Nghiên cứu phân tích động lực học của kết cấu cầu đường sắt cao tốc

ỏ qua. Vì vậy, mô hình tải trọng di động chỉ
phù hợp với trường hợp khối lượng của hoạt tải là tương đối nhỏ so với kết cấu cầu, và khi chỉ quan
tâm đến ứng xử động của công trình cầu mà không quan tâm xem xét đến ứng xử của đoàn tàu khi
chạy qua.
Hình 3. Mô hình khối lượng di động
Với những trường hợp không thể coi lực quán
tính của đoàn tàu là nhỏ, mô hình khối lượng
di động (moving masses model) (Hình 3) thường
được áp dụng thay cho mô hình tải trọng di động.
Với mô hình này, lực quán tính được xác định cả ở
kết cấu cầu và đoàn tàu trong phân tích dao động
của kết cấu. Tác dụng quán tính của cả dầm và phương tiện chuyển động đã được nghiên cứu sớm
nhất vào năm 1929 bởi Jeffcott [10], sau đó được tiếp tục nghiên cứu bởi Ting và cs. [12], Sadiku và
Leipholz [13], và Stanisic [14]. Tuy nhiên, trong mô hình này ảnh hưởng tương tác giữa đoàn tàu và
cầu cũng chưa được xem xét đến.
Phạm vi của bài báo này chỉ đề cập đến phương pháp phân tích dao động của công trình cầu dưới
tác dụng của đoàn tàu chạy qua sử dụng mô hình tải trọng di chuyển.
2.2. Phương pháp hệ số động lực (dynamic load allowance)
Phương pháp phổ biến được áp dụng trong phân tích kết cấu cầu đường bộ và đường sắt nói chung
là phương pháp pháp hệ động lực (dynamic load allowance). Với phương pháp này, kết cấu cầu được
tiến hành phân tích xác định các ứng xử dưới tác dụng của tải trọng đoàn tàu tĩnh được đặt tại các vị
trí bất lợi nhất trên đường ảnh hưởng. Kết quả được nhân với một hệ số phóng đại động thường được
gọi là hệ số động lực hay hệ số xung kích. Phương pháp này đơn giản và thuận tiện trong quá trình
tính toán nên thường được áp dụng trong phân tích tính toán kết cấu cầu dưới tác dụng của hoạt tải.
Tuy nhiên nhược điểm của nó là không phân tích được ảnh hưởng của hiện tượng cộng hưởng dao
động của cầu dưới tác dụng của tàu đường sắt cao tốc. Do vậy, trong nhiều trường hợp việc áp dụng
phương pháp phân tích hệ số động lực học không đủ đảm bảo an toàn cũng như điều kiện khai thác.
2.3. Phương pháp phân tích theo lịch sử thời gian (time history analysis)
Phương pháp phân tích theo lịch sử thời gian là một phương pháp số được sử dụng để tìm ra lời
giải cho phương trình cân bằng động lực học khi kết cấu chịu tải trọng động. Phương pháp này đưa
ra các ứng xử của kết cấu (như chuyển vị, gia tốc, nội lực, v.v.) trong một khoảng thời gian nhất định
dựa trên các đặc tính động lực học của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng.
4
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Phương trình cân bằng động lực học tổng quát trong phân tích theo lịch sử thời gian được thể hiện
như sau:
[M]u¨(t) + [C]u˙(t) + [K]u(t) = p(t)
trong đó, [M] là ma trận độ cứng; [C] là ma trận giảm chấn; [K] là ma trận độ cứng của kết cấu; p(t)
là vectơ tải trọng động của đoàn tàu; và u(t), u˙(t), u¨ (t) lần lượt là chuyển vị, vận tốc, và gia tốc rung
của kết cấu.
Để xác định được các ứng xử của kết cấu, mục tiêu là giải được hệ phương trình vi phân của hệ
nhiều bậc tự do trên với các điều kiện ban đầu:
u = u(0) và u˙ = u˙(0) tại thời điểm t = 0
Khoảng thời gian được chia nhỏ thành các bước thời gian (time steps), thông thường là cách đều
nhau một khoảng ∆t đủ nhỏ. Tải trọng di động của đoàn tàu tác động lên công trình p(t) được xác
định một cách rời rạc tại các thời điểm ti = i∆t và được ký hiệu tương ứng là pi = p(ti). Các ứng xử
của kết cấu tại cùng thời điểm ti sẽ được xác định và ký hiệu tương ứng là ui = u(ti), u˙i = u(˙ti), và
u¨i = u¨ (ti).
