Bài giảng Toán C2 - Chương 5: Lý thuyết chuỗi - Huỳnh Văn Kha

Chương 5
LÝ THUYẾT CHUỖI
Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
Toán C2 - MS: C01010
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 1 / 30
Nội dung
1 Chuỗi số hội tụ – Chuỗi hình học
∑
ar n
2 Các tiêu chuẩn hội tụ
Tiêu chuẩn tích phân – Chuỗi
∑
1/np
Các tiêu chuẩn so sánh
Chuối đan dấu - Tiêu chuẩn Leibnitz
Hội tụ tuyệt đối – Tiêu chuẩn trị tuyệt đối
Tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert)
Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy)
Một số bài tập
3 Chuỗi hàm
Chuỗi hàm - miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ, khoảng hội tụ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 1 / 30
Chuỗi số
Cho dãy số {an}∞n=1, biểu thức a1 + a2 + · · ·+ an + . . .
được gọi là một chuỗi số.
Ký hiệu:
∞∑
n=1
an hoặc
∑
an.
Ví dụ 1.
Với an = n, ta có chuỗi
∞∑
n=1
n = 1+ 2+ 3+ 4+ · · ·+ n + . . . .
Với an =
1
2n , ta có chuỗi
∞∑
n=1
1
2n
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
+ . . . .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 2 / 30
Tổng riêng phần - Tổng chuỗi
Các tổng riêng phần của chuỗi
∑
an được định nghĩa là:
s1 = a1, s2 = a1 + a2, s3 = a1 + a2 + a3,
. . .
sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an.
Nếu lim
n→∞ sn = s, thì ta nói
∑
an có tổng là s và viết
∞∑
n=1
an = s. Như vậy
∞∑
n=1
an = lim
n→∞ sn = limn→∞
n∑
i=1
ai .
Ví dụ 2. Tính riêng phần và tổng (nếu có) các chuỗi:
1.
∞∑
n=1
n 2.
∞∑
n=0
1
3n 3.
∞∑
n=1
(−1)n.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 3 / 30
Chuỗi số hội tụ
Nếu tổng của chuỗi
∞∑
n=1
an tồn tại và hữu hạn, ta nói
chuỗi này hội tụ.
Ngược lại, nếu
∞∑
n=1
an = ±∞ hoặc tổng của chuỗi
∞∑
n=1
an không tồn tại, ta nói chuỗi này phân kỳ.
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1. Các chuỗi số trong Ví dụ 2.
2.
∞∑
n=1
1
n(n + 1)
3.
∞∑
k=1
ln
k
k + 1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 4 / 30
Chuỗi hình học
Cho a 6= 0, r ∈ R, chuỗi hình học là chuỗi số có dạng
∞∑
n=0
ar n = a + ar + ar 2 + . . . .
Với giá trị nào của a và r thì chuỗi hình học hội tụ?
Nếu |r | < 1 thì chuỗi hình học hội tụ, và khi đó
∞∑
n=0
ar n =
a
1− r .
Ngược lại, nếu |r | ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 5 / 30
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 6 / 30
Ví dụ 4. Các chuỗi số sau có hội tụ không? Tính tổng
(nếu có) của nó.
1.
∞∑
n=0
22n31−n
2. 4− 8
3
+
16
9
− 32
27
+ · · ·
Ví dụ 5. Tính tổng của chuỗi
∞∑
n=1
xn, với |x | < 1.
Ví dụ 6. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau
đây thành dạng phân số.
1. 2.317 = 2.3171717...
2. 0.9 = 0.99999...
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 7 / 30
Các tính chất
TC1. Nếu
∑
an hội tụ thì lim
n→∞ an = 0.
Chú ý. Chiều ngược lại chưa chắc đúng. Nếu lim
n→∞ an = 0
thì
∑
an cũng có thể hội tụ, cũng có thể phân kỳ.
Ví dụ dãy 1/n→ 0 nhưng ∑ 1/n phân kỳ (đọc thêm).
(Kiểm tra sự phân kỳ) Nếu lim
n→∞ an không tồn tại hoặc
lim
n→∞ an 6= 0 thì chuỗi
∞∑
n=1
an phân kỳ.
