Giáo trình Quy hoạch tuyến tính - Chương 1: Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính

 
cột Aj ứng với >0 là độc lập tuyến tính. 0jx
 Hệ quả 
 Số phương án cực biên của một quy hoạch tuyến tính chính tắc là hữu hạn. Số 
thành phần > 0 của một phương án cực biên tối đa là bằng m. 
 Khi số thành phần > 0 của một phương án cực biên bằng đúng m thì phương 
án đó được gọi là một phương án cơ sở. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
17 
 Định lý 
 Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính chính tắc không rỗng thì 
quy hoạch tuyến tính đó có ít nhất một phương án cực biên. 
 Bổ đề 
 Nếu 
 x là một phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính. 
 x1, x2 là các phương án của quy hoạch tuyến tính. 
 x là tổ hợp lồi thực sự của x1, x2 
thì x1, x2 cũng là phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính. 
 Định lý 
 Nếu quy hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối ưu thì thì sẽ có ít nhất 
một phương án cực biên là phương án tối ưu. 
 Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính chính tắc 
0x,x,x
1x3x
5xx2x4
x32xz(x) max
321
21
321
21
≥
⎩⎨
⎧
=+
=++
+=
 Với hệ A1 A2 ta tính được 
T
1 0
10
1
3
13
x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= 
 Với hệ A1 A3 ta tính được [ ]T2 101x = 
 Với hệ A2 A3 ta tính được 
T
3
3
13
3
1
0x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 
 Vì các thành phần của phương án cực biên là > 0 nên ta chi xét x2 và x3 . Khi 
đó : 
 z(x2)=2.1+3.0=2 
 z(x3)=2.0+3.1/3=1 
 Vậy [ ]T2 101x = là một phương án tối ưu. 
 Định lý 
 Điều kiện cần và đủ để một quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu là tập 
các phương án không rỗng và hàm mục tiêu bị chặn. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
18 
 Định lý 
 Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính không rỗng và là một đa 
diện lồi thì quy hoạch tuyến tính đó sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương 
án tối ưu. 
3- Phương pháp hình học 
Từ những kết quả trên người ta có cách giải một quy hoạch tuyến tính hai biến 
bằng phương pháp hình học thông qua ví dụ sau : 
Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính 
0x,x
30x2x5
14x2x
4xx
x2x3)x(z max
21
21
21
21
21
≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+
≤+
−≥−
+=
 A,B,C,D,O là các điểm cực biên. Giá trị hàm mục tiêu tại đó là : 
x2 
A 
B 
C 
D 
O x1 
 z(A)=3.6+2.0=18 
 z(B)=3.4+2.5=22 
 z(C)=3.2+2.6=18 
 z(D)=3.0+2.8=8 
 z(O)=3.0+2.0=0 
Phương án tối ưu của bài toán đạt được tại B : x1=4 và x2=5 
IV- MỘT VÍ DỤ MỞ ĐẦU 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
19 
0x,x,x
8x2x4x3
11x2xx4
5xx3x2
x3x45x- z(x) min
321
321
321
321
321
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤++
≤++
≤++
−−=
Đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách đưa vào các biến phụ w1, w2, w3 ≥ 0 
( làm cho các ràng buộc bất đẳng thức thành đẳng thức ) . Ta được : 
0w,w,w,x,x,x
8wx2x4x3
11wx2xx4
5wxx3x2
x3x45x- z(x) min
321321
3321
2321
1321
321
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
−−=
 Thực hiện việc chuyển vế ta được bài toán ban đầu như sau : 
0w,w,w,x,x,x
x2x4x38w
x2xx411w
xx3x25w
x3x45x- z(x) min
321321
3213
3212
3211
321
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−=
−−−=
−−−=
−−=
 (I) 
 Một phương án khả thi xuất phát ( chưa là phương án tối ưu ) của bài toán là : 
 x1 = x2 = x3 = 0 
 w1=5 w2=11 w3 = 8 