Chu trình phân tích theo lịch sử thời gian được tiến hành lần lượt từ các bước i = 0, 1, 2, 3, . . . để
xác định các ứng xử của kết cấu tại các bước i = 1, 2, 3, 4, . . . Chính vì vậy, các ứng xử của kết cấu tại
thời điểm ban đầu tương ứng với i = 0 là cần thiết để bắt đầu chu trình phân tích tính toán. Các ứng
xử của kết cấu ở bước i + 1 sẽ được xác định từ các ứng xử ở bước i trước đó [15, 16].
Đây cũng là phương pháp phân tích động lực học được chấp thuận áp dụng trong các tiêu chuẩn
thiết kế cầu đường sắt cao tốc trong đó có tiêu chuẩn Eurocodes.
3. Ví dụ áp dụng phương pháp phân tích theo lịch sử thời gian
Ví dụ được áp dụng trong phân tích động lực học là một kết cấu cầu đường sắt cao tốc đang được
liên danh tư vấn TEDI – TRICC - TEDISOUTH đề xuất cho dự án đường sắt cao tốc Bắc Nam – Giai
đoạn nghiên cứu tiền khả thi. Cầu có kết cấu nhịp giản đơn gồm 4 dầm chữ T bê tông cốt thép (BTCT)
dự ứng lực (DƯL) nhịp L = 30 m có mặt đứng và mặt cắt ngang được thể hiện trên Hình 4.
Hình 4. Kết cấu điển hình cầu cạn dầm T nhịp 30 m – Dự án đường sắt tốc độ cao trục Bắc Nam
(giai đoạn Nghiên cứu tiền khả thi) [17]
5
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Cầu được thiết kế với bề rộng 11,9 m, có 2 làn đường sắt cao tốc khổ 1,435 m và tốc độ thiết kế
V = 350 km/h.
Cho đến thời điểm soạn thảo bài báo này, dự án mới đang ở giai đoạn nghiên cứu tiền khả thi,
nhóm tác giả chưa tìm được thông tin và tài liệu nào liên quan đến việc phân tích động lực học của
kết cầu cạn này. Các kết quả phân tích và nghiên cứu của ví dụ này là các phân tích độc lập của nhóm
tác giả, không liên quan đến dự án đường sắt tốc độ cao trục Bắc Nam.
3.1. Mô hình kết cấu cầu
Kết cấu cầu được mô hình bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng phần mềm Midas/Civil
2019 (v1.1) để mô phỏng và phân tích kết cấu. Kết cấu nhịp được mô hình bằng các phần tử thanh
(frames) trong không gian với chiều dài mỗi thanh bằng 0,5 m. Tiết diện của phần tử thanh được sử
dụng là toàn bộ tiết diện của dầm chủ và bản mặt cầu. Gối cầu được mô hình bằng các gối giản đơn.
Mô hình kết cấu trong phần mềm Midas/Civil được thể hiện ở Hình 5. Các đặc tính khối lượng của
kết cấu nhịp được phân bố đều và đặt tại các điểm nút của phần tử thanh. Khối lượng của phần đá
ballast được phân bố đều và đặt tại tâm của đường ray. Khối lượng thể tích của phần đá ballast được
lấy bằng γ = 17 kN/m3, và chiều dày lớp ballast được lấy bằng 0,6 m.
Hình 5. Mô hình phần tử hữu hạn kết cấu cầu dầm T nhịp 30 m – Dự án đường sắt tốc độ cao trục Bắc Nam
(giai đoạn Nghiên cứu tiền khả thi)
3.2. Mô hình đoàn tàu
Theo tiêu chuẩn Eurocodes, phân tích động lực học của cầu đường sắt cao tốc với tốc độ V > 200
km/h được thực hiện với các thông số đặc trưng của chính các đoàn tàu thực tế dự tính sẽ được đưa
vào sử dụng hoặc mô hình các đoàn tàu HSLM với các tuyến đường sắt cao tốc có xét đến khả năng
kết nối giao thông quốc tế. Với cầu có kết cấu nhịp giản đơn và chiều dài L > 7 m, phân tích động lực
học có thể được tiến hành với 10 mô hình đoàn tàu HSLM-A bao gồm từ A1 đến A10 với các thông
số như thể hiện ở Hình 6 và Bảng 1.
