Giáo trình Lý thuyết thế trong địa vất lý (Phần 2)

 vôùi θθ cos)(cos dPn vaø laáy tích phaân töø -1 ñeán +1. Nhôø tính 
chaát tröïc giao ta coù : 
[ ]∫ ∫ ∫
+
−
+
−
=
1
1
2
0
21
1
0 )(cos(cos2cos)(cos),(
pi
θθpiλθθλθ dPAddPf nn
 Ruùt ra : 
∫ ∫
+
=
pi pi
λθθθλθ
pi 0
2
0
0 sin)(cos),(4
12 ddPfnA n
(4.48a) 
 §.7. Coâng thöùc coäng haøm caàu. 
 Nhaân chuoãi (4.43) vôùi λθθψ ddPn sin)(cos vaø laáy tích phaân maët treân quaû caàu 
baùn kính ñôn vò. 
Beân veá phaûi caùc tích phaân chöùa tích )(cos),( ψλθ nm PY baèng 0 heát khi m ≠ n, 
coøn m = n thì theo (4.41) ta coù : 
 ∫ ∫
pi pi
λθθψλθ
0
2
0
sin)(cos),( ddPf n ∫ ∫ +==
pi pi λθpiλθθψλθ
0
2
0 12
)','(4
sin)(cos),(
n
YddPY nnn
 (4.49) 
Maët khaùc ∑ += )'(cos)'sin'cos)','( θλλλθ nmnmnmn PmBmAY theo (4.16). 
 Söû duïng (4.47), (4.48) vaø (4.48a) ta coù : 
)'(cosPddsin)(cosP),(f
4
1n2)','(Y n
0
2
0
nn θλθθθλθpiλθ
pi pi
×




+
= ∫ ∫ 
×
+
−
−
+∑
∞
=
pi2
1n2
)!mn(
)!mn(
1m
'cossin)(coscos),(
0
λλθθθλλθ
pi
mddPmf nm










∫ 
 75
)'(cos'sinsin)(cossin),(
0
2
0
θλλθθθλλθ
pi pi
nmnm PmddPmf










+ ∫ ∫
 (4.49a) 
 Bieán ñoåi ñôn giaûn döïa vaøo coâng thöùc löôïng giaùc cos(a - b), ta coù : 



−×
+
−



+
+
=
∑ ∫ ∫
∫ ∫
=
λθθλλθθλθ
λθθθθλθ
pi
piλθ
pi pi
pi pi
ddmPPf
mn
mn
ddPPfY
nm
n
m
nm
nnn
sin)'(cos)'(cos)(cos),()!(
)!(2
sin)'(cos)(cos),(
4
12)','(
1 0
2
0
0
2
0
 Thế )','( λθnY ở (4.49) bằng công thức cho Yn (θ’,λ) treân ñaây ta coù : 
λθθλλθθ
θθλθλθθψλθ
pi pipi pi
ddmPP
mn
mn
PPfddPf
n
m
nmnm
nnn
sin)'(cos)'(cos)(cos)!(
)!(2
)'(cos)(cos),(sin)(cos),(
1
0
2
00
2
0



−
+
−
+



=
∑
∫ ∫∫ ∫
=
 So saùnh veá traùi vôùi veá phaûi ta suy ra coâng thöùc coäng haøm caàu : 
 (4.50) 
Theo löôïng giaùc caàu : )'cos('sinsin'coscoscos λλθθθθψ −+=
 (4.50a) 
 Coâng thöùc (4.50) vaø (4.50a) giuùp bieán ñoåi töø toïa ñoä cöïc sang toïa ñoà caàu. 
 §.8.Chuaån hoùa haøm caàu. Phöông trình tích phaân cho haøm caàu chuaån hoùa. 
Chuùng ta haõy tìm moät heä soá rnm sao cho haøm caàu : rnm 'cos)'(cos λθ mPnm vaø 
rnm 'sin)'(cos λθ mPnm , kyù hieäu chung laø )','( λθnmF
 thoûa maõn ñieàu kieän treân maët 
caàu ñôn vò : 
 [ ][ ]∫∫ =
σ
σλθ 1'','( 2 dFnm
 (4.51 ) 
∑
=
−
+
−
+
=
n
m
nmnm
nnn
mPP
mn
mn
PPP
1
)'(cos)(cos)'(cos)!(
)!(2
)'(cos)(cos)(cos
λλθθ
θθψ
 76
 Döïa vaøo tính chaát (4.25) cuûa haøm )','( λθnmP roài ruùt r2nm töø (4.51 ) ra, ta 
coù heä soá chuaån hoùa : 
 )!(
)!(
2
12
mn
mnn
rnm +
−+
=
pi
 vôùi m = 1, 2. 3, 4 .
vaø haøm caàu chuaån hoùa : 