 Giá trị tương ứng của hàm mục tiêu là z(x) = 0 
 Người ta sẽ cải tiến phương án xuất phát này để được một phương án mới tốt 
hơn, nó làm cho giá trị của hàm mục tiêu giảm xuống. Người ta làm như sau : 
 Vì hệ số của x1 trong hàm mục tiêu là âm và có giá trị tuyệt đối lớn nhất nên 
nếu tăng x1 từ bằng 0 lên một giá trị dương ( càng lớn càng tốt ) và đồng thời vẫn giữ 
x2 và x3 bằng 0 thì giá trị của hàm của hàm mục tiêu sẽ giảm xuống. Khi đó các biến ở 
vế trái của bài toán (I) sẽ bị thay đổi theo nhưng phải thoả ≥ 0 . Sự thay đổi của chúng 
không ảnh hưởng đến sự thay đổi của hàm mục tiêu. Thực hiện ý tưởng trên ta được : 
 0xx
0x38w
0x411w
0x25w
32
13
12
11
==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−=
≥−=
≥−=
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
20 
 Suy ra : 
2
5
 x 
3
8
x
4
11
x
2
5
x
1
1
1
1
≤⇒
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
 (dòng 1 được chọn) 
 Người ta chọn 
2
5
x1 = nên nhận được một phương án tốt hơn được xác định 
như sau : 
2
1
w 1w 
2
5
x
0wxx
321
132
===
===
 Giá trị tương ứng của hàm mục tiêu là 
2
25
)x(z −= 
 Bước tiếp theo là biến đổi bài toán (I) thành một bài toán tương đương bằng 
cách từ dòng 1 ( dòng được chọn ) tính x1 theo các biến còn lại và thế giá trị nhận 
được vào các dòng còn lại, ta được : 
0w,w,w,x,x,x
x
2
1
x
2
1
w
2
3
2
1
w
x5w21w
x
2
1
x
2
7
w
2
5
2
25
- z(x) min
321321
3213
212
321
≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++=
++=
−−−=
−++=
3211 x2
1x
2
3w
2
1
2
5x
 (II) 
 Thực hiện tương tự như trên, người ta tăng x3 từ bằng 0 lên một giá trị dương 
cho phép và đồng thời vẫn giữ x2 và w1 bằng 0 thì giá trị của hàm của hàm mục tiêu 
sẽ giảm xuống. Khi đó các biến ở vế trái của bài toán (II) sẽ bị thay đổi theo nhưng 
phải thoả ≥ 0 . Ta được : 
 1 x 
1x
5x
0x
2
1
2
1
w
01w
0x
2
1
2
5
x
3
3
3
33
2
31
≤⇒
⎩⎨
⎧
≤
≤⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−=
≥=
≥−=
 ( dòng 3 được chọn ) 
 Khi đó người ta chọn x3=1 nên thu được một phương án tốt hơn được xác định 
như sau : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
21 
1w 1 x2x
0wwx
231
312
===
===
 Giá trị tương ứng của hàm mục tiêu là z(x)=-13 
 Bước tiếp theo là biến đổi bài toán (II) thành một bài toán tương đương bằng 
cách từ dòng 3 ( dòng đựợc chọn ) tính x3 theo các biến còn lại và thế giá trị nhận 
được vào các dòng còn lại, ta được : 
0w,w,w,x,x,x
x52w1w
wx22w-2x
wx3w-13z(x) min
321321
212
3211
321
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−++=
++=
+−=
+++=
3213 2wx3w1x
 (III) 
 Đến đây vì không có hệ số nào của hàm mục tiêu là âm nên không thể làm 
giảm giá trị của hàm mục tiêu theo cách như trên nữa. Phương án thu được ở bước sau 
cùng chính là phương án tối ưu của bài toán. 
 Đối với bài toán max, thay cho việc làm tăng biến có hệ số âm trong hàm mục 
tiêu người ta làm tăng biến có hệ số dương cho đến khi các hệ số trong hàm mục tiêu 
hoàn toàn âm. 
V- DẤU HIỆU TỐI ƯU 
 1- Ma trận cơ sở - Phương án cơ sở - Suy biến 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 
 (P) 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(z min/max T
 a- Ma trận cơ sở 
 Người ta gọi cơ sở của bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc (P) là mọi ma 
trận B không suy biến (có ma trận nghịch đảo) mxm trích ra từ m cột của ma trận ràng 
buộc A. Các cột còn lại được gọi là ma trận ngoài cơ sở, ký hiệu là N . 
 b- Phương án cơ sở - Phương án cơ sở khả thi 
 B là một cơ sở của bài toán (P). 