Hình 6. Mô hình đoàn tàu HSLM-A [7]
6
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Bảng 1. Các thông số mô hình đoàn tàu HSLM-A [7]
Đoàn tàu Số toa giữa N Chiều dài toa xe D [m] Khoảng cách trục bánh d [m] Tải trọng trục P [kN]
A1 18 18 2 170
A2 17 19 3.5 200
A3 16 20 2 180
A4 15 21 3 190
A5 14 22 2 170
A6 13 23 2 180
A7 13 24 2 190
A8 12 25 2.5 190
A9 11 26 2 210
A10 11 27 2 210
3.3. Kết quả phân tích động lực
a. Phân tích trị riêng (Eigenvalue Analysis)
Trong quá trình tàu chạy qua, kết cấu cầu dao động cưỡng bức với tần số cưỡng bức do đoàn tàu
gây ra. Sau khi đoàn tàu chạy qua, kết cấu cầu dao động tự do với tần số dao động riêng. Do đó, cần
tiến hành phân tích trị riêng để xác định các tần số dao động riêng (natural frequencies), các mode
dao động riêng (eigenmode shapes), và hệ số tham gia khối lượng của kết cấu (mass participantion
factors) ứng với từng mode dao động. Các thông số này phụ thuộc vào dạng kết cấu, sự phân bố khối
lượng, và mức độ chính xác yêu cầu cũng như khả năng tính toán. Sau khi phân tích, cần xác định tần
số dao động uốn và xoắn đầu tiên của kết cấu nhịp để từ đó kiểm tra xem kết cấu cầu có cần tiến hành
phân tích động lực học hay không.
Kết quả phân tích trị riêng của 6 mode dao động đầu tiên được thể hiện trên Bảng 2 và Hình 7,
trong đó mode thứ 1 là dạng dao động uốn dọc đầu tiên, mode thứ 2 là dạng dao động xoắn đầu tiên,
và mode thứ 6 là dao động uốn ngang đầu tiên.
Bảng 2. Tần số dao động và hệ số tham gia khối lượng của 6 mode dao động đầu tiên
Mode
No.
Tần số
[Hz]
Hệ số tham gia khối lượng của kết cấu
(Mass participation factors)
Dx (%) Dy (%) Dz (%) Rx (%) Ry (%) Rz (%)
1 3.911 0 0 79,36 0 0,03 0
2 5.247 0 0 0 77,03 0 0
3 10.489 0 0 0 0 0 0
4 14.855 0 0 0 0 56,61 0
5 15.724 0 0 0 8,53 0 0
6 19.281 0 77 0 0 0 0,03
(a) Eigenmode 1, f1 = 3.911 Hz (b) Eigenmode 2, f2 = 5.247 Hz
7
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
(c) Eigenmode 3, f3 = 10.489 Hz (d) Eigenmode 4, f4 = 14.855 Hz
(e) Eigenmode 5, f5 = 15.724 Hz (f) Eigenmode 6, f6 = 19.281 Hz
Hình 7. Sáu mode dao động đầu tiên của kết cấu nhịp
b. Kiểm tra yêu cầu phân tích động lực học
Việc xác định xem kết cấu cầu có cần thiết phải phân tích động lực học hay không được tiến hành
theo sơ đồ trình bày ở Hình 1. Trình tự kiểm tra với các thông số của ví dụ cầu đường sắt cao tốc lần
lượt như sau:
- Tốc độ khai thác tối đa V = 350 km/h > 200 km/h;
- Kết cấu nhịp giản đơn có L = 30 m < 40 m;
- nT/n0 = 1,35 > 1,2;
- v/n0 = 24,86 > (v/n0)lim = 18,33.
Kết luận: Phân tích động lực học là cần thiết để xác định gia tốc trên mặt cầu và hệ số xung kích
với mô hình đoàn tàu HSLM-A (theo Điều 6.4.6 - Ghi chú 4 – EN 1991-2:2003 [7]).
c. Phân tích theo lịch sử thời gian (time history analysis)
Theo tiêu chuẩn Eurocodes [7] khi tiến hành phân tích động theo lịch sử thời gian, tác động của
tải trọng đoàn tàu tác dụng lên mô hình có thể áp dụng mô hình tải trọng tập trung di động và được
mô hình thành các chuỗi tải trọng thay đổi theo thời gian đặt tại các điểm nút ở vị trí tâm đường ray.
Các hàm lực tác dụng lên các điểm nút sẽ được xây dựng với các giá trị tương ứng với thời gian, vận
tốc chuyển động và khoảng cách giữa hai nút liên tục trên mô hình.
