Giáo trình Nhập môn hàm phức - Tạ Lê Lợi

) =
w − z0
w − z′0
. Chứng minh tồn tại
λ ∈ C, sao cho g(f(z)) = λg(z).
d) Suy ra nếu |λ| < 1, thì dãy (zn) hội tụ.
40. Áp dụng các kết qủa bài tập trên, tìm giới hạn dãy (zn), với:
a) f(z) =
z + 2
z + 1
, z1 = i.
b) f(z) =
z + i
z + 1
, z1 = 1.
Bài tập. 70
41. Giả sử f là hàm liên tục đều trên D = {|z| < 1} và dãy (zn) với |zn| < 1, lim
n→∞ zn = z0
với |z0| = 1. Chứng minh tồn tại lim
n→∞ f(zn).
BÀI TẬP CHƯƠNG II
1. Chứng minh: khẳng định ở ví dụ 1.4.b), công thức đạo hàm hình thức ở 1.5
2. Cho a0, a1, α, β ∈ C. Xét dãy định nghĩa đệ qui:
ak = αak−1 + βak−2, k ≥ 2
Gọi z1, z2 là các nghiệm của phương trình z
2 − αz − β. Chứng minh
ak = Azk1 + Bz
k
2 , với A,B ∈ C là các số phụ thuộc a0, a1, α, β.
(Hướng dẫn. Chứng minh hàm sinh G(Z) =
∞∑
k=0
akZ
k
, thỏa (1−αZ−βZ2)G(Z) là đa
thức bậc nhất.)
3. Bài tập này tổng quát bài trên. Cho a0, · · · , am1 ∈ C và c0, · · · , cm−1 ∈ C. Xét dãy
cho bởi phương trình sai phân:
ak = c0ak−1 + c1ak−2 + · · ·+ cm−1ak−m, (k ≥ m)
Gỉa sử Zm− (cm−1Zm−1 + cm−2Zm−2 + · · ·+ c0) có các nghiệm z1, · · · zm khác nhau.
Chứng minh tồn tại A1, · · ·Am ∈ C:
ak = A1zk1 + · · ·+ Amzkm
4. Xác định các chuỗi hình thức S =
∞∑
k=0
akZ
k
, là nghiệm phương trình vi phân:
a) S′′(Z) = S(Z), thỏa điều kiện đầu S(0) = 1, S ′(0) = 0.
b) (1− Z2)S′′(Z)− 4ZS′(Z)− 2S(Z) = 0, S(0) = 0, S′(0) = 1.
5. Cụ thể hoá các chứng minh các phát biểu ở 2.1 và bổ đề ở 3.2
6. Xét sự hội tụ của các chuỗi:
a)
∞∑
k=0
(
√
3 + i)k
5k/2
b)
∞∑
k=0
1
zk
c)
∞∑
k=0
(
z
z + 1
)k
d)
∞∑
k=0
zk
(1 + z2k)
.
7. Chứng minh dãy hàm fn(z) = 1 +
z
n2
, z ∈ C, không hội tụ đều về f ≡ 1.
8. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm
∞∑
k=0
fk trên miền chỉ ra:
a) fk(z) =
1
(z + k)2
, Rez > 0 b) fk(z) =
z2
(1 + z2)k
, Rez ≥ Imz
c) fk(z) =
1
1 + k2z
, |z| ≥ 2 d) fk(z) = z
k
k(k + 1)
, |z| ≤ 1
e) fk(z) =
1
k2 + z2
, 1 < |z| < 2.
Bài tập. 71
9. Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) Nếu các hàm fn liên tục đều và dãy fn hội tụ đều về f , thì f liên tục đều.
b) Nếu fn, gn hội tụ đều về f, g tương ứng, thì fn + gn, fngn hội tụ đều về f + g, fg
tương ứng.