+
−+
+
−+
=
λθ
pi
λθ
pi
λθ
mP
mn
mnn
mP
mn
mnn
F
nm
nm
nm
sin)(cos)!(
)!(
2
12
cos)(cos)!(
)!(
2
12
),(
 (4.52) 
 Tröôøng hôïp m = 0, heä soá rn phaûi ruùt ra töø ñaàu cho Fn(θ) = rnP(cos θ’), ta coù : 
 )'(cos4
12)'( θ
pi
θ nn P
nF +=
 (4.53) 
 Coâng thöùc coäng cho haøm caàu chuaån hoùa coù theå ruùt ra töø (4.50) : 
 (4.54) 
 Khi ρ < R ta coù (4.31) : 
∑
∞
=
+
=
0
1 )(cos
1
n
nn
n
P
Rr
ψρ
 Nhôø (4.54) ta coù : 
∑ ∑
∞
= =
++
=
0
2
0
1 )','(),()12(
41
n
n
m
nmnmn
n
FF
Rnr
λθλθpiρ
 Nhaân 2 veá treân vôùi )','( λθnmF vaø laáy tích phaân treân toaøn maët caàu ñôn vò vaø 
nhôø tính tröïc giao ta coù : 
),()12(
4
'
)','(
1 λθ
piρ
σ
λθ
nmn
n
nm F
Rn
d
r
F
++
=∫∫
 (4.55) 
∑
=
+
=
n
m
nmnmn FF
n
P
0
)','(),(
12
4)(cos λθλθpiψ
 77
Khi R>ρ töông töï : 
),()12(
4
'
)','(
1 λθρ
pi
σ
λθ
nmn
n
nm FR
n
d
r
F
++
=∫∫
 (4.56) 
Khi R=ρ : 
R
F
n
d
r
F nmnm ),(
)12(
4
'
)','( λθpi
σ
λθ
+
=∫∫
 (4.57) 
 §.9 Phaân loaïi haøm caàu. 
 Giaû söû ta coù haøm ),( λθf
phuï thuoäc vaøo goùc cöïcθ
vaø kinh ñoää λ . Moät haøm 
nhö vaäy coù theå laø haøm phaân boá giaù trò dò thöôøng troïng löïc hoaëc töø treân maët ñòa caàu. 
Nhö ta bieát, haøm ),( λθf coù theå khai trieån thaønh chuoãi haøm caàu : 
( )58.4)...(cos)sincos(
...)(cos)sincos()(cos
...)(cos)2cos()(cos)sincos(
)(cos)(cos)sincos()(cos)(cos),(
11100
222222212121
2020111111101000
θλλ
θλλθ
θλλθλλ
θθλλθθλθ
kkkkkk
kkkkk
PkBkA
PBAPA
PsìnBAPBA
PAPBAPAPAf
++
++++
+++++
++++=
Caùc heä soá khai trieån ñöôïc xaùc ñònh bôûi chính haøm ),( λθf ño ñöôïc treân thöïc 
teá, vaø theo coâng thöùc tích phaân (4.47), (4.48) vaø (4.48a). Tuy nhieân, veà maët thöïc 
tieãn, ta khoâng laáy ñöôïc tích phaân theo lyù thuyeát, vì haøm ),( λθf
khoâng ñöôïc cho 
tröôùc döôùi daïng bieåu thöùc giaûi tích, maø nhaän ñöôïc moät caùch rôøi raïc qua töøng laàn 
quan saùt taïi caùc vò trí khaùc nhau treân maët ñòa caàu. Caùc vò trí quan saùt caøng nhieàu 
caøng toát vaø phaûi phuû ñeàu khaép maët ñòa caàu. 
 Phöông phaùp xaùc ñònh thöïc nghieäm caùc heä soá noùi treân laø phöông phaùp toái 
thieåu bình phöông. Soá phöông trình phaûi nhieàu hôn soá aån soá, laø soá caùc heä soá noùi 
treân. ( veà lyù thuyeát ∞=n
nhöng trong thöïc teá chæ coù theå coù moät soá höõu haïn). 
 Chuoãi (4.58) laø moät choàng chaát caùc soùng treân maët ñòa caàu vôùi ñuû loaïi caùc 
taàn soá khaùc nhau (theo kinh ñoä λ vaø θ ). 
 Moät soùng baäc n (theo )θ
vaø m ( theo )λ coù daïng chung laø : 
)(cos)(cossin)sincos( θθθλλ nm
m
m
nmnm Pd
d
mBmA +
 (4.59) 
Haøm (4.59) coù theå taùch ra laøm 2 phaàn, chöùa cos vaø chöa sin nhaân vôùi 
)(cosθnmP thöïc chaát laø cuøng loaïi. 
 78
 a) Haøm caàu ñôùi: 
Khi m = 0, n baát kyø, coâng thöùc (4.59) cho ta moät haøm duy nhaát phuï thuoäcθ 
ña thöùc Legendre : 
 )(cosθnonoPA
 Ñeå tìm caùc vò trí maø taïi ñoù (4.59) baèng 0, ta giaûi phöông trình : 
 0)(cos =θnP
(4.60) 
