Giáo trình Toán kinh tế (Phần 2)

4 
 30 
Phân tích : 
* phân cho ô (1,1) là ô có cước phí nhỏ nhất , 20 đơn vị hàng , xoá cột 1 . 
* phân cho ô (2,3) : 25 đơn vị hàng .Xoá dòng 2. 
* phân cho ô (1,2) :10 đơn vịhàng xoá dòng 1. 
* phân cho ô (3,3) : 5 đơn vị hàng , xoá cột 3. 
* phân cho ô (3,2) : 30 đơn vị hàng . 
Ta được phương án cơ sở xuất phát là : X = (20,10,0,0,0,25,0,0,30,5) 
Và giá trị hàm mục tiêu f(x) = 1.20+3.10+2.25+5.30+4.5 = 270. 
---------------------o0o--------------------- 
Bài 3: Các thuật toán giảI bài toán vận tảI . 
1. Thuật toán quy 0 cước phí các ô chọn 
Ta có nhận xét sau đây : 
Nếu cộng vào hàng i của ma trận cước phí C = ( ij mxnc ) một số ri tuỳ ý 
(i = 1m) và cộng vào cột j củ nó mọt số tuỳ ý js ( j = 1n) thì ta có bài toán 
vận tảI mới với ma trận cước phí ij mxnC (c ) trong đó ij ij i j(c ) (c ) r s   tương 
đương với bài toán ban đầu ( tức là phương án tối ưu của bài toán ban đầu là 
phương án của bài toán kia và ngược lại .) 
Thật vậy giá trị hàm mục tiêu trong bài toán mới là : 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 92
m n m n
ij ij ij i j ij
i 1 j 1 i 1 j 1
m n m n n m
ij ij i ij j ij
i 1 j 1 i 1 j 1 j 1 i 1
m n
i i j j
i 1 j 1
f (X) c x (c r s )x
c x r x s x
f(X) r a s b
f(X) C
   
     
 
   
  
  
 
 
    
 
Trong đó C = 
m n
i i j j
i 1 j 1
r a s b
 
  là một hằng số . 
Giá trị của hai hàm mục tiêu chỉ khác nhau một hằng số nên điểm cức trị của 
chúng trùng nhau. 
Từ những điều trên ta có thuật toán quy không cước phí như sau : 
+ Bước 1 : 
Giả sử ta đã có một phương án cơ sở chấp nhận được ban đầu với m + n -1 ô 
chọn ( trong đó có thể có một số ô chọn không ) . Ta cộng vào hàng I của ma trận 
cước phí ( ij mxnc ) một số ri i=1..m và cộng vào cột j của nó số js ( j = 1..n) và chọn 
các số ri và sj sao cho ma trận cước phí mới C mà ở đó các ô chọn ijc = 0 . 
+ Bước 2:( Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu ) 
1. Nếu sau khi quy không cước phí các ô chọn mà các ô loại đều có cước phí 
lớn hơn không thì phương án đang xét là phương án tối ưu vì khi đó bất kì ô loại 
nào thay cho bất kì ô chọn nào cước phí cũng tăng lên và phương án mới là tồi 
hơn . 
2. Nếu sau khi quy không cước phí các ô chọn mà có ít nhất mội ô loại có 
cước phí âm , thì phương án đang xét không phảI là tối ưu vì khi đó ta thay ô có 
cước phí âm vào thay cho ô chọn có cước phí không thì cước phí giảm đI .Khi 
đó ta chuyển bước 3 . 
+ Bước 3: Xây dựng phương án mới tốt hơn. 
1.Tìm ô đưa vào: giả sử ô (i*, j *) có cước phí âm nhỏ nhất thì chọn ô (i* j *) 
làm ô đưa vào . 
2. Tìm vòng điều chỉnh : Bổ sung thêm ô (i*, j * ) vào m + n -1 ô chọn ban 
đầu thì se xuất hiện vòng V duy nhất . 
3. Đánh dấu các ô của vòng V : Ta đánh dấu các ô của vòng V bắt đầu từ ô 
(i*, j * ) ta đánh + , ô tiếp theo ta đánh dấu - sao cho hai ô cạnh nhau của V 
không đánh cùng một dấu . Khi đó các ô của V chia thành hai lớp : 
V+ : các ô được đánh dấu + . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 93
V - : các ô được đánh dấu - . 
4. Tìm các ô đưa ra và lượng điều chỉnh : Giả sử min { ijx : (i, j) V
 } = 0 0i jx 
khi đó ( i0 j 0 ) là ô đưa ra và 0 0i jx là lượng điều chỉnh , nói cách khác tìm xem 
trong các ô đánh dấu trừ ,ô nào được phân hàng ít nhất thì đó là ô đưa ra và lượng 
hàng ở ô đó chính là lượng điều chỉnh . 
5. Phương án mới ij mxnX (x ) được tiính như sau : 
0 0
0 0
+
ij i j
-
ij ij i j
ij
x x nếu (i,j) V
x x x nếu (i,j) V
x (i,j) nếu V
  

