Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu - Trần Công Nghị

3(MAB + MBA ) + 2(MCD + MDC ) = 0. 
Từ đĩ cĩ thể viết phương trình cân bằng thứ ba, tiếp (a) và (b): 
0583,345,4 =Δ−+ CB IEI ϕϕ 
Giải hệ ba phương trình ba ẩn (a), (b), (c) nhận được nghiệm sau: 
EIϕB = 72,414; EIϕC = -60,172; EIΔ= 23,842; 
Thay các giá trị vừa tìm vào hệ phương trình cân bằng chuyển vị gĩc sẽ nhận được: 
 92
MAB = 0,5.(72,414) – 0,375. 23,842 = 27,266 kN.m 
MBA = 72,414 – 0,375. 23,842 = 73,473 kN.m 
MBC = -120 + 1,333. 72,414 + 0,667.(-60,127) = 63,577 kN.m 
MCB = 120 + 0,667.72,414 + 1,333 (-60,127) = 88,151kN.m 
MCD = 1,333.(-60,127) –0,333.23,842 = 88,089 kN.m 
MDC = 0,667.(-60,127) – 0,333.(23,842 = -48,044 kN.m 
4.8 Giàn phẳng 
Ví dụ 1: Nửa cung trịn, bán kính a, ngàm hai đầu vào tường cứng. Tải tập trung P đặt tại giữa cung, 
tác động theo phương pháp tuyến với mặt phẳng cung. Xác định momen uốn, lực cắt giàn. 
P a
Hình 4.14 
Trường hợp kết cấu đối xứng, tải bố trí tại đường tâm đối xứng, chúng ta cĩ thể chia cơ kết 
này thành hai phần đối xứng để xem xét. Tại vị trí đặt P, cắt cung trịn ta hai phân nửa ¼ cung trịn, 
một đầu mgàm, đầu kia chịu lực tập trung ½P. Momen đơn vị bố trí tại đầu tự do ¼ cung này. 
Lời giải 
Momen uốn và momen xoắn do lực thực: 
 M(x) = ½P.r.sinϕ 
MT(x) = ½P(r - rcosϕ) 
Momen đơn vị mang giá trị sau: 
m = -1.cosϕ 
mT = -1.sinϕ 
∫∫ +=Δ dxGJmMdxEJmM p TTP
..
1 
Để ý rằng dx = r.dϕ, cơng thức cuối mang dạng: 
 93
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
=−−+−=Δ ∫ ∫
p
p
P
GJEJ
GJ
rd
EJ
rd
11
2
Pr
2
)cos1Pr(.sin2
2
.sin.Pr.cos2
2
2/
0
2/
0
1
π π ϕϕϕϕϕϕ
Các thành phần ma trận dẻo tính theo cách sau: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
=+=+= ∫∫∫∫
P
PP
T
GJEJ
r
rd
GJ
rd
EJ
dx
GJ
mdx
EJ
m
11
2
.
sin2cos2
2/
0
22/
0
222
11
π
ϕϕϕϕδ
ππ
Trường hợp cung làm từ thép trịn, mơ đun cắt G = 0,4E, biểu thức GJP = 0,8EJ, kết quả 
tính vừa trình bày sẽ mang dạng: 
EJ
r
EJP
πδ 125,1;Pr125,1 11
2
1 =−=Δ 
Từ đĩ, momen uốn tại giữa cung tính bằng biểu thức: 
rPX P .318,0Pr
11
1 ==Δ−= πδ 
Biểu đồ momen uốn và momen xoắn tính như sau: 
M = MP + m.X = ½ Prsinϕ - 0,318Prcosϕ 
MT = MPT + mT.X = ½ Pr(1 - cosϕ) - 0,318Pr.sinϕ 
P/2P/2
X=1
ϕ ϕ
P/2
A
C
z
D
B
A
zas
in
ϕ
X=1
x x
a
P
0,5Pa
-0,5Pa
0,318Pa
0,182Pa
0,174Pa 0,174Pa
0,182Pa
Hình 4.15 
 94
Bài tập 
1. Xác định phản lực theo hướng thẳng đứng và hướng ngang V và H, vẽ biểu đồ mơ men uốn 
khung phẳng, chịu áp lực phân bố đều, cường độ q = const, hình 4.16a. Biết rằng độ cứng khung 
EJ, kích thước khung trình bày tại hình. 