Nguyên tắc xây dựng hàm tải trọng trên một nút thứ i của mô hình khi trục bánh xe di chuyển trên
2 phần tử có chứa nút i sẽ chuyển thành 2 lực theo tỷ lệ giữa khoảng cách của điểm đặt lực tới nút chia
cho chiều dài phần tử mà tải trọng đang di chuyển qua. Nguyên tắc xây dựng hàm tải trọng tác dụng
lên 2 nút thứ i và i + 1 của mô hình được mô tả trên Hình 8. Ví dụ về hàm tải trọng tác dụng lên hai
nút 1 ở vị trí đầu dầm và nút 10 ở cách nút 1 là 5 m trong mô hình được thể hiện trên Hình 9. Giá trị
biên độ của tải trọng được lấy bằng tải trọng trục bánh xe.
Để tiến hành phân tích động học của cầu đường sắt bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng
phương pháp phân tích theo lịch sử thời gian, hai thông số quan trọng có ảnh hưởng đến kết quả phân
tích của mô hình là bước thời gian ∆t và hệ số cản nhớt áp dụng cho mô hình. Hệ số cản nhớt theo
tiêu chuẩn Eurocodes [7] có thể giả thiết = 1,0% với cầu bê tông cốt thép ứng suất trước có nhịp lớn
hơn 20 m. Bước thời gian ∆t thông thường càng nhỏ sẽ cho kết quả tính toán chính xác hơn, tuy nhiên
thời gian tính sẽ lâu hơn. Theo khuyến cáo của Viện nghiên cứu đường sắt Châu Âu (ERRI) [18], giá
trị này nên lấy nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất trong 4 đại lượng:
h1 = 1/ (8 fmax) ; h2 = Lmin/(200v); h3 = Lmin/(4nv); h4 = 0,001 s
8
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
trong đó fmax là tần số dao động lớn nhất được sử dụng trong phân tích theo mode dao động (modal
analysis), n là số mode dao động được sử dụng trong phân tích, v là vận tốc của đoàn tàu. Trong ví dụ
này sử dụng bước thời gian ∆t = 0,001 s trong phân tích tính toán.
Hình 8. Nguyên tắc thiết lập hàm tải trọng theo thời gian cho các nút thứ i và i + 1 [19]
Hình 9. Minh họa xây dựng hàm tải trọng tác dụng lên nút 1 và nút 10 với vận tốc v = 350 km/h
trong 1 s đầu tiên
Hệ số cản nhớt có ảnh hưởng lớn đến việc tính toán chuyển vị và gia tốc cực đại của mặt cầu.
Theo tiêu chuẩn Eurocodes EN 1991-2:2003 Bảng 6.6, với kết cấu cầu bê tông cốt thép dự ứng lực có
nhịp L = 30 m, hệ số cản nhớt được lấy ζ = 1,0%.
d. Kết quả phân tích
Phân tích động lực học được tiến hành với 10 đoàn tàu HSLM-A1÷A10. Với mỗi mô hình đoàn
tàu, tiến hành phân tích ở các tốc độ khác nhau từ 140 km/h (xấp xỉ 40 m/s là tốc độ nhỏ nhất cần tiến
hành phân tích động theo Eurocodes) đến 420 km/h (bằng 1,2 lần tốc độ thiết kế Vtk = 350 km/h theo
Eurocodes) với các bước là 5 km/h. Một số kết quả phân tích dao động của cầu tại vị trí giữa nhịp
dưới tác dụng của hoạt tải đoàn tàu HSLM-A1 và A10 được thể hiện trên Hình 10.
9
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
(a) Độ võng tại vị trí giữa nhịp (b) Độ võng tại vị trí giữa nhịp
(c) Gia tốc tại vị trí giữa nhịp (d) Gia tốc tại vị trí giữa nhịp
Hình 10. Gia tốc và Độ võng tại vị trí giữa nhịp dưới tác dụng của đoàn tàu HSLM-A1 và A10 chạy qua với vận
tốc V = 200 km/h và 365 km/h
Qua kết quả phân tích, có thể thấy với các tốc độ khác nhau của đoàn tàu khi chạy qua, nếu không
gây ra hiện tượng cộng hưởng, ứng xử dao động của kết cấu nhịp có thể chia làm 4 giai đoạn. Giai
đoạn 1 khi các trục đầu tiên của đoàn tàu chạy vào cầu, chuyển vị tại giữa nhịp và gia tốc của mặt cầu
đạt giá trị lớn. Giai đoạn 2 khi các toa tàu khác chạy tiếp vào cầu, kết cấu nhịp dao động ở gia tốc thấp
hơn và chuyển vị cũng nhỏ hơn. Giai đoạn 3, khi toa cuối chạy qua cầu, ứng xử của kết cấu nhịp gần
giống giai đoạn 1. Giai đoạn 4, sau khi toàn bộ các toa tàu chạy qua cầu, kết cấu tiếp tục dao động với
chuyển vị và gia tốc giảm dần như hệ dao động tự do tắt dần.