10. Chứng minh
∞∑
k=1
kzk
1− zk =
∞∑
k=1
zk
(1− zk)2 , |z| < 1
(Hướng dẫn. Khai triển thành chuỗi lũy thừa hàm dưới dấu tổng rồi hoán vị dấu tổng)
11. Xác định bán kính hội tụ các chuỗi lũy thừa:
a)
∞∑
k=1
zk
ks
(s > 0) b)
∞∑
k=1
zk
kk
c)
∞∑
k=1
k!zk
kk
d)
∞∑
k=0
((−1)k+1k − k)zk
e)
∞∑
k=1
(1 +
1
k
)k
2
zk f)
∞∑
k=0
e(−1)
k
kzk g)
∞∑
k=0
zk
2
k + 1
h)
∞∑
k=0
qkz2k (|q| < 1)
i)
∞∑
k=0
kpzk j)
∞∑
k=0
akz
k
, với a2k+1 = a2k+1, a2k = b2k (0 < a < b).
k)
∞∑
k=0
a(a + 1) · · · (a + k)
b(b + 1) · · · (b + k) z
k, (a, b ∈ C,−b ∈ N)
12. Xét sự hội tụ trên đường tròn hội tụ của các chuỗi cho ở ví dụ 3.1.c)
13. Cho S =
∞∑
k=0
akZ
k, T =
∞∑
k=0
bkZ
k, U =
∞∑
k=0
apkZ
k, V =
∞∑
k=0
akbkZ
k
và
W =
∞∑
k=0
ak
bk
Zk (với giả thiết bk = 0). Gọi R(.) là bán kính hội tụ.
Chứng minh:
R(U) = R(S)p, R(V ) ≥ R(S)R(T ), R(W ) ≤ R(S)/R(T ) ( nếu R(T ) = 0)
14. Tìm phần thực và ảo của hàm sin z và cos z.
15. Xác định giá trị: sin i, cos i, tg(1 + i), 2i, ii, (−1)2i, iπ.
16. Cho z = x + iy. Chứng minh các công thức:
| cos z|2 = sinh2 y + cos2 x = cosh2 y − sin2 x = 1
2
(cosh 2y + cos 2x).
| sin z|2 = sinh2 y + sin2 x = cosh2 y − cos2 x = 1
2
(cosh 2y − cos 2x).
17. Giải phương trình ez = w. Khi w = i,− i2 ,−1− i, 1+i
√
3
2 .
18. Đúng hay sai: Lnab = Lna + Lnb , a, b ∈ C
Bài tập. 72
19. Chứng minh nhánh chính hàm logarithm ln thoả: ln ab = ln a + ln b + 2πδi, trong đó
δ =


−1 neu π < arga + argb ≤ 2π
0 neu −π < arga + argb ≤ π
1 neu −2π < arga + argb ≤ −π.
20. Biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm f(z) = ln(3− iz), với f là nhánh thỏa f(0) = ln 3. Xác
định bán kính hội tụ.
21. Tìm hàm (đơn trị) ngược và chỉ ra miền xác định các hàm: arccos, arcsin, arccosh .
Chứng minh: arccos z = −iLn(z+√z2 − 1), arcsin z = −iLn(iz+√1− z2), arccosh
z = Ln(z +
√
z2 − 1).
22. Chứng minh nhánh thoả
√
1 = 0, có biểu diễn:
1√
1 + z3
= 1− 1
2
z3 +
1.3
2.4
z6 − 1.3.5
2.4.6
z9 + · · · , |z| < 1.
23. Tìm 4 số hạng đầu của khai triển Taylor: a) f(z) = ez−1 tại z = 2
b) f(z) = z3 sin z tại z = π/2 c) f(z) =
1
1− z − z2 tại z = 0
24. Dùng các phép toán trên chuỗi lũy thừa, chứng minh:
a)
1
z2
=
∞∑
k=0
(k + 1)(z + 1)k, |z + 1| < 1 b) 1
(1− z2)2 =
∞∑
k=0
(k + 1)z2k, |z| < 1
c)
ln(1 + z)
1 + z
= z − (1 + 1
2
)z2 + (1 +
1
2
+
1
3
)z3 − · · · , |z| < 1 (ln là nhánh chính)
d) {ln(1 + z)}2 = z2 − (1 + 12)23z3 + (1 + 12 + 13)24z4 − · · · , |z| < 1
e) esin z = 1 + z +
z2
2
− z
4
8
− z
5
15
+ · · ·
25. Khai triển
1
(1− z)n , với n ∈ N, thành chuỗi lũy thừa.