2. Cột cẩu cĩ dạng như miêu tả tại hình 4.16b, độ cứng EJ. Xác định phản lực và momen uốn khung 
vừa hình thành dưới tác động lực P. 
P
C
A
B
J
A B
q
a) Bài tập 1 b) Bài tập 2
 Hình 4.16 
P
I2 I2
I1
I3I3
k
I3I3
I2
I1
I2
 Hình 4.17 
3. Xác định phản lực, trình bày biểu đồ momen uốn khung phẳng tại hình 4.17 hía trái. 
4. Xác định phản lực, trình bày biểu đồ momen uốn khung phẳng tại hình 4.17 phía phải. 
 95
A
B CP P
D
C
D
A
P
P
P
P
P
P
Q
Q
2Q
a) Bài tập 5 b) Bài tập 6 c) Bài tập 7
 Hình 4.18 
5. Vẽ đồ thị momen uốn vịng bị tác động hai lực P kéo đối xứng, hình 4.18a. 
6. Vẽ đồ thị momen uốn vịng bị tác động lực sáu lực P kéo đối xứng, hình 4.18b. 
7. Vẽ đồ thị momen uốn vịng bị tác động ba momen nêu tại hình 4.18c. 
P
Pa
Pa
P
A B
CD
 Hình 4.19 
8. Trình bày đồ thị momen uốn giàn tại hình 4.19. 
9. Hai dầm cùng vật liệu, dầm thứ nhất dài l1, độ cứng EJ1, dầm thứ hai dài l2, độ cứng EJ2, đặt tựa 
lên nhau, vuơng gĩc với nhau. Điểm tựa lên nhau chính giữa sải mỗi dầm. Hệ thống chịu tải tập 
trung P, tác động pháp tuyến, tại điểm tựa đang nêu. Xác định phản lực hai dầm dưới tác động của 
P. 
Hướng dẫn: a) R1 từ dầm thứ nhất và R2 từ dầm thứ hai thỏa mãn điều kiện R1 + R2 = P. 
 b) Độ võng của điểm giữa hai dầm bằng nhau. 
 96
dầm
 na
èm 
dươ
ùi
P
 Hình 4.20 
10. Vẽ biểu đồ momen uốn trong khung phẳng nêu tại hình 4.21. 
Y
X
h h
h
2h
A C
D
E
B
EJ1=1
EJ2=2
P
 Hình 4.21 
 97
CHƯƠNG 5 
TẤM MỎNG 
Tĩm tắt 
Tấm mỏng được xác định trong hệ tọa độ Oxyz như tại hình 5.1 
t
t/
2
t/
2θ
θ
Tấm mỏng
Chuyển vị
Hình 5.1 
Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị bài tốn phẳng áp dụng vào tấm mỏng: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂+∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
xy
u
y
x
u
xy
y
x
v
v
γ
ε
ε
 (a) 
Phương trình chuyển vị trong tấm u, v, w theo chuyển vị w và gĩc xoay θx, θy mặt trung 
hịa diễn đạt như sau: 
⎭⎬
⎫
×=
×=
y
x
z
zu
θ
θ
v
 (b) 
Thay phương trình (b) vào (a) chúng ta nhận được các biểu thức tính biến dạng trong tấm. 
