Tài liệu Giải toán trên máy tính với Maple - Trần Công Mẫn (Phần 1)

 danh sách các giá trị 
hoặc một đa thức 
 (, -) , - 
 ( ) 
seq: tạo ra một số hoặc dãy các biểu 
thức 
 ( ) 
 ( ) 
map: áp dụng hàm vào từng thành 
phần của biểu thức 
zip: áp dụng một phép toán hai ngôi 
đến các thành phần của 2 danh sách 
iquo: dùng để tính thương của 2 số 
nguyên. 
 ( , -) , ( ) ( ) ( )- 
 ( , - , -)
 , - 
13 Giải toán trên máy tính với Maple 
indets: tìm các thành phần không xác 
định của biểu thức. Nếu sử dụng 
thêm tùy chọn `name` thì hàm này 
chỉ trả về danh sách các biến. 
 ( ) * + 
Ở đây, biểu thức cũng được xem là không xác 
định. 
 ( ) * + 
1.3.2. Các gói lệnh (packages) 
Các gói lệnh là nơi chứa các lệnh. Maple đã xây dựng rất nhiều các gói lệnh khác nhau 
thuộc từng các lĩnh vực của toán học. Thông thường, để dùng một lệnh ta phải biết gói 
lệnh chứa nó và gọi gói lệnh ra trước bằng một trong hai cách sau: 
 Dùng lệnh: with(); 
 Từ menu Tools chọn Load Package và chọn gói lệnh cần dùng. 
Bảng sau giới thiệu một số gói lệnh thường sử dụng: 
Gói lệnh Mục đích 
CodeGeneration công cụ để dịch các đoạn mã Maple thành các ngôn ngữ 
khác 
combinat các hàm tổ hợp, bao gồm các lệnh cho việc tính toán liên 
quan đến toán tổ hợp 
DEtools chứa các hàm liên quan đến việc tính toán, giải và vẽ đồ thị 
của các phương trình vi phân 
LinearAlgebra chứa các lệnh liên quan đến Đại số tuyến tính 
Optimization gồm các lệnh liên quan đến các bài toán tối ưu toán học 
plots chứa các lệnh về vẽ đồ thị hàm số 
plottools chứa các lệnh liên quan đến dạng hình học của các vật thể 
Statistics công cụ cho thống kê và phân tích dữ liệu 
StringTools các lệnh dùng thao tác trên chuỗi ký tự 
Student Chứa các gói lệnh: Caculus1, LinearAlgebra, 
MultivariateCaculus, NumericalAnalysis, Precaculus, 
VectorCaculus. 
Các gói lệnh này phục vụ cho việc tính toán cơ bản trong 
chương trình học của sinh viên. 
Chương 1. Giới thiệu 14 
1.4. Hệ thống trợ giúp của Maple 
Maple cung cấp một hệ thống trợp giúp hơn 5000 trang tham khảo. Hệ thống trợ giúp là 
một nguồn tài nguyên phong phú giúp ta học các cú pháp lệnh của Maple và các thuộc 
tính của nó. 
Để vào hệ thống trợ giúp của Maple ta chọn menu Help\Maple Help hoặc nhấp chuột 
vào biểu tượng trên thanh công cụ. Ngoài ra, để tra cứu một lệnh nào đó của Maple ta 
có thể thực hiện nhanh trên giao diện làm việc bằng cách đặt con trỏ tại lệnh cần tra cứu 
và nhấn phím F2 hoặc dùng lệnh: ?, ví dụ: ?fsolve rồi nhấn Enter. 
Mỗi trang trợ giúp gồm danh sách các lệnh, các tham số và mô tả về lệnh, ngoài ra còn có 
các ví dụ ở cuối trang. Một số trang còn chứa các liên kết đến các trang trợ giúp khác có 
liên quan và liên kết đến các định nghĩa từ điển. 
Bảng sau mô tả một số biểu tượng thường thấy ở các trang trợ giúp: 
15 Giải toán trên máy tính với Maple 
Biểu tượng (icon) Mô tả 
Biểu tượng thư mục trong Table of Contents chỉ ra rằng có thể mở 
rộng chủ đề này để đến các chủ đề chứa trong nó. 
Biểu tượng này chỉ đến một trang trợ giúp và hiển thị các trang trợ 
giúp liên quan ở bên phải khi được chọn 
Biểu tượng này chỉ đến một trang ví dụ. Trang ví dụ này sẽ được mở 
trong một tab mới ở trong màn hình soạn thảo. 