26. Tìm 4 số hạng đầu của khai triển thành chuỗi lũy thừa:
a) ez sin z b)
1
1− sin z c) e
tgz
.
27. Tìm chuỗi lũy thừa ngược của các chuỗi sau đến số hạng bậc 5
a) sin z = z − z
3
3!
+
z5
5!
+ · · ·
b) arctgz = z − z
3
3
+
z5
5
+ · · ·
28. Các số Bernouli Bk được định nghĩa:
z
ez − 1 =
∞∑
k=0
Bk
k!
zk. Chứng minh
B0
k!0!
+
B1
(k − 1)!1! + · · ·+
Bk−1
1!(k − 1)! = 0, nếu k > 1
Hãy xác định 5 số Bernouli đầu tiên.
Bài tập. 73
29. Các số Euler Ek đợc định nghĩa:
1
cos z
=
∞∑
k=0
Ekz
k
.
Hãy xác định 5 số Euler đầu tiên.
30. Tìm cấp không điểm của z = 0 của hàm:
a) z2(ez
2 − 1) b) 6 sin z3 + z3(z6 − 6) c) esin z − e tgz.
31. Xác định các không điểm và cấp của chúng của các hàm: a) sin3 z b) z sin z c)
sin z3 d) (1− ez)(z2 − 4)3.
32. Tìm hàm giải tích trên C có các không điểm tại z1, · · · , zn với cấp k1, · · · , kn tương
ứng. Lời giải có duy nhất?
33. Cho f ∈ A(D), có các không điểm tại z1, · · · , zn với cấp k1, · · · kn tương ứng. Chứng
minh tồn tại g ∈ A(D), g(z) = 0, ∀z sao cho
f(z) = (z − z1)k1 · · · (z − zn)kng(z).
34. Đặt Zf là tập mọi không điểm của hàm giải tích f . Đúng hay sai:
a) Zf hữu hạn, thì f là đa thức.
b) Zf vô hạn, thì f không thể là đa thức.
35. Chứng minh nếu f, g ∈ A(D(0, R)) và f(x) = g(x).∀x ∈ (−R,R). Chứng minh f ≡ g.
36. Tồn tại hay không hàm giải tích trên C thoả:
a) f(
1
n
) =
n
n + 1
, ∀n ∈ N
b) f(
1
n
) = f(− 1
n
) =
1
n3
, ∀n ∈ N
c) f(
1
n
) =
1
n2
, n = 1; còn f(1) = 0.
BÀI TẬP CHƯƠNG III
1. Xét tính khả vi của hàm f(z) với z = x + iy: a) f(z) = z¯ b) f(z) = z2z¯
c) f(z) =
√|xy| d) f(z) = x2 + iy3 e) f(z) = z
2 − |z|2
iz
.
Các hàm trên hàm nào chỉnh hình tại 0 ?
2. Xét tính chỉnh hình tại 0 của hàm:
a) f(z) = z Rez b) f(z) = |z|4 c) f(z) = ez2
3. Tìm miền trên đó hàm f(z) = |x2 − y2|+ 2i|xy| chỉnh hình.
4. Cho z = eiϕ, f(z) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ). Viết điều kiện để f khả vi trong tọa độ cực.
5. Chứng minh các công thức tính đạo hàm 1.3.
Bài tập. 74
6. Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên C. Giả sử u chỉ phụ thuộc x, v
chỉ phụ thuộc y. Chứng minh f(z) = rz + c, với r ∈ R, c ∈ C.