Từ giả thiết đảm bảo độ vuơng gĩc của pháp tuyến sau biến dạng, các biểu thức γxz = γyz = 0, cịn 
biến dạng εz = 0 và như vậy biến dạng tấm trong mặt phẳng 0xy sẽ là: 
 98
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂×=
∂
∂×=
∂
∂×=
xy
z
y
z
x
z
yx
xy
y
y
x
x
θθγ
θε
θε
 (c) 
Ký hiệu 
xyyx
yx
xy
y
y
x
x ∂
∂=∂
∂−=∂
∂=∂
∂= θθκθκθκ ;; , phương trình (c) trở thành: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
×=
×=
×=
xyxy
yy
xx
z
z
z
κγ
κε
κε
2
. 
Thay thế w
y
w
x yx ∂
∂−=∂
∂−= θθ ; vào (c) cĩ thể thấy: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
∂∂
∂×−=
∂
∂×−=
∂
∂×−=
yx
wz
y
wz
x
wz
xy
y
x
2
2
2
2
2
2γ
ε
ε
 (d) 
Quan hệ biến dạng – ứng suất thể hiện tại định luật Hooke: 
( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
E τ
σ
σ
υ
υ
υ
γ
ε
ε
1200
01
01
1 (e) 
Từ đĩ cĩ thể tính vec tơ ứng suất trong trạng thái ứng suất phẳng: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x E
γ
ε
ε
υ
υ
υτ
σ
σ
υ
2
1
2
00
01
01
1
 (f) 
Trong nghiên cứu tấm mỏng, thay vì xem xét ứng suất σx, σy, τxy người ta thường dùng 
đại lượng hợp lực (stress resultants) tính bằng giá trị lực trên đơn vị chiều dài, dạng thường gặp sau: 
∫∫∫
−−−
===
2/
2/
2/
2/
2/
2/
;;;
t
t
xyxy
t
t
yy
t
t
xx dzNdzNdzN τσσ 
Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng quan hệ giữa hợp lực và biến dạng tương tự phương 
trình trong định luật Hooke: 
 99
và 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x Et
N
N
N
γ
ε
ε
υ
υ
υ υ
2
1
2
00
01
01
1
 (g) 
hoặc tính ngược lại: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
N
N
N
Et
)1(200
01
01
1
υ
υ
υ
γ
ε
ε
 (h) 
 Ứng suất và hợp lực trong phần tử tấm diễn tả tại hình 5.2 tiếp theo. 
Ứng suất
Momen và lựcσ σ
τ
τ
τ
τ
τ
σ
τ τ
τ
σ
 Hình 5.2 
Momen uốn, momen xoắn và lực cắt liên quan ứng suất vừa trình bày được biết dưới dạng: 
Momen uốn, momen xoắn ∫
− ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
2
2
t
t
zdz
M
M
M
xy
y
x
xy
y
x
τ
σ
σ
 (i) 
và lực cắt dz
q
q
t
t yz
xz
y
x ∫
− ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ 2
2
τ
τ
 (j) 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x Et
M
M
M
κ
κ
κ
υ
υ
υ υ
2
1
2
3
00
01
01
)1(12
 (k) 
Đại lượng 
)1(12 2
3
υ−=
EtD trong cơng thức cuối cĩ tên gọi độ cứng tấm. 
 100
Trường hợp biểu diễn các hệ số κx, κy, κxy trong quan hệ với w: 
yx
w
yy
w
yx
w
x
x
xy
y
y
x
x ∂∂
∂−=∂
∂−=∂
∂−=∂
∂=∂
∂−=∂
∂=
2
2
2
2
2
2;;
θκθκθκ quan hệ (k) được hiểu theo 
cách khác như sau: 
( ) ⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
∂∂
∂−
∂
∂+∂
∂
∂
∂+∂
∂
−−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
yx
w
x
w
y
w
y
w
x
w
Et
M
M
M
xy
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
)1(12
υ
υ
υ
υ tư đĩ ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
M
M
M
Et
)1(200
01
01
12
3
υ
υ
υ
κ
κ
κ
Ứng suất của tấm trong trạng thái ứng suất phẳng: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
12/
12/
12/
3
3
3
t
zM
t
zM
t
zM
xy
xy
y
y
x
x
τ
σ
σ
 (l) 
Phân bố ứng suất theo chiều dày tấm cĩ dạng trình bày tại hình 5.3. 