Ví dụ 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
∞∑
n=1
n2 + 1
2n2 + n
.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 8 / 30
TC2. Nếu các chuỗi
∑
an,
∑
bn đều hội tụ thì các chuỗi∑
can (c ∈ R),
∑
(an + bn) và
∑
(an − bn) cũng
hội tụ, và:
a)
∞∑
n=1
can = c
∞∑
n=1
an
b)
∞∑
n=1
(an + bn) =
∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
bn
c)
∞∑
n=1
(an − bn) =
∞∑
n=1
an −
∞∑
n=1
bn
Ví dụ 8. Tính tổng (nếu có) của chuỗi
∞∑
n=1
[
2
n(n + 1)
+
1
3n
]
.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 9 / 30
Chú ý. Hữu hạn các số hạng đầu tiên không ảnh hưởng
đến sự hội tụ của chuỗi, do
∞∑
n=1
an =
N∑
n=1
an +
∞∑
n=N+1
an.
Như vậy, với mọi N ∈ N,
TC3.
∞∑
n=1
an hội tụ ⇔
∞∑
n=N
an hội tụ.
Chẳng hạn, nếu biết
∞∑
n=5
an hội tụ, ta có thể kết luận
rằng
∞∑
n=1
an cũng hội tụ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 10 / 30
TC tích phân – Chuỗi
∑
1/np
Cho f là hàm số dương, giảm, liên tục trên [1,+∞), đặt
an = f (n). Khi đó chuỗi
∞∑
n=1
an và tích phân
∫ ∞
1
f (x)dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 11 / 30
Chú ý. Do sự hội tụ của chuỗi số không phụ thuộc vào
hữu hạn số hạng ban đầu, nên chỉ cần f dương và giảm
trên khoảng [M,+∞) với M ∈ R bất kỳ.
Ví dụ 9. Xét sự hội tụ của các chuỗi số:
1.
∞∑
n=1
1
1+ n2
2.
∞∑
n=1
ln n
n
3.
∞∑
n=2
1
n ln2 n
Ví dụ 10. Với giá trị nào của p thì chuỗi
∞∑
n=1
1
np
hội tụ?
Chuỗi
∞∑
n=1
1
np
hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p ≤ 1.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 12 / 30
Tiêu chuẩn so sánh 1 (hiệu số)
Cho
∑
an,
∑
bn là các chuỗi số không âm (nghĩa là
an ≥ 0, bn ≥ 0,∀n). Khi đó:
Nếu bn ≥ an,∀n và
∑
bn hội tụ thì
∑
an hội tụ,
Nếu bn ≤ an,∀n và
∑
bn phân kỳ thì
∑
an phân kỳ.
Ví dụ 11. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.
1.
∞∑
n=1
2
n2 + 3
2.
∞∑
n=1
n
n3 + 2n + 1
3.
∞∑
n=1
1
2n + 3n
4.
∞∑
n=1
ln n
n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 13 / 30
Tiêu chuẩn so sánh 2 (tỷ số)
Cho
∑
an,
∑
bn là các chuỗi số không âm, bn 6= 0,∀n.
Nếu lim
n→∞
an
bn
= c ∈ (0,+∞), thì ∑ an và ∑ bn
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Nếu lim
n→∞
an
bn
= 0 và
∑
bn hội tụ thì
∑
an hội tụ.
Ví dụ 12. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.
1.
∞∑
n=1
2n + 1
n3 + 2n − 2 2.
∞∑
n=1
n2 + 3n − 1√
n(n4 + 2)
3.
∞∑
n=1
2+ 3n
3+ 4n
4.
∞∑
n=1
ln n
n2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 14 / 30
Chuỗi đan dấu
Chuối đan dấu là chuỗi gồm các số hạng âm dương xen
kẽ. Ví dụ:
1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− 1
6
+ · · · =
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
−1
2
+
2
3
− 3
4
+
4
5
− 5
6
+
6
7
− · · · =
∞∑
n=1
(−1)n n
n + 1
Chuỗi đan dấu là chuỗi mà số hạng tổng quát có dạng
an = (−1)n+1bn hoặc an = (−1)nbn
trong đó bn > 0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 15 / 30
Tiêu chuẩn Leibnitz
Nếu dãy {bn} dương, giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan
dấu
∞∑
n=1
(−1)n+1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . . hội tụ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 16 / 30
Ví dụ 13. Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau.