  


Nhận xét : 
+) Ô ( i0 j 0 ) trước có 0 0i jx đơn vị hàng và ở ô đánh dấu trừ nên bị trừ đI 0 0i jx 
đơn vị hàng thành ô loại . 
+) Ô (i*, j * ) trước là ô loại và là ô đánh dấu + nên được cộng vào 0 0i jx đơn vị 
hàng thành ô chọn . 
+) ij mxnX (x ) là phương án vì x 0 và mỗi hàng hoặc cột của vòng V đI 
qua đều có một ô đánh dấu + và một ô đánh dấu – nên tổng 
m
i j
i 1
x

 và 
n
i j
j 1
x

 
Vẫn không đổi . 
+) Phương án X là phương án cơ sở chấp nhận được vì các ô chọn không tạo 
thành vòng . Phương án này tốt hơn vì đã loại ra một ô có cước phí không và thay 
vào đó ô có cước phí nhỏ hơn 0 . 
Sau khi có phương án cơ sở chấp nhận được mới ta quay lại từ bước một và 
sau một số hữu hạn lần lặp ta sẽ tìm được phương án tối ưu của bài toán vận tảI vì 
bài toán vận tảI cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu , và số phương án cơ 
sở chấp nhận được là hữu hạn. 
2. Các ví dụ. 
Ví dụ 1 : 
Giải bài toán vận tải với số liệu cho trong bảng sau : 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 94
 jB 
Ai 
B1:20 B2:40 B3:30 
A1: 30 
1 
 20 
3 
 10 
5 
A2: 25 
5 
4 
2 
 25 
A3: 35 
8 
5 
 5 
4 
 30 
Dùng phương pháp cực tiểu cước phí ta tìm được phương án cơ sở xuất phát 
X = {20,10,0,0,0,25,0,30,5} và có f(X) = 270. 
Quy không cước phí các ô chọn : 
Ta cộng vào hàng i số ri ( i= 1,2,3) vào cột j số js ( j = 1,2,3 ) sao cho cước 
phí các ô chon bằng 0. 
Ta có tập các ô chọn G(X) = { (1,1) , (1,2) , (2,3), (3,2), (3,3) }. 
để tìm các số ri và js đó ta cần giải hệ phương trình : 
1 1
1 2
2 3
3 2
3 3
1 r s 0
2 r s 0
3 r s 0
5 r s 0
4 r s 0
  

  

  
   