Biểu tượng chỉ đến một định nghĩa và hiển thị các định nghĩa liên 
quan ở bảng bên phải khi được chọn. 
Biểu tượng này chỉ đến một hướng dẫn sử dụng. Hướng dẫn sử dụng 
sẽ được mở trong một tab mới ở màn hình soạn thảo. 
Chương 1. Giới thiệu 16 
17 Giải toán trên máy tính với Maple 
Chương 2 
CÁC TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRÊN MAPLE 
2.1. Các tính toán cơ bản trong Giải tích 
2.1.1. Các tính toán số học 
Maple có thể được sử dụng như một máy tính điện tử thông thường. Nó có thể tính toán 
đến chữ số nguyên (điều này phụ thuộc vào tốc độ và bộ nhớ của máy tính). Đối với 
những số mà độ dài của nó quá chiều dài của màn hình thì Maple sẽ dùng ký hiệu “\” để 
biểu diễn tính liên tục của dãy số. Ví dụ: 
107150860718626732094842504906000181056140481170553360744375038837\
035105112493612249319837881569585812759467291755314682518714528569\
231404359845775746985748039345677748242309854210746050623711418779\
541821530464749835819412673987675591655439460770629145711964776865\
42167660429831652624386837205668069376 
100!= 
933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952\
175999932299156089414639761565182862536979208272237582511852109168\
64000000000000000000000000 
length(%)=158 (hàm này cho kết quả là số chữ số của biểu thức trước đó). 
Một số hàm thường sử dụng khi tính toán trên các số nguyên: 
Tên hàm Công dụng 
abs tính giá trị tuyệt đối của một biểu thức 
factorial (hoặc !) tính giai thừa của một số nguyên 
iquo tìm thương trong phép chia nguyên 
irem tìm phần dư trong phép chia nguyên 
iroot tính xấp xỉ căn nguyên của một số nguyên 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 18 
isqrt tính xấp xỉ căn bậc 2 của một số nguyên 
max, min cho ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một tập các số 
mod tính đồng dư số học 
ifactor phân tích số nguyên ra thành các thừa số nguyên tố 
isprime kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên 
Mặt khác, Maple có thể tính toán xấp xỉ các hằng số đặc biệt hoặc các biểu thức đến sai số 
mà người sử dụng mong muốn. Ví dụ: 
 (lấy giá trị xấp xỉ mặc định là 10 chữ số sau dấu phẩy) 
Ta có thể cài đặt lại mặc định số chữ số sau dấu phẩy bằng lệnh: 
Hoặc thêm tùy chọn cho lệnh evalf để được giá trị đến số chữ số mong muốn: 
 [ ] 
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923\
07816406286208998628034825342117068 
 (hàm được viết bằng exp(x)) 
Ngoài ra, Maple còn tích hợp nhiều hàm mà một máy tính thông thường không có. Ví dụ: 
 Cho ra 100 số nguyên tố đầu tiên 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 
97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 
181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 
277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 
487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541 
nops([%]) = 100 (hàm này cho kết quả là số phần tử của dãy số trước đó) 
 Tìm ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên 
19 Giải toán trên máy tính với Maple 
 Các hàm trên số nguyên tố 
 (cho ra số nguyên tố thứ 100) 
 (cho ra số nguyên tố liền sau số 1000) 
 (cho ra số nguyên tố liền trước số 1000) 
 Tính toán với modulo 
 Chuyển đổi giữa các cơ số và đơn vị 
 (chuyển sang hệ nhị phân) 
 (chuyển sang hệ bát phân) 
 (chuyển sang hệ thập lục phân) 
 (
 ) s 
2.1.2. Tính toán trên biểu thức 
Maple cung cấp một bộ công cụ khá đầy đủ để làm việc với các biểu thức toán học. Về 
mặt tính toán ta có thể khai triển biểu thức, rút gọn biểu thức, phân tích biểu thức nhân 
tử,... hoặc có thể chuyển biểu thức thành những cấu trúc khác đã được định nghĩa trong 
Maple. 
a. Khai triển biểu thức 
Để khai triển biểu thức ta dùng hàm expand(). Ví dụ: 
 ( 
) 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 20 
 .
