Mở rộng các kừt quả nghiên cứu bộ hờp thụ dao động đối với hử con lắc ngược cho trường hợp con lắc thuởn

 1
Mở rộng các kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động đối với 
hệ con lắc ngược cho trường hợp con lắc thuận 
Nguyễn Đông Anh -Viện Cơ học 
 Khổng Doãn Điền - Đại học Thuỷ Lợi 
 Nguyễn Duy Chinh - Đại học Thuỷ Lợi 
Tóm tắt 
Các bộ hấp thụ dao động cho hệ con lắc ngược [7] đã được Nguyễn Đông 
Anh, Khổng Doãn Điền, nguyễn Duy Chinh nghiên cứu. Trên cơ sở các kết quả 
nghiên cứu đó, trong bài báo này các tác giả phát triển, mở rộng để tìm các thông số tối ưu 
cho hệ con lắc thuận trên cơ sở lí luận khoa học. 
I Đặt vấn đề 
Trong hoạt động thực tiễn hàng ngày, từ an ninh, quốc phòng, đến các công trình 
xây dựng, dân dụng, công nghiệp, thuỷ lợi, thuỷ điện, trong các máy móc thiết bị ta thấy 
tồn tại vô số loại cơ cấu chuyển động, mỗi loại cơ cấu chuyển động lại có những đặc thù 
riêng của nó và sẽ phát sinh những dao động có hại riêng. Để đảm bảo tính ứng dụng cao 
của các bộ hấp thụ dao động vào thực tế ta cần nghiên cứu các bộ hấp thụ dao động đặc thù 
để giảm dao động cho các cơ cấu. Trong bài báo này các tác giả nghiên cứu, phân tích xác 
định các thông số tối ưu cho con lắc thuận mở rộng để giảm thiểu những dao động không 
mong muốn của con lắc thuận mở rộng một cách tốt nhất, nhằm tăng độ an toàn hiệu quả 
cũng như sự bền vững cho các cơ cấu có dạng con lắc thuận mở rộng. 
II. Sơ đồ chuyển đổi hệ con lắc ngược sang hệ con lắc thuận 
có lắp đặt bộ hấp thụ dao động. 
M
L
2

U
y
x

k



Hình.1. Mô tả sơ đồ chuyển đổi hệ con lắc ngược sang hệ con lắc thuận 
 2
III. Phương trình chuyển động của hệ con lắc thuận mở rộng 
Từ sơ đồ hình 1 ta thấy rằng nếu con lắc ngược quay một góc  = 180o+ thì con lắc 
ngược đã nghiên cứu trở thành con lắc thuận, ta có: 
 = 180o+  





coscos
sinsin (1) 
Thay (1) vào phương trình vi phân chuyển động của con lắc ngược [7] ta có phương trình vi 
phân chuyển động của hệ con lắc thuận mở rộng như sau: 
iω t
2
2 O
2 2
1
J m ( u) 2muu mu 
MLgsin mglsin umgcos k P e
m( u) mu mgsin k u cu
     
   

        

         

        
 

 (2) 
Ta khai triển các hàm: 
3
2
sin ...
3!
cos 1 ...
2!
 
    

    

 (3) 
Thay (3) vào (2) và bỏ qua các đại lượng phi tuyến ta có: 
2 iω t
2 O
1
(J m ) m u (k MLg mgl) mgu P e
m m u mg k u cu 0
 
  

         


      
 

 ( 4) 
Sử dụng biên độ phức để tìm nghiệm của hệ (4): 
iω.e   t , tiωe.uu  (5) 
Trong đó :  , u là các số phức cần tìm 
Từ (5) ta suy ra: 
titi eie 



 2ωω (6) 
 titi euuieuu 



 2ωω (7) 
Thay (5), 6), (7) vào (4) ta có: 






0ωωω
ωω
ωωωω2ω2
ωωω2ω22 ω
ttttt
tttt
ii
1
iii
O
ii
2
ii
ieuceukemg)eum( )e(m
ePeumg emgl)MLg(k)eu(m )e)(m(J t i

 
 






0ωωω
ωω
22
222
u]cikm[ )m-mg(
Pu]mgm[ mgl)]MLg(k )m[-(J
1
O2

 (8) 
Giải hệ phương trình (8) ta có kết quả sau: 












2
21
01
2
21
0
)m-mg(mgl)]MLg(k )m[-(J ]cikm[
LP]cikm[
)m-mg(mgl)]MLg(k )m[-(J ]cikm[
LP)mg-m(
u
2222
2
2222
2
ωωωω
ωω
ωωωω
ω



 (9) 
 3
Thay (5) vào (9) ta có phương trình dao động của hệ. 