   
đây là hệ phương trình gồm 5 phương trình tuyến tính và có 6 ẩn : 
Cho r1 = 0 ta tìm được r2 = 0 , r3 = -2 , s1 = -1 , s2 = -3 , s3 = -2 . 
Ma trận cước phí mới là : 
 jB 
Ai 
B1:20 B2:40 B3:30 
A1: 30 
0 
 20 
0 
 10 
3 
A2: 25 
4 
1 
0 
 25 
A3: 35 
5 
0 
 5 
0 
 30 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 95
Ta thấy các ô loại đều có cước phí dương . Vậy phương án 
X = {20,10,0,0,0,25,0,30,5} chính là phương án tối ưu . 
Ví dụ 2 : 
Giải bài toán vận tải sau đây bằng phương pháp quy không cước phí các ô chọn. 
 jB 
Ai 
B1:80 B2:20 B3:60 
A1: 50 
5 
4 
1 
 50 
A2: 40 
3 
 20 
2 
 20 
6 
A3: 70 
7 
 60 
9 
11 
 10 
Tìm phương án cơ sở xuất phát ( bằng phương pháp cực tiểu cước phí ). 
* Phân cho ô (1,3) là ô có cước phí nhỏ nhất , 50 đơn vị hàng , xoá hàng 1. 
B3 còn cần 10. 
* Phân cho ô (2,2) : 20 đơn vị hàng .Xoá cột 2. A2 còn lại 20. 
* Phân cho ô (2,1) : 20 đơn vị hàng xoá dòng 2. B1 còn cần 10 . 
* Phân cho ô (3,1) : 60 đơn vị hàng , xoá cột 1. 
* Phân cho ô (3,3) : 10 đơn vị hàng . 
Ta được phương án cơ sở xuất phát là : X = (0,0,50,20,0,60,0,10) ; và giá trị 
hàm mục tiêu là : f(X) = 680. 
+ Bước 1 : quy không cước phí các ô chọn : 
Tập các ô chọn là : 
G(X) = { (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3) }. 
Cộng vào hàng i số ri (i=1,2,3) và cột j số js (j = 1,2,3) sao cho cước phí các 
ô chọn trong G(X) bằng 0 , tức là ta có hệ phương trình : 
1 3
2 1
2 2
3 1
3 3
1 r s 0
3 r s 0
2 r s 0
7 r s 0
11 r s 0
  

  

  
   

   
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 96
Đây là hệ gồm 5 phương trình , 6 ẩn số . Để giải ta cho một ẩn bằng một giá 
trị xác định . Chẳng hạn r2 = 0 . 
Ta được : r1 = 6 r3 = - 4 , s1 = -3 , s2 = -2 , s3 = -7. Ma trận cước phí mới la: 
8 8 0
0 0 1
0 3 0
 
  
 
 
+ Bước 2 : kiểm tra điều kiện tối ưu . 
Phương án này chưa tối ưu vì có ô loại (2;3) có cước phí âm là -1 . 
+ Bước 3 : Lập phương án mới : 
1. Tìm ô đưa vào : Vì ô (2;3) là ô loại duy nhất có cước phí âm nên ô này là 
ô đưa vào. 
2. Tìm vòng điều chỉnh : bổ sung thêm ô (2;3) vào tập cá ô chọn nên ta tìm 
được vòng 
V = { (2;3)+, (3;3)- , (3;1)+ , (2;1)- }. 
3. Đánh dấu các ô của vòng V: V+ = {(2;3) , (3;1) } và V- = {(3;3) , (2;1) }. 
4. Tìm ô đưa ra : min { x33 , x21} = min (10;20) = 10 = x33 , nên ta có ô đưa 
ra là (3;3) , lượng điều chỉnh là x33 =10. 
5. Lập phương án mới : 
23 23
31 31
33 33
21 21
x x 10 0 10 10
x x 10 60 10 70
x x 10 10 10 0
x x 10 20 10 10
    
    
    
    
Lượng hàng ở các ô khác được giữ nguyên . Ta có phương án mới là : 
x (0,0,50,10,20,10,70,0,0)
f(x) 670


Ta có phương án cơ sở chấp nhận được x . Quay lại bước 1 ta có : 
+ Bước 1 : Quy 0 các ô chọn : 
1 3
2 1
2 2
3 1
3 3
0 r s 0
0 r s 0
0 r s 0
1 r s 0
0 r s 0
  

  

  
   

   
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 97
Cho r2 0 ta được s1 = 0,s2 = 0, s3 = 1, r1 =-1 , r3 = 0 
Ta có ma trận cước phí mới là :
7 7 0
0 0 0
0 3 1
 
 
 
 
 