7. Chứng minh các khẳng định ở ví dụ 1.?.
8. Chứng minh: Nếu f và f¯ đều chỉnh hình trên miền D, thì f = const.
9. Chứng minh: Nếu f = u + iv chỉnh hình, thì h = v − iu và g = −v + iu cũng chỉnh
hình.
10. Tìm góc quay θ của đường thẳng đi qua z0 hệ số góc k qua các ánh xạ f(z) = z2 và
g(z) = z3, với: a) z0 = 1 b) z0 = −14 c) z0 = 1 + i d) z0 = −3 + 4i.
11. Tìm miền mà w = f(z) thực hiện phép co (dãn):
a) f(z) = z2 b) f(z) = z2 + 2z c) f(z) =
1
z
.
12. Cho f(z) =
∞∑
k=0
ckz
k, z ∈ D = {|z| ≤ 1}. Giả sử f đơn ánh. Chứng minh diện tích
miền f(D) cho bởi công thức: S = π
∞∑
k=0
k|ck|2.
Suy ra nếu f ′(0) = 1, thì S ≥ diện tích hình tròn D. (Hướng dẫn. Dùng tọa độ cực)
13. Hàm thực 2 biến thực u(x, y), (x, y) ∈ D gọi là hàm điều hòa nếuu u khả vi đến cấp
2 và thỏa phương trình Laplace:
∆u =
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 , (x, y) ∈ D
a) Chứng minh: nếu f chỉnh hình trên D, thì phần thực và phần ảo của f là các hàm
điều hòa trên D. (điều kiện khả vi đến cấp 2 được chứng minh ở 3.3)
b) Kiểm tra hàm u(x, y) = e−x(x sin y − y cos y) là hàm điều hòa trên R2. Từ điều
kiện Cauchy-Rieman, bằng phương pháp tích phân hãy tìm hàm v sao cho f(z) =
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) là chỉnh hình trên C.
c) Tương tự câu b) đối với v(x, y) = 2x(x− y)
14. Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy.
a) Chứng minh: u(x, y) =
1
2
(f(z) + f¯(z¯)). Suy ra: nếu f chỉnh hình trên D, thì
f(z) = 2u(
z
2
,
z
2i
) + const
b) Tương tự khi f chỉnh hình ta có:
f(z) = 2iv(
z
2
,
z
2i
) + const
Nhận xét. Vậy nếu biết phần thực (phần ảo) của một hàm chỉnh hình là hoàn toàn
xác định được hàm đó. Đây cũng là phương pháp để xác định phần ảo (phần thực)
như bài tập b), c) ở trên.
c) Từ nhận xét trên, tìm hàm chỉnh hình nếu biết phần thực u = x4 − 6x2y2 + y4.
Bài tập. 75
15. Cho γ1 : [0, 1] −→ C và γ2 : [0, 1] −→ C, là 2 đường cong nối z0 với z1 và z1 với z2
tương ứng. Hãy nêu tính chất các đường định nghĩa bởi:
γ−1 (t) = γ1(1− t) , t ∈ [0, 1], và
γ(t) = γ1γ2(t) =
{
γ1(2t) neu 0 ≤ t ≤ 1/2
γ2(2t− 1) neu 1/2 ≤ t ≤ 1.
16. Dùng định nghĩa, tính
∫
γ
f(z)dz, trong đó:
a) f(z) = Rez , γ là đường thẳng từ 0 đến z0.
b) f(z) = Imz , γ là nửa đường tròn đơn vị trên từ 1 đến −1.
c) f(z) = |z|z¯, γ như bài b).
d) f(z) = z¯2, γ là đường tròn |z − 1| = 1, hướng thuận.
e) f(z) = (z − a)n (n ∈ N), γ là đường tròn |z − a| = R, hớng thuận.
f) f(z) nh bài e) , γ là biên hình chữ nhật tâm a có các cạnh song song với các trục
thực và ảo.
g) f(z) =
1√
z
nhánh
√
1 = 1, γ như bài b).
17. Tìm một chặn trên cho
∣∣∣∣
∫
γ
ezdz
∣∣∣∣, trong đó γ(t) = t2 + i2t, t ∈ [0, 2].
