Tài liệu Toán cao cấp - Hoàng Xuân Quảng (Phần 1)

Ban Giám Hiệu 
Toán Cao Cấp 
 Tác giả: Ths. Hoàng Xuân Quảng 
Lời nói đầu 
Giáo trình này được biên soạn trung thành với chương trình Toán Cao Cấp cho 
khối ngành đại học kinh tế (Toán Cao Cấp C) của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban 
hành năm 1995. Tuy nhiên trong giáo trình có sự sắp xếp lại một vài chương, 
tiết để phù hợp với thực tế giảng dạy. Giáo trình này đã có bổ sung một số ứng 
dụng của toán học trong kinh tế theo chương trình hiện hành của một số 
trường, đặc biệt là Trường Đại Học Kinh Tế TP Hồ Chí Minh. 
Giáo trình gồm hai phần: 
• Giải tích toán học (60 tiết) 
• Đại số tuyến tính (45 tiết) 
Cuối mỗi chương đều có phần bài tập với số lượng và nội dung phong phú. Các 
bài tập có hướng dẫn hoặc đáp án. Do vậy, giáo trình là một tà liệu vừa đủ cả 
về lý thuyết và bài tập của môn Toán Cao Cấp để sinh viên các ngành kinh tế 
nghiên cứu, học tập. Giáo trình cũng có ích cho những người bước đầu học 
toán cao cấp hoặc ôn tập về toán cao cấp. 
Chúng tôi kính mong và rất biết ơn sự góp ý phê bình của bạn đọc. 
Tp. Hồ Chí Minh - Tp. Long Xuyên, tháng 8 năm 2000 
Các tác giả 
Chương I. Định thức 
Định nghĩa và tính chất 
1. Hoán vị và nghịch thế 
Xét tập n số tự nhiên đầu tiên 
{1, 2, 3..., n} 
Một cách sắp xếp có thứ tự các số này sẽ được gọi là một hoán vị từ n số đã 
cho. Ta đã biết số các hoán vị khác nhau từ n phần tử đã cho là: 
n! = 1.2.3n 
Ví vụ: Tập {1, 2, 3} có 3! = 6 hoán vị là 
p1 = (1,2,3); 
p2 = (1,3,2); 
p3 = (2,1,3); 
p4 = (2,3,1); 
p5 = (3,1,2); 
p6 = (3,2,1); 
Trong một hoán vị, mỗi cặp số có số lớn đứng trước số bé gọi là một nghịch thế 
của hoán vị đó. Số nghịch thế của hoán vị p được ký hiệu là N(p). 
Ví dụ: Với các phép thế trong ví dụ trên, ta có: 
N(p1) = 0 
N(p2) = N(p3) = 1 
N(p4) = N(p5) = 2 
N(p6) = 3. 
2. Định thức cấp n 
Cho A là một ma trận vuông cấp n, tức là một bảng gồm n x n số được sắp 
thành n dòng, n cột. 
Ta gọi định thức A là số 
(1) 
trong đó tổng lấy theo tất cả các hoán vị p = (α1, α2, α3,..., αn) từ n phần tử 1, 2, 
..., n. 
Khi A có cấp n thì định thức của A gọi là một định thức cấp n. 
3. Định thức cấp 2 và cấp 3 
Khi n = 2, tổng (1) có dạng 
Vì N(1,2) = 0, N(2,1) = 1 nên ta có: 
(2) 
Như vậy: Định thức cấp 2 bằng tích các số trên đường chéo chính trừ tích các 
số trên đường chéo phụ. 
Khi n = 3, tổng (1) có dạng: 
tổng lấy theo 6 hoán vị (α1, α2, α3) từ ba số 1, 2, 3. 
Dựa vào số nghịch thế đã xét trong ví dụ trên, ta có 
(3) 
Để nhớ công thức (3) người ta thường dùng “qui tắc Sarrus” 
Dấu (+) Dấu (-) 
Ví dụ: 
= - 3 - 4 - (1 - 6) = -2 
4. Tính chất của định thức 
1. Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi. 
Theo tính chất (i), một tính chất của định thức đúng với dòng thì cũng đúng với 
cột, do đó các tính chất tiếp theo ta chỉ phát biểu đối với dòng nhưng nó cũng 
dùng đối với cột. 