Ta thấy các ô loại đếu có cước phí dương . 
Vậy phương án tối ưu và giá trị tối ưu là : 
x (0,0,50,10,20,10,70,0,0)
f(x) 670


---------------------o0o------------------------- 
Bài 4: Bài toán vận tải không cân bằng thu phát. 
1. Khái niệm. 
Đó là bài toán vận tải mà điều kiện cân bằng thu phát 
n m
i j
i 1 j 1
a b
 
 
 
 
  không được 
thoả mãn. Khi đó có 2 khả năng xảy ra: hoặc 
n m
i j
i 1 j 1
a b
 
 
 
 
  (tức là tổng lượng 
hàng phát của các điểm phát lớn hơn tổng lượng hàng thu ở các điểm thu) hoặc 
n m
i j
i 1 j 1
a b
 
 
 
 
  . Ta xét từng trường hợp: 
a. Nếu 
n m
i j
i 1 j 1
a b
 
 
 
 
  : 
Ta đưa thêm vào điểm thu giả n 1B  với lượng hàng thu tương ứng 
n m
n 1 i j
i 1 j 1
b a b 0
 
 
   
 
  và xét bài toán vận tải với m điểm phát và n+1 điểm 
thu: 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 98
 
  
m n 1
ij ij
i 1 j 1
n 1
ij i
j 1
m
ij j
i 1
ij
in 1
c x min
x a
x b
x 0 i 1,m; j 1,n 1
c 0; i 1,m

 













    


 



Rõ ràng 
n 1 n n m n m
j j n 1 j i j i
j 1 j 1 j 1 i 1 j 1 i 1
b b b b a b a


     
           
Nên bài toán trên là bài toán vận tải cân bằng thu phát, vì vậy ta có thể dùng 
các thuật toán đã biết để giải ta thu được phương án tối ưu 
   ijX x i 1,m; j 1,n 1     . Nếu in 1x 0   thì điều đó có nghĩa là ta không 
vận chuyển hết hàng từ các điểm phát Ai ở đó tồn đọng một lượng hàng là in 1x

 . 
b. Nếu 
n m
i j
i 1 j 1
a b
 
 
 
 
  : 
Ta đưa them biến phát giả m 1A  với lượng phát tương ứng là: 
m n
m 1 j
j 1 i 1
a b ai 0
 
 
   
 
  
Và xét bài toán vận tải vơi m+1 điểm phát và n điểm thu: 
 
 
 
  
m 1 n
ij ij
i 1 j 1
n
ij i
j 1
m 1
ij j
i 1
ij
m 1j
c x min
x a i 1,m 1
x b j 1,n
x 0 i 1,m 1; j 1,n
c 0; j 1,n

 








  


 

    


 
 


Bài toán này cũng là bài toán vận tải cân bằng thu phát, vì vậy ta có thể dùng 
các thuật toán đã biết để giải ta thu được phương án tối ưu 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 99
   ijX x i 1,m 1; j 1,n     . Nếu m 1jx 0   thì điều đó có nghĩa là ta không 
đáp ứng đủ nhu cầu tiêu thụ ở điểm Bj , ở đó đòi hỏi một lượng hàng là m 1jx

 . 
2. Ví dụ. 
Giải bài toán vận tải với các số liệu cho trong bảng sau: 
 jB 
Ai 
B1:20 B2:40 B3:60 
A1: 80 
3 
4 
1 
A2: 30 
4 
2 
3 
A3: 50 
1 
5 
6 
Vì 
3 3
i j
j 1 j 1
a 80 30 50 160, b 20 40 60 120
 
         ta có trường hợp thứ 
nhất. Đưa thêm điểm thu giả 4B với lượng hàng cần thu 4b 160 120 40   . Ta 
có bảng vận tải: 
 jB 
Ai 
B1:20 B2:40 B3:60 4B : 40 
A1: 80 
3 
-7 
4 
-4 
1 
 X  
0  
0 
. X 
0  40 
A2: 30 
4 
-6 
2 
 X 
0 30 
3  
  