 Caùc giaù trò θ ñoái xöùng qua xích ñaïo ñòa caàu laø nghieäm cuûa phöông trình 
naøy. Coù taát caû n nghieäm. Ví duï vôùi n = 3, ta coù : 
0)35(
2
1)( 33 =−= xxxP
 (4.61) 
Giaûi phöông trình naøy ta coù 3 nghieäm soá : 
01 =x
 5
3
2 =x
 5
3
3 −=x
 N 
S 
Xích ñaïo 
H.19 
Goùc θ
töông öùng laø: 900, 39030’, 140030. Ta coù 3 vó tuyeán maø taïi ñoù 
0)(cos3 =θP . Maët caàu bò chia thaønh 4 ñôùi. Soá ñôùi toång quaùt laø (n+1) ñôùi ( H.19). 
b) Haøm caàu muùi: 
 Khi m = n, trong (4.59) ta coù : 
 79
 constPd
d
nn
n
=θ
θ
cos)(cos (4.62) 
 Sau khi laáy ñaïo haøm )(cosθnP n laàn, ta ñöôïc haèng soá. 
 Keát quaû, ta coù 2 soùng (ñieàu hoøa) : 
λθ nA nnm cossin
vaø 0sinsin =λθ nB nnm
 (4.63) 
0sin =θn vôùi 0=θ vaø piθ =
 , töùc öùng vôùi 2 cöïc ñòa caàu N vaø S. 
 Coøn λnsin vaø λncos baèng 0 taïi caùc kinh tuyeán ôû caùch nhau 1 cung 
n
piλ =∆ . Ñòa caàu bò chia ra thaønh caùc muùi ñeàu nhau theo kinh tuyeán. Trong moãi 
muùi, caùc haøm giöõ nguyeân daáu (+ hoaëc -). Khi chuyeån sang muùi keá caän thì daáu ñoåi. 
Hai loaïi haøm caàu naøy trong (4.63) laø haøm caàu muùi. 
Hình 20 cho thaáy söï phaân boå cuûa haøm caàu muùi vôùi caùc muùi chöùa giaù trò aâm 
vaø döông cuûa haøm xen keõ nhau. Moãi haøm λnsin (hoaëc λncos ) chia ñòa caàu ra 
laøm 2n muùi. 
 S 
N 
 N 
S 
 H.20 H.21 
 c) Haøm caàu oâ: 
 Khi m ≠ n ( 0 < m < n ), trong (4.59), ta coù : 
)(cos)(cos θθ nm
m
P
d
d
 (4.64) 
Ña thöùc naøy coù (n - m) nghieäm thöïc caû thaûy, öùng vôùi n – m vó tuyeán treân 
maët ñòa caàu maø taïi ñoù haøm caàu (4.59) baèng khoâng. 
 80
Keát quûa, ñòa caàu bò caùc vó tuyeán naøy chia ra laøm (n – m + 1) ñôùi. Caùc ñôùi coù 
giaù trò aâm, döông cuûa haøm (4.64) xen keõ nhau nhö tröôøng hôïp a) 
Haøm λmsin (hoaëc λmcos ) baèng khoâng taïi 2m giaù trò cuûa λ vaø chia ñòa caàu 
ra thaønh 2m muùi, moãi muùi coù beà roäng laø 
m
pi . Trong moãi muùi, haøm naøy mang moät 
daáu vaø noù ñoåi daáu khi chuyeån sang muùi beân caïnh (nhö tröôøng hôïp b). Söï choàng 
chaát cuûa 2 haøm λmsin (hoaëc λmcos ) vôùi haøm (4.64), keát quaû, maët ñòa caàu bò chia 
ra töïa oâ baøn côø vua, vôùi daáu aâm, döông xen keõ nhau, neân haøm coù teân goïi laø haøm 
caàu oâ. 
 Tuy nhieân oâ ôû ñaây khoâng phaûi laø oâ vuoâng maø laø oâ caàu hình thang, vì caùc 
haøm sin, cos chia vó tuyeán ra thaønh nhöõng cung baèng nhau nhöng haøm lieân keát 
Legendre thì khoâng chia kinh tuyeán thaønh nhöõng cung baèng nhau. Caùc nghieäm 
phaân boá khoâng ñeàu doïc theo kinh tuyeán, nhöng ñoái xöùng qua xí ch ñaïo. Neáu m 
chaün, thì daáu cuõng phaân boá ñoái xöùng qua xích ñaïo. ( hình 22 cho tröôøng hôïp 
P42 )cosθ ). Coøn m leõ thì khoâng ñoái xöùng veà daáu, maø ngöôïc veà daáu qua xích ñaïo 
(hình 23 cho tröôøng hôïp P41 θcos ). 
0 
100 
5 
-5 
P42 
+ 
0 
450 
900 
1350 1800 
+ 
+ + 
+ 0o 0o 
315o 225o 
45o 135o 
φN=22o 12’ 
φS=22o 12’ 
P42cos2λ N 
_ 
_ _ 
_ 
_ 
+ + 