Khi đó, bằng cách hoán vị các cột của A người ta có thể luôn luôn đặt A dưới dạng : 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
22 
 A = [ B N ] 
 Do đó, người ta cũng phân hoạch x và c như sau : 
 xT = [ xB xN ] 
cT = [ cB cN ] 
 Một phương án x của bài toán (P) thoả : 
 [ ] bNxBx b 
x
x
 N B bAx NB
N
B =+⇔=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⇔=
 Phương án cơ sở 
 Người ta gọi một phương án cơ sở tương ứng với cơ sở B là một phương án 
đặc biệt, nhận được bằng cách cho : 
 xN = 0 
 Khi đó xB được xác định một cách duy nhất bằng cách giải hệ phương trình 
tuyến tính bằng phương pháp Cramer : 
 BxB = b ⇔ xB = B-1b 
 Phương án cơ sở khả thi 
 Một phương án cơ sở là phương án cơ sở khả thi nếu : 
 xB = B-1b ≥ 0 
 Cơ sở tương ứng với một phương án khả thi được gọi là cơ sở khả thi . 
 Ví dụ : xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc : 
1,2,...,6)(j 0 x
28x3xx2x
10xx4x4x3
20xx2x2
xxxxxx)x(z maxmin/
j
4321
6421
541
654321
=≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+−+−
=++
++−+−=
 Ma trận ràng buộc là 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0 0 3 1 2 1 
1 0 4- 0 4 3-
 0 1 2 0 0 2 
A
 x x x x xx 6 54321
Có thể chọn ba cột bất kỳ và kiểm chứng xem đó có thể là cơ sở không. 
Một cơ sở được chọn và sắp xếp lại là 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
23 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2 1 3 
 4 3- 4- 
 0 2 2 
 x x x 214
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x x x 365
 Các cột x5 x6 x3 tạo thành một ma trận cơ sở . Các biến tương ứng được gọi 
là các biến (trong) cơ sở . 
 Các cột x1 x2 x4 tạo thành một ma trận ngoài cơ sở. Các biến tương ứng được 
gọi là các biến ngoài cơ sở. 
 Một phương án cơ sở khả thi của bài toán là : 
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 0 28 0 20 10 
 c- Suy biến 
 Một phương án cơ sở khả thi được gọi là suy biến nếu xB = B-1b ≥ 0 có những 
thành phần bằng 0. Sự suy biến là một hiện tượng thường xảy ra trong một số bài toán 
như bài toán vận tải, dòng dữ liệu, đường đi ngắn nhất....... Đây là hiện tượng khá 
phức tạp (có nhiều cách giải quyết sẽ được xét sau). Vì vậy trong những phần tiếp 
theo ta giả sử rằng phương án cơ sở khả thi là không suy biến, tức là xB = B-1b > 0 ( 
dương thực sự ) . 
 2- Dấu hiệu tối ưu 
 Theo trên, khi một bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì tồn 
tại một cơ sở khả thi (tối ưu) B* , tức là phương án cơ sở x* tương ứng với B* là 
phương án tối ưu. 
 Vấn đề bây giờ là xác định một thủ tục để tìm B*. Chúng ta sẽ thấy rằng thủ 
tục đó được suy ra một cách trực tiếp từ việc chứng minh dấu hiệu tối ưu sau đây. 
Ðịnh lý 4 (dấu hiệu tối ưu) 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(zmin/max T
Điều kiện cần và đủ để một phương án cơ sở khả thi x có dạng : 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
x
N
1
B
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
24 
của bài toán là phương án tối ưu là : 
0 NBccc 1TB
T
N
T
N ≤−= − đối với bài toán max 
0 NBccc 1TB
T
N
T
N ≥−= − đối với bài toán min 
Với : 
A = [ B | N ] 
cT= [ cB | cN ] 
 Người ta thường gọi : 
cN là chi phí ngoài cơ sở 
cB là chi phí cơ sở 
T
Nc là chi phí trượt giảm 
NBc 1TB
− là lượng gia giảm chi phí 
 Chứng minh (cho bài toán max) 
Ðiều kiện đủ 
 Giả sử x* là một phương án cơ sở khả thi với ma trận cơ sở B và thoả 
0NBcc 1TB
T
N ≤−= −TNc 
thì cần chứng minh x* là phương án tối ưu, nghĩa là chứng minh rằng với mọi phương 
án bất kỳ của bài toán ta luôn có : 
 z(x) ≤ z(x*) 
Xét một phương án khả thi x bất kỳ , x thoả : 
 ⎩⎨
⎧
≥
=
0x