0  
0  
  
2  
A3: 50 
1 
 X 
0 20 
5 
 X 
0 10 
6  
 X  
0 20 
0  
  X 
5 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 100
Bằng phương pháp cực tiểu cước phí ta tìm được phương án cơ sở xuất phát: 
X=(0,0,40,40,0,30,0,0,20,10,20,0) với f(x)=290 
+ Tìm các thế vị    i ju i 1,2,3 ;v j 1,2,3,4   bằng cách giải hệ 
phương trình: 
1 3
2 4
2 2
3 1
3 2
3 3
u v 1
u v 0
u v 2
u v 1
u v 5
u v 6
 
  
  

 
  

 
Cho 1u 0 ta được 2u 2 , 3u 5 , 1v 4  , 2v 0 , 3 4v 1, v 0  
+ Tính các 
ij i j ij
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
u v c ta co :
7 4 0 0
6 0 0 2
0 0 1 5
   
         
        
       
Ô đưa vào là ô (3,4) vì  34 ij ijmax , 0     . 
+ Có vòng 
        
         
   33 13 33
V 3,4 , 3,3 , 1,3 , 1,4
V 3,4 , 1,3 ; V 3,3 , 1,4
min x ,x min 20,40 20 x
   
    

 
  
Ô đưa ra là ô (3,3). 
+ Phương án mới: 
   ij ij
33 33 14
34
X x co x i, j V.
x x 20 20 20 0 ; x 40 20 20
x 0 20 20
  
       
  
Ta có bảng tương ứng với phương án X 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 101
 jB 
Ai 
B1:20 B2:40 B3:60 4B : 40 
A1: 80 
3 
-2 
4 
 X . 
1  
1 
. X 
0 60 
0 
. X 
0  20 
A2: 30 
4 
-6 
2  
 X 
0  30 
3 
-5 
0  
  
-3  
A3: 50 
1 
 X 
0 20 
5  
 X. 
0 10 
6 
 . .  
-6 
0  
  X 
0 
Lặp lại quá trình trên với X= X 
+Tìm các thế vị    i ju i 1,3 ;v j 1,4   bằng cách giải hệ phương trình: 
1 3
1 4
2 2
3 1
3 2
3 4
u v 1
u v 0
u v 2
u v 1
u v 5
u v 0
 
  
  

 
  

 
Cho 1u 0 ta được 2u 3  , 3u 0 , 1v 1 , 2v 5 , 3 4v 1, v 0  
+ Tính các 
ij i j ij
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
u v c ta co :
2 1 0 0
6 0 5 3
0 0 6 0
   
        
          
        
Ô đưa vào là ô (1,2) vì 12 1 0   . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 102
+ Có vòng 
        
         
   14 32 32
V 1,2 , 1,4 , 3,4 , 3,2
V 1,2 , 3,4 ; V 1,4 , 3,2
min x ,x min 20,10 10 x
   
    

 
  
+Phương án mới: 
   ij ij
12 14
32 34
X x co x i, j V.
x 0 10 10 ; x 20 10 10
x 10 10 0 ; x 10 20 30
  
     
     
X=(0,10,60,10,0,30,0,0,20,0,0,30) với f(x)=180 
Ta có bảng tương ứng với phương án là: 
 jB 
Ai 
B1:20 B2:40 B3:60 4B : 40 
A1: 80 
3 
4 
X 
 10 
1 
X 
 60 
0 
X 
 10 
A2: 30 
4 
2 
X 
 30 
3 
0 
A3: 50 
1 
 X 
0 20 
5 
6 
0 
X 
 30 
Xác định các thế vị bàng cách giải hệ phương trình: 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 103
1 2
1 3
1 4
2 2
3 1
3 4
u v 4
u v 1
u v 0
u v 2
u v 1
u v 0
 
  
  

 
  

 
Cho 1u 0 ta được 2u 2  , 3u 0 , 1v 1 , 2v 4 , 3 4v 1, v 0  
+ Tính các 
ij i j ij
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
u v c ta co :
2 0 0 0
5 0 4 2
0 1 5 0
   
        
          