σ
σ
τ
ττ
τ
yz
yx
y
xy
xz x
Hình 5.3 
 101
Điều kiện cân bằng 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=−∂
∂+∂
∂
=−∂
∂+∂
∂
=+∂
∂+∂
∂
0
0
0
y
xyy
x
yxx
yx
q
x
M
y
M
q
y
M
x
M
p
y
q
x
q
 (m) 
Thay thế hai cơng thức cuối từ hệ phương trình đang đề cập vào phương trình đầu, chúng ta 
nhận được phương trình cân bằng bậc cao hơn sau đây: 
02
22
2
2
=+∂
∂+∂∂
∂+∂
∂
p
y
M
yx
M
x
M yxyx (n) 
Phương trình vi phân uốn tấm 
Thay thế các biểu thức từ (11a) vào vị trí Mx, My, Mxy của phương trình (n) chúng ta nhận 
được phương trình vi phân bậc 4 trình bày điều kiện cân bằng. 
D
p
y
w
yx
w
x
w =∂
∂+∂∂
∂+∂
∂
4
4
22
4
4
4
2 (o) 
Cơng thức cuối này cịn được viết theo cách sau đây: 
D
pw =∇ 4 
trong đĩ ( )22224 ∇=∇∇=∇ , cịn 22222 yx ∂∂+∂∂=∇ 
Ví dụ 1: Phương trình độ võng tấm chữ nhật, vật liệu đẳng hướng, chỉ hai cạnh đối xứng tựa tự do 
trên gối cứng theo cách giải Navier được giới thiệu tiếp dưới đây. Chiều dầy tấm t, tải trọng phân bố 
đều q(x,y) = const. Tâm toạ độ tại gĩc dưới bên trái. 
D.∇4w = q. (a) 
Lưu ý tính đối xứng bài tốn và điều kiện biên cũng đối xứng, lời giải cĩ thể tìm một trong 
hai cách: 
w(x,y) = ∑∞
=1
sin)(
n
n b
ynxX π 
hoặc w(x,y) = ∑∞
=1
sin)(
n
n a
xnxY π (b) 
Chuỗi phân bố tải trọng tương ứng: 
q = ∑∞
=1
sin
n
n b
ynq π hoặc q = ∑∞
=1
sin
n
n a
xnq π (c) 
Chọn phương án 2 khi tiếp tục giải bài tốn này. Nhân hai vế của biểu thức cho q với 
(2/a)sin(mπx/a) và tích phân từ x = 0 đến x = a, hệ số qn sẽ được xác định: 
 102
qn = πn
q4 khi n =1,3,5,... 