18. Tính các tích phân:
a)
∫
γ
z2dz, với γ là đường gấp khúc lần lượt qua: −2,−1 + i, 1 + i, 2.
b)
∫ i
0
z sin zdz.
c)
∫
γ
(zez + 1)dz , γ là nửa trên đường tròn đơn vị tâm 1 từ 2 đến 0.
19. Tìm điều kiện để khẳng định:
∮
γ
Lnzdz = 0 , với γ là đường cong kín ,
là có nghĩa và đúng.
20. Dùng công thức tích phân Cauchy, tính
∫
γ
f(z)dz, trong đó:
a) f(z) =
z2
z − 2i , γ := γ1 : |z| = 3 và γ := γ2 : |z| = 1.
b) f(z) =
cos z
z2 + 1
, γ : |z| = 2.
c) f(z) =
1
z2 + 9
, γ là đường cong kín không qua ±3i.
d) f(z) =
ez
z2 + a
, γ là đường cong kín bao quanh miền chứa đĩa |z| ≤ a.
e) f(z) =
zez
(z − a)3 , γ là đường cong kín không qua a.
f) f(z) =
1
(z2 − 1)3 , γ := γ1 : |z − 1| = r; γ := γ2 : |z + 1| = r;
γ := γ3 : |z| = r. (1 < r < 2)
g) f(z) =
ez
z(z − 1)3 , γ là đường cong kín không qua 0 và 1.
Bài tập. 76
h) f(z) =
ez
zn
(n ∈ Z), γ : |z| = 1.
i) f(z) = zn(1− z)m (n,m ∈ Z), γ : |z| = 2.
21. Chứng minh:
1
2πi
∫
|z|=3
eztdz
z2 + 1
= sin t .
1
2πi
∫
|z|=3
eztdz
(z2 + 1)2
= ?
22. Cho γ : [0, 2π] → C là đường cong có ảnh là Ellip x
2
a2
+
y2
b2
= 1. Tính tích phân
∮
γ
1
z
dz
bằng hai cách, suy ra ∫ 2π
0
dt
a2 cos2 t + b2 sin2 t
=
2π
ab
23. Chứng minh các hàm sau không có nguyên hàm, trên miền tương ứng:
a)
1
z
− 1
z − 1 , 0 < |z| < 1. b)
z
1 + z2
, 1 < |z| c) 1
z(1− z2) , 0 < |z| < 1.
24. Cho f ∈ H(D), D là miền đơn liên và f(z) = 0, ∀z. Chứng minh tồn tại h ∈ H(D)
sao cho f = eh. (Hướng dẫn.
f ′
f
∈ H(D), nên tồn tại h1 sao cho h′1 =
f ′
f
)
25. Cho f(z) =
∞∑
k=0
ckz
k, |z| < R, và 0 < r < R.
a) Chứng minh công thức Parseval:
1
2π
∫ 2π
0
|f(reit)|2dt =
∞∑
k=0
|ck|2r2k.
b) Suy ra bất đẳng thức Cauchy: |ck| ≤ M(r)
rk
, với M(r) = max
|z|=r
|f(z)|.
c) Chứng minh nếu tồn tại k sao cho |ck| = M(r)/rk, thì f(z) = ckzk.
26. Cho f ∈ H(|z| ≤ r) với |f | ≤M . Tìm chặn trên cho |f (n)(z)| với |z| ≤ ρ < r.
27. Chứng minh hàm giải tích f trên C không thể thỏa: |f (n)(z0)| > n!nn, ∀n ∈ N, tại
một điểm z0 ∈ C .
28. Cho f ∈ H(C). Giả sử tồn tại n ∈ N sao cho |f(z)| < |z|n khi |z| đủ lớn. Chứng
minh f là đa thức.