1350 
0 
-1 
-2 
-3 
3 
1 
2 
900 450 1800 
0 
P41 
+ 
+ 
+ 
0o 0o 
40o50’ 
40o50’ 
λ=90o 
0 
_ 
_ 
_ 
_ 
λ=270o 
0 
P41cosλ 
 Hình 22 Hình 23 
 Toùm laïi, öùng vôùi moät giaù trò baát kyø cuûa n ta coù: 
Khi m = 0 : moät haøm caàu. 
Khi m = n : hai haøm caàu (sin vaø cos) 
Khi m ≠ n : 2(n - 1) haøm caàu 
Toång coäng ta coù 2n + 1 haøm caàu. 
 81
ÖÙng vôùi taát caû caùc giaù trò cuûa n ( töø 0,1,2,3, n ), laø caû chuoãi, coù toång coäng 
n(n + 2) + 1 haøm caàu ( ñieàu hoøa). Soá heä soá haøm caàu Anm vaø Bnm toång coäng cuõng 
baèng n (n + 2) + 1 heä soá. 
Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá naøy, toái thieåu caàn coù : n(n + 2) + 1 phöông trình, 
nghóa laø töøng aáy pheùp ño taïi caùc vò trí khaùc nhau treân ñòa caàu. Nhöng thöôøng, soá 
pheùp ño phaûi nhieàu hôn soá aån soá theo phöông phaùp bình phöông toái thieåu ñeå laøm 
giaûm aûnh höôûng cuûa caùc giaù trò chöùa sai soá ngaãu nhieân. 
 87
 MUÏC LUÏC 
Lôøi giôùi thieäu ...................................................................................................................2 
CHÖÔNG I : Theá vaø caùc tính chaát .3 
 §.1. Khaùi nieäm veà theá. Caùc daïng chuû yeáu cuûa theá ... 
1. Theá tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch quan saùt.. 
2. Theá khoái  ..6 
3. Theá lôùp ñôn 7 
4. Theá lôùp keùp 9 
5. Theá töø cuûa moät löôõng cöïc 1 
6. Theá töø cuûa caùc vaät theå bò töø hoùa .1 
 §.2. YÙ nghóa vaät lyù cuûa theá, maët ñaúng theá, ñöôøng söùc ....1 
 §.3. Theá vaø tröôøng löïc cuûa moät soá vaät coù daïng ñôn giaûn .1 
1. Theá lôùp caàu  .20 
2. Theá khoái caàu .2 
3. Theá logarit .27 
4. Theá töø cuûa kkhoái caàu 2 
 §.4 Caùc tính chaát cuûa theá Newton ..30 
1. Theá khoái ..30 
2. Theá lôùp ñôn 35 
3. Theá lôùp keùp .38 
 §.5 Caùc tích phaân Gauss ..3 
CHÖÔNG II : Caùc coâng thöùc Green 41 
 §.1. Hai coâng thöùc Green cô sôû .. 4 
 §.2. Coâng thöùc Green cho haøm 1/r ...46 
 §.3. Haøm ñieàu hoøa vaø caùc tính chaát 4 
1. Ñònh lyù veà ñaúng trò ....48 
2. Ñònh lyù veà ñôn trò 49 
3. Ñònh lyù veà trung bình 49 
4. Ñònh lyù veà cöïc trò 50 
 88
 §.4. Coâng thöùc Green cô baûn ..50 
 §.5. Coâng thöùc Green theo bieán ñoåi theo Molodensky ...51 
 §.6. Caùc haèng soá Stokes ..52 
CHÖÔNG III : Caùc baøi toaùn bieân ...55 
 §.1. Ba baøi toaùn bieân cô baûn ..5 
1. Baøi toaùn bieân thöù nhaát..55 
2. Baøi toaùn bieân thöù hai5 
3. Baøi toaùn bieân thöù ba.57 
 §..2. Baøi toaùn Dirichlet cho quûa caàu ..5 
 §..2. Baøi toaùn Dirichlet cho maët phaúng voâ haïn ..61 
CHÖÔNG IV : Haøm caàu vaø caùc tính chaát ..6 
 §.1. Giaûi phöông trình Laplace trong toïa doä caàu ...6 
 §.2. Moät soá tính chaát cuûa ña thöùc Legendre 66 
 §.3. Moät soá tính chaát cuûa haøm lieân keát Legendre ..67 
 §.4. Khai trieån haøm 1/r thaønh chuoãi ña thöùc Legendre .68 
 §.5. Caùc heä thöùc tích phaân cho haøm caàu ..7 