qn = 0 nếu n =2,4, ... (d) 
Từ đĩ: 
q = 
a
xn
n
q
n
π
π sin
14
,..3,1
∑∞
=
 (e) 
Thay biểu thức trên vào (b), với n =1,3,5,... sẽ nhận được phương trình vi phân bậc bốn sau: 
YnIV -2
n
a
π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
Yn’’ + 
n
a
π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
Yn = Dn
q
π
4 (f) 
Lời giải riêng là 45
44
βπ Dn
qb , với 
a
bπβ = (g) 
Nghiệm bài tốn cĩ dạng: 
Yn(y)= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
ynC πcosh0 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
ynC πsinh1 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
yn
a
ynC ππ sinh2 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
yn
a
ynC ππ cosh3 
 + 4
4
5 4
qb
n Dπ β (h) 
Điều kiện biên bài tốn địi hỏi thỏa mãn 4 phương trình: 
w(x,0) = ∂∂
2
2y
w(x,0) = w(x,b) = ∂∂
2
2y
w(x,b) = 0. (i) 
Thay biểu thức w(x,y) = ∑∞
=1
sin)(
n
n a
xnxY π vào các phương trình thuộc điều kiện biên trên sẽ 
nhận được: 
Yn(0) = Yn’’(0) = Yn(b) = Yn’’(b) = 0. (j) 
Từ đĩ: 
( ) ( )
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
×+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
b
yn
b
yn
b
yn
n
b
yn
nn
Dn
qayYn β
β
β
β
β
ββ
π cosh
sinh
2
2
sinh
cosh
2
tanh
4
114 5
4
 (k) 
Momen uốn tấm cĩ dạng sau: 
 103
( )
( )
a
xn
n
b
yn
b
yn
n
b
yn
nn
n
qaM
n
x
π
β
β
βυ
β
β
ββυπ
sin
2
cosh
sinh
2
1
4
cosh
cosh
2
tanh
4
11114
,3,1
33
3
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
×−+
+⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−×= ∑∞
=
 (l) 
( )
( )
a
xn
n
b
yn
b
yn
n
b
yn
nn
n
qaM
n
y
π
β
β
βυ
β
β
ββυυυπ
sin
2
cosh
sinh
2
1
4
cosh
cosh
2
tanh
4
114
,3,1
33
3
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
×−+
+⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−×= ∑∞
=
 (m) 
Ví dụ 2: Tấm hình chữ nhật, tựa trên bốn cạnh, chiều dày tấm t = 0,6cm chịu tác động momen uốn 
Mx = 600 N.m/m, phân bố đều dọc cạnh dài, song song với trục Oy, hình 5.4. 
Xác định momen xoắn lớn nhất trong tấm và ứng suất lớn nhất tại tấm. 
Biết rằng E = 2.105 MPa, ν = 0,3. 
 y 
 My 
 O x Hình 5.4 
 Mx 
Lời giải 
Ứng suất do uốn tính theo cơng thức: 
MPaPa
t
M
W
M x
x
x
x 10010
6 8
2max, ====σ 
Theo hướng Oy momen uốn My = 0 và theo đĩ σy = 0. 
Ứng suất tiếp lớn nhất: 
MPayx 50
2
max,
max =
−= σστ 
Momen xoắn lớn nhất: 
mNmtQ /300
6
.1 2
maxmax == τ 
 104
Bán kính cung uốn tính từ biểu thức: 
EJ
M=ρ
1 như đã giới thiệu trong phần uốn dầm. 
m
M
EJ
x
6
12.600
10.6.110.2 9311 =×==
−
ρ 
Ví dụ 3: Tấm chữ nhật tựa trên bốn cạnh, chiều dày tấm t = 4mm, chịu tác động momen uốn Mx = 
300 Nm/m và My = 100 Nm/m. 
Xác định ứng suất lớn nhất trong tấm. 
Kiểm tra độ bền theo tiêu chuẩn von Mises, biết rằng σcr = 120MPa. 
Trả lời 
;5,112
6
2max, MPat
M x
x ==σ 
;5,37
6
2max, MPat
M y
y ==σ 
MPayx 5,37
2
max,max,
max =
−= σστ 
Theo tiêu chuẩn bền von Mises: 
( ) ( ) ( ) MPaeq 992
2 2
13
2
32
2
21 =−+−+−= σσσσσσσ 
Giới hạn trên đây nhỏ hơn giá trị ứng suất cho phép σcr = 120MPa 
Ví dụ 4: Tấm hình chữ nhật, cạnh a = 80cm; b = 25cm, chiều dầy tấm t = 0,4cm, tựa trên bốn cạnh, 
chịu tải phân bố đều theo phương pháp tuyến p = 40kPa. 
Xác định độ võng lớn nhất f, ứng suất lớn nhất và momen xoắn lớn nhất. Biết rằng E = 2.105 
MPa, ν = 0,25. 
