2 =
1
2
2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 , Y3 =
1
2
3
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 với A = 
1 1 0
1 2 0
0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 . 
b) Cho A = 
3 0 0
0 2 1
1 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
b1) Tìm phần bù trực giao T2 của không gian con T1 sinh bởi Y1 = [ 1 – 1 1]C 
b2) Tìm phần bù trực giao T2 của không gian con T1 sinh bởi Y1 = [ 1 – 1 1]C , 
Y2 = [– 1 2 2]C và nêu ý nghĩa hình học của T1 , T2 . 
b3) Tìm phần bù trực giao T2 của T1 = { X = [x1 x2 x3]C ∈ T : x1 – 2x2 + 3x3 = 0 
} . 
b4) Tìm phần bù trực giao T2 của Τ1 = [ ]{ 1 2 3 CX x x x= ∈ T : 1 2 3
1 2 3
2 3 0
2 3 0
x x x
x x x
− + =
+ − =
⎫⎧⎨ ⎬⎩ ⎭
 157
12) T = Ρ3 là Không gian Euclid với tích vô hướng của 2 vectơ X = [ x1 x2 x3]C , 
Y = [ y1 y2 y3]C ∈ T là 
 (X , Y) = XCY = x1y1 + x2y2 + x3y3 
a) Chứng tỏ V1 = [1 0 0]C , V2 =
1 3
0
2 2
C⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, V3 = 
3 1
0
2 2
C
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
 là cơ sở trực chuẩn 
b) Tìm a , b để V1 = [1 a 0]C , V2 = 
1 3
0
2 2
C⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, V3 = 
1
0
2
C
b −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ là cơ sở trực chuẩn 
13) Cho ví dụ trong không gian Euclid khẳng định sau đây không đúng: 
Nếu 
 ⎟ X + Y + . . . + Z⎟2 =⎟ X⎟2 +⎟ Y⎟2 + . . . +⎟Z⎟2 
thì các vectơ X , Y , . . . , Z vuông góc với nhau từng đôi. 
Đáp số 
1) a) a = –1 b) 
 = arccos
1
12
c1) Y = x[1 2 1]C , ∀ x ∈ R c2) Y = [ x y y]C ; ∀ x , y ∈ R : x + 
3y ≠ 0 . 
2) a) a = 0 b) = 
arccos [ ]
3
1
21 10
2
a
a
π
ππ
−
− +
 ( a ≠ 0 ) 
3) c) x01 = 2 , x02 = – 4 , x03 = – 2 4) 
b) W = O = 0 + 0t + 0t2 
5) a) a1) (X , Y) = (x1 – x3)y1 + 3x2y2 + (– x1 + 2x3)y3 
a3) X0 = [– 2 – 2 0]C 
a4) V2 = [x y z]C , V3 = [s t w]C ∈ T ⇔ 
 { 0 0 , 3 0z w xs yt= = + = chẳng hạn V2 = [1 1 0]C , 
V3 = [– 3 1 0]C 
a5) = arccos ( )2
5
26 2
a
a a
−
+ +
a = 5 
b) b1) b ≥ 4 ; (X , Y) = (x1 + 2x2)y1 + (2x1 + bx2)y2 + 3 x3y3 b2) b = 4 
b4) h1 = 0 
b5) * b ≠ 0 : x20 = 2
b
, x30 = – 2 * 
b = 0 : Không tồn tại X0 
6) X0 = – 360sin1.t2 + (186sin1 – 6cos1)t – 33sin1 + 3cos1 
 158
7) a) a ≠ – 2 b) V1 = 1
2
[1 – 1 0]C , V2 =
1
6
[1 1 2]C , V3 
= 1
3
[ – 1 – 1 1]C 
8) V1 = 1 V2 = 3 (2t – 1) 
V3 = 1 + 3t – 3t2 
9) b) a ≠ 0 c) U1 = 1 0
0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ U2 =
0 1
0 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ U3 =
0 0
1 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
U4 =
0 0
0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
10) a) X0 = [1 – 1 – 1 5]C 
H = [3 0 – 2 – 1]C 
 b) X0 = [5 – 5 – 2 – 1]C 
H = [2 1 1 3]C 
11) a) U1 = 
1
2
[1 – 1 1]C U2 =
1
3
[ – 1 2 2]C U3 
= 1
3 2
[ – 5 1 1]C 
b1) T2 : 3x – y + z = 0 ( mặt 
phẳng qua gốc toạ độ ) 
b2) T2 : 
3 0
2 0
x y z
x y z
− + =
− + + =
⎧⎨⎩ ( đường 
thẳng qua gốc toạ độ ) 
 T1 : – 4x – 3y + z = 0 ( mặt 
phẳng qua gốc toạ độ ) 
b3) Y = [y1 y2 y3]C ∈ T2 : Y = y1[1 – 14 22]C , ∀ y1 ∈ Ρ . 