         
Ta thấy tất cả  ij 0, i, j   . Nên phương án cuối cùng tìm được ở trên 
chính là phương án tối ưu. Vởy ta có phương án tối ưu là: 
 X 0,10,60,10,0,30,0,0,20,0,0,30  và  f X 180  
Tức là theo phương án tối ưu này thì: 
80 đợn vị của điểm phát thứ nhất được phát cho điểm thu thứ hai 10 đơn vị 
hàng điểm thu thứ ba 60 đơn vị hàng còn dư lại 10 đơn vị hàng. 
30 đơn vị hàng của điểm phát thứ hai được phát hết cho điểm thu thứ hai. 
50 đơn vị hàng của điểm phát thư ba được phát cho điểm phát thứ nhất 20 
đơn vị hàng còn dư lại 30 đơn vị hàng. 
Với phương án tối ưu này cước phí phải trả là 180 đơn vị tiền. 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 104
Bài tập chương 4 
1.Giải bài toán vận tải với các dữ liệu cho trong bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 60 2B : 70 3B : 40 4B : 30 
1A :100 2 1 4 3 
2A :80 5 3 2 6 
3A : 20 6 2 1 5 
Đáp số:  
60 10 0 30
x 0 60 20 0 ; f x 460
0 0 20 0
 
 
 
  
 
 
2. Giải bài toán vận tải với các dữ liệu sau: 
a)    
t
1 5 6 2
a 50,80,30  ;  b 20,40,60,30 ; C 3 4 1 7
4 2 3 5
 
 
    
 
 
Đáp số: 
20 0 50 0 0
x 0 40 0 30 10
20 0 10 0 0

 
 
  
 
 
b)    
t
7 6 5
a 25,10,45  ;  b 10,30,50 ; C 2 1 4
3 5 2
 
 
    
 
 
Đáp số: 
0 20 5
x 0 10 0
10 0 35

 
 
  
 
 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 105
3.Trong vụ bão lụt vừa qua có 5 điểm 1 2 3 4 5B ,B ,B ,B ,B bị ngập nặng, cần tiếp tế 
lương thực với yêu cầu tương ứng là 10,10,10,20,20 ( tấn). Nhà nước đã bố trí 
lương thực cứu trợ ở 4 kho 1 2 3 4A ,A ,A ,A với trữ lượng tương ứng là 5,15,20,30 
(tấn). Quãng đường (km) từ các kho đến các điểm cần cứu trợ được cho trong 
bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B :10 2B :10 3B :10 4B : 20 5B : 20 
1A : 5 5 1 4 6 7 
2A :15 3 4 2 7 8 
3A : 20 4 3 1 7 9 
4A : 30 6 5 4 9 11 
Lập kế hoạch vận chuyển tối ưu, sao cho các điểm cần cứu trợ nhận đủ số lương 
thực và tổng số tấn/km là nhỏ nhất. 
Đáp số:  
0 5 0 0 0
10 0 0 0 5
x ; f x 435
0 5 10 5 0
0 0 0 15 15
 
 
 
  
 
 
 
4.Trong vụ bão lụt vừa qua có 5 điểm 1 2 3 4 5B ,B ,B ,B ,B bị ngập nặng, cần tiếp tế 
lương thực với yêu cầu tương ứng là 10,10,10,20,20 ( tấn). Nhà nước đã bố trí 
lương thực cứu trợ ở 4 kho 1 2 3 4A ,A ,A ,A với trữ lượng tương ứng là 5,15,20,30 
(tấn). Quãng đường (km) từ các kho đến các điểm cần cứu trợ được cho trong 
bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 20 2B :100 3B :145 4B : 30 5B :150 
1A :120 6 3 1 4 5 
2A :150 1 2 5 4 3 
3A :150 2 4 3 1 6 
4A : 25 3 1 4 2 7 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 106
Lập kế hoạch vận chuyển tối ưu, sao cho các điểm cần cứu trợ nhận đủ số lương 
thực và tổng số tấn/km là nhỏ nhất. 
Đáp số:  
0 0 120 0 0
0 0 0 0 150
x ; f x 940
20 75 25 30 0
0 25 0 0 0
 