Với tấm dài, tỷ lệ a/b > 3 cĩ thể coi rằng liên kết tựa hai cạnh ngắn đến độ uốn tấm theo 
chiều kia khơng lớn. Cơng thức tính momen uốn và ứng suất mang dạng: 
mmNMMmmNpbM xyx /.50;/.2008 max,
2
max, ==== υ 
Từ đĩ cĩ thể tính tiếp: 
MPa
t
M x
x 75
6
2
max,
max, ==σ 
Momen xoắn tính theo cơng thức: 
mmN
MM
Q yx /.75
2
max,max,
max =
−= 
và MPa
t
Q
1,28
6
2
max
max ==τ 
 105
Độ cứng tấm chịu uốn: 
( ) mkNEtD .14,1112 2
3
=−= υ 
Độ võng lớn nhất, tính tại điểm giữa tấm: 
mm
D
pbwf 73,0
384
5 4
max === 
Ổn định tấm hình chữ nhật 
Ví dụ 1: Tấm chữ nhật, tựa bản lề bốn cạnh, chịu tác động lực nén theo chiều dọc. Xác định ứng 
suất giới hạn nếu a = 40 cm, b = 25 cm, t = 0,8 cm, E = 7,2. 104MPa, ν = 0,30 và ứng suất giới 
hạn cơ cấu cứng [σ] = 240 MPa. 
Lời giải 
Ứng suất giới hạn tính theo cơng thức: 
tb
Dkcr 2
2πσ = 
trong đĩ 
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
mb
a
a
mbk 
Điều kiện chuyển tiếp để tấm chuyển sang giai đoạn mất ổn định từ m nửa sĩng đến m + 1 
nửa sĩng: 
b
amm =+ )1( 
Trường hợp này, a/b = 40/25 = 1,6 > √2. Hệ số k tính bằng k = 4,2. 
Độ cứng tấm: 
( ) mNEtD .47,3112 2
3
=−= υ 
Từ đĩ cĩ thể tính: 
MPaMPacr 240][88,2 =<= σσ 
Ví dụ 2: Tấm hình vuơng cạnh b = 20 cm, tựa trên các cạnh, bị nén cả hai chiều bằng tải T. 
Xác định ứng suất giới hạn nếu t = 0,4 cm, E = 7,0.104 MPa, ν = 0,30. 
Trường hợp chỉ chịu nén một hướng ứng suất giới hạn sẽ giảm như thế nào? 
Lời giải 
Tấm hình vuơng mất ổn định trong cả trường hợp m = n = 1. 
Ứng suất giới hạn tính bằng biểu thức: 
tb
Dkycrxcr 2
2
,,
πσσ == 
 106
trong đĩ 2
2
2
2
2
2
=
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
n
a
mb
n
a
mb
k 
Độ cứng tấm: 
( ) mNEtD .410112 2
3
=−= υ 
MPa
tb
Dkycrxcr 6,502
2
,, === πσσ 
Tấm bị cắt 
Ví dụ 1: Tấm chữ nhật, a = 40 cm, b = 25 cm, t = 0,4 cm, chịu ứng suất cắt τ = const dọc bốn 
cạnh. Xác định ứng suất cắt giới hạn, biết E = 7,2.104MPa, [τ] = 120 MPa. 
Lời giải 
Ứng suất cắt giới hạn tính theo cơng thức: 
2)9,0(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
t
b
EkScrτ 
Trong đĩ 9,6435,5
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
a
bkS 
MPacr 114=τ 
Ví dụ 2: Tấm hình chữ nhật, cạnh a = 30 cm, b = 12 cm, t = 0,1 cm, bị viền bằng nẹp cứng 
ba cạnh, hai cạnh dài và một cạnh ngắn, cạnh ngắn cịn lại gắn chặt vào cơ cấu khỏe. Tấm chịu lực 
cắt đặt tại nút trên của tấm, xem hình. Biết rằng E = 2.105 MPa, [τ] = 250 MPa. 