 §.6. Khai trieån moät haøm f (θ,λ) thaønh chuoãi haøm caàu ....7 
 §.7. Coâng thöùc coäng haøm caàu .75 
 §.8. Chuaån hoùa caùc haøm caàu. Phöông trình tích phaân cho haøm caàu chuaån hoùa .7 
 §.9. Phaân loaïi haøm caàu ...78 
Phuï luïc ....82 
Taøi lieäu tham khaûo .86 
 82
 PHUÏ LUÏC 
 CAÂU HOÛI VAØ BAØI TAÄP LYÙ THUYEÁT THEÁ 
 Chöông I. Theá vaø caùc tính chaát. 
1. Theá naøo laø tröôøng löïc daãn xuaát töø theá ? Löïc naøy coù tính chaát gì ñaëc bieät so vôùi 
nhöõng löïc thoâng thöôøng khaùc ? Haõy cho ví duï veà moät soá löïc loaïi naøy ? 
2. Coâng vaät lyù khaùc vôùi coâng sinh hoïc ( coâng cuûa ngöôøi, traâu boø ) nhö theá naøo ? 
3. Theá vaø theá naêng khaùc nhau vaø gioáng nhau nhö theá naøo ? Thöù nguyeân ? 
4. Theá vaø theá naêng coù theå aâm hoaëc döông ? Cho bieát yù nghóa cuûa tröôøng hôïp aâm 
vaø döông cuûa theá vaø theá naêng ? 
5. Haõy döïa vaøo ñònh nghóa cuûa theá ( baèng coâng cuûa löïc tröôøng theá ) chöùng minh 
raèng theá cuûa löïc haáp daãn Newton do moät chaát ñieåm gaây ra laø theá tyû leä nghòch 
vôùi khoaûng caùch tôùi chaát ñieåm haáp daãn. 
6. Ruùt ra theá cuûa löïc tónh ñieän Coulomb do ñieän tích ñieåm Q > 0 gaây ra ñoái vôùi 
moät ñieän tích ñôn vò q aâm ñaët ôû taïi vò trí caùch Q moät khoaûng r laø theá tyû leä 
nghòch khoaûng caùch quan saùt r. Choïn vò trí 0 cuûa theá ôû ∞. 
7. Haõy chöùng minh raèng theá naêng cuûa löïc haáp daãn Newton cuûa Traùi ñaát coù daïng 
laø 
 U = -
r
Mf m, trong ñoù f – haèng soá haáp daãn, M – khoái löôïng Traùi ñaát, m – khoái 
 löôïng cuûa moät vaät ôû caùch taâm Traùi ñaát laø r. Choïn vò trí 0 cuûa theá naêng ôû ∞. Neáu 
 möùc 0 cuûa theá naêng choïn ôû maët Traùi ñaát thì theá coù daïng theá naøo ? Coøn theá 
naêng 
 ôû gaàn maët ñaát ? 
8. Löïc ly taâm coù theá hay khoâng ? Coù tính ñöôïc theá cuûa löïc ly taâm khi cho moät 
ñôn vò khoái löôïng chuyeån ñoäng troøn vôùi vaän toác goùc ñeàu baèng ω quanh moät taâm 
O treân truïc quay vaø ôû khoaûng caùch ñeán truïc baèng ρ. Coi vò trí khoâng cuûa theá laø 
taâm O. 
 ÑS : V = 
2
1
ω2ρ2 
9. Tính theá vaø löïc haáp daãn cuûa lôùp caàu daày coù baùn kính R vaø r ( R > r ) ñoái vôùi 
moät ñieåm quan saùt beân trong lôùp caàu, ôû caùch taâm caàu moät khoaûng ρ ≤ r. 
 ÑS : V = 2πfδ( R2- r2) = const. 
10. Tröôøng hôïp quan saùt taïi 1 ñieåm beân trong quûa caàu ñaëc ñoàng chaát baùn kính Ro 
thì löïc taùc duïng töông ñöông vôùi löïc cuûa phaàn naøo thuoäc quûa caàu gaây ra ? Löïc 
naøy bieán thieân theo khoaûng caùch ρ töø taâm theo qui luaät, coâng thöùc naøo ? 
11. Tính theá vaø löïc haáp daãn cuûa moät ñóa troøn, moûng baùn kính R, maät ñoä maët laø ε, 
haèng soá haáp daãn laø f. Ñieåm quan saùt naèm treân truïc ñoái xöùng ñi qua taâm O cuûa 
ñóa, caùch taâm ñóa 1 ñoä cao z . Xeùt tröôøng hôïp giôùi haïn : z→0 ( hoaëc R→∞ ). 
 83
 ÑS : V = 2πfε )( 22 zRz −+ ; F = -2πfε 