bAx [ ]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥≥
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⇒
0x0x
b
x
x
 NB
NB
N
B
 B là ma trận cơ sở của phương án cơ sở khả thi x* 
 B có ma trận nghịch đảo là B-1 
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=+
0 x0x
bNxBx
NB
NB
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
==+
0 x0x
I)B(B bBNxBBxB
NB
-1-1
N
-1
B
-1
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
25 
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=+
0 x0x
.bBNxBx
NB
-1
N
-1
B
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=
0 x0x
NxB-bBx
NB
N
-1-1
B
Tính giá trị hàm mục tiêu đối với phương án x ta được : 
z(x) = cTx 
 = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) NTNN11TB xcNxBbB c +− −− 
 = N
T
NN
1T
B
1T
B xcNxBcbBc +− −−
 = (1) N
1T
B
T
N
1T
B N)xBc-(cbBc
−− +
Vì x* là phương án cơ sở khả thi tương ứng với ma trận cơ sở B nên 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≥= −
0x
0bBx
*
N
1*
B
Tính giá trị hàm mục tiêu đối vơi phương án cơ bản x* ta được : 
 z(x*) = cTx* 
 = [ ] *NTN*BTB*
N
*
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( vì ) (2) bBcxc 1TB
*
B
T
B
−= 0x*N =
Từ (1) và (2) ta có : 
 z(x) ≤ z(x*) vì 0 NBcc 1TBN ≤− −
Vậy x* là phương án tối ưu. 
Ðiều kiện cần 
 Giả sử là phương án tối ưu với ma trận cơ sở B, cần 
chứng minh rằng : 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
*x
*
N
1*
B
0 NBccc 1TB
T
N
T
N ≤−= − . 
 ( Nc là vectơ có n-m thành phần) 
 Ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
26 
Giả sử rằng tồn tại một thành phần cs của Nc mà cs > 0. Dựa vào cs người ta 
xây dựng một vectơ x như sau : 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
≥=
−==
−
0θIx
NxBxx
x
sN
N
1*
BB
Trong đó θ>0 và Is là một vectơ có (n-m) thành phần bằng 0, trừ thành phần 
thứ s bằng 1 . Vậy 
 (*) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=−=
≥== −−−
s
11
s
1*
BB
sN
NBbBINBxx
0x
x
θIθ
θI
 Do B-1b ≥ 0 nên người ta có thể chọn θ>0 đủ nhỏ để xB > 0 
Vậy x được chọn như trên sẽ thoả : 
x ≥ 0 (3) 
Ta kiểm chứng x thỏa ràng buộc của bài toán bằng cách tính : 
 Ax = [ ] NB
N
B NxBx 
x
x
 NB +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) ss1*B NNBxB θIθI +− − 
 = ( ) ss11 NNBbB B θIθI +− −− 
 = ss
11 NINBBbBB θIθ +− −−
 = ss NNb θIθI +− 
 = b (4) 
 Từ (3) và (4) cho thấy x là một phương án khả thi của bài toán 
Bây giờ ta chỉ ra mâu thuẩn bằng so sánh giá trị hàm mục tiêu tại x và x* . Ta 
có : 
z(x) = cTx 
 = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) NTNN1*BTB xcNxBxc +− − 
 = N
T
NN
1T
B
*
B
T
B xcNxBcxc +− −
 = )0xc (vì xcNxBcxcxc *N
T
NN
T
NN
1T
B
*
N
T
N
*
B
T
B =+−+ −
 = [ ] ( ) N1TBTN*
N
*
BT
N
T
B xNBccx
x
 c c −−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) s1TBTN*T θI NBccxc −−+ 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
27 
 = s
T
N
*T θIcxc + = θIcxc sTN*T + 
 = z(x*) + θsc > z(x*) ( vì 0c s >θ ) 
Vậy x* không phải là phương án tối ưu nên mâu thuẩn với giả thiết . 
 Chú ý 
 Qua việc chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta thấy rằng từ một phương án 
cơ sở khả thi chưa tối ưu có thể tìm được các phương án khả thi càng lúc càng tốt 
hơn nhờ lặp lại nhiều lần công thức (*). Vấn đề được đặt là đại lượng θ được chọn 
như thế nào để nhanh chóng nhận được phương án tối ưu. 
 Bổ đề 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(zmax T
với B là một cơ sở khả thi nào đó và x0 là phương án cơ sở tương ứng, tức là 
 và ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
x
0
N
10
B0 bBc)z(x 1TB
0 −=
 Xét NBccc 1TB
T
N
T
N
−−= . 