1. Nếu nhân tất cả các phần tử của một dòng với số λ thì định thức được 
nhân lên với λ. 
2. Nếu một dòng của định thức được viết thành tổng của hai dòng thì định 
thức được viết thành tổng của hai định thức có dòng đang xét là những 
dòng thành phần. 
Ví dụ: 
1. Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu. 
2. Trong một định thức nếu có hai dòng giống nhau thì định thức bằng 0. 
3. Nếu cộng một dòng vào một dòng khác đã nhân với một số thì định thức 
không đổi. 
Ở đây nhân một dòng với một số nghĩa là tất cả các phần tử của dòng được 
nhân với số đó, cộng hai dòng với nhau nghĩa là cộng các phần tử tương ứng 
với nhau. 
Phương pháp tính định thức 
Định thức cấp hai và cấp ba có thể tính theo công thức (2) và (3). Định thức cấp 
cao có thể đưa về định thức cấp hai hoặc ba nhờ công thức khai triển. Một số 
định thức đặc biệt có thể sử dụng định lý Laplace. 
Ví dụ: 
a) Tính 
Ta có: (cộng các dòng vào dòng 1) 
(đưa thừa số chung [x+3] ra ngoài định thức) 
(nhân dòng 1 với -1 cộng vào các dòng khác) 
= 
b) Tính định thức Vandermonde cấp 3: 
Ta có: 
Tương tự, định thức Vandermonde cấp 4: 
Chương II. Ma trận 
Định nghĩa 
1. Định nghĩa ma trận 
Một ma trận cấp m x n là một bảng gồm m x n số được sắp thành m dòng, n cột 
theo một thứ tự nhất định. 
Ma trận A cấp m x n được viết dưới dạng 
aij là phần tử nằm trên dòng i, cột j của ma trận A. 
Ta cũng ký hiệu (A)ij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A. 
Ví dụ: thì (A)11 = 1, (A)12 = -2, (A)23 = 0 
Hai ma trận A và B cấp m x n được gọi là bằng nhau nếu 
(A)ij = (B)ij với mọi i = 1, , m, j = 1, , n. 
2. Phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận 
Cho A và B là hai ma trận m x n. Khi đó tổng của A và B là ma trận có cấp m x n 
xác định bởi: 
(A + B)ij = (A)ij + (B)ij với i = 1, , m, j = 1, , n 
Như vậy tổng của hai ma trận là ma trận có các phần tử bằng tổng các phần tử 
tương ứng của hai ma trận đã cho. 
Cho ma trận A cấp m x n và số (A)ij. Khi đó ta gọi tích của A và λ là ma trận λA 
có cấp m x n xác định bởi: 
(λ A)ij = λ(A)ij với i = 1, , m, j = 1, , n 
Như vậy muốn nhân một số với một ma trận, ta nhân số đó với tất cả các phần 
tử của ma trận đó. 
Ví dụ: Cho 
Ta có 
Ta gọi ma trận không cấp m x n, ký hiệu: 0 = 0m x n là ma trận cấp m x n có tất 
cả phần tử đều bằng 0. 
Ta có định lý sau: 
Định lý 1: Cho A, B, C là các ma trận cấp m x n, λ, µ là các số. Khi đó: 
1. A + (B + C) = (A + B) + C; 
2. A + B = B + A; 
3. A + 0 = A; 
4. A + (-1)A = 0; 
5. 1.A = A; 
6. (λ +µ)A = λ A + µA; 
7. λ (A + B) = λ A + λ B; 
8. (λµ)A = λ (µA). 
Sau này ta sẽ viết (-1)A = -A; A + (-B) = A – B và gọi A – B là A trừ B. 
3. Phép nhân ma trận 
Cho ma trận A cấp m x n, ma trận B cấp m x p xác định bởi: 
Như vậy: 
• Để tích AB xác định thì số cột của A phải bằng số dòng của B. 
• Phần tử (AB)ij bằng tổng các tích tương ứng của các phần tử nằm trên 
dòng i của A và cột j của B. 
Ví dụ: 
Ma trận vuông cấp n được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu I = In, nếu: 
Như vậy ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên 
đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử còn lại bằng 0. 