/ 
 ( ) (khai triển theo thừa số (x+1) 
b. Tập hợp các thành phần của biểu thức 
Khi muốn tập hợp các thành phần của một biểu thức thành từng nhóm theo một biến nào 
đó ta sử dụng hàm collect(). Ví dụ: 
restart; 
Ta không thể dùng hàm collect() để gom theo tổng hoặc tích. Ví dụ: 
21 Giải toán trên máy tính với Maple 
Error, (in collect) cannot collect x*y 
Tuy nhiên, có thể nhóm biểu thức theo nhiều biến cùng một lúc. Ví dụ: 
 [ ] (nhóm theo x trước rồi sau đó theo y) 
 ( ) 
 [ ] (nhóm cùng lúc theo xy) 
c. Phân tích biểu thức thành nhân tử 
Để phân tích biểu thức thành nhân tử ta sử dụng hàm factor(). Ví dụ: 
Lưu ý rằng tùy vào các hệ số của biểu thức mà hàm factor() cho các kết quả khác nhau. 
 (√ ) 
√ √ √ √ √ √ 
 √ ( √ ) ( √ ) 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 22 
 ( √ ) (phân tích theo √ ) 
 ( √ )( √ ) 
 ( ,√ √ -) 
( √ ) √ ( √ ) √ 
d. Đưa biểu thức về dạng chuẩn 
Dạng chuẩn thu gọn của một biểu thức có dạng thương là dạng mà tử số và mẫu số là các 
đa thức hệ số nguyên nguyên tố cùng nhau. Để đưa một biểu thức về dạng chuẩn ta dùng 
hàm normal(). Ví dụ: 
 ( 
) 
 (tử và mẫu ở dạng khai triển) 
 ([ ( 
)] ) (chuẩn hóa danh sách biểu thức) 
[
 ] 
23 Giải toán trên máy tính với Maple 
e. Đơn giản biểu thức 
Để thu gọn một biểu thức ta dùng hàm simplify(). Ví dụ: 
 ( 
 ) 
Nếu muốn áp dụng một số quy tắc đặc biệt của lượng giác, logarit, hay lũy thừa, mũ thì ta 
phải chỉ rõ cho Maple biết. Ví dụ: 
 (trig là viết tắc của từ trigonometric) 
 √ 
| | 
f. Sắp xếp lại biểu thức 
Để sắp xếp một danh sách hoặc một biểu thức ta dùng hàm sort(). Theo mặc định, hàm 
này sẽ sắp xếp các phần tử của một dãy hoặc một danh sách theo thứ tự tăng dần và sắp 
xếp các thành phần của các đa thức theo thứ tự giảm dần. Ví dụ: 
 ; 
 [ ] 
 [ ] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 24 
g. Thay thế giá trị vào biểu thức 
Ta có thể thay giá trị biến vào một biểu thức đại số bằng hàm subs(). Ví dụ: 
 . 
√ 
/ 
√ 
h. Chuyển đổi dạng của biểu thức 
Để chuyển biểu thức về một dạng khác đã được định nghĩa trong Maple ta sử dụng hàm 
convert(). Ví dụ: 
 [ ] 
 [ ] 
 (
 ) (
√ 
 ) 
2.1.3. Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình 
a. Lệnh solve 
 Giải phương trình 
 √ 
 √ 
 [ ] (lấy nghiệm thứ nhất) 
25 Giải toán trên máy tính với Maple 
 √ 
 .
 / 
(giải phương trình theo c xem a, b là các tham số) 
2 
3 2 
3 
Chú ý: 
- Với các phương trình lượng giác hoặc các phương trình có họ nghiệm thì thông 
thường Maple không hiển thị hết các nghiệm. Muốn hiển thị toàn bộ họ nghiệm ta 
phải sử dụng thêm lệnh _ trước khi dùng lệnh solve. 
- Đối với những phương trình mà không thể biểu diễn nghiệm một cách tường 
minh, Maple thường biểu diễn nghệm dưới dạng biểu thức RoofOf. 
 ( 
) ( 
) 
_ 
 [ ] 
[[x = RootOf(_Z^4-_Z^3+1, index = 1)], [x = RootOf(_Z^4-_Z^3+1, index = 2)], [x 
 = RootOf(_Z^4-_Z^3+1, index = 3)], [x = RootOf(_Z^4-_Z^3+1, index = 4)]]
[[x = 1.01891279438516+.602565419998599*I], [x = -
.518912794385156+.666609844932019*I], [x = -.518912794385156-
.666609844932019*I], [x = 1.01891279438516-.602565419998599*I]] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 26 
 Giải hệ phương trình 
 Giải bất phương trình 
 : 
 { 
} 
b. Lệnh fsolve 
Lệnh này tương tự lệnh solve nhưng nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình được 
hiển thị ở dạng số thực. Lệnh này không dùng để giải bất phương trình. 