b4) Y = [y1 y2 y3]C ∈ T2 : 10y1 – 17y2 – 8y3 = 0 
12) b) a = 0 , b = 3
2
13) X = [1 2], Y = [0 2], Z = [0 –1] ∈ Ρ2 với tích vô hướng của X = [x1 x2] , Y = 
[y1 y2] là 
(X , Y) = x1y1 + x2y2 ta có 
 ⎢X + Y + Z ⎢2 = (X + Y + Z , X 
+ Y + Z) = 12 + 32= 10 
 = 12 + 22 + 02 + 22 + 02 + (– 1)2 = (X , X) + (Y , Y) + (Z , 
Z) = ⎢X ⎢2 + ⎢Y ⎢2 + ⎢Z ⎢2 
 nhưng (X , Y) = 1.0 + 2.2 = 4 ≠ 0 (tương tự (X , 
Z) ≠ 0 , (Y , Z) ≠ 0) 
Kiểm tra nhận thức 
Nêu càng nhiều càng tốt ví dụ khác (tương tự Ví dụ và Bài tập) 
1* Không gian Euclid và tìm Độ dài của vectơ, Góc giữa 2 vectơ cụ thể. 
 159
2* Không gian con cuả Không gian Euclid và tìm hình chiếu vuông góc của vectơ 
cụ thể xuống Không gian 
 con này. 
3* Trực chuẩn hoá Gram - Smidt hệ vectơ cụ thể. 
 Abraham de Moivre Gabriel Cramer Pierre-Simon Laplace Charles 
Hermite (1667-1754) (1704-1752) (1749–1827) 
(1822–1901) 
 160
 Augustin Louis Cauchy Ви́ктор Яковлевич Буняко́вский 
Karl Hermann Amandus Schwarz 
 (1789-1857) (1804-1889) 
(1843–1921) 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Đ.K. Phađeev 
 Bài giảng về đại số 
 Nhà xuất bản Khoa Học – Matxcơva – 1984 
Ph.R. Gantmakhe 
 Lý thuyết ma trận 
 Nhà xuất bản Khoa Học – Matxcơva – 1967 
I.M. Ghenphan 
 Bài giảng về đại số tuyến tính 
 Nhà xuất bản Khoa Học – Matxcơva – 1988 
I.V. Prôxcuriacôp 
 Bài tập đại số tuyến tính 
 Nhà xuất bản Khoa Học – Matxcơva – 1975 
 161
MỤC LỤC 
Chương I Trường số phức 
02 
I- Khái niệm về số phức 
02 
1- Đặt vấn đề 
02 
2- Đơn vị ảo 
02 
3- Số phức 
02 
4- Số thuần ảo 
02 
5- Hai số phức bằng nhau 
02 
6- Hai số phức liên hợp với nhau 
02 
7- Biểu diễn số phức trên mặt phẳng 
03 
8- Dạng lượng giác của số phức 
03 
II- Các phép tính 
05 
1- Cộng và trừ 2 số phức 
05 
2- Nhân 2 số phức 
06 
3- Chia số phức cho số phức 
07 
4- Căn bậc n của số phức 
09 
III- Trường số phức 
12 
Bài tập 
13 
Đáp số 
15 
Chương II Ma trận và định thức 
17 
 162
I- Khái niệm về ma trận 
17 
1- Ma trận cấp m.n 
17 
2- Ma trận không 
17 
3- Hai ma trận bằng nhau 
17 
4- Ma trận đối 
18 
5- Ma trận chuyển vị 
18 
6- Ma trận vuông 
18 
7- Ma trận đơn vị 
18 
8- Ma trận đối xứng 
19 
II- Các phép tính đối với ma trận 
19 
1- Cộng và trừ 2 ma trận cùng cấp 