Ví dụ: 
Định lý 2: 
1. Cho ma trận A cấp m x n. Khi đó 
1. Cho ma trận A cấp m x n, B cấp n x p, C cấp p x q. Khi đó A(BC) = (AB)C 
2. Cho ma trận A cấp m x n, B cấp n x p, và số λ. Khi đó: (λ A)B = A(λ B) = λ 
(AB) 
3. Cho ma trận A cấp m x n, B, C có cấp n x p. Khi đó: A (B + C) = AB + AC 
4. Cho ma trận A, B cấp m x n, C cấp n x p. Khi đó: (A + B)C = AC + BC 
4. Phép chuyển vị 
Cho ma trận A cấp m x n. Khi đó ma trận chuyển vị của A là ma trận AT có cấp n 
x m xác định bởi. 
(AT)ij = (A)ji với i = 1, , m, j = 1, , n 
Như vậy ma trận chuyển vị của A là ma trận nhận được từ A bằng cách đổi 
dòng thành cột, đổi cột thành dòng. 
Theo tính chất của định thức, ta có: det A = det AT nếu A là ma trận vuông. 
Định lý sau đây cho ta một số tính chất khác. 
Định lý 3: 
1. Với mọi ma trận A ta có: (AT)T = A; 
2. Với mọi ma trận A và B cùng cấp ta có: (A + B)T = AT + BT 
3. Với mọi ma trận A cấp m x n, B cấp n x p ta có: (AB)T = BT AT 
Ma trận vuông 
1. Vài nhận xét 
a) Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì các tích AB và BA cũng là ma trận 
vuông cấp n, tuy nhiên nói chung AB ≠ BA. 
Ví dụ: thì 
b) Có các ma trận A và B cấp n sao cho A ≠ 0, B ≠ 0 nhưng AB = BA = 0 
Ví dụ: Ta có 
c) Trong tập hợp ma trận vuông cấp n có các phép toán cộng, nhân với số và 
nhân. Phép nhân có phần tử đơn vị I = In. Với nó: 
AI = IA = A 
Với mọi ma trận vuông A cấp n. Ma trận I giống như số 1 trong phép nhân số. 
d) Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì ta có 
det(AB) = detA.detB 
2. Ma trận đảo 
Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho 
AB = BA = I (1) 
Ma trận B thỏa mãn (1) nếu có là duy nhất. 
Thật vậy, nếu ma trận B’ cũng thỏa mãn: AB’ = B’A = I, thì B’ = B’I = B’(AB) = 
(B’A)B = IB = B 
Ma trận B thỏa mãn (1) gọi là ma trận đảo của A, ký hiệu là A-1. Như vậy ma 
trận đảo của ma trận A nếu có là duy nhất và AA-1 = A-1A = I 
Định lý 4: Nếu A và B là các ma trận khả đảo cấp n thì: 
1. (A-1)-1 = A 
2. (AT)-1 = (A-1)T 
3. (AB)-1 = B-1.A-1 
4. det (A) . det (A-1) = 1 
Ma trận đảo tìm được theo định lý sau đây: 
Định lý 5: 
1. Ma trận vuông A khả đảo ↔ det A ≠ 0 
2. Nếu A khả đảo thì 
 (2) 
Trong định lý này ta ký hiệu 
là chuyển vị của ma trận có các phần tử là phần phụ của đại số của phần tử 
tương ứng của ma trận A. 
Ma trận vuông A có det A ≠ 0 còn gọi là không suy biến. 
Ví dụ: 
a) Theo công thức (2), nếu ad – bc ≠ 0 thì 
b) 
Ta có det A = 6 ≠ 0 nên A khả đảo. Ngoài ra 
A11 = 4, A21 = -3, A31 = -5 
A12 = 0, A22 = 3, A32 = 3 
A13 = 2, A23 = 3, A33 = -1 
Do đó theo (2) 
Hạng của ma trận 
1. Định nghĩa hạng của ma trận 
Cho ma trận A cấp m x n. Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng, k cột của A 
thì ta được một ma trận vuông con cấp k của A. Định thức của ma trận này gọi 
là một định thức con cấp k của A. 
Ta gọi hạng của ma trận A, ký hiệu rank A, là cấp cao nhất trong các định thức 
con khác không của ma trận A. 