2
21
i
01
2
21
i
0
)m-mg(mgl)]MLg(k )m[-(J ]cikm[
eLP]cikm[
)m-mg(mgl)]MLg(k )m[-(J ]cikm[
eLP)mg-m(
u
t
t
2222
ω2
2222
ω2
ωωωω
ωω
ωωωω
ω



 (10) 
IV Tìm các thông số tối ưu cho con lắc thuận mở rộng. 
1. Phân tích quy luật dao động của con lắc thuận 
Biên độ dao động lớn nhất của con lắc thuận mở rộng: 
2
21
01
max
)m-mg(mgl)]MLg(k )m[-(J ]cikm[
LP]cikm[
2222
2
ωωωω
ωω
 

 (11) 
Ta đưa vào các tham số: 
M
m
μ  : Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động và con lắc thuận. 
L
γ

 : Tỉ số giữa vị trí đặt bộ hấp thụ dao động và trọng tâm của con lắc thuận. 
m
k12
a  : Tần số riêng của bộ hấp thụ dao động. (12) 


m
c
2
: Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động. 
L
g2 Ω ; 
2
222
ML
k
J
k
 ; 
Ω
ω
f a ; 
Ω
ω
h  ; 
Mg
P
o
st  ; 
2
2


 : Tỉ số đặc trưng cho sự phân bố về khối lượng theo độ cao của bản thân con lắc thuận. 
 Thay (12) vào (11) ta có: 
 
2 2
st
max
2 2 2 2 2 2
[ h f 2i h]
[ h f 2i h] -(1 )h [( 1) ] [-1 h ]
    
 
            
 (13) 
Biến đổi biểu thức (13) ta được 
2 2
st
max 2 2 2 2 2 2 2
[(f h ) 2i
[( 1 h )(f h ) μ(1-γf )(1-γh )] 2iζ 1 μγ (1 μγ )h ]
   
 
          
h]
h[ (14)
2. Các thông số tối ưu của con lắc thuận mở rộng. 
Các thông số tối ưu của con lắc thuận được xác định bởi lý thuyết hai điểm cố định [1] như sau: 
0
h
E
;EE;E
bhh,Ahh
ST
MAX
BA 





 (15) 
Từ (14), (15) ta xác định được các thông số tối ưu cho con lắc thuận mở rộng như sau. 
e
μ = 2 2μ(γf 1)(γ 1) h (16) 
















 4
D
ịc
h
 c
hu
y
ển
(r
ad
)
Hình.2: Mô phỏng dao động của con lắc thuận mở rộng 
Thời gian(giây) 
Không có TMD Có TMD 
2 3
OPt 2
1 2μ μ γ
f
1 μγ
    


 (17) 
 2 22
A 2 2
( 1 μγ)(2 μγ ) 1 ( 1)γ μ(2 )
h
(1 μγ )(2 μγ )
         

 
 (18) 
 2 22
B 2 2
( 1 μγ)(2 μγ ) 1 ( 1)γ μ(2 )
h
(1 μγ )(2 μγ )
         

 
 (19) 
 
2
max st
2 μγ
1 ( 1)γ μ

  
  
 (20) 
opt optA optB
1
ξ (ξ ξ )
2
  (21) 
V. Hiệu quả giảm dao động khi lắp đặt bộ hấp dao động. 
Tiến hành khảo sát dao động của con lắc thuận trong điều khiển tối ưu 
Con lắc thuận với các thông số sau. 
 J= 125.104(Kgm2); M=5.102(kg); 
 g=9,81(m/s2); k2= 10
6(KNm); 
 p0=5.10
3(KN); = 2 = 6,28(rad/s); L=50(m); 
1. Hiệu quả giảm biên độ dao động của con lắc thuận. 
Dựa vào lý thuyết nghiên cứu bộ hấp thụ dao động dạng TMD ta xác định các thông 
số của bộ TMD: Bộ TMD được thiết kế có khối lượng m =10kg, được gắn vào cơ cấu cách 
nền ngang một khoảng  =10m, ta có  = m/M=0,02,  =  /L= 0,2, theo (17) có fopt =2,253 
theo (18) có hopt = 2,20; theo (21) có opt=0,0086 từ các kết quả này và (12) suy ra k1 = 
9,962 (KN/m), c=0,0758 (KNs/m). Thay các kết quả này vào phương trình (4) ta được 
phương trình vi phân chuyển động của hệ. 
Chuyển động của con lắc thuận mở rộng được xác định ở hình (2) được lập trong 
phần mềm Maple 8 với các điều kiện đầu: (0)=0,0001; 