29. Cho f ∈ H(C), thoả: f(z) = f(z+1) = f(z+ i), ∀z. Chứng minh f = const. (Hướng
dẫn. Chứng minh |f | giới nội)
30. Chứng minh nguyên lý minima: Cho f ∈ H(D), D là miền giới nội, f = const. Khi
đó hoặc f có không điểm trong D hoặc |f | đạt minimum trên ∂D.
31. Cho f ∈ H(D), D là miền giới nội. Giả sử |f(z)| = const trên ∂D. Chứng minh:
hoặc f có không điểm trong D, hoặc f = const.
Bài tập. 77
32. Cho f ∈ H(D), f = const. Chứng minh | Ref | không thể đạt cực đại hay cực tiểu
trong D. (Hướng dẫn. Xét g = ef )
Suy ra, nếu u là hàm điều hòa trên tập mở D ⊂ R2, thì |u| không thể đạt max hay
min trong D.
33. Cho f và g là 2 hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị đóng D, và không có không điểm trên
D. Chứng minh nếu |f(z)| = |g(z)|, ∀z : |z| = 1, thì f = cg, với c là hằng số, |c| = 1.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
1. Khai triển Laurent các hàm sau tại điểm được chỉ ra, xác định miền hội tụ:
a) f(z) =
e2z
(z − 1)2 , tại z = 1. b) f(z) = (z − 3) sin
1
z + 2
, tại z = −2.
c) f(z) =
z − sin z
z3
, tại z = 0 d) f(z) = e
z
z − 2
, tại z = 2.
2. Khai triển Laurent trên miền tương ứng:
a) f(z) =
(z − 1)
(z − 2)(z − 3) , trên các miền: 2 5.
b) f(z) =
z
(z − 1)(2− z) , trên các miền: |z| < 1; 1 < |z| < 2; 1 < |z − 1|;
0 < |z − 1| < 2.
3. Chứng minh các công thức sau đúng trên miền |z| > |b|:
a)
1
z − b =
−1∑
k=−∞
b−k−1zk
b)
z2
z2 + b2
=
0∑
k=−∞
(−1)kb−2kz2k
c)
1
(z − b)2 = −
−2∑
k=−∞
(k + 1)b−k−2zk
4. Xác định phần chính tại cực điểm hàm:
a)
1
z(z − 1)(z − 2) b) cotgπz c)
1
z2(ez − 1) d)
z2 − 1
z2 + 1
5. Chứng minh: f có cực điểm tại a khi và chỉ khi tồn tại m ≥ 2 sao cho lim
z→a(z −
a)mf(z) = 0.
6. Đúng hay sai: f có cực điểm cấp m tại ∞, thì 1
f
có không điểm cấp m tại 0.
7. Giả sử f có cực cấp m tại a, P là đa thức bậc n. Chứng minh p ◦ f có cực cấp m+n
tại a.
Bài tập. 78
8. Chứng minh f và ef không thể có cùng cực điểm. Chứng minh kỳ dị cô lập của f
không thể là cực điểm của ef . Ví dụ e−
1
z2
hay ze−
1
z2
.
9. a) Cho f là hàm nguyên. Giả sử tồn tại n ∈ N,K > 0: |f(z)| ≤ K|z|n, khi |z| > R.
Chứng minh f là đa thức (bậc ?).
b) Cho f là hàm chỉnh hình trên C trừ ra hữu hạn cực điểm. Giả sử tồn tại n ∈
N,K > 0 : |f(z)| ≤ K|z|n, ∀|z| > R. Chứng minh f là hàm hửu tỉ.
10. Cho f và g là 2 hàm có không điểm hay cực điểm tại a. Ký hiệu ω(f, a) là cấp của
a của f . Chứng minh: ω(fg, a) = ω(f, a) + ω(g, a), ω(
1
f
, a) = −ω(f, a),
và ω(f, a) < ω(g, a) ⇒ ω(f ◦ g, a) < ω(f, a).