Từ định nghĩa ta có: rank A ≤ min (m,n) 
2. Cách tìm hạng 
• Nếu A = 0 thì rank A = 0 
• Nếu A ≠ 0 thì rank A ≥ 1. Cố định một phần tử khác không của A và xét tất 
cả các định thức con cấp 2 của A chứa phần tử này. 
• Nếu có một định thức khác không thì rank A ≥ 2. Nếu không thì ta kết luận 
rank A = 1. 
• Trong trường hợp có một định thức con cấp 2 khác không, ta cố định định 
thức này và xét tất cả các định thức con cấp ba chứa nó. Nếu có một định 
thức khác không thì rank A ≥ 3. Nếu không thì ta kết luận rank A = 2. 
• Tiếp tục như vậy ta tìm được hạng của A. 
Ví dụ: 
a) Tìm hạng của ma trận: 
Ta có nên rank A ≥ 2. Hai định thức con cấp 3 chứa định thức 
cấp 2 nói trên là. 
Như vậy rank A ≥ 3, nhưng ma trận có 3 dòng nên rank A ≤ 3, từ đó rank A = 3. 
b) Tìm hạng của ma trận 
Ta có det A = 0 do đó rank A < 3. Ta lại có nên rank A ≥ 2. 
Vậy rank A = 2. 
Thông thường để tính hạng của ma trận vuông cấp 3 ta tiến hành như ví dụ b) 
trên đây, nếu det A ≠ 0 thì ta có ngay rank A = 3. 
3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận 
Ta gọi các loại phép biến đổi sau đây là những phép biến đổi sơ cấp trên các 
dòng của ma trận. 
• Loại 1: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, còn những dòng khác giữ nguyên. 
• Loại 2: Nhân một dòng với một số khác không, còn những dòng khác giữ 
nguyên. 
• Loại 3: Cộng một dòng vào một dòng khác đã nhân với một số, còn 
những dòng khác giữ nguyên. 
Theo tính chất của định thức dễ dàng thấy rằng một ma trận vuông không suy 
biến thì sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của nó, ma 
trận mới vẫn không suy biến. Với ma trận suy biến cũng có tính chất tương tự. 
Từ điều vừa nhận xét, ta thấy ngay rằng hạng của một ma trận không thay đổi 
khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 
Ma trận A cấp m x n gọi là các bậc thang nếu (A)ij với mọi i > j và (A)ik với mọi k 
≤ j thì (A)i+1,k = 0 với mọi k ≤ j + 1. Trong đó i = 1, 2, , m – 1; j = 1, 2 , n –1 
Nếu dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang thì số dòng 
khác không của ma trận dạng bậc thang chính là hạng của A, vì đó cũng chính 
là cấp cao nhất của định thức con khác không của ma trận A. 
Ví dụ: 
a) Tìm hạng của 
Ta có: 
b) 
4. Tìm ma trận đảo nhờ phép biến đổi sơ cấp 
Mỗi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận đơn vị I cấp n cho ta một ma trận gọi là 
ma trận sơ cấp ứng với phép biến đổi sơ cấp đã cho. 
Cho ma trận vuông A cấp n. 
Ta nhận xét rằng nếu phép biến đổi sơ cấp trên dòng của A có ma trận sơ cấp 
tương ứng là T thì ma trận nhận được phép biến đổi sơ cấp là T.A. Từ đó, nếu 
T1, T2, , Tk là dãy các ma trận sơ cấp ứng với các phép biến đổi sơ cấp trên 
dòng đưa ma trận A thành ma trận đơn vị I thì 
Tk Tk-1  T1.A = I 
Từ đó 
A-1 = Tk Tk-1  T1= Tk Tk-1,  T1I 
Do vậy ta có 
Định lý 6: Các phép biến đổi sơ cấp đưa A thành ma trận đơn vị cũng chính là 
các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận đơn vị thành A-1. 
Theo định lý 6 ta có thể tìm ma trận đảo của A bằng phương pháp biến đổi sơ 
cấp như sau: 
• Ghép A với ma trận đơn vị I thành ma trận cấp n x (2n). Dùng các 
phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận này đưa n cột đầu thành 
ma trận đơn vị I thì n cột cuối thành ma trận A-1.