+
−
22
1
zR
z
 ; Fgh= -2πfε. 
12. AÙp duïng keát quûa baøi toaùn treân, haõy tính löïc haáp daãn cuûa moät lôùp bình nguyeân 
roäng voâ taän, coù ñoä cao H so vôùi maët bieån, maät ñoä khoái ñaát laø δ. Ngöôøi quan saùt 
ôû ñoä cao h so vôùi maët bình nguyeân treân maùy bay tröïc thaêng. 
 ÑS : F = -2πfδH, khoâng phuï thuoäc h. 
13. Tính theá vaø löïc cuûa moät vaønh khuyeân moûng coù caùc baùn kính R > r , maät ñoä maët 
ε, haèng soá haáp daãn f, ñoái vôùi moät ñieåm quan saùt naèm treân truïc ñoái xöùng caùch 
taâm O cuûa vaønh khuyeân moät ñoä cao z. 
 ÑS: V =2πfε )( 2222 rzRz +−+ ; F = -2πfεz 






+
−
+ 2222
11
zRzr
14. Tính löïc haáp daãn cuûa hình truï ñaëc troøn baùn kinh R, beà daøi d, maät ñoä δ. Xeùt 
tröôøng hôïp ñieåm quan saùt ôû taïi truïc ñoái xöùng, caùch maët troøn cuûa hình truï laø h. 
Choïn truïc z höôùng xuoáng. 
 ÑS : F = 2πfδ ( dhdRhR +++−+ 2222 )( ). 
15. Tính theá vaø löïc haáp daãn cuûa oáng truï roãng, maät ñoä maët ε, baùn kính R, daøi d. 
Ñieåm quan saùt naèm treân truïc ñoái xöùng cuûa hình tru taïi ñaàu oángï. 
 ÑS : V = 2πfεRln 