1.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
2.
∞∑
n=1
(−1)n
3n2 + 1
3.
∞∑
n=3
(−1)n+1 ln n
n
4.
∞∑
n=2
(−1)n n
2
n3 + 1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 17 / 30
Hội tụ tuyệt đối – TC trị tuyệt đối
Chuỗi
∞∑
n=1
an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
∞∑
n=1
|an| = |a1|+ |a2|+ |a3|+ · · ·+ |an|+ . . . hội tụ.
Ví dụ 14. Các chuỗi sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối
không?
1.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2
2.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
3.
∞∑
n=1
1
n
Nếu
∑
an hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.
Chú ý. Một chuỗi hội tụ thì chưa chắc hội tụ tuyệt đối.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 18 / 30
Chú ý:
Nếu
∑
an hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối, ta
nói
∑
an hội tụ có điều kiện.
Nếu
∑
an hội tụ tuyệt đối và có tổng là s thì mọi
hoán vị của
∑
an cũng đều hội tụ tuyệt đối và đều
có tổng bằng s.
Nếu
∑
an hội tụ có điều kiện thì với mọi x ∈ R đều
tồn tại một cách sắp xếp các số hạng an để tổng
thu được là x .
Ví dụ 15. Các chuỗi sau có hội tụ, hội tụ tuyệt đối
không?
1.
∞∑
n=1
sin 3n
3n
2.
∞∑
n=1
(−1)n e
−1/n
n3
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 19 / 30
Tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert)
Đặt L = lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣.
Nếu L < 1 thì chuỗi
∞∑
n=1
an hội tụ tuyệt đối.
Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi
∞∑
n=1
an phân kỳ.
Ví dụ 16. Các chuỗi số sau có hội tụ không?
1.
∞∑
n=1
n3
(−3)n 2.
∞∑
n=1
n!
2n + 1
3.
∞∑
n=1
7n
n(n + 22n)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 20 / 30
Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy)
Đặt L = lim
n→∞
n
√
|an|.
Nếu L < 1 thì chuỗi
∞∑
n=1
an hội tụ tuyệt đối.
Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi
∞∑
n=1
an phân kỳ.
Ví dụ 17. Các chuỗi số sau có hội tụ không?
1.
∞∑
n=1
(
2n2 + 5
3n2 + 1
)n
2.
∞∑
n=1
(
n
n + 1
)n2+n
3.
∞∑
n=1
5n
(
n + 1
n
)−n2
4.
∞∑
n=1
(n
4
)n
sinn
(pi
n
)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 21 / 30
Bài tập về sự hội tụ của chuỗi số
Chuỗi có dạng
∑
1/np hay chuỗi hình học không?
Chuỗi gần giống chuỗi
∑
1/np hay chuỗi hình học
thì dùng tc so sánh. Chuỗi không dương thì dùng tc
so sánh cho
∑ |an| rồi dùng tc trị tuyệt đối.
Nếu thấy limn→∞ an 6= 0 thì chuỗi phân kỳ.
Chuỗi đan dấu thì dùng tiêu chuẩn Leibnitz.
Chuỗi có giai thừa hoặc mũ n thì dùng tiêu chuẩn
tỷ số (của d’Alembert).
Nếu an có dạng (bn)
n thì dùng tiêu chuẩn căn số
(của Cauchy).
Nếu an = f (n) mà
∫
f (x)dx dễ tính thì dùng tiêu
chuẩn tích phân.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 22 / 30
Bài tập. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.
1.
∞∑
n=1
n − 1
2n + 1
2.
∞∑
n=1
√
n3 + 1
n3 + 4n2 + 2
3.
∞∑
n=1
2n + n2
3n + 1
4.
∞∑
k=1
kk
(k + 1)!
5.
∞∑
n=1
(−1)nn3
n4 + 1
6.
∞∑
n=2
(−2)n
nn
7.
∞∑
n=1
sin
√
n
2n + 3n
8.
∞∑
n=1
n!
3n2
9.
∞∑
n=1
1
n1+1/n
10.
∞∑
n=3
1
(ln n)ln n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 23 / 30
Chuỗi hàm
Cho dãy hàm {un} xác định trên D ⊂ R. Khi đó biểu
thức có dạng
∞∑
n=1
un(x) = u1(x) + u2(x) + · · ·+ un(x) + . . .