27 Giải toán trên máy tính với Maple 
c. Lệnh isolve 
Nếu muốn tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình ta sử dụng lệnh 
isolve. Trong trường hợp phương trình không có nghiệm nguyên thì lệnh này sẽ không 
hiển thị kết quả. 
(phương trình trên không có nghiệm nguyên nên kết quả là NULL) 
{ √ √ } 
d. Lệnh rsolve 
Để tìm công thức nghiệm của các phương trình truy hồi ta sử dụng lệnh rsolve. Ví dụ: 
( ) ( ) 
 (
) 
 ( ) 
{
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 28 
2.1.4. Hàm số, giới hạn 
a. Định nghĩa hàm số 
Để định nghĩa hàm số ta nhập vào như sau: 
Dấu mũi tên được nhập vào bằng 2 phím: phím dấu trừ - và phím >. Maple xem hàm số 
như là một dạng đặc biệt của một chu trình (procedure). Do đó, nó phân biệt rất rõ giữa 
định nghĩa một hàm số và định nghĩa một biểu thức. Xét ví dụ sau: 
 (f là một hàm số) 
 (g là một biểu thức) 
Các hàm nhiều biến số, hàm vector cũng được định nghĩa tương tự: 
29 Giải toán trên máy tính với Maple 
b. Hợp của các hàm số 
Trong Maple, ký hiệu dùng để chỉ phép toán hợp của các hàm số. Nhắc lại rằng nếu f, g 
là các hàm số thì phép hợp được định nghĩa: 
 √ 
√ 
√ 
Đặc biệt, toán tử @@ chỉ phép hợp của cùng một hàm số. Do đó, cho kết 
quả là và cho kết quả là ( ( )). 
c. Giới hạn hàm số 
Để tính giới hạn ta sử dụng công thức hoặc có thể dùng 
bảng công thức Expression. Nếu thay chữ limit bằng Limit thì ta nhận được công thức 
hình thức của giới hạn. Nếu muốn tính các giới hạn trái, phải thì ta phải thêm vào công 
thức tùy chọn left hoặc right. 
 .
 / 
4 
 (
 ) 
1 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 30 
 (
 ) 
 (
 ) 
Hàm limit cũng được dùng để tính giới hạn của hàm nhiều biến. Tuy nhiên việc tính toán 
sẽ phức tạp hơn vì không phải giới hạn nào Maple cũng cho kết quả. Với những giới hạn 
mà Maple không hiển thị kết quả thì ta nên sử dụng thêm một số lệnh để có thể nhận được 
gợi ý giải hoặc kết quả. 
 .
 / 
-1 
 +y^2): 
√ 
Thử tính giới hạn lặp theo từng biến: 
0 
(các kết quả trên cho ta gợi ý về việc chứng minh giới hạn cần tính bằng 0) 
31 Giải toán trên máy tính với Maple 
(có thể kết luận rằng giới hạn 
 không tồn tại) 
2.1.5. Đạo hàm 
a. Đạo hàm 
Maple có thể tìm đạo hàm của hàm một biến hoặc nhiều biến. Để tìm đạo hàm của hàm 
 ta dùng lệnh , nếu ta dùng lệnh thì kết quả nhận được là công 
thức hình thức của đạo hàm. 
√ 
Đạo hàm cấp 2 được tính bằng công thức , với đạo hàm cấp n thì công 
thức sẽ là . Đạo hàm riêng của các hàm nhiều biến cũng sử dụng công 
thức tương tự. 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 32 
Ngoài ra, Maple cũng sử dụng toán tử D để tính đạo hàm. 
D(g) 
b. Cực trị 
Maple có thể tìm cực trị của một số hàm một biến hoặc nhiều biến. Có 3 cách cơ bản: (1) 
sử dụng hàm và , (2) dùng hàm , (3) sử dụng các gói lệnh 
về tối ưu (Optimization). Với cách (1) ta xét các ví dụ sau: 
 {[{ 
} 
]} 
 (| 
| ) 
0 
33 Giải toán trên máy tính với Maple 
Với cách (2) ta sử dụng hàm extrema có cú pháp: 
trong đó: f là hàm số (hoặc biểu thức), là các ràng buộc, là 
các biến và s là tập hợp các điểm cực trị. 
{ 
} 
2 { 
√ 
} { 
√ 
}3 
 [ ] 
0 
 [ ] 
c. Giải phương trình vi phân 
Để giải phương trình vi phân thường ta sử dụng lệnh . 