11. Phân loại kỳ dị tại 0, tìm cấp cực điểm:
1
z(z − 1) ,
z + i
z2 + 1
,
sin z
z2
,
(cos z − 1)
z
,
z sin
1
z
, e−
1
z2
, e
z+1
z−1
,
1
zn(ez − 1)
12. Phân lọai các điểm kỳ dị hàm: a)
sin z
cos z − 1 b)
1
z2
+
1
1 + z2
c) e(z+
1
z
)
d) e−
1
z2 sin
1
z
e) cos(z2 +
1
z2
).
13. Đúng hay sai: ∞ là cực điểm bậc n của đa thức P nếu và chỉ nếu P là đa thức bậc
n.
14. Tính thặng dư tại các điểm kỳ dị các hàm:
a)
z
(z + 1)(z2 + 2)
b)
z
sin z
c)
e
1
z
(z − 1)2 d)
z3 + 5
(z4 − 1)(z + 1)
15. Cho P (z), Q(z) là các đa thức. Giả sử bậc Q(z) > bậc P (z) và Q(z) có n nghiệm
đơn z = ak (k = 1, · · · , n). Chứng minh khi đó ta có
P (z)
Q(z)
=
n∑
k=1
P (ak)
Q′(ak)(z − ak)
16. Xác định các số Ak, Bk, pk trong phân tích
1
z2n + 1
=
n∑
k=1
Akz + Bk
z2 + pkz + 1
17. Tính
∮
γ
f(z)dz, với:
a) f(z) =
1
(z2 − 1)2 , γ : |z| = 3
b) f(z) =
sin z
z(z − 1)(z2 + 1) , γ : |z| = 3
c) f(z) =
etz
z(z2 + 1)
(t > 0), γ là biên hình vuông đỉnh ±1± 2i
Bài tập. 79
18. Khai triển Laurent tính
1
2πi
∫
|z|=1
e
t
z zndz
19. Tính: a)
∫
|z|=1
e−
1
z2 dz b)
∫
|z|=1
e−
1
z sin
1
z
dz c)
∫
|z|=10
e
1
z dz
(z − 1)2 d)
∫
|z|=1
ze
1
z dz.
20. Giả sử f, g là các hàm chỉnh hình, có các không điểm cấp k, k + 1 tại a tương ứng.
Chứng minh R
a
es
f
g
= (k + 1)
f (k)(a)
g(k+1)(a)
.
21. Cho g(z) = z
f ′(z)
f(z)
. Tính R
a
es g, nếu a là:
a) Không điểm cấp m của f . b) Cực điểm cấp m của f .
22. Cho pn(z) = 1 + z + · · ·+ z
n
n!
. Chứng minh: ∀R > 0, ∃n0, khi n ≥ n0 thì pn không có
không điểm trên đĩa |z| ≤ R.
23. Tìm số nghiệm đa thức:
a) z4 + 6z2 + z + 2, trên các miền: |z| < 1 ; 1 < |z| < 3
b) z5 − 12z2 + 14, trên các miền: 1 < |z| < 5/2 ; |z| < 2
c) z5 + z − 16i , trên các miền: |z| < 1 ; |z| < 2
24. Chứng minh trong hình tròn đơn vị phương trình:
a) z3e
1
1−z = 1 có 2 nghiệm. b) ez = 2z + 1 có 1 nghiệm.
c) azn = ez (a > e), có n nghiệm.
25. Chứng minh phương trình: zn+3 + ez = 0 có n + 3 nghiệm trong đĩa |z| ≤ e.
26. Tính các tích phân:
a)
∫ 2π
0
dt
a + b cos t + c sin t
(a2 > b2 + c2). ĐS.
2π
(a2 − b2 − c2)1/2
b)
∫ 2π
0
dt
(a + b cos t)2
(a > b > 0). ĐS.
2πa
(a2 − b2)3/2
c)
∫ 2π
0
cos 3tdt
5− 4 cos t . ĐS.
π
12
.
d)
∫ 2π
0
dt
(5− 3 sin t)2 . ĐS.
5π
32
.
e)
∫ 2π
0
(
sin nt2
sin t2
)2
dt ĐS. 2πn
f)
∫ 2π
0
dt
a + b sin t
(a > |b|). g)
∫ π/2
0
dt
a + sin2 t
(a > 0).