Xác định lực cắt giới hạn, biết rằng hệ số an tồn cho ổn định n = 1,5. 
 P 
 Hình 5.5 
Lời giải 
Ứng suất cắt tại các mép tấm: 
 107
cr
cr P
tb
nP 310.17,4
.
==τ , (Pa) 
Cơng thức tính ứng suất giới hạn, như đã trình bày trên đây, cĩ dạng: 
2)9,0(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
t
b
EkScrτ với 99,5435,5
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
a
bkS 
Từ đây cĩ thể viết: 73 10.49,710.17,4 =crP 
Pcr = 1,8.104 = 18 kN. 
Bài tập 
1. Giải bài tốn uốn tấm mỏng, hình chữ nhật, kích thước a x b, trình bày tại hình 1, phần tấm 
mỏng, tựa trên các cạnh, chịu tác động áp lực p(x,y) theo phương pháp tuyến. 
Phương án thực hiện: trình bày p(x,y) dạng chuỗi Navier. 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∞
=
∞
= b
yn
a
xmCyxp
m n
mn
ππ sinsin),(
1 1
Hằng số Cmn tính từ chuỗi Fourier: 
dxdy
b
yn
a
xmyxp
ab
C
a b
mn ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∫ ∫ ππ sinsin),(4
0 0
2. Trường hợp p(x,y) = p0 = const được áp dụng cho bài tập 1 vừa nêu, chứng minh rằng: 
,...5,3,1,
16
2
0 == nm
mn
pCmn π 
Chuyển vị tấm tính theo cơng thức: 
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= ∑∑
∞
=
∞
= b
yn
a
xm
anbm
ba
mnmn
pyxw
m n
ππ
π sinsin
116),(
2
22
22
1 1
2
0 
m, n = 1,3,5, . . . 
3. Sử dụng kết quả bài tập 2 tìm độ võng điểm giữa tấm với a/b = 1,6. 
4. Sử dụng kết quả bài tập 2 giải bài tốn tấm mỏng làm từ thép, kích thước 200mm x 400mm, 
chiều dày tấm t = 6mm, E = 210 GPa, ν = 0,3. Áp lực p0 = 100 kPa. 
Xác định wmax cho các trường hợp sau: 
• Các cạnh tựa tự do 
• Các cạnh ngàm 
• Hai cạnh ngắn tựa trên gối, hai cạnh dài ngàm 
• Hai cạnh ngắn tựa, hai cạnh cịn lại tự do 
 108
5. Xác định ứng suất lớn nhất độ võng lớn nhất đo tại giữa tấm hình chữ nhật, cạnh dài a, cạnh 
ngắn b, chịu tác động phân bố lực p theo phương pháp tuyến, dựa vào cơng thức sau đây: 
3
4
2max
2
1max Et
pbKw
t
bpK =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=σ ; Hệ số Poisson υ = 0,3 
Bảng 1 
Trường hợp 1: Bốn cạnh tựa trên gối 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 4.0 5.0 ∞ 
K1 0.2874 0.3762 0.4530 0.5172 0.5688 0.6102 0.7134 0.7410 0.7476 0.7500 
K2 0.0440 0.0616 0.0770 0.0906 0.1017 0.1110 0.1335 0.1400 0.1417 0.1421 
Trường hợp 2: Bốn cạnh ngàm 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ 
K1 0.3078 0.3834 0.4356 0.4680 0.4872 0.4974 0.5000 
K2 0.0138 0.0188 0.2260 0.0251 0.0267 0.0277 0.0284 
Trường hợp 3: Hai cạnh đối diện, cạnh a, tựa tự do, hai cạnh kia ngàm 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ 
K1 0.4182 0.5208 0.5988 0.6540 0.6912 0.7146 0.7500 
K2 0.0210 0.0349 0.0502 0.0658 0.0800 0.0922 0.1422 
Trường hợp 4: Hai cạnh đối diện, cạnh b, tựa tự do, hai cạnh kia ngàm 
a/b 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ∞ 
K1 0.4182 0.4626 0.4860 0.4968 0.4971 0.4973 0.5000 
K2 0.0210 0.0243 0.0262 0.0273 0.0280 0.0283 0.0285 
Đặc trưng hình học và áp lực p của các tấm như sau: 
1) a = 2m; b = 1m; t = 5mm; p = 5MPa. 