 √ √ 
Nếu bài toán có điều kiện ban đầu: 
 √ 
 √ 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 34 
Giải hệ phương trình vi phân: 
 [ ] 
 [ ] 
d. Khai triển Taylor 
Để tìm khai triển Taylor đến cấp n của hàm số tại điểm ta dùng lệnh: 
Nếu muốn tìm hệ số của một số hạng trong khai triển Taylor ta dùng lệnh coeff. 
 (tìm hệ số của trong khai triển trên) 
-11 
2.1.6. Tích phân 
a. Tích phân hàm một biến 
Để tìm nguyên hàm hoặc tích phân xác định của hàm số ta sử dụng lệnh int. Giống 
như các lệnh trước đây, lệnh Int sẽ cho ra công thức hình thức của tích phân. 
35 Giải toán trên máy tính với Maple 
∫ 
∫ 
∫√ 
 ([ 
] [
] ) 
 (tính giá trị xấp xỉ của tích phân) 
1.064088379 
Lệnh int cũng được dùng để tính tích phân suy rộng: 
∫ 
 √ 
 (
 ) (
 ) 
∫
Ngoài ra, các kỹ thuật tích phân như đổi biến số hoặc tích phần từng phần cũng được 
Maple tích hợp trong gói lệnh IntegrationTool. 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 36 
∫
√ 
∫ 
√ 
√ 
√ 
∫ 
 ∫ 
 ∫ 
b. Tích phân bội 
Với tích phân 2 lớp, 3 lớp của hàm nhiều biến ta có thể sử dụng lệnh int lặp 2 lần, 3 lần 
hoặc sử dụng lệnh trong gói lệnh Student[MultivariateCalculus]. 
∫ ∫ 
√ 
∫ ∫ 
√ 
Thử đổi lại cận lấy tích phân: 
37 Giải toán trên máy tính với Maple 
∫∫ 
 [ ] : 
∫ ∫ 
√ 
∫ ∫ ∫ 
 [ ] 
∫ ∫ 
 [ ] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 38 
 [ ] 
c. Tích phân đường, tích phân mặt 
Để tính tích phân đường ta dùng lệnh trong gói lệnh Student[VectorCalculus]. 
 [ ] 
 ( [ ] ) 
√ 
 [ ] 
∫ √ 
 ∫ 
√ 
 ( [ ] ) 
2 
 ( [ ] ) 
Với tích phân mặt, ta dùng lệnh . 
 [ ] 
 [ ] 
 ] 
 [ ] 
39 Giải toán trên máy tính với Maple 
∫∫ 
 ∫∫ 
∫∫ 
 [ ] [ ] 
√ 
2.2. Các tính toán cơ bản trong Đại số tuyến tính 
Đại số tuyến tính là một trong những môn học cơ sở của sinh viên các ngành tự nhiên. 
Với lĩnh vực này, Maple đã xây dựng một gói công cụ tương đối hoàn thiện gồm các lệnh 
từ tính toán cơ bản đến nâng cao là LinearAlgebra. Trước khi làm việc với các đối tượng 
trong Đại số tuyến tính ta phải gọi gói lệnh: 
 hoặc [ ] 
2.2.1. Ma trận, vectơ 
Ma trận và vectơ có thể được tạo ra dễ dàng bởi bảng Matrix ở phía bên trái màn hình 
soạn thảo. Trong trường hợp không sử dụng bảng trên ta có thể tạo ma trận, vectơ bằng 
các lệnh sau: 
 [[ ] [ ]] 
*
+ 
 | | 
*
+ 
 [ ] 
[
] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 40 
*
+ 
[
] 
Hoặc: 
[
] 
 [[ ] [ ]] 
*
+ 
[
] 
 [ ] 
[
] 
[
] 
 [ ] [ ] 
[ ] 
 | | 
[ ] 
Để tham chiếu đến các phần tử nằm ở hàng i và cột thứ j của ma trận A ta dùng công thức 
A[i,j]. Đặc biệt ta có thể trích ra các ma trận con từ ma trận ban đầu. Chú ý rằng Maple 
phân biệt rất rõ giữa cấu trúc vector và ma trận cột mặc dù cách hiển thị là như nhau. 