 
 
  
 
 
 
5.Giải bài toán vận tải với các dữ liệu cho trong bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 70 2B : 20 3B : 60 4B : 80 
1A : 40 15 12 6 3 
2A : 70 12 9 6 8 
3A :120 12 9 9 18 
6.Giải bài toán vận tải với các dữ liệu cho trong bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 30 2B :15 3B : 20 4B :15 
1A : 25 3 4 2 6 
2A :15 5 1 6 2 
3A : 40 2 1 5 3 
7.Giải bài toán vận tải với các dữ liệu cho trong bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B :180 2B : 200 3B : 230 4B : 280 
1A : 280 4 2 10 6 
2A : 320 1 3 8 12 
3A : 290 5 3 9 7 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 107
9.Giải bài toán vận tải với các dữ liệu cho trong bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 5 2B :15 3B : 20 4B :10 
1A :10 2 1 4 3 
2A : 25 6 0 5 2 
3A :15 1 4 8 2 
8.Giải bài toán vận tải với các dữ liệu cho trong bảng sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 30 2B : 25 3B : 40 4B : 25 
1A : 20 3 4 2 6 
2A : 45 5 1 6 2 
3A : 55 2 1 5 3 
8.Giải bài toán vận tải không cân bằng thu phát với các dữ liệu cho trong bảng 
sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 60 2B : 30 3B : 30 
1A : 80 1 4 5 
2A : 50 4 6 4 
3A : 40 6 4 3 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 108
9.Giải bài toán vận tải không cân bằng thu phát với các dữ liệu cho trong bảng 
sau: 
 Bj 
Ai 
1B : 60 2B : 85 3B : 45 
1A : 55 12 5 7 
2A :80 4 9 11 
3A : 75 8 13 2 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 109
Mục lục 
Lời nói đầu 
Chương I : Đại số tuyến tính. 
Bài 1. Vectơ n chiều 
Bài 2. Hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 
Bài 3. Ma trận 
Bài 4. Định thức của ma trận 
Bài 5. Ma trận nghịch đảo 
Bài 6. Hệ phương trình tuyến tính 
Bài tập ôn tập chương I 
Chương II: Xác suất. 
Bài 1. Giải tích tổ hợp 
Bài 2. Biến cos ngẫu nhiên và xác suất 
Bài 3. Các định nghĩa xác suất 
Bài 4. Xác suất có điều kiện, công thức nhân, xác suất 
toàn phần, công thức Bayes 
Bài 5. Công thức Becnulli 
Bài tập ôn tập chương II 
Chương III: Quy hoạch tuyến tính. 
Bài 1. Mở đầu 
Bài 2. Phương pháp đơn hình 
Bài 3. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 
Bài tập ôn tập chương III 
Chương IV: Bài toán vận tải. 
Bài 1. Thiết lập BTVT 
Bài 2. Tìm phương án cơ sở xuất phất 
Bài 3. Các thuật toán giải BTVT 
Bài 4.BTVT không cân bằng thu phát 
Bài tập ôn tập chương IV 
Trang 
4 
4 
5 
6 
12 
15 
16 
20 
23 
25 
28 
32 
38 
44 
51 
57 
71 
75 
79 
87 
90 
96 
101 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 110 
Tài liệu tham khảo: 
1, PGS.TS Phạm Văn Kiều 
Giáo trình xác suất thống kê. NXB Giáo dục. 
2, Nguyễn Văn Hộ 
Xác suất thống kê. NXB Giáo dục 
3, Đặng Hùng Thắng 
Bài tập xác suất. NXB Giáo dục 
4, TS. Phạm Đình Phùng 
Bài tập toán kinh tế. NXB Tài chính 
5, Bùi Minh Trí 
Toán kinh tế. NXB Bách khoa – Hà Nội 
6, Nguyễn Ngọc Thắng – Nguyễn Đình Hoá 
Quy hoạch tuyến tính . NXB Đại học quốc gia Hà Nội