++ 22 Rdd
R ; F = 2πfε 





+
−
22
1
Rd
R 
 19. Giaûi thích yù nghóa cuûa daáu ± trong löïc töø tröôøng : Z = ± 3
2
R
M vaø H = ± 3R
M . 
20. Taïi sao khi tieán tôùi ñieåm C treân maët lôùp ñôn töø ñieåm quan saùt beân ngoaøi A vaø 
ñieåm beân trong B, thì hai giaù trò giôùi haïn cuûa ñaïo haøm theá lôùp ñôn theo phöông l 
naøo ñoù ( laø löïc theo phöông l ) do mieàn ngoaøi ñóa troøn taâm C gaây ra seõ cuøng tieán 
tôùi moät giaù trò quan saùt ngay taïi C ? 
 21. Taïi sao di chuyeån treân maët ñaúng theá thì coâng cuûa tröôøng löïc haáp daãn baèng 0 ? 
 22. YÙ nghóa cuûa tích phaân Gauss ? Khi naøo aâm, khi naøo döông ? 
Chöông II. Caùc coâng thöùc Green. 
1. Coâng thöùc Green cô sôû thöù 2 cho khoâng gian trong khaùc vôùi coâng thöùc Green 
cô sôû thöù 2 cho khoâng gian ngoaøi ôû choã naøo ? 
2. Nhöõng ñieåm gì gioáng nhau vaø khaùc nhau giöõa hai coâng thöùc Green cô sôû vôùi 
coâng thöùc Green cô baûn ? 
3. Haõy so saùnh coâng thöùc Green cho haøm 1/r vaø haøm ñieàu hoøa V vôùi coâng thöùc 
Green cô baûn cho theá khoái V. 
 84
4. Caùc tích phaân sau ñaây ta gaëp ôû ñaâu, suy töø coâng thöùc naøo ? yù nghóa ? 
 a/ 0=∫∫ σddn
dV b/ fMd
dn
dV
piσ 4−=∫∫ 
 c/ σd
rdn
d
∫ 




 1 = -4π d/ 0≥∫∫ σddn
dVV 
5. Coâng thöùc Green cho theá khoái ñoái vôùi tröôøng hôïp ñieåm quan saùt ngoaøi vaø treân 
maët hay ôû choã naøo ? Bieán ñoåi coâng thöùc Green cho theá khoái theo Molodensky 
coù gì ñaëc bieät ? Trong coâng thöùc cuûa Molodensky, sau daáu tích phaân maët coù 
bieåu thöùc (V –V ) 





rdn
d 1 . V laø gì ? Xaùc ñònh trong mieàn naøo ? Coøn V laø gì ? 
6. YÙ nghóa cuûa caùc haèng soá Stokes ? Coâng thöùc Gauss cho pheùp xaùc dònh khoái 
löôïng baèng caùch naøo ? 
7. Coâng thöùc Green cho theá khoái khaùc coâng Green cho haøm ñieàu hoøa ôû choã naøo ? 
8. Naêm coâng thöùc Green sau ñaây thuoäc tröôøng hôïp aùp duïng naøo ? 
 a/ σ
σ
d
rdn
dV
dn
dV
r∫∫ 