Tuy nhiên, khi đoàn tàu chạy qua với tốc độ gần tốc độ nguy hiểm có khả năng gây nên dao động
cộng hưởng với kết cấu nhịp, ứng xử của kết cấu có sự thay đổi rõ rệt. Giá trị chuyển vị và gia tốc của
mặt cầu tăng dần từ khi toa tàu đầu tiên chạy vào cầu và đạt giá trị cực đại khi toa tàu cuối chạy vào
cầu. Sau khi toàn bộ các toa tàu chạy qua cầu, kết cấu dao động tự do tắt dần.
Sau khi phân tích động, giá trị gia tốc cực đại theo phương đứng trên mặt cầu cần được kiểm tra
so sánh với yêu cầu tới hạn nhằm đảm bảo ổn định cho nền đá ballast và đảm bảo cho bánh của đoàn
10
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
tàu luôn tiếp xúc với đường ray. Giá trị gia tốc mặt cầu tới hạn theo Tiêu chuẩn Eurocodes không vượt
quá 3,5 m/s2 với cầu sử dụng nền đá ballast. Kết quả đường bao gia tốc mặt cầu với các tốc độ tàu
khác nhau của 10 đoàn tàu HSLM-A1 đến A10 được thể hiện trên Hình 11.
Hình 11. Biểu đồ đường bao gia tốc theo tốc độ di chuyển ứng với 10 mô hình tải trọng HSLM-A1 đến A10
Từ biểu đồ đường bao gia tốc mặt cầu (Hình 11) có thể thấy, với các đoàn tàu có chiều dài khoang
cũng như khoảng cách các trục của giá chuyển hướng nhỏ gia tốc mặt cầu nhỏ hơn giá trị khuyến cáo
của Tiêu chuẩn Eurocodes với mọi tốc độ của đoàn tàu từ 140 – 420 km/h. Với các đoàn tàu có chiều
dài khoang lớn hơn (tàu A5-A10), khi tốc độ của đoàn tàu > 300 km/h hiện tượng cộng hưởng xảy
ra làm cho gia tốc của mặt cầu tăng đột ngột và vượt qua giá trị gia tốc giới hạn khuyến cáo là 3,5
m/s2. Khi đó, một số giải pháp có thể đưa ra như, tiến hành các phân tích động lực học chính xác hơn
có xét đến tương tác giữa cầu và tàu (train-bridge interaction); hạn chế tốc độ thiết kế của đoàn tàu
xuống dưới 250 km/h (khi đó Vmax = 1,2Vtke = 300 km/h); hoặc tăng độ cứng của kết cấu nhịp bằng
cách như tăng chiều cao của dầm chủ để đưa vận tốc gây ra cộng hưởng ra ngoài phạm vi khai thác và
thiết kế.
4. Kết luận
Bài báo trình bày một số phương pháp phân tích động lực học của kết cấu cầu đường sắt cao tốc
được áp dụng theo tiêu chuẩn Eurocode (bộ tiêu chuẩn được tham khảo chính của tiêu chuẩn thiết
kế cầu đường sắt của Việt Nam đang được biên soạn), trong đó tập trung vào trình bày phương pháp
phân tích trực tiếp theo lịch sử thời gian (time history analysis) để phân tích ứng xử động lực học của
kết cấu cầu đường sắt cao tốc khi có đoàn tàu chạy qua. Phương pháp phân tích này sau đó được áp
dụng vào một ví dụ tính toán cụ thể là một kết cấu cầu đường sắt cao tốc đang được liên danh tư vấn
TEDI – TRICC - TEDISOUTH đề xuất cho dự án đường sắt cao tốc Bắc Nam.