được gọi là một chuỗi hàm.
Ví dụ 18. Với dãy hàm un(x) = 2n(x + 1)n thì ta có
chuỗi hàm tương ứng là:
∞∑
n=1
2n(x + 1)n = 2(x + 1) + 4(x + 1)2 + 8(x + 1)3 + . . .
Nếu tại x0 ∈ D, chuỗi số
∞∑
n=1
un(x0) hội tụ thì ta nói
x0 là điểm hội tụ của chuỗi hàm đã cho.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 24 / 30
Nếu tại x0 ∈ D, chuỗi số
∞∑
n=1
un(x0) phân kỳ thì ta
nói chuỗi hàm phân kỳ tại x0.
Tập các điểm hội tụ được gọi là miền hội tụ.
Gọi U là miền hội tụ của chuỗi hàm
∞∑
n=1
un(x). Lấy
x ∈ U và đặt S(x) =
∞∑
n=1
un(x) thì hàm số S được
gọi là hàm tổng (điểm) của chuỗi hàm
∞∑
n=1
un(x).
Ví dụ 19. Tìm miền hội tụ của
1.
∞∑
n=1
2n(x + 1)n 2.
∞∑
n=0
2n
(
1+ x
1− x
)n
3.
∞∑
n=1
(1+ x2)n
n!
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 25 / 30
Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng
∞∑
n=0
cn(x − a)n = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + . . .,
trong đó {cn} là dãy số thực và a là hằng số.
Ta gọi a là tâm và các số cn được gọi là các hệ số của
chuỗi lũy thừa.
Ví dụ 20. Chuỗi lũy thừa:
1.
∞∑
n=0
3n(x + 2)n có tâm tại a = −2, các hệ số là cn = 3n.
2.
∞∑
n=0
(−1)n
1+n2 x
n có tâm tại a = 0, các hệ số là cn =
(−1)n
1+n2 .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 26 / 30
Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ
Chuỗi lũy thừa
∞∑
n=0
cn(x − a)n luôn hội tụ tại tâm a.
Ngoài ra, ta có định lý sau đây.
Luôn tồn tại R ∈ [0,+∞] sao cho chuỗi
∞∑
n=0
cn(x − a)n
hội tụ với mọi x thỏa |x − a| < R , nghĩa là hội tụ
với mọi x ∈ (a − R , a + R) và
phân kỳ với mọi x thỏa |x − a| > R , nghĩa là phân
kỳ với mọi x a + R .
Số R nói trên được gọi là bán kính hội tụ.
Khoảng (a − R , a + R) được gọi là khoảng hội tụ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 27 / 30
Nếu 0 < R < +∞ thì miền hội tụ của chuỗi lũy
thừa có dạng
(a − R , a + R), [a − R , a + R],
[a − R , a + R), (a − R , a + R].
Nếu R = +∞ thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là
(−∞,+∞).
Nếu R = 0 thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là
{a} (a là tâm).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 28 / 30
Nếu lim
n→∞
n
√|cn| = ρ hoặc lim
n→∞
∣∣∣∣cn+1cn
∣∣∣∣ = ρ, thì bán kính
hội tụ của chuỗi lũy thừa
∞∑
n=0
cn(x − a)n được tính theo
công thức
R =

1/ρ, nếu 0 < ρ < +∞
+∞, nếu ρ = 0
0, nếu ρ = +∞
Ví dụ 21. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của
1.
∞∑
n=0
(−1)n(x + 2)n
2n + 1
2.
∞∑
n=0
xn
n!
3.
∞∑
n=0
nn(x − 1)n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 29 / 30
Bài tập. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của các
chuỗi lũy thừa sau đây.
1.
∞∑
n=1
xn
n2 + n
2.
∞∑
n=0
(−1)nn
4n
(x − 2)n
3.
∞∑
n=0
(3x + 2)n
n + 1
4.
∞∑
n=0
(2x − 1)n
(n + 1)n
5.
∞∑
n=0
n3n(x + 1)n 6.
∞∑
n=0
(
1− 2x
5
)n
7.
∞∑
n=1
(−1)n
n7n
(3x − 2)n 8.
∞∑
n=0
(−1)n
3n
x2n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 30 / 30