41 Giải toán trên máy tính với Maple 
[
] 
 [ ] 
 [ ] 
*
+ 
 [ ] 
[
] 
[
] 
Ngoài ra, các ví dụ sau cho ta một số cách tạo ma trận khá thú vị: 
* 
+ 
[
] 
[
] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 42 
Lệnh tạo ma trận M các số nguyên tố như trên tương đương với lệnh sau: 
[
] 
2.2.2. Các phép tính cơ bản trên ma trận, vectơ 
a. Phép cộng, trừ 
Ta có thể cộng, trừ hai ma trận hoặc hai vectơ bằng ký hiệu + thông thường hoặc dùng 
hàm Add(). 
 ( [[ ] [ ]]) 
*
+ 
 ([[ ] [ ]]) 
*
+ 
*
+ 
*
+ 
*
+ 
[
] 
[
] 
43 Giải toán trên máy tính với Maple 
[
] 
[
] 
b. Phép nhân 
Nếu muốn nhân một số với một ma trận ta sử dụng phép nhân thông thường *. Để tính 
tích vô hướng giữa 2 vector ta sử dụng dấu chấm „.‟, ký hiệu này còn được dùng để tính 
tích giữa 2 ma trận (hoặc sử dụng lệnh ). Phép tính lũy thừa trên ma trận vẫn 
dùng ký hiệu ^ như lũy thừa trên các số. 
 ( [[ ] [ ]]) 
*
+ 
*
+ 
[
] 
[
] 
 ( [[ ] [ ]]) 
*
+ 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 44 
Error, (in rtable/Product) invalid arguments 
*
+ 
*
+ 
*
+ 
c. Ma trận chuyển vị, ma trận nghịch đảo 
Để tìm ma trận chuyển vị của ma trận A ta sử dụng lệnh . Nghịch đảo của 
ma trận A có thể tính được bằng lệnh hoặc . 
 ( [[ ] [ ] [ ]]) 
[
] 
[
] 
[
] 
[
] 
d. Định thức, vết và hạng của ma trận 
Muốn tính định thức của ma trận vuông A ta sử dụng lệnh Determinant. Vết của ma trận 
vuông chính là tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính, được tính bằng lệnh Trace. 
Lệnh Rank(A) sẽ trả về kết quả là hạng của ma trận A. 
45 Giải toán trên máy tính với Maple 
 ([[ ] [ ] [ ]] ) 
[
] 
[
] 
3 
2.2.3. Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận 
Cho A là ma trận vuông. Số được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu: 
Vectơ thỏa mãn phương trình trên được gọi là vectơ riêng của ma trận A. 
Để tìm các giá trị riêng của ma trận A ta sử dụng lệnh và các vector 
riêng tương ứng được cho bởi lệnh . Lưu ý rằng lệnh 
cho 2 kết quả là các giá trị riêng và các vector riêng lập thành ma trận P làm chéo hóa ma 
trận A (nếu có). 
 | | 
[
] 
[
] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 46 
[
] 
[
 ]
[
 ]
[
] 
[
] 
Ngoài ra, ta có thể đưa ra đa thức đặc trưng của ma trận A bằng lệnh sau: 
2.2.4. Giải hệ phương trình tuyến tính 
Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có thể được cho dưới dạng ma 
trận: trong đó ( ) 
 . Để giải hệ 
phương trình ở dạng này ta sử dụng lệnh . 
 .0[ 
] [ ] [ 
 ]1/ 
[
 ]
 [ ] 
47 Giải toán trên máy tính với Maple 
[
] 
[
] 
Xét hệ phương trình: 
{
Hệ phương trình này có thể được giải theo 2 cách: (1) dùng lệnh như đã biết ở 
phần trước, (2) dùng lệnh bằng cách đưa hệ trên về dạng ma trận và giải. 
 [ ] [ ] 
[
] [
] 
[
] 
 (thử lại) 
[
] [
] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 48 
Ngoài ra, ta có thể sử dụng phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình 
bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đối với ma trận bổ sung | để đưa 
ma trận này về dạng bậc thang. 
 ([[ ] [ ] [ ] [ ]]) 
[
] 
 [ ] 
[
] 
 | 
[
] 
 [ ] 
[
] 
 [ ] 
[
] 
 [ ] 
[
] 
 [ ] 
49 Giải toán trên máy tính với Maple 
[
] 
 [ ] 
[
] 
 [ ] 
[
] 
Ðến đây, ta có thể đưa ra nghiệm của hệ phương trình bằng phương pháp khử nhờ lệnh: 
[
] 
Ðặc biệt ma trận cuối có thể được cho ra nhanh chóng bởi lệnh . 
 | 
[
] 
Chương 2. Các tính toán cơ bản trên Maple 50