 (0)=0,0; u(0)=0,0; 

u (0)=0,0 
Từ đồ thị (hình 2) thấy rằng dao động của con lắc thuận trong trường hợp lắp đặt bộ 
hấp thụ dao động, đã tác dụng tốt trong việc giảm dao động. 
 5
Hình 3a : Hệ số E theo biến h trường hợp xét hiệu quả 
giảm đỉnh cộng hưởng của biên dộ dao động 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 E 
 =0 
h 
 =0.05,  =1.2  =0.03,  =1 
3. Hiệu quả giảm đỉnh cộng hưởng của biên độ dao động. 
Hình (3a), (3b) mô tả hệ số E =f(h) của hệ trong điều khiển tối ưu. Trong trường 
hợp không có bộ hấp thụ dao động hệ số E tại tần số cộng hưởng là 27. 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
0 
0.005 
0.01 
0.015 
0.02 
0.025 
0.03 
0.035 
0.04 
0.045 
0.05 
h 
E 
=0 
 =0.05,  =1.2 
 =0.03,  =1.0 
Hình 3b : Hệ số E theo biến h trường hợp xét hiệu quả 
giảm đỉnh cộng hưởng của biên dộ dao động 
 6
Trong trường hợp sử dụng bộ hấp thụ dao động với tỉ số khối lượng  =0,03,  =1 hệ số E 
là 0,015. Trong trường hợp sử dụng bộ hấp thụ dao động với tỉ số khối lượng  =0,05,  
=1,2 hệ số E là 0,01. Rõ ràng bộ hấp thụ dao động đã có tác dụng tốt trong việc giảm đỉnh 
cộng hưởng của biên độ dao động. 
VI. Kết luận chung 
Bài báo đã mở rộng các kết quả nghiên cứu của hệ con lắc ngược sang hệ con lắc 
thuận mở rộng, trên cơ sở các lý luận về mặt Toán học và Cơ học để tìm các thông số tối ưu 
cho con lắc thuận mở rộng. 
 Mục đích của việc thiết kế các bộ hấp thụ dao động là làm giảm dao động của hệ 
con lắc thuận một cách tối ưu, để đáp ứng yêu cầu của các nhà kỹ thuật. Các kết quả nghiên 
cứu tính toán ở trên cho thấy rằng: Các bộ hấp thụ dao động được thiết kế theo lý thuyết 
điều khiển tối ưu đã nghiên cứu ở trên, khi lắp đặt vào cơ cấu con lắc thuận thì biên độ dao 
động của nó giảm rất nhiều so với trường hợp không lắp đặt bộ hấp thụ dao động. Hơn nữa 
đỉnh cộng hưởng của biên độ dao động, tức vị trí dao động nguy hiểm nhất của con lắc 
thuận khi nó được lắp bộ hấp thụ dao động là rất nhỏ so với trường hợp khi không có bộ 
hấp thụ dao động. Điều này đáp ứng được yêu cầu của các nhà kỹ thuật đặt ra. 
Tài liệu tham khảo 
1. Soong T.T (1989), Active Structural Control: Theory and Practice, John Willey 
& Son, Inc, NewYork 
2. Brock J.E., Note on the Vibration Absober, J. Appl. Mech., (1964), 13(4). A-
284 
3. Hiroshi MATSUHISA và Masashi YASUDA, dynamic absorbers for 
rolling structures, Kyoto University, Japan.(1995) 
4. P.C Muller & W. O. Schiehlen (1997), Dao động tuyến tính, Nhà xuất bản xây 
dựng, người dịch Nguyễn Đông Anh. 
5. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Doãn Điền, Lý thuyết dao 
động, Nhà xuất bản nông nghiệp (2004). 
6. Phan Nguyên Di, Nguyễn Văn Khang, Đỗ Sanh, ổn định chuyển động trong 
kỹ thuật, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật(1986). 
7. Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu bộ 
hấp thụ dao động đối với hệ con lắc ngược, Tạp chí Thuỷ lợi và môi trường số 7/2004, kỷ 
niệm 45 năm thành lập trường Đại học thuỷ lợi, tr 61- 69. 
8. Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu ổn 
định vị trí cân bằng của hệ con lắc ngược, Tạp chí Thuỷ lợi và môi trường số 8/02/2005, tr 
19- 23. 
N. D. Anh1, K.D. Dien2, N.D. Chinh3 
abstract: The absorbers for the inverted pendulum structures have been 
studying by N.D. Anh. , K.D. Dien, N.D Chinh For the basis of these results, in this paper, 
the authors develop and extend for the pendulum cases in order to find optimum 
parameters depending on the scientific foundation of mathematical and mechanical aspect.