 Nếu tồn tại một biến ngoài cơ sở xs sao cho sc >0 với sc là thành phần thứ s 
của Nc thì : 
a- Hoặc là người ta có thể làm tăng một cách vô hạn giá trị của xs mà không đi 
ra khỏi tập hợp các phương án khả thi, và trong trường hợp này phương án tối ưu của 
bài toán không giới nội. 
b- Hoặc là người ta có thể xác định một cơ sở khả thi khác là có phương án cơ sở 
khả thi tương ứng với nó là tốt hơn , tức là : 
∧
B
∧
x
 z(x0) < z( ) 
∧
x
 Chứng minh 
 Trong quá trình chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta có phương án mới được 
xác định như sau : 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=−=
≥== −−−
s
11
s
1*
BB
sN
NBbBINBxx
0x
x
θIθ
θI
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
28 
 Ký hiệu : 
 NBN 1−= 
 sN là cột s của N 
 bBb 1−= 
 Như vậy ta có : ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ=
θ−==
sN
sB
Ix
N bx
x 
 Hai trường hợp có thể xảy ra như sau : 
 a- Trường hợp 0Ns ≤ 
 Trong trường hợp này xs có thể nhận một giá trị θ lớn tuỳ mà vẫn đảm bảo xB 
≥ 0, nghĩa là x luôn luôn thoả ≥ 0 . Khi đó như đã biết giá trị hàm mục tiêu tương ứng 
là 
 z(x) = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
c c +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) sTNs11TB IθcIθNBbBc +− −− 
 = s
T
Ns
1T
B
1T
B IθcIθNBcbBc +− −−
 = ( ) s1TBTN0 IθNBcc)x(z −−+ 
 = s
T
N
0 Iθc)x(z + 
= z(x0) + θcs 
với θcs có thể lớn vô hạn thì giá trị của hàm mục tiêu là không giới nội. 
 b- Trường hợp tồn tại i=1→m sao cho 0Nis > 
 ( 0Nis > là thành phần thứ i của sN ) 
 Trong trường hợp này giá trị của θ>0 mà xs có thể nhận không thể tăng vô hạn 
vì phải đảm bảo xB>0. Giá trị lớn nhất của θ mà x
∧
θ s có thể nhận được xác định 
như sau : 
m)1i( 
N
b
0N ,
N
b
 min
rs
r
is
is
i
→=∀
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ >=θ∧
 Phương án cơ sở khả thi mới có các thành phần như sau : 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
−== ∧∧
∧∧
∧
sN
sB
Iθx
N θbx
x 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
29 
và giá trị hàm mục tiêu tương ứng là : 
)x(zcθ)x(z)x(z 0s0 >+= ∧∧ 
 Ghi chú : 
 Trong trường hợp bài toán không suy biến, nếu được xác định một cách duy 
nhất thì phương án mới có đúng m thành phần khác 0. Thật vậy : 
∧
θ
∧
x
 - Biến xs đang bằng 0 trong phương án x0 trở thành dương thật sự vì 
 θˆx s =
 - Biến xr đang dương thật sự bây giờ nhận giá trị : 
 0bbN
N
b
bNθbx rrrs
rs
r
rrsrr =−=−=−= ∧∧ 
 Vậy phương án mới là một phương án cơ sở. Nó tương ứng với cơ sở ở 
được suy ra từ B bằng cách thay thế cột r bằng cột s. 
∧
x
∧
B
 Người ta nói rằng hai cơ sở B và là kề nhau, chung tương ứng với những 
điểm cực biên kề nhau trong tập hợp lồi S các phương án khả thi của bài toán. 
∧
B
CÂU HỎI CHƯƠNG 1 
1- Trình bày các bước nghiên cứu một quy hoạch tuyến tính. 
2- Định nghĩa quy hoạch tuyến tính chính tắc. 
3- Trình bày khái niệm về phương án của một quy hoạch tuyến tính. 
4- Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp hình học giải một quy hoạch tuyến tính 
hai biến. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
30 
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 
xuất hai loại sản phẩm : thép tấm và thép cuộn. 
bao nhiêu trong 
- Có 3 người cùng phải đi một quảng đường dài 10km mà chỉ có một chiếc xe đạp 
hời gian người cuối cùng đến đích là ngắn nhất. 