Qua kết quả phân tích, có thể thấy đối với đường sắt cao tốc, các thông số tải trọng, kích thước và
tốc độ của đoàn tàu có ảnh hưởng lớn và trực tiếp đến dao động của kết cấu nhịp. Trong nhiều trường
hợp, việc sử dụng phương pháp phân tích tĩnh kết hợp với hệ số xung kích không đảm bảo đưa ra được
các giá trị bao cho các hiệu ứng cực đại trong kết cấu. Đặc biệt phương pháp phân tích tĩnh không
11
Hòa, P. D., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
phản ảnh được ứng xử của kết cấu khi xảy hiện tượng cộng hưởng. Khi đó việc tiến hành phân tích
dao động của công trình là bắt buộc.
Phương pháp phân tích động lực học theo lịch sử thời gian (time history analysis) được minh họa
qua bài báo và áp dụng trong một ví dụ cụ thể cho thấy phương pháp này có khả năng phân tích ứng
xử của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng di động của đoàn tàu; phân tích được ứng xử của kết cấu khi
xảy ra hiện tượng cộng hưởng; từ đó giúp điều chỉnh thiết kế để đáp ứng các yêu cầu của tiêu chuẩn
cũng như khai thác.
Tài liệu tham khảo
[1] Yan, B., Dai, G.-L., Hu, N. (2015). Recent development of design and construction of short span high-
speed railway bridges in China. China Engineering Structures, 100:707–717.
[2] The International Union of Railways (UIC) (2018). High Speed Rail: Fast Track to Sustainable Mobility.
UIC Passenger Department.
[3] Hùng, T. V., Sơn, V. T. (2020). Một số vấn đề mới trong tính toán thiết kế cầu nhịp nhỏ và vừa cho đường
sắt cao tốc. Tạp chí Giao thông vận tải, (12):68–72.
[4] Yang, Y.-B., Wu, Y. S., Yao, Z. (2004). Vehicle-bridge Interaction Dynamics: With Applications to High-
speed Railways. World Scientific.
[5] He, X., Wu, T., Zou, Y., Chen, Y. F., Guo, H., Yu, Z. (2017). Recent developments of high-speed railway
bridges in China. Structure and Infrastructure Engineering, 13(12):1584–1595.
[6] Zhou, E., Hu, S., Ke, Z., Niu, B. (2012). Consideration for Development of High-Speed Rail Bridge
Design Standards. Proceeding of AREMA 2012 Annual Conference.
[7] BS EN 1991-2:2003. Eurocode 1: Actions on structures - Part 2: Traffic loads on bridges. BSI (British
Standards Institution)/CEN (European Committee for Standardization).
[8] BS EN 1990:2002. Eurocode - Basis of structural design. BSI (British Standards Institution)/CEN
(European Committee for Standardization).
[9] Timoshenko, S. P. (1922). On the forced vibrations of bridges. The London, Edinburgh, and Dublin
Philosophical Magazine and Journal of Science, 43(257):1018–1019.
[10] Jeffcott, H. H. (1929). On the vibration of beams under the action of moving loads. The London, Edin-
burgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 8(48):66–97.
[11] Frỳba, L. (1972). Vibration of solids and structures under moving loads. Noordhoff International Pub-
lishing, Groningen, The Netherlands.
[12] Ting, E. C., Genin, J., Ginsberg, J. H. (1974). A general algorithm for moving mass problems. Journal
of Sound and Vibration, 33(1):49–58.
[13] Sadiku, S., Leipholz, H. H. E. (1987). On the dynamics of elastic systems with moving concentrated
masses. Ingenieur-Archiv, 57(3):223–242.
[14] Stanisˇic´, M. M. (1985). On a new theory of the dynamic behavior of the structures carrying moving
masses. Ingenieur-Archiv, 55(3):176–185.
[15] Chopra, A. K. (2007). Dynamics of structures. theory and applications to. Pearson Prentice Hall.
[16] Gore, P., Gohil, N., Bharathi, S., Dhara, S., Jadhav, P. (2017). Structural Analysis II. MIDAS Research &
Development Centre India.
[17] Liên danh tư vấn TEDI-TRICC-TEDIS (2019). Báo cáo nghiên cứu tiền khả thi Dự án đường sắt tốc độ
cao trên trục Bắc - Nam.
[18] ERRI D214 (e) (1999). Ponts-Rails pour vitesses > 200 km/h; Final report - Part B: Proposition de fiche
UIC 776-2R. European Rail Research Institute (ERRI).
[19] Alfaras, P. (2018). Dynamic Analysis of High Speed Rail Bridges (HS2).
12