27. Cho P và Q là 2 đa thức bậc Q ≥ bậc P+2, và Q không có không điểm thực. Chứng
minh: ∫ +∞
−∞
P (x)
Q(x)
dx = 2πi
∑
Ima>0
R
a
es
P
Q
Bài tập. 80
28. Tính các tích phân:
a)
∫ +∞
−∞
dx
x4 + 1
. ĐS.
π√
2
b)
∫ +∞
0
xdx
1 + x4
. ĐS.
π
4
.
c)
∫ +∞
−∞
x2dx
x6 + a6
(a > 0). ĐS.
π
3a2
.
d)
∫ +∞
0
dx
1 + x2 + x4
. ĐS.
π
2
√
3
.
e)
∫ +∞
−∞
x2dx
(x2 + a2)2
(a > 0). ĐS.
π
2a
.
f)
∫ +∞
0
dx
(1 + x2)3
. ĐS.
3π
16
g)
∫ +∞
0
dx
(x2 + a2)(x2 + b2)
(a, b > 0). ĐS.
π
2ab(a + b)
.
29. Tính:
a)
∫ +∞
−∞
cos kxdx
a4 + x4
. ĐS.
π
2a3
e−ak/2(cos
ak√
2
+ sin
ak√
2
).
b)
∫ +∞
0
cos kxdx
(x2 + a2)2
. ĐS.
π
4a3
e−ak(ak + 1).
c)
∫ +∞
−∞
cosxdx
(x2 + a2)(x2 + b2)
(a, b, k > 0). ĐS.
π
a2 − b2 (
e−b
b
− e
−a
a
).
d)
∫ +∞
−∞
x3 sinx
(x2 + 1)2
dx. ĐS.
π
2e
e)
∫ ∞
0
cos 2πxdx
x4 + x2 + 1
. ĐS. − π
2
√
3
e−π/
√
3
.
f)
∫ +∞
−∞
x sinxdx
x2 + a2
(a ∈ R).
g)
∫ +∞
0
cosαx− cosβx
x2
dx (α, β ≥ 0).
h)
∫ +∞
−∞
cos2 xdx
x2 + 1
.
30. Tính các tích phân:
a)
∫ ∞
0
sinx
x
dx. đs:
π
2
(Hướng dẫn. Tích phân hàm eiz/z dọc theo biên miền { 0} bằng
0. Sau đó cho → 0 và R→ +∞.)
b)
∫ +∞
0
cosx2dx và
∫ +∞
0
sinx2dx (Tích phân Fresnel) ĐS.
1
2
√
π
2
(Hướng dẫn. Tích phân eiz
2
dọc theo biên miền {|z| < R, 0 < argz < π/4}. Cho
R→∞, với chú ý ∫∞0 e−r2dr =
√
π/2 và sinϕ ≥ 2ϕ/2, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, suy ra kết qủa)
c)
∫ +∞
0
sin2 kx
x2
dx (k > 0).
31. Chứng minh (2) (3) và (4) của mệnh đề 5.4.
Bài tập. 81
32. Tính các tổng sau với a > 0:
a)
∞∑
k=0
1
k2 + a2
. ĐS. − 1
2a2
+
π
2a
cothπa.
b)
∞∑
k=1
(−1)k
k2 + a2
. ĐS.
1
2a2
− π
2a sinhπa
.
c)
∞∑
k=1
(−1)k
k1 − a2 ĐS.
1
2a2
+
π
2a sinhπa
.
33. Chứng minh:
a)
∞∑
k=0
1
(2k + 1)2
=
π2
8
b)
∞∑
k=1
1
k4
=
π4
90
c)
∞∑
k=1
1
k6
=
π6
945
34. Tính: a)
∞∑
k=0
1
a + bk2
b)
+∞∑
k=−∞
1
k4 + k2 + 1
c)
∑
k =0
1
k(2k + 1)
.