- Một nhà máy sản xuất ba loại thịt : bò, lợn và cừu với lượng sản xuất mỗi ngày là 
1- Một nhà máy cán thép có thể sản 
Nếu chỉ sản xuất một loại sản phẩm thì nhà máy chỉ có thể sản xuất 200 tấn thép tấm 
hoặc 140 tấn thép cuộn trong một giờ . Lợi nhuận thu được khi bán một tấn thép tấm 
là 25USD, một tấn thép cuộn là 30USD. Nhà máy làm việc 40 giờ trong một tuần và 
thị trường tiêu thụ tối đa là 6000 tấn thép tấm và 4000 tấn thép cuộn . 
 Vấn đề đặt ra là nhà máy cần sản xuất mỗi loại sản phẩm là 
một tuần để đạt lợi nhuận cao nhất. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính cho 
vấn đề trên. 
2
một chổ ngồi. Tốc độ đi bộ của người thứ nhất là 4km/h, người thứ hai là 2km/h, 
người thứ ba là 2km/h. Tốc độ đi xe đạp của người thứ nhất là 16km/h, người thứ hai 
là 12km/h, người thứ ba là 12km/h. 
 Vấn đề đặt ra là làm sao để t
Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính cho vấn đề trên. 
3
480 tấn thịt bò, 400 tấn thịt lợn, 230 tấn thịt cừu. Mỗi loại đều có thể bán được ở dạng 
tươi hoặc nấu chín. Tổng lượng các loại thịt có thể nấu chín để bán là 420 tấn trong 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
31 
Nấu chín trong giờ Nấu chín ngoài giờ 
giờ và 250 tấn ngoài giờ. Lợi nhuận thu được từ việc bán một tấn mỗi loại thịt được 
cho trong bảng sau đây : 
 Tươi 
Bò 8 14 11 
Lợn 4 12 7 
Cừu 4 13 9 
h bày bài toán quy hoạch tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận 
cao nhấ
 Một xưởng mộc làm bàn và ghế. Một công nhân làm xong một cái bàn phải mất 2 
- Một nhà máy sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một cái mũ kiểu thứ nhất 
- Trong hai tuần một con gà mái đẻ được 12 trứng hoặc ấp được 4 trứng nở ra gà 
- Giải những bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây bằng phương pháp hình học : 
Hãy trìn
t. 
4-
giờ, một cái ghế phải mất 30 phút. Khách hàng thường mua nhiều nhất là 4 ghế kèm 
theo 1 bàn do đó tỷ lệ sản xuất giữa ghế và bàn nhiều nhất là 4:1. Giá bán một cái bàn 
là 135USD, một cái ghế là 50USD. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính để 
xưởng mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết rằng xưởng có 4 công nhân đều làm 
việc 8 giờ mỗi ngày. 
5
nhiều gấp 2 lần thời gian làm ra một cái kiểu thứ hai. Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ 
hai thì nhà máy làm được 500 cái mỗi ngày. Hàng ngày, thị trường tiêu thụ nhiều nhất 
là 150 cái mũ kiểu thứ nhất và 200 cái kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một cái mũ kiểu 
thứ nhất là 8USD, một cái mũ thứ hai là 5USD. Hãy trình bày bài toán quy hoạch 
tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao nhất. 
6
con. Sau 8 tuần thì bán tất cả gà con và trứng với giá 0,6USD một gà và 0,1USD một 
trứng. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính bố trí 100 gà mái đẻ trứng hoặc ấp 
trứng sao cho doanh thu là nhiều nhất. 
7
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
32 
 a)- b)- 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤−
≥+
≥+
−=
5x
5x
1xx
4x2x
3xx3
xxz max
2
1
21
21
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
≤+−
≤−
≤−−
+−=
0x,x
1xx
4x2x
6x2x
xxw min
21
21
21
21
21
 c)- d)- 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+−
≥−
+=
tuy ý xx 21,
2x3x2
2x2x
x65xz max
21
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≥−
≤+
−=
0x,x
3xx
6x2x
x-2xw min
21
21
21
21
e)- f)- 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≥+
≤+
+=
0x,x
1x43x
2x2x
x23xz max
21
21
21
21
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≤
≤
≤+
−≥−
−=
0x,x
6x
6x
14xx2
4xx
x43xz max
21
1
2
21
21
21
 g)- 
0x,x
4x2x
9x4x
14x3x
24x32x
12x32x
x3x4z(x) maxmin/
21
21
21
21
21
21
21
≥
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥+
≥+
≤−
≤+
−≥−
+=