19 
2- Nhân ma trận với một số 
20 
3- Nhân 2 ma trận với nhau 
21 
III- Định thức 
22 
1- Định thức cấp 2 
22 
2- Định thức cấp 3 
23 
3- Định thức cấp n 
24 
4- Định lý Laplace 
25 
5- Tính chất 
30 
IV- Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông 
34 
1- Định nghĩa 
34 
 163
2- Tính chất 
35 
3- Quy tắc tính 
36 
V- Hạng của ma trận 
39 
1- Định nghĩa 
39 
2- Quy tắc tìm hạng của ma trận 
40 
Bài tập 
43 
Đáp số 
46 
Chương III Không gian vectơ 
49 
I- Vectơ n- chiều 
49 
1- Khái niệm 
49 
2- Sự phụ thuộc tuyến tính của hệ các vectơ 
49 
3- Hạng của hệ vectơ 
52 
II- Không gian vectơ n- chiều 
54 
1- Khái niệm 
54 
2- Biến đổi toạ độ của vectơ 
56 
III- Ánh xạ tuyến tính 
58 
1- Khái niệm 
58 
2- Dạng ma trận của một ánh xạ tuyến tính 
60 
3- Ma trận đồng dạng 
61 
 164
IV- Không gian vectơ 
62 
1- Khái niệm 
62 
2- Không gian con 
64 
Bài tập 
65 
Đáp số 
72 
Chương IV Hệ phương trình tuyến tính 
76 
I- Khái niệm 
76 
1- Hệ phương trình tuyến tính 
76 
2- Hệ thuần nhất 
76 
II- Định lý 
77 
III- Phương pháp giải 
82 
1- Phương pháp ma trận nghịch đảo 
82 
2- Phương pháp Cramer 
86 
3- Phương pháp Gauss 
91 
Bài tập 
95 
Đáp số 
96 
Chương V Vectơ riêng - Giá trị riêng 
 Dạng song tuyến - Dạng toàn phương 
98 
I- Vectơ riêng - Giá trị riêng 
98 
 165
1- Định nghĩa 
98 
2- Định lý 
99 
II- Dạng song tuyến 
101 
1- Định nghĩa 
101 
2- Ma trận của dạng song tuyến 
102 
III- Dạng toàn phương 
105 
1- Định nghĩa 
105 
2- Tính xác định của dạng toàn phương 
106 
3- Dạng chính tắc của dạng toàn phương 
106 
4- Phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 
107 
5- Luật quán tính 
112 
IV- Đường bậc hai - Mặt bậc hai 
113 
1- Đường bậc hai 
113 
2- Mặt bậc hai 
114 
Bài tập 
118 
Đáp số 
120 
Chương VI Không gian Euclid - Không gian Unita 
122 
I- Khái niệm 
122 
1- Không gian Euclid 
122 
2- Không gian Unita 
122 
 166
3- Độ dài của vectơ trong không gian Euclid 
123 
4- Góc giữa 2 vectơ trong không gian Euclid 
123 
5- Hai vectơ vuông góc với nhau trong không gian Euclid 
123 
II- Cơ sở trực chuẩn 
126 
1- Hình chiếu vuông góc 
126 
2- Cơ sở trực chuẩn 
130 
3- Phần bù trực giao 
132 
Bài tập 
133 
Đáp số 
136 
Tài liệu tham khảo 
138