2) a = 2m; b = 1m; t = 8mm; p = 9,81MPa. 
3) a = 4m; b = 1m; t = 8mm; p = 9,81MPa. 
4) a = 6m; b = 1m; t = 10mm; p = 9,81MPa. 
5) a = 9m; b = 1m; t = 10mm; p = 9,81MPa. 
6. Chứng minh những biểu thức sau đây, dùng cho tấm hình trịn. 
Chuyển vị hướng li tâm: 
dr
dwzur −= (a) 
Biến dạng: 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−==
−==
dr
dw
r
z
r
u
dr
wdz
dr
du
r
r
θε
ε 2
2
 (b) 
 109
Ứng suất: 
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−=
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
z
r
dr
wd
dr
dw
r
zE
dr
dw
rdr
wdzE
σ
ννσ
ν
νσ
θ (c) 
Nếu ký hiệu M – momen uốn phân bố trên đơn vị chiều dài, cơng thức cuối cĩ thể viết 
thành: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
3
3
12
12
t
zM
t
zM r
r
θ
θσ
σ
 (d) 
với 
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
2
2
2
2
1
dr
wd
dr
dw
r
DM
dr
dw
rdr
wdDM r
ν
ν
θ
 với ( )2
3
112 ν−=
EtD (e) 
Cơng thức trình bày tại (d) dùng cho tấm dày t cĩ dạng: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
±=
±=
3minmax,
3minmax,
6)(
6)(
t
M
t
M r
x
θ
θσ
σ
Phương trình vi phân bậc bốn uốn tấm, chịu tác động lực pháp tuyến p(r) được viết thành: 
D
rp
dr
dw
rdr
wd
dr
d
rdr
drw )(11)( 2
2
2
2
4 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=∇ 
7. Xác định chiều dày t tấm thép hình chữ nhật nhằm tránh mất ổn định tấm trong trường hợp chịu 
lực nén P=30kN phân bố đều dọc cạnh ngắn tấm. Tấm tựa tự do bốn cạnh. Biết rằng cạnh tấm a = 
35cm, b = 10cm, E = 2.105MPa, ν = 0,28. 
8. Tấm thép hình vuơng cạnh b = 25cm, tựa bốn mép trên gối, chịu lực nén cường độ q cả hai 
chiều, hình 5.6. Xác định ứng suất giới hạn (ứng suất Euler) của tấm, biết rằng chiều dày tấm t = 
0,40cm, E = 7.104MPa, ν = 0,3. 
Trường hợp lực nén cường độ như trên chỉ tác động theo một hướng, kết quả tính sẽ như thế 
nào? 
τ
τ
τ
τ
 110
Hình 5.6 Hình 5.7 
9. Tấm làm từ hợp kim nhơm, hình chữ nhật cạnh a = 40cm, b = 25cm, tựa tư do trên bốn cạnh, 
chịu tác động lực cắt τ, hình 5.7. Xác định tải giới hạn, biết rằng E = 7,2.104MPa, [τ] = 120MPa. 
10. Tấm hình chữ nhật cạnh nhật cạnh a = 36cm, b = 20cm, tựa tư do trên bốn cạnh, chịu tác động 
lực cắt τ, và lực nén T = 2τ, hình 5.8. Xác định τcr để tấm khơng bị mất ổn định. 
τ
τ
τ
τ
Hình 5.8 
Biết rằng E = 7,2.104MPa, ν = 0,3.