−
11 =0 b/ σ
σ
d
rdn
dV
dn
dV
r∫∫ 










−
11 =-4πV 
 c/ σ
σ
d
rdn
dV
dn
dV
r∫∫ 










−
11 = 4πV 
 d/ σ
σ
d
rdn
dV
dn
dV
r∫∫ 










−
11 =-2πV e/ σ
σ
d
rdn
dV
dn
dV
r∫∫ 










−
11 =2πV 
9. Döïng quûa caàu S baùn kính r boïc laáy ñieåm quan saùt P, trong ñoù r = MP – 
khoaûng caùch giöõa ñieåm quan saùt P vaø ñieåm chaïy M trong tích phaân. Cho r→0, 
taïi sao tích phaân khoái theo theå tích τ vaãn giôùi noäi vaø ≠ 0 ? 
 Chöông III. Caùc baøi toaùn bieân. 
1. Taïi sao trong baøi toaùn bieân Dirichlet ngoaøi ta phaûi xaây döïng haøm Green G = 
U
r
+
1 thoûa ñieàu kieän sau ñaây : 1) Ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi vaø treân maët σ 
tröø P ( vì sao ?). 2/ Chính qui ôû ∞. 3/ Baèng 0 treân maët σ ? 
2. Trong baøi toaùn bieân Dirichlet cho maët caàu, haøm Green coù dang G = U
r
+
1 = 
ρ
R
rr '
11
− . Haøm Green naøy coù thoûa ñieàu kieän G = 0 treân maët caàu khoâng ? 
 85
3. Chöùng minh raèng khi baùn kính maët caàu R→∞, thì tích phaân Poisson cho maët 
caàu seõ trôû thaønh coâng thöùc cho maët phaúng : V = ∫∫ 3)''.(2
1
r
df σλθ
pi
. 
 Chöông IV. Haøm caàu vaø caùc tính chaát. 
1. Coâng thöùc coäng haøm caàu ñöôïc ruùt ra qua nhöõng böôùc nhö theá naøo ? 
2. Theá naøo laø haøm caàu chuaån hoùa ? Haõy ruùt ra heä soá chuaån hoùa cho haøm caàu. 
3. Haõy chöùng minh coâng thöùc coäng haøm caàu chuaån hoùa. 
4. Haõy ruùt ra phöông trình tích phaân cho haøm caàu chuaån hoùa. 
5. Haõy chöùng minh tính chaát tröïc giao treân maët caàu cuûa caùc haøm caàu maët 
Yn(θ,λ) vaø Ym(θ,λ). 
6. Haõy ruùt ra heä thöùc tích phaân cho haøm caàu maët. 
7. Khai trieån haøm soá f(θ,λ) thaønh chuoãi haøm caàu. 
 86
 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 
1. S.A SERkEROV. Lyù thuyeát theá haáp daãn vaø theá töø. NXB “ Nedra 
“, Moskva, 1990. 304 tr. 
2. N.P. GROUSHINSKY. Lyù thuyeát hìønh theå Traùi ñaát. NXB “Nauka 
“, Moskva, 1976, 512 tr. 
3. D.V. ZAGREBIN. Troïng löïc lyù thuyeát nhaäp moân. NXB “ Nauka “. 
Leningrad, 1976, 292 tr. 
4. B.P. SHIMBIRIEV. Lyù thuyeát hình theå Traùi ñaát. NXB “ Nedra “, 
Moskva, 1975. 432 tr. 
5. V.S MIRINOV. Giaùo trình troïng löïc thaêm doø. NXB “ Nedra “, 
Leningrad, 1972, 512 tr. 
6. A.N. TIKHONOV. A.A SAMARSKY. Phöông trình toaùn lyù. NXB 
“ Nauka “. Moskva. 1966, 724 tr.